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上海市某重点中学高二下学期期末数学试卷


上海市复兴高级中学 2013 学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(共 14 题,每小题 4 分,满分 56 分) 1、若 z ? C ,且 ? 2i ? z ? i ? 1 ( i 为虚数单位) ,则复数 z ? _______. 2、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线 CD 1 与 BC1 所成角为_______. 3、圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则圆锥的体积为_______. 4、正四面体的棱长为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积为_______. 5、过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 l2 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的交点且与 4 x ? y ? 4 ? 0 平行的直线方 程为_______. 6、圆心在抛物线 x ? ? 2014.06

1 2 y 的焦点,且与其准线相切的圆的方程为_______. 8

7、若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x2 ? y 2 ? 6 的右支有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围 为_______. 8、以椭圆上的一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1,则该椭圆长轴 长的最小值为_______. 9、 A, B, C , D, E 五人并排站成一排,若 A, B 必须相邻,且 B 在 A 的右边,那么不同的排 法总数为_______.
1 ? ? ? 3 2 10、已知 ? x ? x 3 ? 展开式中各项的系数和为 128 ,则展开式中 x5 的系数为_______. ? ? n

11、等比数列 ?an ? 中, a3 ? ?9 , a7 ? ?1 ,则 a5 ? _______. 12、数列 an ? ?

?n, n ? 2k ? 1 ? k ? N* ? ,则 a1 ? a2 +a3 ? n , n ? 2 k ?

? a100 ? _______.

t ?t 13、已知点 A ? 3,1? 、 B ?5,2? 、 C 2 , 2 ,若存在实数 ? 使得 OC ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB ,

?

?

则 t ? _______.
?n * 14、 已知 an ? 2 n ? N , 从数列 ?an ? 中取出部分项, 按原来的顺序组成一个各项和为

?

?

1 15

的无穷等比数列 ?bn ? ,则 ?bn ? 的通项公式为_______. 二、选择题(共 4 题,每小题 5 分,满分 20 分) 15、设是空间的三条直线,给出下面四个命题: ① a ? b, b ? c 则 a

c ;②若 a , b 是异面直线, b, c 是异面直线,则 a , c 也是异面直线;

③若 a , b 相交, b, c 相交,则 a , c 也相交;④若 a , b 共面, b, c 共面,则 a , c 也共面. 其中真命题的个数是( A.0 个 B. 1 个 ) C. 2 个

D. 3 个

16、设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ? k 2 成立时,总可推出
f (k ? 1) ? (k ? 1) 成立” .那么,下列命题总成立的是(
2



A.若 f (3) ? 9 成立,则当 k ? 1 时,均有 f ( k ) ? k 2 成立 B.若 f (5) ? 25 成立,则当 k ? 5 时,均有 f ( k ) ? k 2 成立 C.若 f ( 7 ) ? 49 成立,则当 k ? 8 时,均有 f ( k ) ? k 2 成立 D.若 f ( 4 ) ? 25 成立,则当 k ? 4 时,均有 f ( k ) ? k 2 成立

P ,集合 Q ? P PA ? 1 ,则 17、棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 及其内部一动点
集合 Q 构成的几何图形为( A.圆 ) C.球 D.八分之一球 )

?

?

B.四分之一圆

18、若点 P 是 ?ABC 内任意一点,若 CB ? ? PA ? PB ? ? ? R ? ,则 P 一定在(

A. ?ABC 内部 B. 边 AC 所在的直线上 C. 边 AB 上 D. BC 边上 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19、 (本题满分 12 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分)
2 已知 x1 , x2 为实系数 2 x ? 6 x ? m ? 0 的两个虚根,且 x1 ? x2 ? 3 .

(1)求实数 m 的值; (2)计算 lim

x1

2n

? x2
n

2n

n ??

x1 ? x2

20、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 1 ,

AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动.
(1)求三棱锥 E ? PAD 的体积; (2)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE ? AF .

P F A D E

B

C

21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分)

x2 y 2 已知装曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线过点 1, 3 , F1 , F2 为双曲线的左右焦点, a b
P 为双曲线上的任意一点,且 ?F1 PF2 ?
(1)求双曲线的两条渐近线的夹角; (2)求双曲线的标准方程.

?

?

?
3

, S?PF F ? 12 3 . 1 2

22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

l 已知点 P 1 为直线 与 y 轴的交点,等差数列 ?an ? 的公差 n ? an , bn ? 在直线 l : y ? 2 x ? 1 上, P
为 1 n ? N* . (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

?

?

1 ? c2 ? c3 ? ? n ? 2? ,求 lim n ?? n PP 1 n

? cn ? 的值;

(3) 若 dn ? 2dn?1 ? an?1 ? n ? 2? , 且 d1 ? 1 , 求证: 数列 ?dn ? n ? 2? 为等比数列, 并求 ?dn ? 的通项公式.

23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 7 分) 已知椭圆 E : 于 B, C 两点. (1)若点 M 满足: AF ? 2FM , OM ?

x2 y 2 ? ? 1 ,点 A 是椭圆与 y 轴的交点, F 为椭圆的右焦点,直线 l 与椭圆交 20 16

1 OB ? OC . 2

?

?

①求点 M 的坐标;②求直线 l 的方程; (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,若 AB ? AC ? 0 , D 在 BC 上,且 AD ? BC ? 0 . ①求证:直线 l 恒过一定点,并求出该定点坐标; ②求动点 D 的轨迹方程.


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