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刘鸿文版材料力学课件全套


材料力学
刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社

目录

第一章
§1.1
§1.2

绪论

材料力学的任务
变形固体的基本假设

§1.3
§1.4

外力及其分类
内力、截面法及应力的概念

§1.5
§1.6

变形与应变
杆件变形的基本形式
目录

§1.1 材料力学的任务
一、材料力学与工程应用
古代建筑结构

传统具有柱、梁、檩、椽的木 制房屋结构

建于隋代(605年)的河北赵州桥桥 长64.4米,跨径37.02米,用石2800 吨

目录

§1.1 材料力学的任务
古代建筑结构

建于辽代(1056年)的山西应县佛宫寺释迦塔 塔高9层共67.31米,用木材7400吨 900多年来历经数次地震不倒,现存唯一木塔
目录

§1.1 材料力学的任务

四川彩虹桥坍塌
目录

§1.1 材料力学的任务
比萨斜塔

美国纽约马尔克大桥坍塌

§1.1 材料力学的任务
二、基本概念
1、构件:工程结构或

机械的每一组成部分。
(例如:行车结构中的

横梁、吊索等)
理论力学—研究刚体,研究力与运动的关系。 材料力学—研究变形体,研究力与变形的关系。 2、变形:在外力作用下,固体内各点相对位置的

改变。(宏观上看就是物体尺寸和形状的改变)
目录

§1.1 材料力学的任务



弹性变形 — 随外力解除而消失 塑性变形(残余变形)— 外力解除后不能消失

刚度:在载荷作用下,构件抵抗变形的能力。 3、内力:构件内由于 发生变形而产生的相 互作用力。(内力随 外力的增大而增大) 强度:在载荷作用下, 构件抵抗破坏的能力。
目录

§1.1 材料力学的任务
4、稳定性:

在载荷
作用下,构

件保持原有
平衡状态的 能力。 强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力 的三个方面,材料力学就是研究构件承载能力 的一门科学。
目录

§1.1 材料力学的任务
三、材料力学的任务 材料力学的任务就是在满足强度、刚度 和稳定性的要求下,为设计既经济又安全的构 件,提供必要的理论基础和计算方法。
若:构件横截面尺寸不足或形状 不合理,或材料选用不当 ___ 不满足上述要求, 不能保证安全工作. 若:不恰当地加大横截面尺寸或 选用优质材料 ___ 增加成本,造成浪费

}

均 不 可 取

研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在 进行理论分析的基础上,实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和 手段。

目录

§1.1 材料力学的任务
四、材料力学的研究对象 构件的分类:杆件、板壳*、块体* 材料力学主要研究杆件

{ 曲杆—— 轴线为曲线的杆

直杆—— 轴线为直线的杆

{

等截面杆 ——横截面的大小 形状不变的杆 变截面杆 ——横截面的大小 或形状变化的杆 等截面直杆 ——等直杆
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§1.2 变形固体的基本假设
在外力作用下,一切固体都将发生变形, 故称为变形固体。在材料力学中,对变形固体 作如下假设: 1、连续性假设: 认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质 灰口铸铁的显微组织 球墨铸铁的显微组织

目录

§1.2 变形固体的基本假设
2、均匀性假设: 认为物体内的任何部分,其力学性能相同 普通钢材的显微组织 优质钢材的显微组织

目录

§1.2 变形固体的基本假设
3、各向同性假设: 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同

(沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性 材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等)
4、小变形与线弹性范围 认为构件的变形极其微小, 比构件本身尺寸要小得多。
如右图,δ远小于构件的最小尺寸, 所以通过节点平衡求各杆内力时,把支 架的变形略去不计。计算得到很大的简 化。

A

δ1

B C F
目录

δ2

§1.3 外力及其分类
外力:来自构件外部的力(载荷、约束反力)

按外力作用的方式分类
体积力:连续分布于物体内部各点 的力。如重力和惯性力 表面力: 分布力: 连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁 的压力,水坝受到的水压力等均为分布力

集中力: 若外力作用面积远小于物体表面的尺寸,可 作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨 的压力等
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§1.3 外力及其分类
按外力与时间的关系分类 静载: 载荷缓慢地由零增加到某一定值后,就保持不变或变动很不显著, 称为静载。 载荷随时间而变化。 如交变载荷和冲击载荷

动载:

交变载荷 冲击载荷
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§1.4 内力、截面法和应力的概念
内力:外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 求内力的方法 — 截面法 (1)假想沿m-m横截面将 杆切开
F1 F2

F5

m

F4

?
m

??
F3
F4

(2)留下左半段或右半段
(3)将弃去部分对留下部

F5
F1 F2

分的作用用内力代替
(4)对留下部分写平衡方

?

??
F3

程,求出内力的值。
目录

§1.4 内力、截面法和应力的概念
例如
F

a F M FS

a

FS=F

M ? Fa

目录

§1.4 内力、截面法和应力的概念
例 1.1 钻床 求:截面m-m上的内力。 解: 用截面m-m将钻床截为两部分,取上半 部分为研究对象, 受力如图:

列平衡方程:

M FN

?Y ? 0 FN ? P ? M (F ) ? 0
o
目录

Pa ? M ? 0 M ? Pa

§1.4 内力、截面法和应力的概念
为了表示内力在一点处的强度,引入内力集度, 即应力的概念。 F4 ? F ?A ?F pm ? —— 平均应力 C ?A ?F F3 p ? lim ?A? 0 ?A —— C点的应力 F4 p ? 应力是矢量,通常分解为

?

? — 正应力 ? — 切应力
1kPa=103N/m2 1MPa=106N/m2

C

F3

应力的国际单位为 Pa(帕斯卡) 1Pa= 1N/m2

1GPa=109N/m2
目录

§1.5 变形与应变
1.位移 2.变形 取一微正六面体
两种基本变形: 线变形 —— 线段长度的变化 L
MM'

M' M

刚性位移; 变形位移。

物体内任意两点的相对位置发生变化。

y

g
L'

?x+?s

角变形 M ——线段间夹角的变化 o

?x

M' N
目录

N'

x

§1.5 变形与应变
3.应变 正应变(线应变)

y

g
L' L

x方向的平均应变:

?x+?s

?s ? xm ? ?x
M点处沿x方向的应变:

o

M

?x

M' N

N'

x

切应变(角应变)

?s ? x ? lim ?x ? 0 ? x
类似地,可以定义 ? y , ? z

M点在xy平面内的切应变为: ? g ? lim ( ? ?L?M ?N ?) MN ?0 2 ML ?0

? , g 均为无量纲的量。
目录

§1.5 变形与应变
例 1.2
已知:薄板的两条边 固定,变形后a'b, a'd 仍为直线。

250

c
200

b
0.025

求:ab 边的?m 和 ab、ad 两边夹 角的变化。 解:

a d

0.025 a ' b ? ab ? 125?10?6 ?m ? ? 200 ab
即为切应变g 。

g

a'

ab, ad 两边夹角的变化:

0.025 g ? tan g ? ? 100?10?6 (rad) 250
目录

§1.6 杆件变形的基本形式
杆件的基本变形:拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲

拉压变形

剪切变形
目录

§1.6 杆件变形的基本形式

扭转变形

弯曲变形

目录

第二章

拉伸、压缩与剪切(1)

目录

第二章
§2.1 §2.2

拉伸、压缩与剪切

轴向拉伸与压缩的概念和实例 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

§2.3 §2.4 §2.5 §2.7 §2.8 §2.9 §2.10 §2.11 §2.12 §2.13

直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 材料拉伸时的力学性能 材料压缩时的力学性能 失效、安全因数和强度计算 轴向拉伸或压缩时的变形 轴向拉伸或压缩的应变能 拉伸、压缩超静定问题 温度应力和装配应力 应力集中的概念 剪切和挤压的实用计算

目录

§2.1

轴向拉伸与压缩的概念和实例

目录

§2.1

轴向拉伸与压缩的概念和实例

目录

§2.1

轴向拉伸与压缩的概念和实例

受力特点与变形特点:

作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合,杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
拉(压)杆的受力简图

拉伸
F F F

压缩
F

目录

§2.1

轴向拉伸与压缩的概念和实例

目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m F m F FN FN F
x

1、截面法求内力
F (1)假想沿m-m横截面将
杆切开 (2)留下左半段或右半段 (3)将弃去部分对留下部分 的作用用内力代替 (4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值

?F

?0

FN ? F ? 0 FN ? F

目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m F m F FN F

2、轴力:截面上的内力 由于外力的作用线 与杆件的轴线重合,内 力的作用线也与杆件的 轴线重合。所以称为轴 力。 3、轴力正负号: 拉为正、压为负 4、轴力图:轴力沿杆 件轴线的变化
目录

FN
F
x

?F

?0

FN ? F ? 0 FN ? F

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.1
A

1 B 1 F2

2 C 2

3 D

已知F1=10kN;F2=20kN; F3=35kN;F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。

F1 F1 F1
FN ?kN?

F3

3

F4

解:1、计算各段的轴力。 AB段

FN1 FN2

?F ?F
x

x

?0

FN1 ? F1 ? 10kN

BC段

? 0 FN 2 ? F2 ? F1
10 ? 20 ? ?10kN

F2

FN3
10
?? ? ?? ?

FN 2 ? F1 ? F2 ?

F4
25 CD段

?F

x

?0

?? ?

FN 3 ? F4 ? 25kN

10

x

2、绘制轴力图。
目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 杆件的强度不仅与轴力有关,还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。

在拉(压)杆的横截面上,与轴 力FN对应的应力是正应力? 。根据连 续性假设,横截面上到处都存在着内 力。于是得静力关系:

FN ? ? ? dA
A
目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 观察变形:

F

a? b?

a
b

c
d

c? d?

F

横向线ab、cd 仍为直线,且 仍垂直于杆轴 线,只是分别 平行移至 a’b’、 c’d’。

平面假设—变形前原为平面的横截面, 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
从平面假设可以判断: (1)所有纵向纤维伸长相等

(2)因材料均匀,故各纤维受力相等 (3)内力均匀分布,各点正应力相等,为常量

F

a? b?

a

c

c? d?

F

b

d

FN ? ? ? dA
A

? ? ? dA ? ? A
A

FN ?? A
目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
FN ? ? A

该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正,压应力为负。

圣 维 南 原 理

目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

目录

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2

A 1
45°

C

2

FN 1

y

图示结构,试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN;斜杆AB为直 径20mm的圆截面杆,水平杆CB为 15×15的方截面杆。 解:1、计算各杆件的轴力。 B (设斜杆为1杆,水平杆为2杆) 用截面法取节点B为研究对象 F

FN 2 45° B
F

x

? Fx ? 0 ?F
y

FN1 cos45? ? FN 2 ? 0 FN1 sin 45? ? F ? 0
FN 2 ? ?20kN
目录

?0

FN1 ? 28.3kN

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°

FN1 ? 28.3kN

FN 2 ? ?20kN

2、计算各杆件的应力。
B

C

2

FN 1

y

F

FN 1 28.3 ?103 ?1 ? ? ? A1 ? ? 202 ?10?6 4 90?106 Pa ? 90MPa
FN 2 ? 20 ? 103 ?2 ? ? 2 ? ?6 A2 15 ? 10 ? 89 ? 106 P a ? ?89MP a
目录

FN 2 45° B
F

x

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
B d

C 1.9m

?

例题2.2 悬臂吊车的斜杆AB为直径 d=20mm的钢杆,载荷W=15kN。当W 移到A点时,求斜杆AB横截面上的 A 应力。

0.8m

解: 当载荷W移到A点时,斜杆AB
受到拉力最大,设其值为Fmax。
讨论横梁平衡
W

Fmax

?M

c

?0

Fmax FRCx
C

Fmax sin ? ? AC ?W ? AC ? 0
Fmax W ? sin ?
目录

?

FmaxA
W

FRCy

§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
B d

由三角形ABC求出

C 1.9m

?

A

BC 0.8 sin ? ? ? ? 0.388 AB 0.82 ? 1.92 W 15 Fmax ? ? ? 38.7kN sin ? 0.388
斜杆AB的轴力为

0.8m

Fmax

FN ? Fmax ? 38.7kN
W

斜杆AB横截面上的应力为

Fmax FRCx
C

?

FmaxA
W

FRCy

FN 38.7 ?103 ?? ? ? A ? (20 ?10?3 ) 2 4 123 ?106 Pa ? 123MPa
目录

§2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 实验表明:拉(压)杆的破坏并不总是沿 横截面发生,有时却是沿斜截面发生的。
F F F
k

?
k k k k

F
p?

FN F ?? ? A A

? ? 0 , ? max ? ? ? ? ? p sin ? ? ? cos ? sin ? ? ? sin 2? ? ? ? ? 45 , ? max ? 2
2
目录

A A? ? F? ? F F? cos ? F? F F p? ? ? ? cos ? ? ? cos ? ?? A? A? A p? 2 k ??

?

?? ? p? cos ? ? ? cos ?

§2.4 材料拉伸时的力学性能
力学性能:在外力作用下材料在变形和破坏方 面所表现出的力学特性。 一 试 件 和 实 验 条 件

常 温 、 静 载
目录

§2.4 材料拉伸时的力学性能

目录

§2.4 材料拉伸时的力学性能

二 低 碳 钢 的 拉 伸

目录

§2.4 材料拉伸时的力学性能
?

e
b

?b

f

2、屈服阶段bc(失去抵 抗变形的能力)
? s — 屈服极限

?e ? P

a c

?s

o

?

3、强化阶段ce(恢复抵抗 变形的能力) ? b — 强度极限
? 4、局部径缩阶段ef

明显的四个阶段
1、弹性阶段ob ? ? E? 胡克定律 ? P — 比例极限 E—弹性模量(GN/m2) ? ? e — 弹性极限 E ? ? tan ? ?
目录

§2.4 材料拉伸时的力学性能

0

两个塑性指标:
断后伸长率 ? ?
l1 ? l0 A ? A1 ?100% 断面收缩率 ? ? 0 ?100% l0 A0 ? ? 5% 为塑性材料 ? ? 5% 为脆性材料

低碳钢的 ? ? 20 — 30% ? ? 60% 为塑性材料
目录

§2.4 材料拉伸时的力学性能
三 卸载定律及冷作硬化
?
d

e

b
?e ? P

?b

f

材料在卸载过程中应 力和应变是线性关系,这 就是卸载定律。 材料的比例极限增高, 延伸率降低,称之为冷作硬 化或加工硬化。

a c
d?

?s

o

?

g

f?

h

?

1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
目录

§2.4 材料拉伸时的力学性能
四 其 它 材 料 拉 伸 时 的 力 学 性 质 对于没有明 显屈服阶段的塑 性材料,用名义 屈服极限σp0.2来 表示。

?
? p0.2

o

0 .2 %

?
目录

§2.4 材料拉伸时的力学性能
对于脆性材料(铸铁),拉伸时的应力 应变曲线为微弯的曲线,没有屈服和径缩现 象,试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。 为典型的脆性材料。

?
? bt
o

?

σbt—拉伸强度极限(约为140MPa)。它是 衡量脆性材料(铸铁)拉伸的唯一强度指标。
目录

第二章

拉伸、压缩与剪切(2)

目录

§2.5 材料压缩时的力学性能
一 试 件 和 实 验 条 件

常 温 、 静 载

目录

§2.5 材料压缩时的力学性能
二 塑 性 材 料 ( 低 碳 钢 ) 的 压 缩

? p — 比例极限 ? e — ? S — 屈服极限 E ---

弹性极限

弹性摸量

拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
目录

§2.5 材料压缩时的力学性能
?

三 脆 性 材 料 ( 铸 铁 ) 的 压 缩

? bt
o

?

脆性材料的抗拉与抗压 性质不完全相同 压缩时的强度极限远大 于拉伸时的强度极限
? bc ?? ? bt

? bc

目录

§2.5 材料压缩时的力学性能

目录

§2.7 失效、安全因数和强度计算
一 、安全因数和许用应力

FN 工作应力 ? ? A

极限应力

?

塑性材料? u ? ?( S ? p 0.2)
脆性材料 ? u ? ? ( bt ? bc)

??

?u
n

? ?? ?

n —安全因数

?? ?
?s
ns

—许用应力

?

塑性材料的许用应力 ?? ? ?
脆性材料的许用应力 ?? ? ?

? bt
nb

? ? p 0.2 ? ? ? ? n ? ? s ? ? ? bc ? ? ?n ? ? ? b ?
目录

§2.7 失效、安全因数和强度计算
二 、强度条件

? max

FN ? ? ?? ? A

根据强度条件,可以解决三类强度计算问题 1、强度校核: 2、设计截面:

FN ? max ? ? ?? ? A FN A?

3、确定许可载荷:

?? ? FN ? A?? ?

目录

§2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 D=350mm,油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa, 求螺栓的内径。 解: 油缸盖受到的力 F ?
p D
π 2 D p 4

每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为
FN ? F π 2 ? D p 6 24

FN ? ?? ? 根据强度条件 ? max ? A FN ?d 2 ?D 2 p ? 得 A? 即 ?? ? 4 24?? ?
D2 p 0.35 2 ? 10 6 ?3 d ? ? ? 22 . 6 ? 10 m ? 22.6mm 螺栓的直径为 6 6?? ? 6 ? 40 ? 10
目录

§2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.5

AC为50×50×5的等边角钢,AB为10 号槽钢,〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。
解:1、计算轴力(设斜杆为1杆,水平杆 为2杆)用截面法取节点A为研究对象 ? Fx ? 0 FN1 cos? ? FN 2 ? 0

?F

y

?0

FN1 sin ? ? F ? 0

FN 1
FN 2 α

y
A
F

FN1 ? F / sin ? ? 2F FN 2 ? ?FN1 cos? ? ? 3F

x

2、根据斜杆的强度,求许可载荷 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2
1 1 F1 ? ?? ?A1 ? ?120?106 ? 2 ? 4.8 ?10?4 2 2 ? 57.6 ?103 N ? 57.6kN
目录

FN1 ? 2F1 ? ?? ? A1

§2.7 失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度,求许可载荷 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2
FN 2 ? ?FN1 cos? ? ? 3F

FN 2 ? 3F2 ? ?? ? A2

FN 1
FN 2 α

y
A
F

1 1 ?? ?A2 ? F2 ? ?120?106 ? 2 ?12.74?10?4 1.732 3 ? 176.7 ?103 N ? 176.7kN

x

4、许可载荷

?min ? 57.6kN F ? ?Fi ?min ?57.6kN 176.7kN
目录

§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形
?l ?l ? l1 ? l ? ? l FN F ?? ? A A ?l ? ? E? ? E l

一 纵向变形

F
l

F
l1
二 横向变形
?b ? b1 ? b

b1 b

{

FN l Fl ?l ? ? EA EA

?? ?

1 ?l ? F , l ?l ? EA
EA为抗拉刚度

?? ?? ?

?b b

泊松比
? ? ? ? ??

横向应变

钢材的E约为200GPa,μ约为0.25—0.33
目录

§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形

目录

§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形
对于变截面杆件(如阶梯 杆),或轴力变化。则

FNi li ?l ? ? ?li ? ? Ei Ai

目录

§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形

例题2.6 AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。

FN 1
FN 2
300

y
A F

x

解:1、计算轴力。(设斜杆为1杆,水 平杆为2杆)取节点A为研究对象 ? Fx ? 0 FN1 cos? ? FN 2 ? 0 ? Fy ? 0 FN1 sin ? ? F ? 0 FN1 ? F / sin ? ? 2F ? 20kN FN 2 ? ?FN1 cos? ? ? 3F ? ?17.32kN
2、根据胡克定律计算杆的变形。

FN1l1 20?103 ? 2 ?3 ?l1 ? ? ? 1 ? 10 m ? 1mm 斜杆伸长 9 ?6 E1 A1 200?10 ? 200?10 FN 2l2 17.32?103 ?1.732 ?3 ? ? 0 . 6 ? 10 m ? 0.6mm 水平杆缩短 ?l2 ? 9 ?6 E2 A2 200?10 ? 250?10

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§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形
FN 1l1 ?l1 ? ? 1mm E1 A1 FN 2l2 ?l2 ? ? 0.6mm E2 A2

3、节点A的位移(以切代弧)
AA 1 ? ?l1 ? 1mm AA2 ? ?l2 ? 0.6mm

FN 1 0 30 FN 2 A
A?

y
A F

? x ? ?l2 ? 0.6mm

x
A1

A2

A

? y ? AA3 ? A3 A4 ?
A1

2

?l1 ?l2 ? sin 30? tan30? ? 2 ? 1.039 ? 3.039mm
AA?? ? ? x2 ? ? y2 ? 0.6 2 ? 3.0392 ? 3.1mm

A3
A?? A??

A4
目录

§2.9 轴向拉伸或压缩的应变能
应变能( V? ):固体在外力作用下,因变形而储 存的能量称为应变能。
F
dF

dW ? Fd (?l )

W ? ? Fd (?l )
0

?l1

l

F 1


F

? ? ? p 范围内,有
1 W ? F ?l 2 1 V? ? W ? F ?l 2
1 Fl F 2l ? F ? 2 EA 2 EA
目录

?l
F

O ?l d (?l )

?l

? l1

§2.10 拉伸、压缩超静定问题
静定结构:
约束反 力(轴力) 可由静力平 衡方程求得

目录

§2.10 拉伸、压缩超静定问题
超静定结构:结构的强度和刚度均得到提高 约束反力不能 由平衡方程求得 超静定度(次)数: 约束反力多于 独立平衡方程的数 独立平衡方程数: 平面任意力系:

3个平衡方程
平面共点力系: 2个平衡方程
目录

§2.10 拉伸、压缩超静定问题
超静定结构的求解方法: 1、列出独立的平衡方程

例题2.7

?F ? 0 ?F ? 0
x

FN1 ? FN 2 2FN1 cos? ? FN 3 ? F
?l1
?l3

y

2、变形几何关系
?l1 ? ?l2 ? ?l3 cos?

3、物理关系
?l1 ? FN 1l F l ?l3 ? N 3 E1 A1 cos ? E3 A3

图示结构,1 、2杆抗拉刚度为E1A1 ,3杆抗拉刚 度为E3A3 ,在外力F 作用下,求三杆轴力?

5、求解方程组,得
F F cos 2 ? ? , FN 3 ? E1 A1 3 E3 A3 3 1 ? 2 cos ? 2cos ? ? E3 A3 E1 A1
目录

4、补充方程
FN 1 ? FN 2 FN 1l FN 3l ? cos ? E1 A1 cos ? E3 A3

§2.10 拉伸、压缩超静定问题
在图示结构中,设横梁AB的 变形可以省略,1,2两杆的横截 面面积相等,材料相同。试求1, 2两杆的内力。 解: 1、列出独立的平衡方程
1

例题2.8
2

l

?

3F ? 2FN 2 cos ? ? FN1 ? 0
2、变形几何关系

A

B

a

?l1

a

?l2

a

? l2 ? 2?l1 cos ?
3、物理关系

4、补充方程
FN 2l FN 1l ? 2 EA cos 2 ? EA

F

5、求解方程组得

FN 2l FN 1l ?l1 ? , ?l2 ? EA cos ? EA

FN 1 ?

3F , FN 2 3 4 cos ? 1

6 F cos 2 ? ? 4 cos3 ? ? 1
目录

§2.11 温度应力和装配应力
一、温度应力 已知: EA, l , ?l , ?T
A B

?l ? 材料的线胀系数

FRA A

l

B

? T ? 温度变化(升高)

FRB ?lT

1、杆件的温度变形(伸长) ?lT ? ?l ?T ? l
2、杆端作用产生的缩短

4、求解未知力 FRB ? EA?l ?T 温度应力为 F ? T ? RB ? ? l E ?T A

FRB l ?l ? ? EA 3、变形条件 ?l ? ?lT ? ?l ? 0
FRB l 即 ? l ?T ? l ? EA

目录

§2.11 温度应力和装配应力
二、装配应力 已知:E1 A1 ? E2 A2 , E3 A3 ,

加工误差为 ? 求:各杆内力。 1、列平衡方程
2、变形协调条件

l

1

? ? 2

3

1

3
2

?

?l3 ?l1 ?l2

?

FN 3 ? 2FN1 cos ?

?l1 ?l3 ? ?? cos ?
3、将物理关系代入 FN 3l3 FN 1l1 ? ?? E3 A3 E1 A1 cos ?

l , 解得 因 l3 ? l , l1 ? l2 ? cos ?

FN 3

E3 A3? ? E3 A3 (1 ? )l ? 2 E1 A1 cos
FN 3 ? 2 cos ?

FN 1 ? FN 2

目录

§2.12 应力集中的概念
常见的油孔、沟槽 等均有构件尺寸突变, 突变处将产生应力集中 现象。即

? max K ? ?
理论应力 集中因数 1、形状尺寸的影响: 2、材料的影响: 应力集中对塑性材料的影 响不大;应力集中对脆性材料 的影响严重,应特别注意。
目录

尺寸变化越急剧、角 越尖、孔越小,应力集中 的程度越严重。

§2-13
剪床剪钢板

剪切和挤压的实用计算

一.剪切的实用计算

铆钉连接
F F

目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算
销轴连接

F

F

剪切受力特点:作用在构件两侧面上的外力合 力大小相等、方向相反且作用线很近。 变形特点:位于两力之间的截面发生相对错动。

目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算
F F F
n
F F
F 2

n

F

m m m FS m
F F



F }

F n F s
n

F

n

F F

m FS m

F 2


Fs
m n m n

} F

Fs n

Fs

Fs ? F

Fs ? F

F Fs ? 2
目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算
假设切应力在剪切面 (m-m 截面)上是均匀分 布的, 得实用切应力计算 公式:

Fs ? ? A

?? ? 许用切应力,常由实验方法确定 ? ? ? ?0.5 ? 0.7??? ? 塑性材料: ? 脆性材料: ?? ? ? ?0.8 ? 1.0??? ?

Fs ? ?? ? 切应力强度条件: ? ? A

目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算
二.挤压的实用计算
F F

Fbs 得实用挤压应力公式 ? bs ? Abs
Fbs Fbs

假设应力在挤压面上是 均匀分布的

*注意挤压面面积的计算
(1)接触面为平面

Abs—实际接触面面积
(2)接触面为圆柱面

挤压力 Fbs= F

Abs—直径投影面面积
目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算
d δ

Abs ? d?

(a)

(b)

d

(c)

?? bs ? 许用挤压应力,常由实验方法确定

Fbs ? ?? bs ? 挤压强度条件: ? bs ? Abs
塑性材料: ?? bs ? ? ?1.5 ? 2.5??? ? 脆性材料: ?? bs ? ? ?0.9 ? 1.5??? ?
目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算

Fs F ?? ? A lb

Fbs F ? bs ? ? Abs cb
目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算
Fs 4 F ?? ? 2 A ?d Fbs F ? bs ? ? Abs dh

为充分利用材 料,切应力和挤压 应力应满足
F 4F ? 2? 2 dh ?d d? 8h

? bs ? 2?

得:

?
目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算 例题3-1
?
d

?

b

a

图示接头,受轴向力F 作用。已知F=50kN,b=150mm, δ=10mm,d=17mm,a=80mm, [σ]=160MPa,[τ]=120MPa, [σbs]=320MPa,铆钉和板的 材料相同,试校核其强度。 解:1.板的拉伸强度 FN F ?? ? ? A (b ? 2d )?
50 ? 103 ? (0.15 ? 2 ? 0.017) ? 0.01 43.1? 106 ? 43.1MP a ? [? ]
目录

2.板的剪切强度 Fs F 50?103 ?? ? ? ? A 4a? 4 ? 0.08? 0.01 15.7 ?106 ? 15.7MPa ? [? ]

§2-13 剪切和挤压的实用计算
?
d

?

3.铆钉的剪切强度
Fs 4F 2F ?? ? ? 2 ? 2 A 2πd πd 2 ? 50 ?103 ? 2 π ? 0.017 110 ?106 ? 110MPa ? [? ]

b

a

4.板和铆钉的挤压强度 Fbs F 50? 103 ? bs ? ? ? ? Abs 2d? 2 ? 0.017? 0.01
147? 106 ? 147MP a ? [? bs ]

结论:强度足够。
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§2-13 剪切和挤压的实用计算
平键连接 图示齿轮用平键与轴连接, 已知轴的直径d=70mm,键的尺寸 为 b ? h ? l ? 20 ? 12 ? 100 mm, 传递的扭转力偶矩Me=2kN· m,键的 ? bs ]= 许用应力[τ]=60MPa,[ 100MPa。试校核键的强度。
b h nn } F n

例题3-2

FS

n

b

l
O Me
Fbs ? Abs? bs

d

O
Me

0.5h

(a)

(b)

nF n S

(c)
目录

§2-13 剪切和挤压的实用计算
解:(1)校核键的剪切强度

Fs ? A? ? bl? d d 由平衡方程 ? M o ? 0 得 Fs ? ? bl? ? ? M e
2M e 2 ? 2000 6 ?? ? ? 28.6 ? 10 Pa ? 28.6MPa ? [? ] ?9 bld 20 ?100 ? 70 ?10

2

2

(2)校核键的挤压强度

Fbs ? Abs? bs
由平衡方程得

Fs ? Fbs

h ? l? bs 2

2b? 2(20 ?10?3 )(28.6 ?106 ) 6 ? bs ? ? ? 95.3 ? 10 Pa ? 95.3MPa ? [? bs ] ?3 h 12 ?10
平键满足强度要求。
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h 或 bl? ? l? bs 2

小结
1.轴力的计算和轴力图的绘制
2.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能 及相关指标 3.横截面上的应力计算,拉压强度条件及计算 4.拉(压)杆的变形计算,桁架节点位移

5.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法 6.剪切变形的特点,剪切实用计算,挤压实用计算

目录

第三章

扭 转

第三章 扭 转
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形

§3.7 非圆截面杆扭转的概念

§3.1 扭转的概念和实例

汽车传动轴

§3.1 扭转的概念和实例

汽车方向盘

§3.1 扭转的概念和实例 扭转受力特点 及变形特点:

杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件,其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩

直接计算

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速-n 转/分钟 输出功率-P 千瓦 求:力偶矩Me

电机每秒输入功: 外力偶作功完成:

W ? P ?1000(N ? m) n W ? M e ? 2? ? 60

P

P

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力

T = Me

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定

右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图

扭矩图

?? ? ?? ?

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率 PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.

解:

(1)计算外力偶矩 由公式

M e ? 9549P / n

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图

(2)计算扭矩

(3) 扭矩图

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB

MC

MD

MA

B

C

D

A

T3 ? M A ? ?1432N ? m

T3

MA

Tmax ? 1432N ? m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同,轴所承 受的最大扭矩也 不同。

A

318N.m 795N.m 1432N.m

§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图

§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆 周线划分;两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩。

观察到:
圆周线大小形状不变,各圆周线间距 离不变;纵向平行线仍然保持为直线且 相互平行,只是倾斜了一个角度。

结果说明横截面上没有正应力

§3.3 纯剪切
采用截面法将圆筒截开,横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄,可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。

二、切应力互等定理

由平衡方程

Me ? 2? r? ?? ? r

,得 ?0 ?M
z

Me ?? 2? r 2 ?

? ??'

§3.3 纯剪切
切应力互等定理:

纯剪切

在相互垂直 的两个平面上, 切应力必然成对 存在,且数值相 等;两者都垂直 于两个平面的交 线,方向则共同 指向或共同背离 这一交线。

各个截面上只有切应 力没有正应力的情况称为 纯剪切

§3.3 纯剪切
三、切应变 剪切胡克定律
g

在切应力的作用下, τ 单元体的直角将发生微小 的改变,这个改变量g 称 G — 剪切弹性模量(GN/m2) 为切应变。 各向同性材料, 当切应力不超过材料 三个弹性常数之间的 的剪切比例极限时,切应 关系: 变g与切应力τ成正比, E 这个关系称为剪切胡克定 G? 律。

? ? Gg

2(1 ? ? )

§3.4 圆轴扭转时的应力
1.变形几何关系
观察变形: 圆周线长度形状不变,各圆周线间 距离不变,只是绕轴线转了一个微小角 度;纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行,只是倾斜了一个微小角度。

Me

p q

Me

x p q

Me

p q

Me

?
圆轴扭转的平面假设:
p q

x

圆轴扭转变形前原为平面的横截面,变形后仍 保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线; 且相邻两截面间的距离不变。

§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
p q

Me

? _扭转角(rad)

?
p p
d
g

x

d? _ dx微段两截面的
相对扭转角 边缘上a点的错动距离:

q q

aa ? Rd? ? g dx
'

a

d?
O

边缘上a点的切应变:

c p

a' b
b′

R
q

d? g ?R dx
g 发生在垂直于半径的平面内。

dx

§3.4 圆轴扭转时的应力
p
d
g

d?

q

R

?

g?? ?
?d ?

a e

d?

c p

O a ' e′ b

b′

R
q

dx
距圆心为?的圆周上e点的错动距离: 距圆心为?处的切应变:

dx

d? dx

—扭转角

沿 x轴的变化率。 ?

d? g? ? ? dx

cc ? ? d? ? g ? dx
'

g ? 也发生在垂直于
半径的平面内。

§3.4 圆轴扭转时的应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律

距圆心为? 处的切应力:

?? ? ?
横截面上任意点的切应力

? ? 垂直于半径
与该点到圆心的距离 ?

d? ? ? ? Gg ? ? G ? dx
成正比。

? ? Gg

?

?

??

??

§3.4 圆轴扭转时的应力
3.静力关系
T ? ? ?? ? dA
A

T ? ? ?? ? dA ?
A

d? G dx

?

A

? 2 dA

Ip ?

?

A

I ? dA p
2

横截面对形心的极惯性矩

d? T ? GI p dx

d? ? ? ? G? dx

T ?? ? ? Ip

§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于: 1)圆杆 2)

? max ? ? p

横截面上某点的切应力的方向与扭 矩方向相同,并垂直于半径。切应力的 大小与其和圆心的距离成正比。

? max


T ? Wt

Wt ?

Ip R

抗扭截面系数

在圆截面边缘上, 有最大切应力

§3.4 圆轴扭转时的应力 T? I p与 Wt 的计算 ?? ? Ip 实心轴

? max

T ? Wt

Wt ? I p / R
1 ? ? D3 16

§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴

则 令

Wt ? I p /( D / 2)

§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比

Wt ? I p / R ?

1 ? D3 16

Wt ? I p /( D / 2)

§3.4 圆轴扭转时的应力 扭转强度条件:
1.

? max

Tmax ? ? ?? ? Wt
2.

等截面圆轴:

阶梯形圆轴:

? max

Tmax ? Wt

? max

Tmax ?( )max Wt

§3.4 圆轴扭转时的应力 强度条件的应用
(1)校核强度

? max

? max

Tmax ? ? ?? ? Wt Tmax ? ? ?? ? Wt
Tmax

(2)设计截面

Wt ?

?? ?

(3)确定载荷

Tmax ? Wt ?? ?

§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴,外径 D=89mm、壁厚?=2.5mm,材料为20号钢,使用 时的最大扭矩T=1930N· m,[?]=70MPa.校核此轴 的强度。

解:(1)计算抗扭截面模量

d ? 0.945 D Wt ? 0.2 D3 (1 ? ? 4 ) ? 0.2 ? 8.93 (1 ? 0.9454 ) ? 29 cm3

??

(2) 强度校核

? max

T 1930 6 ? ? ? 66.7 ?10 Pa ?6 Wt 29 ?10 ? 66.7MPa ? [? ] ? 70MPa
满足强度要求

§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴,要求 它与原来的空心轴强度相同,试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。

解:当实心轴和空心轴的最大应力同 为[?]时,两轴的许可扭矩分别为

T1 ? Wt [? ] ?
T2 ?

?
?
16

D13 [? ]

?
16
3

D (1 ? ? )[? ] ?
3 4

16

(90)3 (1 ? 0.9444 )[? ]

若两轴强度相等,则T1=T2 ,于是有

D ? (90) (1 ? 0.944 )
3 1 4

D1 ? 53.1mm ? 0.0531m

§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴和空心轴横截面面积为

A1 ?

? D12
4

?

? (0.0531)2
4

? 22.2 ?10?4 m2

A2 ?

?
4

(D ? d ) ?
2 2

?
4

[(90 ?10?3 ) 2 ? (85 ?10?3 ) 2 ] ? 6.87 ?10?4 m2

在两轴长度相等,材料相同的情况下,两轴重量之比等于横截面面 积之比。

A2 6.87 ?10?4 ? ? 0.31 ?4 A1 22.2 ?10
可见在载荷相同的条件下,空心轴的重量仅为实心轴的31% 。

§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4 已知:P=7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度相同。

求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2;确 定二轴的重量之比。 解: 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩

P 7.5 M x ? T ? 9549 ? ? 9549 ? ? 716.2N ? m n 100 T 16T 实心轴 ? max1 ? ? 3 ? 40MPa WP1 πd1

16 ? 716.2 d1 ? ? 0.045m=45mm 6 π ? 40 ?10
3

§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴

? max2

T 16T ? ? ? 40MPa 3 4 WP 2 πD2 1 ? ?

?

?

16 ? 716.2 D2 ? 3 ? 0.046m=46mm 4 6 π 1-? ? 40 ?10

?

?

d2=0.5D2=23 mm

确定实心轴与空心轴的重量之比 实心轴 空心轴

d1=45 mm
2 1

D2=46 mm
?3 2

d2=23 mm

长度相同的情形下,二轴的重量之比即为横截面面积之比:

A1 d 1 ? 45 ? 10 ? ? 2 ?? = 1.28 ? ? 2 ?3 2 A2 D2 ?1 ? ? ? ? 46 ? 10 ? 1 ? 0.5

§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.5 已知:输入功率P1=14kW,P2= P3=P1/2, n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.[?]=30MPa。.
3

求:各轴横截面上的最大切应力; 并校核各轴强度。 2、计算各轴的扭矩 解:1、计算各轴的功率与转速

T1=M1=1114 N m T2=M2=557 N m

P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min

T3=M3=185.7 N m z1 ? 36 ? n3=n1 ? =?120? ?r/min=360r/min z3 ? 12 ?

§3.4 圆轴扭转时的应力
3

3、计算各轴的横截面上的 最大切应力;校核各轴 强度

T1 ? 16 ?1114 ? ? max ? E ? ? ?? Pa ? 16.54MPa 3 -9 ? Wt1 ? π ? 70 ?10 ? T2 ? 16 ? 557 ? ? max ? H ? ? ?? Pa ? 22.69MPa 3 -9 ? Wt 2 ? π ? 50 ?10 ? T3 ? 16 ?185.7 ? ? max ? C ? ? ?? Pa ? 21.98MPa 3 -9 ? Wt 3 ? π ? 35 ?10 ?
满足强度要求。

§3.5

圆轴扭转时的变形

相对扭转角
n

抗扭刚度

Ti li ? ?? i ?1 GI Pi

§3.5

圆轴扭转时的变形

单位长度扭转角

d? T ? ? ? dx GI p T 180 ' ? ? ? GI p ?
'

rad/m

?/m

扭转刚度条件

? max ? [? ]
' '

[? ]许用单位扭转角
'

§3.5

圆轴扭转时的变形
?已知T 、D 和[τ],校核强度 ?已知T 和[τ],设计截面 ?已知D 和[τ],确定许可载荷

扭转强度条件 T ? max ? ? [? ] Wt 1 3 Wt ? ?D 16
扭转刚度条件 T ' ? max ? ? [? ' ] GI p

?已知T 、D 和[φ/],校核刚度 ?已知T 和[φ/],设计截面 ?已知D 和[φ/],确定许可载荷

Ip

1 4 ? ?D 32

§3.5
例题3.6

圆轴扭转时的变形

某传动轴所承受的扭矩T=200Nm,轴的直径d=40mm,材料的[τ]=40MPa, 剪切弹性模量G=80GPa,许可单位长度转角[φ/]=1 ?/m。试校核轴的强度和刚 度。

? max

T ? Wt

§3.5
例题3.7

圆轴扭转时的变形

传动轴的转速为n=500r/min,主动轮A 输入功率P1=400kW,从动轮C,B 分别输出功率P2=160kW,P3=240kW。已知[τ]=70MPa,[φˊ]=1°/m, G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2; (2)若AC 和BC 两段选同一直径,试确定直径d; (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?

d1
A
M e1

C
M e2

d2
B M e3

解:1.外力偶矩

P 400 1 T1 ? M e1 ? 9549 ? 9549 ? ? 7640 N ? m n 500 240 T2 ? M e3 ? T1 ? 4580N ? m 400

§3.5
2.扭矩图

圆轴扭转时的变形
d1
A
M e1
?? ?
7640 N ? m 4580 N ? m

C
M e2

d2
B M e3

3.直径d1的选取

按强度条件

? max
3

16T ? ? ?? ? 3 ?d1
3

16T 16? 7640 ?3 d1 ? ? ? 82 . 2 ? 10 m ? 82.2mm 6 π[? ] π ? 70?10 32T 180? ? ? ? max ? ? ?? ?? 按刚度条件 4 G?d1 ?

32T ? 180 32 ? 7640? 180 ?3 d1 ? ? ? 86 . 4 ? 10 m ? 86.4mm 2 9 2 Gπ ? [? ?] 80 ? 10 ? π ? 1
4

4

d1 ? 86.4mm

§3.5
按强度条件

圆轴扭转时的变形
d1
A
3

4.直径d2的选取
3

C
M e2
?? ?

d2
B M e3

d2 ?

16T 16? 4580 ? π[? ] π ? 70?106

M e1

? 69.3 ?10?3 m ? 69.3mm
按刚度条件
4

7640 N ? m

4580 N ? m

d2 ?

4

32T ? 180 32 ? 4580? 180 ?3 ? ? 76 ? 10 m ? 76mm 2 9 2 Gπ ? [? ?] 80 ? 10 ? π ? 1

d 2 ? 76mm

5.选同一直径时

d ? d1 ? 86.4mm

§3.5

圆轴扭转时的变形
d1
A

C
M e2
?? ?

d2
B M e3

6.将主动轮安装在 两从动轮之间

M e1
7640 N ? m

4580 N ? m

d1
C
M e2

A
M e1

d2
B M e3

受力合理

?? ?

3060 N ? m

?? ?
4580 N ? m

§3.7 非圆截面杆扭转的概念
平面假设不成立。变形后横截面成为一个 凹凸不平的曲面,这种现象称为翘曲。

自由扭转 (截面翘曲不受约束)

约束扭转 (各截面翘曲不同)

§3.7 非圆截面杆扭转的概念

杆件扭转时,横截面上边缘各点的切应力 都与截面边界相切。

§3.7 非圆截面杆扭转的概念
开口/闭口薄壁杆件扭转比较

小结
1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算,扭矩图绘制 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T? ?? IP

? max

T ? ? ?? ? Wt

4、圆轴扭转时的变形及刚度计算 T 180 Tl ?? ? ? ? ?? ?? ?? GI P ? GI P

第四章

弯曲内力

目录

第四章
§4-1 ? §4-2 ? §4-3 ? §4-4
?

弯曲内力

§4-5 ? §4-6
?

弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
目录

§4-1
起重机大梁

弯曲的概念和实例

目录

§4-1
车削工件

弯曲的概念和实例

目录

§4-1
火车轮轴

弯曲的概念和实例

目录

§4-1
弯曲特点

弯曲的概念和实例

以弯曲变形为主的杆件通常称为梁

目录

§4-1
平面弯曲

弯曲的概念和实例

对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该

平面曲线仍与外力共面。
目录

§4-1

弯曲的概念和实例

常见弯曲构件截面

目录

§4-2
梁的载荷与支座

受弯杆件的简化
?集中载荷 ?分布载荷 ?集中力偶

固定铰支座

活动铰支座

固定端
目录

§4-2

受弯杆件的简化

目录

§4-2
火车轮轴简化

受弯杆件的简化

目录

§4-2

受弯杆件的简化

目录

§4-2
吊车大梁简化

受弯杆件的简化

均匀分布载荷 简称均布载荷
目录

§4-2
非均匀分布载荷

受弯杆件的简化

目录

§4-2

受弯杆件的简化

静定梁的基本形式
FAx FAy FAx FBy

简支梁

外伸梁
FAy
FBy

FAx MA FAy
目录

悬臂梁

§4-3

剪力和弯矩

M

?F
FN

x

?0

? FN ? 0

FAy FN M

FS

?F ? 0 ?M ? 0
y c

? FS ? FAy ? F1
? M ? FAy x ? F1 ( x ? a)

FS剪力,平行于
横截面的内力合力

M 弯矩,垂直于
FBy 横截面的内力系的 合力偶矩
目录

FS

§4-3 剪力和弯矩
M FS FN FN M FS

FAy

FBy

截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时,剪力为正;反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正; 反之为负。

+

_

左上右下为正;反之为负

+
目录

_

左顺右逆为正;反之为负

§4-3 剪力和弯矩
例题4-1 解: 1. 确定支反力 ? Fy ? 0 FAy ? FBy ? 2F FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy

FBy ? 3a ? Fa ? 2F ? a F 5F FBy ? FAy ? 3 3 F 5F ? Fy ? 0 2 F ? FSE ? 3 FSE ? ? 3 a 5 F 3a M ? 0 2 F ? ? M ? ? ? O E 2 3 2 3 Fa ME ? 2
FBy
目录

?M

A

?0

§4-3 剪力和弯矩
FSE O FAy ME 分析右段得到:
FBy ? F 5F FAy ? 3 3

FBy
O
F FSE ? ? FBy ? ? 3 3a ? M o ? 0 M E ? FBy ? 2 ? Fa 3 Fa ME ? 2
目录

ME FSE

?F

y

?0

FSE ? FBy ? 0

FBy

§4-3 剪力和弯矩

F FBy ? 3

5F FAy ? 3

FAy FSE FAy 2F FSE

FBy 截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
5F F FSE ? ? 2F ? ? 3 3
目录

§4-3 剪力和弯矩
F FBy ? 3 5F FAy ? 3

FAy

FBy

ME
FAy 2F ME

截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
a 5 F 3a 3 ? 2F ? ME ? ? ? Fa 2 2 3 2
目录

§4-4

剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2

x q x
FS l

M ?x ?

悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程,并 画出剪力图和弯矩图。 解:任选一截面 x ,写出 剪力和弯矩方程
ql
FS ?x?=qx M ?x?=qx2 / 2
2

FS ?x ?

?? ?
x

?0 ? x ? l ? ?0 ? x ? l ?

M

ql2 / 8

?? ?

依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x

FS max=ql
目录

M max=ql2 / 2

§4-4
a

剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F

b

A
FAY

x1

C x2
l

B
FBY

例题4-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力

? M =0, ? M =0
A B

FS

Fb / l

FAy=Fb/l

FBy=Fa/l

?? ? Fa / l
Fab / l

?? ?
?? ?

M

2.写出剪力和弯矩方程 =Fb / l ?0 ? x1 ? a? x AC FS ?x1 ? M ?x1 ?=Fbx1 / l ?0 ? x1 ? a? FS ?x2 ?=? Fa / l ?a ? x2 ? l ? CB M ?x2 ?=Fa?l ? x2 ? / l ?a ? x2 ? l ?
x

3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
目录

§4-4
a

剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
M

b

A
FAY

x1
M /l

C
l

x2

B
FBY

例题4-4 图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力

? M =0, ? M =0
A B

?? ?
Ma / l

FAy=M / l FBy= -M / l

AC

2.写出剪力和弯矩方程 FS ?x1 ? =M / l ?0 ? x1 ? a ?

?? ? ?? ?
Mb / l
CB

M ?x1 ? =Mx1 / l ?0 ? x1 ? a? FS ?x2 ? =M / l ?0 ? x2 ? b? M ?x2 ? =? Mx2 / l ?0 ? x2 ? b?
目录

3. 依方程画出剪力图和弯矩图。

§4-4
y

剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q

例题4-5 简支梁受均布载荷作用
B
x

A
FAY

x

C
l

试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力

FBY

FS ql / 2

? M =0, ? M =0
A B

?? ? ?? ?
M 3ql 2 / 32 x

FAy= FBy= ql/2

2.写出剪力和弯矩方程

ql / 8

2

ql / 2

?? ?

3ql2 / 32
x

M ?x?=qlx / 2 ? qx2 / 2
目录

FS ?x?=ql / 2 ? qx ?0 ? x ? l ?

?0 ? x ? l ?

3.依方程画出剪力图和弯矩图。

平面刚架的内力
B
ql 2 2

例题4-6

y

ql
B FN(y) M(y) F S (y )
ql 2 2

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。 试:画出刚架的内力图。 解:1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 竖杆AB:A点向上为y

?F

FS ? y ? ? ql ? qy

x

?0

FS ? y ? ? qy ? ql ? 0

?0 ? y ? l ?

?F

q
ql 2
2

y

FN ? y ? ? ql / 2

y

? 0 FN ? y ? ? ql / 2 ? 0

?0 ? y ? l ?

ql

? M ?y? ? 0

M ? y ? ? qy ? y / 2 ? qly ? 0

M ? y ? ? qly ? qy2 / 2

?0 ? y ? l ?
目录

平面刚架的内力
B

横杆CB:C点向左为x
x
y

ql 2 2

?F
?F

ql
ql 2 2

FN ?x ? ? 0
y

x

?0

?0 ? x ? l ?
FS ? x ? ? ql / 2 ? 0

?0

M( x ) B FN(x) F S (x )

FS ? x ? ? ? ql / 2

?0 ? x ? l ?

x

ql 2 2

? M ?x ? ? 0

M ? x ? ? qlx / 2 ? 0

M ? x ? ? qlx / 2

?0 ? x ? l ?
目录

平面刚架的内力
B
ql 2 2

根据各段的内力方程画内力图 竖杆AB:
FN ? y ? ? ql / 2
FS ? y ? ? ql ? qy M ? y ? ? qly ? qy2 / 2
ql 2 ql 2

横杆CB:
FN ?x ? ? 0
FS ?x ? ? ?ql / 2

y

ql
ql 2
ql 2
2

M ?x ? ? qlx / 2
ql 2 2

- +

FN


ql

FS

M

ql 2

目录

§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

d 2 M ( x) dFs ( x) ? ? q ( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系: 2 dx dx
目录

§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

d 2 M ( x) dFs ( x) ? ? q ( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系: 2 dx dx

1. q=0,Fs=常数, 剪力图为水平直线; M(x) 为 x 的一次函数,弯矩图为斜直线。 2.q=常数,Fs(x) 为 x 的一次函数,剪力图为斜直线; M(x) 为 x 的二次函数,弯矩图为抛物线。 分布载荷向上(q > 0),抛物线呈凹形; 分布载荷向上(q < 0),抛物线呈凸形。 3. 剪力Fs=0处,弯矩取极值。 4. 集中力作用处,剪力图突变;
集中力偶作用处,弯矩图突变
目录

§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

从左到右,向上(下)集中力作用处,剪力图向上(下) 突变,突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右,顺(逆)时针集中力偶作用处,弯矩图向上 (下)突变,突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没 有变化。 5、也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。 dFS dM ?q ? FS dM ? FSdx d F ? q d x S dx dx

? dF ? ?
a S

b

b

a

qdx
b a

? dM ? ?
a

b

b

a

FSdx
b a

FS ?b ? ? FS ?a ? ? A?q ?

M ?b ? ? M ?a ? ? A?FS ?
目录

§4-5

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法:
? 根据载荷及约束力的作用位置,确定控 制面。

? 应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。 ? 建立 F S 一 x 和 M 一 x 坐标系,并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
? 应用平衡微分方程确定各段控制面之间 的剪力图和弯矩图的形状,进而画出剪力图 与弯矩图。
目录

§4-5
A
FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C

D

E

F
2kN

B
FBY

例题4-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。

1.5m

1.5m

解:1.确定约束力 根据力矩平衡方程

? M =0, ? M =0
A B

求得A、B 二处的约束力 FAy=0.89 kN , FBy=1.11 kN 2.确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录

§4-5
A
0.89 kN= FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C

D

E

F
2kN

B

1.5m

1.5m

FS (kN)
O
0.89

1.11

3.建立坐标系 建立 F S - x 和 M - x F 坐标系 =1.11 kN
BY

(+) (-) x

M (kN.m)
O

4.应用截面法确定控 制面上的剪力和弯矩 值,并将其标在 F S - x 和 M - x 坐标 系中。 5.根据微分关系连图 线
目录

0.335 1.335

(-)

(-)
1.67

x

§4-5
A
FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C
1.5m

D
2kN
1.5m

B
FBY

解法2:1.确定约束力

FAy=0.89 kN FFy=1.11 kN
2 .确定控制面为 A 、 C 、D、B两侧截面。 3 .从 A 截面左测开始画 剪力图。

1.11

(+)
Fs( kN)
0.89

( -)

目录

§4-5
A
FAY
1.5m

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m

C
1.5m

D
2kN
1.5m

B
FBY

4 .从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右

1.11

(+)
Fs( kN) 0.89 M( kN.m)

( -)
0.330

(-)
1.330

( -)
1.665

从D右到B左
从B左到B右
目录

§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C B
D

例题4-7 试画出梁 的剪力图和弯矩图。
解:1.确定约束力

FAy

4a
FBy

a

qa

根据梁的整体平衡,由 求得A、B 二处的约束力 2.确定控制面

? M =0, ? M =0
A B

9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4

由于AB段上作用有连续分布载荷,故A、B两个截 面为控制面,约束力FBy右侧的截面,以及集中力qa 左侧的截面,也都是控制面。
目录

§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C
D

B

9 qa ? FAy 4 FS 9qa / 4
( +) O
9a / 4

4a FBy

a

3 = qa 4

qa

3.建立坐标系 建立 F S - x 和 M - x 坐标系
x

( -)
2

M

81qa / 32

7qa / 4

qa
qa2

4.确定控制面上的 剪力值,并将其标 在FS-x中。

( +) O

5.确定控制面上的 x 弯矩值,并将其标在 M-x中。
目录

§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
D

解法2:1.确定约束力
9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4

B

FAy

4a
FBy

a

qa

9qa/4 Fs (+)

( -) 7qa/4

2.确定控制面,即A 、B、D两侧截面。
qa

3 .从 A 截面左测开始画 剪力图。

目录

§4-5
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
D

B

4.求出剪力为零的点 到A的距离。 5.从A截面左测开始画弯 矩图

FAy

4a
FBy

a

qa

9qa/4 Fs (+)
9a / 4

AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为
( -) 7qa/4
qa

1/2×9qa/4×9a/4 =81qa2/32
B点的弯矩为

81qa2/32 M
( +)

qa2

-1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2
目录

§4-5
MA
A

载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
D
B

q
C

FAy a

a

a

例题4-8 试画出图示有中间 铰梁的剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力
从铰处将梁截开
qa

FBy

qa qa/2 Fs
( +) ( +) MA FAy

FDy

q

qa/2
( -) ( -)

M

qa2/2

( -)

FDy
FBy

FDy ? qa / 2 FAy ? qa / 2
目录

FBy ? 3qa / 2
M A ? qa2 / 2

qa2/2

§4-6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 某些构件(吊钩等)其轴线为平面曲线称为 平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时, 曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。

目录

§4-6 平面曲杆的弯曲内力
m m
R
?

F
FS ?? ? FN ?? ?
M ?? ? ?

F

例题4-10 画出该曲杆的内力图 解:写出曲杆的内力方程

FN ?? ? ? ?F sin ?
M ?? ? ? FR sin ?

FS ?? ? ? F cos?

?? ?
F

F FR

?? ?
FN FS
目录

M

小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念,理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程, 正确绘制剪力图和弯矩图
目录

第五章 弯曲应力

目录

第五章

弯曲应力

§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施

目录

§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力

FN ? ? A

T? ? ? IP
M

FS
目录

? ?? ? ??

§5-1 纯弯曲
纯弯曲

梁段CD上,只有弯矩,没有剪力--纯弯曲

梁段AC和BD上,既有弯矩,又有剪力--横力弯曲
目录

§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n
??

a
b

m? n?

a?
b? m? 平面假设:

m ?x n

a? b?
n?

横截面变形后保持为平面,且仍 然垂直于变形后的梁轴线,只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。

§5-2 纯弯曲时的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长

中间一层纤维长度不变- -中性层

中间层与横截面的交线- -中性轴

目录

§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标

m a o b m

n a o by

dx

n

二、物理关系

胡克定理

? ? E?

? ?E
目录

y

?

§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系

FN、My、Mz

M ? ? EI Z
目录

1

§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系

物理关系

? ? ? E?
M ? ? EI Z 1

??

y

? ?E
1

y

?

静力学关系

?
正应力公式

为曲率半径,

My ?? IZ

?

为梁弯曲变形后的曲率

目录

§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
M

My ? ? IZ
? 正应力大小与其到中性轴距离 成正比; ? 与中性轴距离相等的点, 正应 力相等; ? 中性轴上,正应力等于零

M

Mymax ? max ? IZ
? max
M ? WZ
目录

IZ WZ ? ymax

? min

M ?? WZ

§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z ? ? y 2 dA
A

IZ Wz ? y max

圆截面

矩形截面
4

空心圆截面

空心矩形截面

IZ ? Wz ?

?d

64

bh IZ ? 12
3

3

IZ ?

?D
3

4

64

(1 ? ? 4 )

b0 h0 bh3 IZ ? ? 12 12

3

?d

32

Wz ?

bh 6

2

3 3 b h bh ?D 0 0 ? ) /(h0 / 2) Wz ? (1 ? ? 4 ) Wz ? ( 12 12 32
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲

弹性力学精确分析表明, 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 (细长梁)时, 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式

My ?? IZ

公式适用范围

?细长梁的纯弯曲或横力弯曲 ?横截面惯性积 IYZ =0 ?弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力

? max

M max ymax M max ? ? IZ WZ
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件

σmax ?

M

max

y max

Iz

?

M

max

WZ

?? σ?

1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同,两方面都要考虑

? t ,max ? ?? t ?

? c,max ? ?? c ?
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B

例题5-1

120
30

1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 z

x l = 3m
FBY

K
y

1m
FAY

4.已知E=200GPa, C 截面的曲率半径ρ

FS

90kN

解:1. 求支反力
?? ?

FAy ? 90kN FBy ? 90kN

?? ?
ql2 / 8 ? 67.5kN? m

M C ? 90?1 ? 60?1? 0.5 ? 60kN? m
3 3 bh 0 . 12 ? 0 . 18 x IZ ? ? ? 5.832?10?5 m 4 12 12 90kN 180 60?103 ? ( ? 30) ?10?3 M ?y 2 ?K ? C K ? IZ 5.832?10?5

M

?? ?

x

(压应力) ? 61.7 ?106 P a ? 61.7MP a
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力

120

x l = 3m
FBY

K
y

30 z

C 截面弯矩

M C ? 60kN? m
C 截面惯性矩

1m
FAY

FS 90kN

I Z ? 5.832?10?5 m4

?? ? ?? ?
M x 90kN

? Cmax ?

M C ? ymax IZ 180 ? 10?3 2 5.832? 10?5

ql2 / 8 ? 67.5kN? m

?
x

60? 103 ?

?? ?

? 92.55? 106 P a ? 92.55MP a
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 120 3. 全梁最大正应力 30 z y

最大弯矩

x l = 3m
FBY

K

M max ? 67.5kN? m
截面惯性矩

1m
FAY

FS 90kN

I z ? 5.832?10?5 m4

?? ? ?? ?
M x 90kN

? max ?

M max ymax IZ 180 ? 10?3 2 5.832? 10?5

ql2 / 8 ? 67.5kN? m

?
x

67.5 ? 103 ?

?? ?

? 104.17 ? 106 P a ? 104.17MP a
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C

4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩

A

x l = 3m
FBY

K
y

1m
FAY

M C ? 60kN? m
C 截面惯性矩

FS 90kN

?? ? ?? ?
M x 90kN

I Z ? 5.832?10?5 m4 1 M ? ? EI
EIZ 200?109 ? 5.832?10?5 ?C ? ? MC 60?103 ? 194.4m

ql2 / 8 ? 67.5kN? m

?? ?
x

目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知

例题5-2

d1 ?160mm d2 ?130mm, a ? 0.267m,b ? 0.16m, F ? 62.5kN, 材料的许用应力 ?? ? ? 60MPa.

分析(1)

? max ?
? max ?

M
M

max

ymax

Iz
max

? ?? ?

(2)弯矩

最大的截面 M 最W
z

(3)抗弯截面系数

Wz

? ?? ?

小的截面

目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
解: (1)计算简图

(2)绘弯矩图
(3)B截面,C截面需校核 (4)强度校核 B截面:

Fb Fa
C截面:

Fa 62.5 ? 267? 32 ? max ? ? 3 ? WzB ?d1 ? ? 0.163 32 ? 41.5 ?106 Pa ? 41.5MPa MB

? max ?

MC WzC

?

Fb 62.5 ?160? 32 6 ? ? 46 . 4 ? 10 Pa ? 46.4MPa 3 3 ?d 2 ? ? 0.13 32
目录

(5)结论 轴满足强度要求

§5-3 横力弯曲时的正应力
某车间欲安装简易吊车,大梁选用工字钢。已知电葫芦自重

例题5-3

?? ? ?140MPa, 试选择工字钢的型号。

F1 ? 6.7kN,起重量 F2 ? 50kN, 跨度 l ? 9.5m, 材料的许用应力
分析 (1)确定危险截面 (2)

M max ? max ? ? ?? ? Wz

(3)计算 (4)计算 字钢型号

M max

,选择工 Wz

目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
解: (1)计算简图 (2)绘弯矩图 (3)根据

? max ?

M max ? ?? ? 计算 Wz

Wz ?

M max

?? ?

(6.7 ? 50) ?103 ? 9.5 4 ? 140?106

? 962?10?6 m3 ? 962cm3
(4)选择工字钢型号 36c工字钢 (5)讨论

Wz ? 962cm3

q ? 67.6kg/m
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
T型截面铸铁梁,截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。

例题5-4

?? t ? ? 30MPa, ?? c ? ? 60MPa,

分析:

非对称截面,要寻找中性轴位置 作弯矩图,寻找需要校核的截面 要同时满足

? t ,max ? ?? t ? , ? c ,max ? ?? c ?

目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z

解:
(1)求截面形心

80 ? 20 ?10 ? 120 ? 20 ? 80 yc ? ? 52 mm 80 ? 20 ? 120 ? 20
(2)求截面对中性轴z的惯性矩

y

80? 203 Iz ? ? 80? 20? 422 12 20?1203 ? ? 20?120? 282 12 ? 7.64?10?6 m 4
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
(3)作弯矩图

(4)B截面校核
2 .5kN.m

4 kN.m

4 ?103 ? 52?10?3 ? t ,max ? 7.64?10?6 ? 27.2 ?106 Pa ? 27.2MPa ? ?? t ?

4 ?103 ? 88?10?3 ? c,max ? 7.64?10?6 ? 46 .1?106 Pa ? 46 .1MPa ? ?? c ?
目录

§5-3 横力弯曲时的正应力
(3)作弯矩图

(4)B截面校核
2 .5kN.m

? t ,max ? 27.2MPa ? ?? t ?

? c,max ? 46.1MPa ? ?? c ?
4 kN.m

(5)C截面要不要校核?

2.5 ?103 ? 88?10?3 ? t ,max ? 7.64?10?6 ? 28.8 ?106 Pa ? 28.8MPa ? ?? t ?
梁满足强度要求
目录

§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁 b y A n x n1 dx P m m1

q(x)
m h

m

m1 O

Fs z q1

B x
p n dx p1 n1 y

y x

关于切应力的分布作两点假设: 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2、切应力沿截面宽度均匀分布

(? // Fs )

目录

§5-4 弯曲切应力
讨论部分梁的平衡

m

m1

m m1 FN1 z y q1 τ y1

M
τ’ p n p
1

M+dM y

p
p1 n

τ’

q

σ dA
dx n1 y FN2

dx

n1

M M pn : N1 ? ? A1 ?dA ?? A1 y1dA ? Iz Iz

? A y1dA
1

M ? dM p1n1 : N 2 ? Iz

? A y1dA
1

pp1 : dQ' ? ? 'bdx
目录

§5-4 弯曲切应力
M ? dM M ? X ? 0, I ? A1 y1dA ? I z z
m m1 FN1 τ’ p p1 n τ dx n1 σ dA y FN2

' y d A ? ? bdx ? 0 ? A1 1

q q1

z
y y1

dM 1 ? ? ( )? dx I z b
'

A1 y1dA

dM ? Fs , dx

?A

1

y1dA ? S z ,
* z

*

? ??,
'

Fs S ?? I zb

§5-4 弯曲切应力

3 FS ? 2 A
目录

§5-4 弯曲切应力
切应变

Fs h2 2 g? ? ( ?y ) G 2I z G 4
P P

?

横力弯曲截面发生翘曲 若各截面 Fs 相等,则翘曲程度相同,纵向纤维长度不变,对 无影响。

?

计算

若各截面Fs不等(如有q作用),则翘曲程度不同,各纵向纤维长度发 生变化,对 计算有影响。但这种影响对 梁常可忽略。

h

l

?

§5-4 弯曲切应力
二、圆形截面梁

Fs

? max

4 Fs ? 3? R 2

§5-4 弯曲切应力
三、工字型截面梁 B b0

F
s

h h 0

z y

y

Fs ?? b0 h0
目录

§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较

对于直径为 d 的圆截面

?max ?max
=6(l/d)

(l 为梁的跨度)
目录

§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较 对于宽为b、高为h 的矩形截面

?max ?max
=4(l/h)
(l 为梁的跨度)
目录

§5-4 弯曲切应力
有些情况必须考虑弯曲切应力
? 梁的跨度较短(l / h < 5); ? 在支座附近作用较大载荷(载荷靠近支座); ? 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁(腹板、焊缝、 胶合面或铆钉等)

a A C

P

q

P B

E l

D

§5-4 弯曲切应力
F
50 z50 50 100

例题5-5

悬臂梁由三块木板粘接而成。跨 度为1m。胶合面的许可切应力为 0.34MPa,木材的〔σ〕= 10 MPa, [τ]=1MPa,求许可载荷。

l

FS
M

?? ? ?? ?
F1

F

解:1.画梁的剪力图和弯矩图 2.按正应力强度条件计算许可载荷

? max ?
6l

Fl

? ? ?bh2 107 ? 100? 1502 ? 10?9 ? ? ? 3750 N ? 3.75kN
6
3.按切应力强度条件计算许可载荷

M max 6F1l ? ? ?? ? 2 Wz bh

? max ? 3FS / 2 A ? 3F2 / 2bh ? ?? ? F2 ? 2?? ?bh/ 3 ? 2 ? 106 ? 100? 150? 10?6 / 3 ? 10000 N ? 10kN
目录

§5-4 弯曲切应力
F
50 z50 50 100
4.按胶合面强度条件计算许可 载荷

l

FS
M

?? ?
?? ?

F

? h? F b ? 3 ? * FS S Z 4F3 3? ? ?g ? ? ? ? ?? ?g 3 bh IZb 3bh b 12
3 ? 100? 150? 10? 6 ? 0.34? 106 F3 ? ? 4 4 ? 3825N ? 3.825k N 3bh?? ?g

2

Fl
5.梁的许可载荷为

?F ? ? ?Fi ?min ?3.75kN

10kN 3.825kN?min ? 3.75kN
目录

§5-6 提高弯曲强度的措施

M max ? max ? ? [? ] WZ
1. 降低 Mmax 合理安排支座 合理布置载荷

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施
合理布置支座
F

F

F

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施
合理布置支座

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施
合理布置载荷

F

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施

M max ? max ? ? [? ] WZ
2. 增大 WZ
合理设计截面 合理放置截面

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施
合理设计截面

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施
合理设计截面

bh 2 b(d 2 ? b 2 ) WZ ? ? 6 6 (b2 ? h2 ? d 2 )

dWZ 1 2 ? ( d ? 3b 2 ) ? 0 db 6
2 2 d 2 d b2 ? , h2 ? 3 3 h ? 2 b
目录

§5-6 提高弯曲强度的措施
合理放置截面

WZ 左

bh2 ? 6 hb2 ? 6

WZ 右

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施
3、等强度梁

目录

§5-6 提高弯曲强度的措施

目录

小结
1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推 导方法 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、 弯曲正应力强度条件及其应用 3、了解提高梁强度的主要措施

目录

第 六 章 弯 曲 变 形

目录

第六章

弯曲变形

§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 提高弯曲刚度的一些措施

目录

目录

§6-1 工程中的弯曲变形问题

7-1

目录

§6-1 工程中的弯曲变形问题

目录

§6-1 工程中的弯曲变形问题

目录

§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念
y
? 转角
挠度
挠曲线

挠曲线方程: y ? y( x ) 挠度y:截面形心 在y方向的位移

y

x

x

y 向上为正

? 逆时针为正 转角θ:截面绕中性轴转过的角度。
由于小变形,截面形心在x方向的位移忽略不计 dy 挠度转角关系为: ? ? tan ? ? dx
7-2

目录

§6-2 挠曲线的微分方程
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时,得到:
1 M ? ρ EIz

?

忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ? ? ( x) EI z
目录

§6-2 挠曲线的微分方程
由数学知识可知:

d y 2 1 dx ?? ? dy 2 3 [1 ? ( ) ] dx
略去高阶小量,得

2

y M (x ) > 0 M (x ) > 0

dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0

2

x

d2y ?? 2 ? dx 1

M (x ) < 0

d y M ( x) 所以 ? 2 ? dx EI z

2

dy dx 2 < 0 O

2

x

目录

§6-2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得,弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致,所以挠曲线的近似微分方 程为:

2 d y

M ( x) ? EI z dx2

由上式进行积分,就可以求出梁横截面的转角 和挠度。

目录

§6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为:
d 2 y M ( x) ? 2 dx EI z
d2y EI z ? M ( x) 2 dx

积分一次得转角方程为:
dy EI z ? EI z? ? ? M ( x )dx ? C dx

再积分一次得挠度方程为:
EI z y ?
7-3

?? M ( x )dxdx ? C x ? D
目录

§6-3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 位移边界条件
~
~

光滑连续条件
A
A A AA A A AA A
~

A

A
~ ~
~

~ ~ ~

~

A A A A
~

~

~

yA ? 0

yA ? 0

yA ? ?
?

y AL ? y AR

y AL ? y AR

?A ? 0

-弹簧变形

? AL ? ? AR

目录

~

~

A AA A A
~

~

~

~

A

A A A

A

~

§6-3 用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度,梁的EI已知。



1)由梁的整体平衡分析可得:

y

FAx ? 0, FAy ? F (?), M A ? Fl (
2)写出x截面的弯矩方程

)

A

x
l

yB

F B
?B

x

M ( x ) ? ? F (l ? x ) ? F ( x ? l )
3)列挠曲线近似微分方程并积分

d2y EI 2 ? M ( x ) ? F ( x ? l ) dx
积分一次

再积分一次

dy 1 2 EI ? EI? ? F ( x ? l ) ? C dx 2 1 EIy ? F ( x ? l ) 3 ? Cx ? D 6
目录

§6-3 用积分法求弯曲变形
4)由位移边界条件确定积分常数

x ? 0, x ? 0,
代入求解

?A ? 0

yA ? 0
D? 1 3 Fl 6

y

1 C ? ? Fl 2 , 2

A

x
l

yB

F B
?B

x

5)确定转角方程和挠度方程

1 1 2 2 EI? ? F ( x ? l ) ? Fl 2 2 1 1 1 EIy ? F ( x ? l ) 3 ? Fl 2 x ? Fl 3 6 2 6
6)确定最大转角和最大挠度

x ? l,

? max

Fl 2 ? ?B ? , 2 EI

ymax

Fl 3 ? yB ? 3 EI
目录

§6-3 用积分法求弯曲变形
例2 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度,梁的EI已知, l=a+b,a>b。

y

1)由梁整体平衡分析得:

F

FAx ? 0, FAy ?
2)弯矩方程

Fb Fa , FBy ? l l

A
?A

D

C

B

?B x
FBy

FAy x1

ymax
x2

AC 段:

Fb M ? x1 ? ? FAy x1 ? x1 ,0 ? x1 ? a l
CB 段:

a

b

M ? x2 ? ? FAy x2 ? F ( x2 ? a ) ?

Fb x2 ? F ( x2 ? a ), l
目录

a ? x2 ? l

§6-3 用积分法求弯曲变形
3)列挠曲线近似微分方程并积分

AC 段:

CB 段:

Fb 3 EIy1 ? x 1 ? C1 x1 ? D1 6l

d 2 y1 Fb EI ? M ( x ) ? x1 1 2 dx1 l dy Fb 2 EI 1 ? EI? ( x1 ) ? x 1 ? C1 dx1 2l
a ? x2 ? l

0 ? x1 ? a

y
A
?A

F

D

C

B

?B x
FBy

FAy x1

ymax
x2

d 2 y2 Fb EI ? M ( x2 ) ? x2 ? F ( x2 ? a ) 2 dx2 l dy Fb 2 F EI 2 ? EI? ( x2 ) ? x 2 ? ( x2 ? a )2 ? C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIy 2 ? x 2 ? ( x 2 ? a ) 3 ? C 2 x 2 ? D2 6l 6

a

b

目录

§6-3 用积分法求弯曲变形
4)由边界条件确定积分常数 位移边界条件

y

x1 ? 0, x2 ? l ,
光滑连续条件

y1 (0) ? 0 y2 ( l ) ? 0

F

A
?A

D

C

B

?B x
FBy

x1 ? x2 ? a , x1 ? x2 ? a,
代入求解,得

? 1 (a ) ? ? 2 (a )
y1 (a ) ? y2 (a )

FAy x1

ymax
x2

a

b

1 Fb 3 C1 ? C 2 ? ? Fbl ? 6 6l D1 ? D2 ? 0

目录

§6-3 用积分法求弯曲变形
5)确定转角方程和挠度方程

AC 段:

0 ? x1 ? a

y
A
?A

F

Fb 2 Fb 2 EI? 1 ? x1 ? (l ? b 2 ) 2l 6l
Fb 3 Fb 2 EIy1 ? x1 ? ( l ? b 2 ) x1 6l 6l
CB 段:

D

C

B

?B x
FBy

FAy x1

ymax
x2

a ? x2 ? l

a

b

EI ? 2 ?

Fb 2 F Fb 2 x 2 ? ( x2 ? a ) 2 ? (l ? b 2 ) 2l 2 6l

Fb 3 F Fb 2 3 EIy 2 ? x2 ? ( x 2 ? a ) ? (l ? b 2 ) x2 6l 6 6l
目录

§6-3 用积分法求弯曲变形
6)确定最大转角和最大挠度



d? ?0 dx

y
得,
A
?A

F

D

C

B

?B x
FBy

x ? l ,? max ? ? B ?


Fab ( l ? a )( 6 EIl

)

FAy x1

ymax
x2

dy ?0 dx
l 2 ? b2 , 3

得,

a
Fb ( l 2 ? b 2 ) 3 9 3 EIl

b

x?

ymax ? ?

(

)

目录

§6-3 用积分法求弯曲变形





积分法求变形有什么优缺点?

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用,任意截面上的弯矩 为M(x),转角为 ? ,挠度为y,则有:
d2y EI 2 ? EIy'' ? M ( x ) dx

若梁上只有第i个载荷单独作用,截面上弯矩 为 M i ( x ) ,转角为 ? i ,挠度为 yi ,则有:
EIy''i ? M i ( x )

由弯矩的叠加原理知: ? M i ( x) ? M ( x)
i ?1 n

n

所以,
7-4

EI ? y' 'i ? EI (? yi )' ' ? M ( x )
i ?1 i ?1

n

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形

y' ' ? ( ? yi )' '
i ?1 n

由于梁的边界条件不变,因此

y ? ? yi
i ?1

n

? ? ?? i ,
i ?1

n

重要结论: 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角, 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示,q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ;B截面的 转角?B



1)将梁上的载荷分解

yC1

yC ? yC 1 ? yC 2 ? yC 3 ? B ? ? B1 ? ? B 2 ? ? B3
2)查表得3种情形下C截面的挠度和B截 面的转角。

yC2 yC3

5ql 4 yC1 ? ? 384EI

ql 4 yC 2 ? ? 48EI ql 4 yC 3 ? 16EI
目录

ql3 ? B1 ? 24EI ql3 ? B1 ? 16EI ql3 ? B3 ? ? 3EI

§6-4 用叠加法求弯曲变形
3) 应用叠加法,将简单载荷作用时的结 果求和

5ql 4 ql 4 ql 4 yC ? ? yCi ? ? ? ? 384EI 48EI 16EI i ?1
3

yC1

11ql 4 ? ( ) 384EI

ql3 ql3 ql3 ? B ? ?? Bi ? ? ? 24EI 16EI 3EI i ?1
3

yC2 yC3

11ql3 ?? ( ) 48EI

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
yC
例4 已知:悬臂梁受力如图示,q、l、 EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角?C



1)首先,将梁上的载荷变成有表可查 的情形 为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果,先将均布载荷延长至梁 的全长,为了不改变原来载荷作用的 效果,在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形
yC
2)再将处理后的梁分解为简单载荷作用 的情形,计算各自C截面的挠度和转角。

yC 1

ql 4 ql3 yC 1 ? ? , ? C1 ? ? 8 EI 6 EI l ql 3 yC 2 ? y B 2 ? ? B 2 ? ?C 2 ? 2 48EI ql 4 ql 3 l ? ? ? , 128EI 48EI 2
3)将结果叠加

yB 2

yC 2

41ql 4 yC ? ? yCi ? ? 384EI i ?1
2

7ql3 ? C ? ?? Ci ? ? 48EI i ?1
2

目录

§6-4 用叠加法求弯曲变形





叠加法求变形有什么优缺点?

目录

§6-5 简单超静定梁
1.基本概念: 超静定梁:支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束:从维持平衡角度而言,多余的约束

超静定次数:多余约束或多余支反力的数目。 相当系统:用多余约束力代替多余约束的静定系统
2.求解方法:

解除多余约束,建立相当系统——比较变形,列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
7-6

目录

F MA A 2a B C §6-5 简单超静定梁 a F (a)

FA y MA

A
A

B
B

C a
C

例6

求梁的支反力,梁的抗弯

刚度为EI。 解

FA y

2a (a) (b)

A A

(b) (c)

B B
FBy

F

C C F F F

1)判定超静定次数 2)解除多余约束,建立相当系统

MA

A A A

MA

A
A

(c) (d)

B B B FBy

C C C

3)进行变形比较,列出变形协调条件

B
B

F C

(d)
(d)

FBy

C

yB ? ( yB ) F ? ( yB ) FBy ? 0
目录

MA

A 2a
A 2a (a) (b) A A

B

§6-5 简单超静定梁 C
a F

F

F M AA y

(a)

B a

4)由物理关系,列出补充方程
C

FA y

A

B

C

F ( 2a ) 2 14Fa3 ( yB ) F ? ? (9a ? 2a) ? ? 6 EI 3EI

MA
MA

(b)

B B

F

( yB ) FBy ?
C C

8FBy a 3 3EI

FA y
A A A

(c)
B B B

所以

FBy F F F C
FBy

(c)

C C
F

3 14Fa3 8FBy a ? ? ?0 3EI 3EI 7 FBy ? F 4

MA

A A

(d)

(d) (d)

B B FBy

C C

5)由整体平衡条件求其他约束反力

MA ?

Fa ( ), 2

3 FAy ? ? F ( ) 4
目录

§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接,A、C 两端固定,梁的抗弯刚度均为EI,F = 40kN, q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 解 从B 处拆开,使超静定结构变成两个悬臂 梁。

变形协调方程为: 物理关系 yB1
FA FB

yB1 ? yB 2

MA

FB

q ? 4 4 FB ? 43 y B1 ? ? 8EI 3EI
MC FC

? FB ? FB
yB2

yB 2

FB ? 43 F ? 22 ? ?3? 4 ? 2? ? 6 EI 3EI
目录

§6-5 简单超静定梁
代入得补充方程:

q ? 4 4 FB ? 43 F ? 22 FB ? 43 ?3 ? 4 ? 2? ? ? ? 8EI 3EI 6 EI 3EI

3 ? 40 ? 10 20 ? 4 4 ? ? ? ?8.75 kN FB ? ? ? 2 3 ? ? 2 ? 6? 4 8? 4 ?
MA

确定A 端约束力 yB1

?F
MC

y

? 0,

FA ? FB ? 4q ? 0

FA FB

FB

FA ? 4q ? FB ? 4 ? 20 ? 8.75 ? 71.25 kN

?M

A

? 0,

M A ? 4q ? 2 ? 4FB ? 0

yB2

M A ? ?4q ? 2 ? 4FB
FC

? ?4 ? 20? 2 ? 4 ? ?? 8.75? ? ?125 kN? m
目录

§6-5 简单超静定梁
确定C 端约束力

FC ? F ? FB? ? 40 ? ?? 8.75 ? ? 48.75 kN
MA

?F

y

? 0,

FB? ? FC ? F ? 0

yB1
FA F?B MC FB

?M

C

? 0,

M C ? 2F ? 4FB? ? 0

M C ? 4FB? ? 2F ? 4 ? ?? 8.75? ? 2 ? 40 ? ?115 kN.m
FC

yB2

目录

§6-5 简单超静定梁
A、C 端约束力已求出
MA MC FC

FA ? 71.25 kN(

)

FA

M A ? 125 kN? m( )

71.25
? FS ? ( ? )

FC ? 48.75 kN( )
M C ? 115 kN? m( )
8.75
1.94

?kN?

(?)
48.75
(?) 17.5 115

最后作梁的剪力图和弯矩图

?M? (kN? m) ( ? )

125

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
1)选择合理的截面形状

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
2)改善结构形式,减少弯矩数值

改 变 支 座 形 式

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
2)改善结构形式,减少弯矩数值

改 变 载 荷 类 型

wC 2 ? 62.5% wC1

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施
3)采用超静定结构

目录

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施

目录

小结
1、明确挠曲线、挠度和转角的概念
2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法 3、学会用变形比较法解简单超静定问题

目录

第七章 应力和应变分析 强度理论

第七章
? ? ? ? ? ?

应力和应变分析 强度理论

7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-n图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论

7—1 应力状态的概念
问题的提出 铸 铁
低碳钢

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线?
目录

7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸 铁

脆性材料扭转时为什么沿45? 螺旋面断开?
目录

7—1 应力状态的概念
横力弯曲

FN

Mz

FQ

横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明:同一面上不同点的应 力各不相同,此即 应力的点的概念 。

7—1 应力状态的概念
直杆拉伸
F F
k

?
k k

F
??

{

?? ? p? cos ? ? ? cos2 ?
? ? cos ? sin ? ? sin 2? 2

? ? ? p? sin ? ?

k ??

p?

直杆拉伸应力分析结果表明: 即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的,此即应力的面的概念。

7—1 应力状态的概念
l
S平面
T y
1 4

S
T

F a
1

z
2 3

x Mz

Fa

?? ? ?? ?

??
σ ?

T Wt

Mz Wz
T ?? Wt
目录

3
σ ?? Mz Wz

M

Fl

7—1 应力状态的概念
?z

z
? zy ? yz
?2

? zx
x
?x

? xz

?3

? xy? yx

?y

y

?1

单元体上没有切应力的面称为主平面;主平面上的正应力 称为主应力,分别用

该单元体称为主应力单元体。

? ,? ,?

表示,并且 1 2 3

?1 ? ? 2 ? ? 3
目录

7—1 应力状态的概念
(1)单向应力状态:三个主应力中只有一个不为零
(2)平面应力状态:三个主应力中有两个不为零 (3)空间应力状态:三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态

目录

7—1 应力状态的概念
S平面

F
S平面

F 2 Fl Mz ? 4

l/2

l/2

5 4 3 2 1

?2

1

?1

2

?2

3

?3

7-3 二向应力状态分析-解析法
1.斜截面上的应力

y
?x
?

? yx

? xy

?x α

?a

n

x
?y

? xy

?a
dA

? yx
?y

t
t

?F

n

?0
目录

?F ? 0

7-3 二向应力状态分析-解析法 ? a 列平衡方程

n

?F

?x α

n

?0

? ? dA ? ? xy (dAcos? ) sin ? ? ? x (dAcos? ) cos? ? ? yx (dAsin ? ) cos? ? ? y (dAsin ? ) sin ? ? 0

? xy

?a
dA

? yx
?y

t

?F ? 0
t

? ? dA ? ? xy (dAcos? ) cos? ? ? x (dAcos? ) sin ? ? ? yx (dAsin ? ) sin ? ? ? y (dAsin ? ) cos? ? 0
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
利用三角函数公式

{

1 cos ? ? (1 ? cos 2? ) 2 1 sin 2 ? ? (1 ? cos 2? ) 2
2

2 sin ? cos ? ? sin 2?

并注意到 ? yx ? ? xy 化简得
1 1 ? ? ? (? x ? ? y ) ? (? x ? ? y ) cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2 1 ? ? ? (? x ? ? y ) sin 2? ? ? xy cos 2? 2
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则

y?
?x
?

yx

? xy

正应力:拉为正;压为负

x
?y
?a
?a

切应力:使微元顺时针方向 转动为正;反之为负。

?x

? xy

α
? yx

n
x

α角:由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正;反 之为负。

?y

t
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 1 ? ? ? (? x ? ? y ) ? (? x ? ? y ) cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2 d? ? ? ?(? x ? ? y ) sin 2? ? 2? xy cos 2? d?

设α=α0 时,上式值为零,即
? (? x ? ? y ) sin 2?0 ? 2? xy cos2?0 ? 0
σy ) ?(σ ? x ? ? 2? sin2α ?0 0 ?τ x ycos2α 0 ? ? ?2τ α 0 2 ? ?

即α=α0 时,切应力为零
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
tan2? 0 ? ? 2? xy

? x ?? y

由上式可以确定出两个相互垂直的平面,分别 为最大正应力和最小正应力(主应力)所在平面。

所以,最大和最小正应力分别为:
? max ? ? x ?? y
2 1 ? 2
1 ? 2

??
??

x

2 ? ? y ? ? 4? xy 2

? min ?

? x ?? y
2

x

2 ? ? y ? ? 4? xy 2

主应力按代数值排序:σ1 ? σ2 ? σ3
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
例题1:一点处的平面应力状态如图所示。

已知

? x ? 60MPa, ? xy ? ?30MPa, ? y ? ?40MPa, ? ? ?30?。

?y

试求(1)? 斜面上的应力; (2)主应力、主平面; (3)绘出主应力单元体。 ?

? xy
?x

目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
解:(1)? 斜面上的应力 ? x ?? y ? x ?? y ?? ? ? cos 2? ? ? xy sin 2?

?y

2 2 ? xy ? 60 ? 40 ? 60 ? 40 cos( ?60 ? ) ? 30 sin( ?60 ? ) 2 2 ? 9.02 MPa ? ?x ? x ?? y ?? ? sin 2? ? ? xy cos 2? 2 60 ? 40 ? sin( ?60 ? ) ? 30 cos( ?60 ? ) 2

? ?58.3MPa
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
(2)主应力、主平面

?y

? xy
?

? x ?? y ? x ?? y 2 2 ? max ? ? ( ) ? ? xy 2 2
? 68.3MPa

? x ? ? ? x ? ? y ? (? x ? ? y ) 2 ? ? 2 min xy 2 2
? ?48.3MPa

? 1 ? 68.3MP a, ? 2 ? 0, ? 3 ? ?48.3MP a
目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
?y
主平面的方位:

? xy
?

tg 2? 0 ? ?

2? xy

?x

? 60 ?? ? 0.6 60 ? 40
? 0 ? 15.5? ,

? x ?? y

代入 ? ? 表达式可知

? 0 ? 15.5? ? 90? ? 105.5?
? ?
目录

?0 ? 15.5 主应力 ? 1 方向:

.5 主应力 ? 3 方向:?0 ? 105

7-3 二向应力状态分析-解析法
(3)主应力单元体:
?y

?3
? xy
?

?1
?x
15 .5?

目录

7-3 二向应力状态分析-解析法
纯剪切应力状态
tg 2? 0 ? ?2? xy ? ??

? x ?? y


?0 ? ?45

?135
2

? 3 ? ??

?? max ? ? x ? ? y ? ? x ?? y ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? xy ? 2 2 ? ? ? min ?

? xy
?1 ? ?
?45

? max ? ?1 ? ? xy ? min ? ? 3 ? ?? xy

此现象称为纯剪切

7-4 二向应力状态分析-图解法
1 1 ? ? ? (? x ? ? y ) ? (? x ? ? y ) cos 2? ? ? xy sin 2? 2 2 1 ? ? ? (? x ? ? y ) sin 2? ? ? xy cos 2? 2

? x ?? y 2 2 ? x ?? y 2 2 (? ? ? ) ?? ? ? ( ) ? ? xy 2 2

这个方程恰好表示一个圆,这个圆称为应力圆
目录

7-4 二向应力状态分析-图解法
1.应力圆:
?
? x ?? y 2 2 ? x ?? y 2 2 (? ? ? ) ?? ? ? ( ) ? ? xy 2 2
? x ?? y 2 2 R? ( ) ? ? xy 2

R
C
? x ?? y 2

?

目录

7-4 二向应力状态分析-图解法
2.应力圆的画法
y ? y D

? yx

?
? xy
x

R? (

? x ?? y
2

)2 ? ? 2 xy

R
c D/

D (?x ,?xy)

A

?x

?
? x ?? y
2
目录

(?y ,?yx)

7-4 二向应力状态分析-图解法
3、几种对应关系
点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力 ? y
?y
? yx

n

H (? a ,? a )
2?

H

? xy ? x ?x

c

D (?x ,?xy)

(?y ,?yx)

D/

?
? x ?? y
2

目录

7-5 三向应力状态
定义
?2

?1
?3

三个主应力都不为零的应力状态
目录

7-5 三向应力状态
?
1
0

2

由三向应力圆可以看出:

? max ?
?3
?2
3

?1 ?? 3
2

?1

?

结论: 代表单元体任意斜 截面上应力的点, 必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
目录

7-8 广义胡克定律
1. 基本变形时的胡克定律
1)轴向拉压胡克定律
y

? x ? E? x
横向变形

?x
x

? y ? ? ?? x ? ? ?
2)纯剪切胡克定律

?x
E

?

? ? Gg
目录

7-8 广义胡克定律
2、三向应力状态的广义胡克定律-叠加法
?2 ?2

?1
?3

?1
?3

?1

=

?3 ?1 ?2 ( ) + (? ? ) + (? ? ) E E E

1 ?1 ? ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E
目录

7-8 广义胡克定律
?2

1 ?1 ? ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? E
? 1 ? 2 ? 1 ?? 2 ? ? ?? 3 ? ? 1 ?? E

?3

1 ? 3 ? ?? 3 ? ? ?? 1 ? ? 2 ?? E
目录

7-8 广义胡克定律
3、广义胡克定律的一般形式
1 ? x ? [? x ? ? (? y ? ? z )] E 1 ? y ? [? y ? ? (? z ? ? x )] E 1 ? z ? [? z ? ? (? x ? ? y )] E

?z

? zx
?x

? xz

? zy ? yz

? xy? yx

?y

g xy ?

? xy
G

g yz ?

? yz
G

g zx ?

? zx
G

目录

7-11 四种常用强度理论
杆件基本变形下的强度条件

FN ,max ? [? ] (拉压) ? max ? A
(弯曲) ? max

M max ? ? [? ] W
* z

(正应力强度条件)

? max ? [? ]

Fs S ? [? ] (弯曲) ? max ? bI z T (扭转) ? max ? ? [? ] Wp

(切应力强度条件)

? max ? [? ]
目录

7-11 四种常用强度理论

? max

? max ? [? ] 满足 ? max ? [? ]
是否强度就没有问题了?

? max

目录

7-11 四种常用强度理论
强度理论: 人们根据大量的破坏现象,通过判断推理、概

括,提出了种种关于破坏原因的假说,找出引起破
坏的主要因素,经过实践检验,不断完善,在一定

范围与实际相符合,上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件,而提出

的关于材料破坏原因的假设及计算方法。

目录

7-11 四种常用强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂, 断面较粗糙,且多发生在垂直于最大正应力的截面上, 如铸铁受拉、扭,低温脆断等。

关于断裂的强度理论: 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
(2) 塑性屈服(流动):材料破坏前发生显著的塑性 变形,破坏断面粒子较光滑,且多发生在最大剪应力面 上,例如低碳钢拉、扭,铸铁压。 关于屈服的强度理论: 最大切应力理论和形状改变比能理论
目录

7-11 四种常用强度理论
1. 最大拉应力理论(第一强度理论)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。

?1 ? ?
?

0

? 1 -构件危险点的最大拉应力
0-极限拉应力,由单拉实验测得

? ??b
0

目录

7-11 四种常用强度理论
最大拉应力理论(第一强度理论) 断裂条件 强度条件

?b ?1 ? ? ?? ? n

?1 ? ?b

铸铁拉伸

铸铁扭转
目录

7-11 四种常用强度理论
2. 最大伸长拉应变理论(第二强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,

都是由于微元内的最大拉应变(线变形)达到简单
拉伸时的破坏伸长应变数值。

?1 -构件危险点的最大伸长线应变
?
? ??b / E
0

?1 ? ?

0

0 -极限伸长线应变,由单向拉伸实验测得

? 1 ? [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )]/ E

目录

7-11 四种常用强度理论
最大伸长拉应变理论(第二强度理论) 断裂条件

?b 1 [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )] ? E E


强度条件

? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? b
?b ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? [? ] n

实验表明:此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合,如铸铁受拉压比第一强度理论

更接近实际情况。
目录

7-11 四种常用强度理论
3. 最大切应力理论(第三强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。

? max
?

? max ? ?

0

-构件危险点的最大切应力

? max ? (?1 ? ? 3 ) / 2
? ??s /2
0
目录

0 -极限切应力,由单向拉伸实验测得

7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论(第三强度理论) 屈服条件

强度条件

?1 ? ? 3 ?

?s
ns

? ?? ?

低碳钢拉伸

低碳钢扭转
目录

7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论(第三强度理论) 实验表明:此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。(?? max ? 0) 局限性:

1、未考虑

? 2 的影响,试验证实最大影响达15%。

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。
目录

7-11 四种常用强度理论
4. 形状改变比能理论(第四强度理论) 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是

由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。

? sf -构件危险点的形状改变比能

vsf ? v

0 sf

?

0 -形状改变比能的极限值,由单拉实验测得 sf

目录

7-11 四种常用强度理论
形状改变比能理论(第四强度理论) 屈服条件 强度条件

实验表明:对塑性材料,此理论比第三强度理
论更符合试验结果,在工程中得到了广泛应用。
目录

7-11 四种常用强度理论
强度理论的统一表达式: ? r ? [? ] 相当应力

? r ,1 ? ? 1 ? [? ]
? r ,2 ? ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? [? ]

? r ,3 ? ? 1 ? ? 3 ? [? ]

目录

7-11 四种常用强度理论
例题
已知:? 和?。试写出最大切应力 准则和形状改变比能准则的表达式。

解:首先确定主应力

? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 2 ? 4? 2 ? ?
? r4 ?

{ ? ?

1 ?1 ? ? ? 2 ? 4? 2 2 2 ?2 ? 0 ? 1 ? 3 ? ? ? 2 ? 4? 2 2 2

?

1 [(? 1 ? ? 2 ) 2 ? (? 2 ? ? 3 ) 2 ? (? 3 ? ? 1 ) 2 ] 2

? ? 2 ? 3? 2 ? ?? ?

第八章

组合变形

目录

第八章
§8-1
§8-2

组合变形

组合变形和叠加原理
拉伸或压缩与弯曲的组合

§8-3
§8-4

斜弯曲
扭转与弯曲的组合

目录

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

压弯组合变形

10-1

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

拉弯组合变形
目录

§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例

弯扭组合变形
目录

§8-1 组合变形和叠加原理
叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下, 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的叠加 解决组合变形的基本方法是将其分解为 几种基本变形;分别考虑各个基本变形时构 件的内力、应力、应变等;最后进行叠加。

目录

§8-1 组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲 拉(压)弯组合变形 弯扭组合变形

l

S

F

a

外力分析

内力分析

应力分析
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合

=

+

10-3

目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
Fl ? t ,max ? W Fl ? c ,max ? ? W

=
? c,max
? t ,max
F ?c ? ? A

+
? t ,max

? c,max
Fl F ? t ,max ? ? ? [? t ] W A Fl F ? c ,max ? ? ? ? [? c ] W A

=

+

目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例题8-1
铸铁压力机框架,立柱横截面尺寸如图所示,材料的许用拉应力[?t]= 30MPa,许用压应力[?c]=120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。 解:(1)计算横截面的形心、 面积、惯性矩

F F

350

F

350

M
y1

z0

y

z1

FN

A ? 15000 mm2 z0 ? 75mm z1 ? 125mm

I y ? 5.31?107 mm4
50 (2)立柱横截面的内力

150 50 150

FN ? F M ? F ? 350 ? 75 ? ?10?3
? 425F ?10?3 ? N ? m ?
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A ? 15000 mm2

I y ? 5.31?107 mm4
F

z0 ? 75mm z1 ? 125mm

FN ? F M ? 425?10?3 F ?N.m?
Mz0 FN ? Iy A

(3)立柱横截面的最大应力

350

? t . max ?
M

FN

425?10?3 F ? 0.075 F ? ? ?5 5.31?10 15?10?3 ? 667F ?P a?

? c.max ?

Mz1 FN ? Iy A

? t .max

? c.max

425?10?3 F ? 0.125 F ? ? 5.31?10?5 15?10?3 ? 934F ?P a?
目录

§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
F

350

? t .max ? 667F ? c.max ? 934F
M
(4)求压力F

FN

? t .max ? 667F ? ?? t ?

? ? t ? 30?106 F? ?
667 667

? 45000 N

? c.max ? 934F ? ?? c ?

? t .max

? c.max

? ? c ? 120?106 F? ?
934 934
目录

? 128500 N

许可压力为F ? 45000 N ? 45kN

§8-3

斜 弯 曲

平面弯曲

斜弯曲

目录

§8-3

斜 弯 曲
Fy ? F cos ? Fz ? F sin ?
(1) 内力分析
坐标为x的任意截面上
M z ? Fy (l ? x) ? F (l ? x) cos ? M y ? Fz (l ? x) ? F (l ? x) sin ?

固定端截面

M z max ? Fl cos?
x

M y max ? Fl sin ?
目录

§8-3

斜 弯 曲
(2) 应力分析
x 截面上任意一点(y,z) 正应力

Mz y Myz ?? ? Iz Iy y cos ? z sin ? ? F (l ? x)( ? ) Iz Iy

§8-3
中性轴上

斜 弯 曲
y0 cos ? z0 sin ? ? ?0 Iz Iy y0 Iz tan ? ? ? ? tan ? z0 Iy

中性轴方程

y0 cos ? z0 sin ? ? ? F (l ? x)( ? )?0 Iz Iy

目录

§8-3
? t max

斜 弯 曲
固定端截面

? t max ?

My

max

Wy My Wy

?

Mz

max

Wz Mz
max

? c max ? ?
? c max

max

?

Wz

强度条件:
D1点: D2点:

? t ,max ? [? t ]

? c,max ? [? c ]
目录

§8-3

斜 弯 曲
挠度:

f ?

f y2 ? f z2

fz

fy ?

Fy l 3 3EI z

Fz l fz ? 3EI y

3

fz Iz tan? ? ? tan? fy Iy

f

fy

矩形

I y ? Iz
? ??
斜弯曲

正方形

I y ? Iz
? ??
平面弯曲

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
l
S平面
T y
1 4

S

F a
1

z
2 3

x Mz

Fa
T M

?? ? ?? ?

τ?
σ ? Mz Wz

T Wp

3
τ? T Wp
σ ?? Mz Wz

Fl

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
1
T τ? Wp
Mz σ? Wz
τ? T Wp

3
σ? ? Mz Wz

M ?? W T ?? Wp

? x ?? y 1 2 2 ? max ? ? ?? x ? ? y ? ? 4? xy 2 2 ? 1 2 ? ? ? ? 4? 2 ? 0
2 2

? x ?? y 1 2 2 ? min ? ? ?? x ? ? y ? ? 4? xy 2 2 ? 1 2 ? ? ? ? 4? 2 ? 0
2 2
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
T ?? WP
M ?? W

? 1 2 ? 1 ? ? ? ? 4? 2 2 2 ?2 ? 0 ? 1 2 ? 3 ? ? ? ? 4? 2 2 2

第三强度理论:

圆截面
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
M ?? W T ?? Wp

? 1 2 ? 1 ? ? ? ? 4? 2 2 2 ?2 ? 0 ? 1 2 ? 3 ? ? ? ? 4? 2 2 2

第四强度理论:

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形

1 2 2 M ? T ? [? ] 第三强度理论: ? r 3 ? W 1 2 2 ? ? M ? 0 . 75 T ? [? ] 第四强度理论: r 4 W
式中W 为抗弯截面系数,M、T 为轴危险截面

的弯矩和扭矩

W?

?d

3

32

W?

?D

? 1?? ? 32
3 4
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
例题8-2 传动轴左端的轮子由电机带动,传入的扭转力偶矩Me=300Nm。两轴承 中间的齿轮半径R=200mm,径向啮合力F1=1400N,轴的材料许用应力〔σ〕 =100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径d。

150

200

解:(1)受力分析,作计算简图

目录

§8-4
300 N.m

扭转与弯曲的组合
F2 R ? M e
M e 300 F2 ? ? ? 1500 N R 0.2
(2)作内力图

1400 N

1500 N 150

200

300 N.m

128 .6 N.m

危险截面:E 左处

T ? 300 N.m

120 N.m

2 M ? My ? M z2 ? 176N.m

目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
(3)应力分析,由强度条件设计d

? ?
T ?? Wp

M W

M 2 ?T 2 ? r3 ? ? ?? ? W

M 2 ? 0.75T 2 ? r4 ? ? ?? ? W
目录

§8-4 扭转与弯曲的组合
? r3
M ?T ? ? ?? ? W
2 2

W?

?d

3

32

d ?3

32 M ? T
2

2

? ?? ?

2 2 32 176 ? 300 ?3 6 ? ?100 ?10

? 32.8 ?10 m ? 32.8mm
目录

?3

小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握斜弯曲和拉(压)弯组合变形杆件

的应力和强度计算
3、了解平面应力状态应力分析的主要结论 4、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度

条件和强度计算
目录

第九章
压杆稳定

第九章
§9.1 §9.2 §9.3
§9.4 §9.5 §9.6

压杆稳定

压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下细长压杆的 临界压力
欧拉公式的适用范围 经验公式 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施

目录

§9.1 压杆稳定的概念
在材料力学中,衡量构件是否具有足够的承载能力,要从三个方面来 考虑:强度、刚度、稳定性。

稳定性 — 构件在外力作用下,保持其原有 平衡状态的能力。

目录

§9.1 压杆稳定的概念
工程实际中有许多稳定性问题,但本章主要讨论压杆稳定问题,这类问 题表现出与强度问题截然不同的性质。

F

目录

§9.1 压杆稳定的概念

不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的 平衡位置

稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡 位置,但扰动撤销后小球回复到平衡 位置

目录

§9.1 压杆稳定的概念

压力小于临界力

压力大于临界力

压力等于临界力

目录

§9.1 压杆稳定的概念
压力等于临界力 压杆的稳定性试验

压杆丧失直线 状态的平衡,过渡 到曲线状态的平衡。 称为丧失稳定,简 称失稳,也称为屈 曲

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的 最小轴向压力。

弯矩

M ? ? Fw



挠曲线近似微分方程 则 通解

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力

边界条件: 若 则 (与假设矛盾)

所以

目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力

w



时,

临界压力 欧拉公式

挠曲线方程 得

w
目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
----欧拉公式
1、适用条件: ?理想压杆(轴线为直线,压力与轴线 重合,材料均匀) 2、

1 Fcr ? 2 l
杆长,Fcr小,易失稳

?线弹性,小变形
?两端为铰支座 3、在 Fcr作用下,

Fcr ? EI
刚度小,Fcr小,易失稳

k?

, w ? A sin l l l x ? ,w ? A 2

?

?x

挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
目录

§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
例题
解:

截面惯性矩

临界压力

? 269?103 N ? 269kN
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆,求临界压力有两种方法: 1、从挠曲线微分方程入手 2、比较变形曲线

B

l
A

l
C

一端固定一端自由

Fcr ?

? 2 EI
(2l ) 2
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力

Fcr
B D
l 2
l 4

Fcr
B

0.7l

l
C A

C A
l 4

两端固定 Fcr ?

? EI
2

(0.5l ) 2

一端固定 F ? ? EI 一端铰支 cr (0.7l ) 2
2
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
y

F
O

?
x
l

两端铰支

F
x

? 2 EI Fcr ? 2 (l )

欧拉公式的普遍形式:

π 2 EI Fcr ? 2 ( ?l )

?

长度系数(无量纲)

?l 相当长度(相当于两端铰支杆)
目录

§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力

目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1、临界应力

? E ? cr ? 2 ?
2
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
?

{i

?

l

杆长 约束条件 截面形状尺寸

?集中反映了杆长、约束条件、截面
形状尺寸对 的影响。

? cr

2、欧拉公式适用范围 2 ? E 当 ? ?? p cr ? 2

?



??

? 2E ?p



?1 ?

? ? ?1 ? 2E ? p 欧拉公式只适用于大柔度压杆
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 3、中小柔度杆临界应力计算


? s ? ? cr ? ? p



?2 ? ? ? ?1 (中柔度杆)
a、b — 材料常数

经验公式
(直线公式)

? cr ? a ? b?
a ?? s ?? b

? cr ? ? s



a ?? s ?2 ? b

? ? ?2 (小柔度杆)

? cr ? ? s
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
?压杆柔度

?l ?? μ四种取值情况, i ? i
? P — 比例极限

I A

? 2E ? ? ?1 欧拉公式 (大柔度杆) ? cr ? 2 ? ?1 ? ? ? ?2 (中柔度杆) ? cr ? a ? b? 直线公式

? 2E ?临界柔度 ?1 ? ?P a ?? s ?2 ? b ?临界应力

? s — 屈服极限

? ? ?2

(小柔度杆)

? cr ? ? s

强度问题
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
临界应力总图

?2

?1
目录

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式

? ?l ?l i
Fcr ? ? cr ? A

目录

§9.5

压杆的稳定校核

Fcr F ? [F ] ? nst
工作安全系数 或

nst— 稳定安全系数
? cr ? nst n? ?
Fcr ? nst n? F

压杆稳定性条件

Fcr ? nst n? F
压杆实际压力
目录

Fcr — 压杆临界压力 F —

§9.5

压杆的稳定校核
例题 已知拖架D处承受载荷 F=10kN。AB杆外径D=50mm, 内径d=40mm,材料为Q235钢, E=200GPa, ?1 =100,[nst]=3。 校核AB杆的稳定性。
解: CD梁

?M

C

?0

F ? 2000? FN ? sin30? ?1500
得 FN ? 26.6kN
AB杆

??
l?

?l
i
?

? ?1
? 1.732m
目录

1.5 cos30

§9.5

压杆的稳定校核
i 1?1.732?103 得 ?? ? 108 ? ?1 16
AB杆

??

?l

? ?1
l?
i? ?

AB为大柔度杆

1.5 cos30
I ? A
?

? 1.732m

? 2 EI Fcr ? ? 118kN 2 ??l ?

? D ?d 4 64 D 2 ? d 2 ?
4 4

? ?

? ?

FN ? 26.6kN

n?

D2 ? d 2 ? 16mm 4

Fcr 118 ? ? 4.42 ? nst ? 3 FN 26.6

AB杆满足稳定性要求
目录

§9.5

压杆的稳定校核

例题 千斤顶如图所示,丝杠长度l=37.5cm, 内径d=4cm,材料为45钢。最大起重量 F=80kN,规定的稳定安全系数nst=4。试校 核丝杠的稳定性。

(1)计算柔度 d

l

i?

I ? A

?d 4 ? 4 d 4 ? ? ? 1cm 2 64? ?d 4 4

2 ? 37.5 ?? ? ? 75 i 1
查得45钢的?2=60,?1=100,?2<?<?1,属于中柔度杆。

?l

目录

§9.5

压杆的稳定校核

(2)计算临界力,校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为

? cr ? ?a ? b? ? ? ?589? 3.82? 75? ? 302.5MPa
Fcr ? ? cr A ? 302.5 ?
此丝杠的工作稳定安全系数为

? ? 0.042
4

? 381000 N ? 381kN

Fcr 381 n? ? ? 4.76 ? 4 ? nst F 80
校核结果可知,此千斤顶丝杠是稳定的。

目录

§9.5
例题

压杆的稳定校核

F

截面为12?20cm2,l = 7m, E = 10GPa, 试求木柱的临界压力和临界 应力。

F

?1 ? 110
y z 12cm 20cm

解: (1)计算xoz平面的临界力 7m 和临界应力 如图(a),截面的惯性矩应为 7m
z 12cm

y 20cm

12? 203 Iy ? ? 8000 cm4 12 Iy 8000 惯性半径为 i y ? ? ? 5.77cm A 12? 20
两端铰支时,长度系数

? ?1
目录

§9.5
其柔度为

压杆的稳定校核
?l 1? 700 ?? ? ? 121 ? ?1 ? 110 iy 5.77

因 ? >?1 故可用欧拉公式计算。

F

Fcr ?

? 2 EI y

F

??l ?2

20cm

? E ? cr ? 2 ?
2

7m

z 12cm

12cm

7m

3.142 ? 10 ? 109 ? 8 ? 10?5 ? ? 161kN 2 ?1? 7 ?

y

z

y 20cm

3.142 ? 10 ? 109 ? ? 6.73MP a 2 121
目录

§9.5

压杆的稳定校核
F F

(2)计算xoy平面内的临界力 及临界应力。 如图(b),截面的惯性矩为

20?12 Iz ? ? 2880 cm4 12 相应的惯性半径为
3

y 20cm 12cm

z

7m

7m

z 12cm

y 20cm

iz ?

Iz 2880 ? ? 3.46cm A 12? 20

两端固定时长度系数 柔度为

? ? 0 .5
?l
iz ? 0.5 ? 700 ? 101? ?1 ? 110 3.46
目录

??

§9.5


压杆的稳定校核

F

应用经验公式计算其临界应力,查表

F

a ? 29.3MPa, b ? 0.194

y 20cm 12cm



7m

? 29.3 ? 0.194?101? 9.7MPa
临界压力为

7m

? cr ? a ? b?

z

z 12cm

y 20cm

? 9.7 ?106 ? ?0.12? 0.2? ? 232.8kN
木柱的临界压力 临界应力

Fcr ? ? cr A

Fcr ? 161 kN
? cr ? 6.73MPa
目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

? 2 EI Fcr ? ( ?l ) 2
Fcr 越大越稳定
?减小压杆长度 l

欧拉公式

?减小长度系数μ(增强约束) ?增大截面惯性矩 I(合理选择截面形状) ?增大弹性模量 E(合理选择材料)

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施
?减小压杆长度 l

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

?减小长度系数μ(增强约束)

目录

§9.6

提高压杆稳定性的措施

?增大截面惯性矩 I(合理选择截面形状)

目录

小结
1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界
载荷的概念 2、掌握压杆柔度的计算方法,以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则

3、熟知压杆临界应力总图,能根据压杆的
类别选用合适的公式计算临界应力 4、掌握简单压杆的稳定计算方法 5、了解提高压杆稳定性的主要措施
目录

第十章 动载荷

第十章 动载荷
§10-1 概述

§10-2 动静法的应用
§10-4 杆件受冲击时的应力和变形

§10-1 概



静载荷: 载荷由零缓慢增加至最终值,然后保持不变。
动载荷: 载荷随时间变化而变化。

在动载荷作用下,构件内部各点均有加速度。

构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。

实验证明,在动载荷作用下,如构件的应力不超过比例极限,

胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算,弹性模量与
静载下的数值相同。
目录

§10-2 动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车,现在问3个问题

1.物体离开地面,静止地由绳索吊挂

l

2.物体匀速地向上提升
3.物体以加速度a向上提升

求这3种情况下的绳索应力?

目录

1. 物体离开地面,静止地由绳索吊挂
P

Q

绳子:

? st

Q ? A

Q

Q

2. 物体匀速地向上提升

? 与第一个问题等价
目录

3. 物体以加速度a向上提升

FNd

? 按牛顿第二定律
或者说,按达郎伯原理(动静法):质点上所有外力同惯 性力形成平衡力系。 惯性力大小为ma,方向与加速度a相反

a
Q

FNd ? Q ?
其中
动应力

Q a?0 g

a FNd ? Q(1 ? ) ? kd Q g
——动荷系数

a kd ? (1 ? ) g

FNd Q ? kd ? kd ? st ? 绳子动载应力(动载荷下应力)为:? d ? A A
目录

例10-1:吊笼重量为Q;钢索横截面面积为A,单 g 位体积的重量为 ,求吊索任意截面上的应力。
解:

Fst ? g Ax ? Q
FNd ? g Ax ? Q a g g a ? ?Q ? g Ax ? ? ?Q ? g Ax ? g ? a? ? ?Q ? g Ax??1 ? ? g? ? ? a? ? Fst ? ?1 ? g ? ? ? ? a?Q?
a —动荷系数 g

a

g Ax

F Nd
F st

x

gAx

x

gAx ? g A x a
g

Kd ? 1 ?

FNd ? Kd ? Fst

? d ? Kd ? ? st

Q

Q Q? ga

二、构件作等速转动时的应力计算
薄壁圆环,平均直径为D,横截面面积为A,材料单位体积的重量为γ,以匀角速 度ω转动。

?

目录

Ag D? 2 Ag D? 2 qd ? ? g 2 2g

FNd
qd D Ag D2 ? 2 ? ? 4g 2

FNd

FNd

FNd g D2 ? 2 g v 2 ?d ? ? ? g A 4g

强度条件:? d ?

g v2
g

? [? ]

从上式可以看出,环内应力仅与γ和v有关,而与A无关。所以, 要保证圆环的强度,应限制圆环的速度。增加截面面积A,并 不能改善圆环的强度。

目录

§10-4

杆件受冲击时的应力和变形

目录

冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加

速度a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动静法。在实用
计算中,一般采用能量法。
在计算时作如下假设: 1.冲击物视为刚体,不考虑其变形; 2.被冲击物的质量可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能 的转化。

?d

?a ?
目录

?b ?

设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为

T

动能T

根据机械能守恒定律,冲击物的动能T和势能V的变化应等于 弹簧的变形能 ,即

V? d

?d

T ? V ? V? d
1 V? d ? Fd ? d 2

?a ?

V ? Q?d

? b?

1 Q ( h ? ? d ) ? Fd ? d 2

在线弹性范围内,载荷、变形和应力成正比,

即:

Fd ? d ? d ? ? Q ? st ? st

?d ?Fd ? Q ? st

?a ?

?b ?

1 ?2 d V? d ? Q 2 ? st

? c?
目录

V ? Q?d

? b?

T ? V ? V? d

?a ?

1 ?2 d V? d ? Q 2 ? st

? c?

将(b)式和(c)式代入(a)式,得:

2T ? st ? d ? 2? st ? d ? ?0 Q
2

?

? 2T ? d ? ? st ? 1 ? 1 ? ? Q? st ?

? ? ? ?

2T 2h Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? Q ? st ? st

Fd ? d ? d ? ? ? Kd Q ? st ? st

? Fd ? Kd Q

? d ? Kd ? st

?d ? Kd ? st
目录

此时T=0 当载荷突然全部加到被冲击物上,

2T Kd ? 1 ? 1 ? Q? st

?2

Q

由此可知,突加载荷的动荷系数是2,这时所引 起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。 1.若已知冲击物自高度 h 处无初速下落,冲击

物与被冲击物接触时的速度为v

T?

Qv 2g

2

h

v 2T Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? Q? st g ? st

2

Q

2.若已知冲击物自高度 h 处以初速度 v0 下落,则

v 2 ? v0 2 ? 2 gh
v2 v 0 ? 2 gh Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? g ? st g ? st
3.当构件受水平方向冲击
1Q 2 v V ?0 2 g 1 ?d 1 Q ? Q ? ? ?d 2 U d ? Fd ? d d 2 ? st 2 ? st 2 1Q 2 Q Fd ? d 2 v ? ?d ? 2 g 2 ? st Q ? st T?
2

h

Q

v

?d

Q

?d ?

v2 ? ? st g ? st

Kd ?

v2 g ? st

例10-2:等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为 W,重
物Q自由下落时,求刚架内的最大正应力(不计轴力)。

解:

4Qa 3 ? st ? 3E I

? st max

Qa ? W
a

Q h

3EIh 2h ? 1? 1? Kd ? 1 ? 1 ? ? st 2Qa 3

a

? d max ? Kd ? st max

Q
Qa Qa

? ? d max ? Kd? s max
? 3EIh ?? ?1 ? 1 ? 2Qa 3 ? ? Qa ? ?W ?

a a

目录

例10-3:重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处,求B点的挠度。
解:

Ql 3 4Ql 3 ? st ? ? 3 E I E bh 3
l

h b

E b h4 2h Kd ? 1 ? 1 ? ? 1? 1? ? st 2Ql3

? Ebh 4 wB ? ? d ? K d ? ? st ? ?1 ? 1 ? 3 ? 2 Ql ?

? 4Ql 3 ? ? Ebh3 ?
目录

例10-4:图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘

上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩
短0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m,许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下,求其许可高度h。
l

解:? st ? 15 ? 0.625 ? 10 ?3 ? Q l ? 9.62 ? 10 ?3 m EA
3 Q 15 ? 10 2h ? ? ? ? 12 MPa st Kd ? 1 ? 1 ? 2 A ?d ? st 4 ? 2h ? ? d ? K d ? ? st ? ? ?1 ? 1 ? ? ? ? ?12 ? [? ] ? 120 st ? ?

h ? 0.385m=385 mm

第十一章

交变应力

第十一章

交变应力

§11-1 交变应力与疲劳极限 §11-2 影响持久极限的因数

目录

§11-1 交变应力 疲劳极限
动响应=Kd ×静响应 1、构件有加速度时动应力计算 (1)直线运动构件的动应力

Kd

(2)水平面转动构件的动应力
2、构件受冲击时动应力计算 (1)自由落体冲击问题 (2)水平冲击问题

Kd

a ? 1? g a ? n g
2h ) Δst

Kd ? (1 ? 1 ?
Kd ? v2 g? st
目录

交变应力的基本参量

在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线,称为应力谱。 随着时间的变化,应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化, 应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。

?

一个应力循环

Δ?

? max ? min
O t

目录

通常用以下参数描述循环应力的特征 (1)应力比 r
r = -1 :对称循环 ;

r?

? min ? max

r = 0 :脉动循环 。

r < 0 :拉压循环 ; r > 0 :拉拉循环 或压压循环。

(2)应力幅 ? ? (3)平均应力

?? ? ? max ? ? min
? m ? (? max ? ? min )
1 2

?m

一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 ?m 上叠加一个应力幅为 ?? 的对称循环应力组合构成。

目录

疲劳极限

将若干根尺寸、材质相同的标准试样,在疲劳试验机上依次进行r = -1 的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 ?? 均不同,因此疲劳破坏所经历 的应力循环次数N 各不相同。 以 ?? 为纵坐标,以N 为横坐标(通常为对数坐标),便可绘出该材料的应 力—寿命曲线即S-N 曲线如图(以40Cr钢为例) 注:由于在r =-1时,?max = ??/2,故S-N 曲线纵坐标也可以采用?max 。
850

? max/MPa

750 650 550
4 10 5 10 6 10 7 10 8 10

N
目录

850

? max /MPa

750 650 550
4 5 6 7 8

10

10

10

10

10

N 从图可以得出三点结论: (1)对于疲劳,决定寿命的 最重要因素是应力幅?? 。 (2)材料的疲劳寿命N 随应力幅 ?? 的增大而减小。 (3)存在这样一个应力幅,低于该应力幅,疲劳破坏不会发生,该应力幅 称为疲劳极限,记为 ?-1 。

目录

对于铝合金等有色金属,其S-N曲线没有明显的水平部分,一般规定

N0 ? 5 ?106 ~ 107时对应的 ? max称为条件疲劳极限,用? ?10 表示。
N

对低碳钢,其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限

? b ? 400 ~ 500MPa
(? -1 ) b ? 170 ~ 220MPa

(? -1 ) t ? 120 ~ 160MPa

目录

11-4. 影响持久极限的因数
1.构件外形的影响 构件外形的突然变化,例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等,将引起应力集中

有效应力集中因数

K? ?

?? ?1 ?d ?? ?1 ?K
? max ?n



K?

?? ?1 ?d ? ?? ?1 ? K

理论应力集中因数

K? ?

目录

2.零件尺寸的影响——尺寸因数

??

(? ?1 ) d

? ?1

(? ?1 ) d 光滑零件的疲劳极限
尺寸因数

? ?1 试样的疲劳极限

查看表11.1

3.表面加工质量的影响——表面质量因数

??

(? ?1 ) ?

? ?1

? ?1

磨削加工(试样)

?? ?1 ??

其他加工

一般情况下,构件的最大应力发生于表层,疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中,降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。
看表11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数

?
目录

第十三章
§13-1 概

能量法


在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生
变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能,

简称应变能。
物体在外力作用下发生变形,物体的变形

能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移
上所做的功,即

V?

=W

§13-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩

1 Fl 1 V? ? W ? F ? ?l ? F 2 EA 2

F

F l FN l ? ? 2 EA 2 EA

2

2

F
?l ?l

FN ( x) V? ? ? dx 2EA( x) l

2

二、扭转
m
??

m
??
2

??
2

1 M el M e l 1 T l ? ? V? ? W? M e ? ?? ? M e 2 2 G I p 2G I p 2G I p

T ( x) V? ? ? dx 2G I p ( x) l

2

三、弯曲

V? ? W 2 2 纯弯曲:? 1 M e ? ? ? 1 M e M e l ? M e l ? M l 2 2 EI 2E I 2E I
2 M ( x) 横力弯曲:V ? dx ? ? 2 E I ( x) l

13-3 变形能的普遍表达式
F3
F2

?1

F1

? 2 ?3

1 1 1 V? ? W ? F1?1 ? F2? 2 ? F3? 3 ? ? 2 2 2
即:线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的
总和。

M ( x)
N ( x)

M ( x)
N ( x)

T ( x)
2

T ( x)
2 2

FN ( x)dx M ( x)dx T ( x)dx V? ? ? ?? ?? 2EA 2EI 2GI P L L L
所有的广义力均以静力方式,按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移 整个力系有关,但与其相应的广义力 呈线性关系。 与

?i

Fi

例:试求图示悬臂梁的应变能,并利用功
能原理求自由端B的挠度。
F

解:
M ( x) ? ? F ? x

l

x

M ( x) F l V? ? ? dx ? 2E I 6EI l
1 W ? F ? wB 2

2

2 3

由V? ? W,得 wB ? Fl 3EI

3

例题:悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数,试求 梁的应变能。

解: ⑴ 弯矩方程 B F A

M ( x) ? M e ? Fx
⑵ 变形能

Me
L

M 2 ( x) 1 V? ? ? dx ? ? ( M e ? Fx) 2 dx 2 EI 2 EI L L M e2 L M e FL2 F 2 L2 ? ? ? 2 EI 2 EI 6 EI

B

F A M0 L

⑶ 当F和M0分别作用时

MeL V? 1 ? 2 EI

V? 2

F 2 L3 ? 6 EI

V? 1 ? V? 2 ? V?

⑷ 用普遍定理

FL3 M e L2 wA ? (wA ) F ? (wA ) M 0 ? ? 3EI 2 EI FL2 M e L ? A ? (? A ) F ? (? A ) M e ? ? 2 EI EI 1 1 F 2 L3 M e F 2 M e2 L V? ? W ? FwA ? M e? A ? ? ? 2 2 6 EI 2 EI 2 EI

§13-4 互等定理
F1
?1
?2

F2

F1
? 11
? 21

?i j
荷载作用点

?位移发生点

F2
? 12
? 22

F1
? 11
? 21

F2
? 12
? 22

先作用F1,后作用F2,外力所作的功: 1 1 Ve ? F1? 11 ? F2? 22 ? F1? 12 2 2 先作用F2,后作用F1,外力所作的功:
1 1 Ve ? F2? 22 ? F1? 11 ? F2? 21 2 2

功的互等定理:

F1? 12 ? F2 ? 21

若F1 ? F2,则得
位移互等定理:

? 12 ? ? 21

例:求图示简支梁C截面的挠度。

F

wC1

? B2

解:由功的互等定理 F ? wC1 ? M ? ? B 2

Fl 得:F ? wC1 ? M ? 16E I Ml 由此得:wC1 ? 16E I
2

2

例:求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移? C 。

wC1
F

? B2

解:由功的互等定理 F ? wC1 ? M ? ? B 2

?l? F? ? 2? ? 得:F ? wC1 ? M ? 2E I 2 Ml 由此得: wC1 ? 8E I

2

13-5 卡氏定理
F3
F2

?1

F1

? 2 ?3 ?i

1 1 1 V? ? W ? F1? 1 ? F2? 2 ? F3? 3 ? ? 2 2 2

? ?Fi

若只给 Fi 以增量 ,其余不变,在?Fi 作用下,原各力作用点将 产生位移?? , ?? ,??, ?? ,??
1 2 i

变形能的增加量:

1 ?V? ? ?Fi ?? i ? F1 ?? 1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ? 2

略去二阶小量,则:

?V? ? F1??1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ?
如果把原有诸力看成第一组力,把 ?Fi 看作第二组力,根据互等 定理:

?Fi? i ? F1??1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ?
所以:?V
?

? ?Fi ? ? i

?V? ? ?i ?Fi
卡氏第二定理

?Fi ? 0

?V? ? ?i ?Fi

变形能对任一载荷Fi 的偏导数,等于Fi作用点沿Fi方向的位移

推导过程使用了互等定理,所以只适用线弹性结构。

横力弯曲:

?V? ? M 2 ( x) ?i ? ? (? dx) ?Fi ?Fi L 2 EI M ( x) ?M ( x) ?? ? dx EI ?Fi L

桁架杆件受拉压:

V? ? ?
j ?1

n

FN j L j 2 EAj

2

n F L ?V? N j j ?FN j ?i ? ?? ? ?Fi j ?1 EAj ?Fi

轴受扭矩作用:

?V? T ( x) ?T ( x) ?i ? ?? ? dx ?Fi L GI P ?Fi

13-6 单位载荷法 莫尔积分
F1 F2

C
?

F1 F2
C

M ( x)

M ( x) V? ? ? dx 2E I l

2

F0 ? 1
C

M ( x)

0

[M ( x)] V? 0 ? ? dx 2E I l

0

2

F1 F2

F0
C

M ( x) ? M 0 ( x)
[(M ( x) ? M ( x)] V? 1 ? ? dx 2E I l
0 2

V? 0 ? ? 共做功 ? F1、F2 作功: V? ? ?W1 ? V? 0 ? V? ? 1 ? ? 1? ? ? F0 在?上又作功: ?
F1 F2

F0 作功:

F0 ? 1

C
?

W1 ? V? 1

[(M ( x) ? M ( x)] V? 0 ? V? ? 1 ? ? ? ? dx 2E I l
0 2

?

?
l

M ( x) M 0 ( x) M 2 ( x) [ M 0 ( x )]2 dx ? ? dx ? ? dx 2E I 2E I EI l l

MM (x ) M ( x ) ( x) M ( x) ?? ? ? dx ? ? 1? d x EI E I l
0 l

0

??

?
l l

M ( x) M ( x) dx 莫尔定理 EI (莫尔积分) M ( x) M ( x) dx EI
0

0

???
对于组合变形:

FN ( x) FN ( x) T ( x)T 0 ( x) M ( x)M 0 ( x) ??? dx ? ? dx ? ? dx EA GI p EI l l l

0

注意:上式中?应看成广义位移,把单位力看成与广 义位移对应的广义力

例:试用莫尔定
理计算图(a)所示
A
l

F
x

B

悬臂梁自由端B
的挠度和转角。
A

1
x

B

1
A
x

B

解: (1)在B截面作用一单位力 , 如图(b)所示 M ( x) ? ? Fx,
vB ?

M ( x) ? ? x
0

?
l

l 2 3 M ( x) M ( x) Fx Fl dx ? ? dx ? ? EI EI 3EI 0

0

??

(2)在B截面作用一单位力偶 , 如图(c)所示 M ( x) ? ? Fx, M ( x) ? ?1
0

?B ? ?
l

M ( x) M ( x) Fx dx ? ? dx EI EI 0

0

l

Fl ? ? 2 EI

2

?

§13-7计算莫尔积分的图乘法
在应用莫尔定理求位移时,需计算下列形

式的积分:

M ( x)M ( x) ??? dx EI l
对于等直杆,EI=const,可以提到积分号外,

故只需计算积分

M ( x ) M ( x ) d x ?
l

直杆的M0(x)图必定是直线或折线。

? M ( x)M ( x)dx
l

? tg? ? ? x ? M ( x)dx
l

? tg? ? ? ? xC

???MC
M ( x) ? x ? tg?

M ( x)M ( x) ??? dx EI l ?

?M C
EI

顶点

顶点

2 ? ? lh 3
二次抛物线

1 ? ? lh 3

例:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
解(1)求自由端的挠度

F

wB ? ?

?
l

M ( x)M ( x) dx EI

L F

?M C

Fl

EI 1 ? Fl 2 2l ? ? ? ? ? EI ? 2 3 ? ? Fl 3 ? ? 3E I

? ?

F

(2) 求自由端的转角

Fl
m=1

? 1 ? Fl ? ? ?B ? ? 1 ? ? EI ? 2 ?
2

Fl ?顺时针? ? 2E I

2

例:试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大
转角。
q

解(1)简支梁的最大挠度

l
M

ql 2 / 8

wmax

2 ? 2 2 l ql 5l ? ? ? ? ? ? ? ? EI ? 3 2 8 32 ? ?

l/4

5ql ? 384 E I

4

???

(2)求最大转角 最大转角发生在两个支座处

? max

2 ? 1 2 ql 1? ? ? ?l ? ? ? ? ? EI ? 3 8 2?

ql / 8

2

ql ? 24 E I

3

例:试用图乘法求所示简支梁C截面的挠
度和A、B截面的转角。

CL12TU34

解:

2 ? 1 l M? ? ? wC ? ? ? EI ? 8 2 ? ?

ml ? ? ?? 16E I
2

l/4

?A

1 ? ml 1? ? ? ? ? E I ? 2 3?

ml ? 6E I

? 顺时针?

?B

1 ? ml 2 ? ? ? ? ? E I ? 2 3?

ml ? 3E I

? 逆时针?

例:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的
挠度和转角。

CL12TU35

解:

1 wB ? EI

? l ql 2 3l ? ? ?3? 2 ? 4 ? ? ? ?
4

ql ? 8E I

? ??

ql 2 2

?B

2 ? ? 1 l ql ? ? 1? ? ? EI ?3 2 ?

ql ? 6E I

3

? 顺时针?

ql 2 2

例:试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的
铅垂位移。

CL12TU36

解:

2 ? ? 1 l ? ? wC ? ? m ? EI ? 8 ? ?

ml ? 8E I

2

? ??

例:图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载 荷q及集中力X作用。用图乘法求:
(1)集中力作用端挠度为零时的X值; (2)集中力作用端转角为零时的X值。
F

CL12TU37

解:(1)

F

ql / 8

2

1 ?C ? EI

? Fal 2a Fa 2 2a ql 3 a ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 12 ? 2 ? ? ? ?

?0
ql 3 F? 8a(l ? a)

(2)

ql / 8

2

1 ?C ? EI

? Fal 2 Fa 2 ql 3 1 ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 12 ? 2 ? ? ? ?

?0
ql 3 F? 4a(2l ? 3a)

例:图示梁的抗弯刚度为EI,试求D点的
铅垂位移。

CL12TU38

解:

3 ? Pa2 2a ? Pa 3 ? ?C ? ? ? ? ? ? EI ? 2 3 ? EI

例:图示开口刚架,EI=const。求A、B两
截面的相对角位移 θ
AB

和沿P力作用线方向的

相对线位移 ΔAB 。

CL12TU39

解:

? AB

2 Pa 3 ? 1 1 1 1? ? ? ? ?2? ? ? EI ?8 3 2 2?

2 Pa ? 3EI

3

? AB ? 0

例:用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转
角及E截面的挠度。

CL12TU40

解:
?A
Pa 2 ? EI ? 1 5 1 1? ? ? ? ? ? ? 2 6 2 6?
2

Pa ? 2E I

1? ? ?2 ? ? ? 2?

Pa ? EI

2

Pa ? 1 1 ? ?E ? ? ? ? 2? EI ? 2 3 ? Pa3 ? 3 ? ? ? ?1? 2E I ? 2 ?

3

13Pa ? 12 EI

3

例:图示刚架,EI=const。求A截面的水
平位移 ΔAH 和转角θ
A



CL12TU41

1 2 1 5? 3qa 解:? AH ? qa ? ? ? ? ? ?? EI ?4
qa 2
qa

4

4

3

3 8?

8E I

???

qa 2

2

qa / 2

第十四章

超静定结构

第十四章

超静定结构

14-1
14-2 14-3

超静定结构概念
用力法解超静定结构 对称及反对称性质的利用

目录

14-1 超静定(静不定)结构概述 在超静定系统中,按其多余约束的情况,可以分为: 外力超静定系统和内力超静定系统。 外力超静定: 支座反力不能全由平衡方程求出; 内力超静定: 支座反力可由平衡方程求出,但杆件 的内力却不能全由平衡方程求出.
目录

例如
P
C

P
C
a

a

B

Pl
A
B

A

目录

我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。 求解超静定系统的基本方法是:

解除多余约束,代之以多余约束反力然后
根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程

进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构,称为原 超静定系统的基本静定系统或相当系统。 (本章主要学习用力法解超静定结构)
目录

§14-2 用力法解超静定结构
在求解超静定结构时,
代之以多余约束力, 一般先解除多余约束,

得到基本静定系,

再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。

我们把这种以“力”为未知量,求解超静定的方法 称为“力法”。

目录

例如: 该体系中多出一个外部约束,为一次超静定梁
A a
C

解除多余支座B,并以多余约束X1代替
X1
A
C

B

B
F

a

l

F

l

若以

?1 表示B端沿竖直方向的位移,则:
A C F
?1F

?1 ? ?1F ? ?1X 1 ? 0
A
C

(*)
X1

B

B ? 1 X1

?1F 是在F单独作用下引起的位移

?1X1 是在X1单独作用下引起的位移
目录

1 A
C

B ?11

对于线弹性结构,位移与力成正比,X1是单位力“1”的X1倍,故 ?
的X1倍,即有

1 X1

也是 ?
11

?1X1 ? ?11 X1

所以(*)式可变为:

? 11 X 1 ? ?1F ? 0
? 1F Fa 2 ?? (3l ? a) 6 EI

若:

l3 ? 11 ? 3EI
于是可求得

Fa 2 X 1 ? 3 (3l ? a) 2l
目录

例14.1:试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。 q 解: B
a
C

a

D

? 11
? 1P

1 ? EI

? a 2 2a ? 4a 3 2 ? ? 2 ? 3 ? a ? a? ? ? 3EI ? ?

X1
B

a
A

q a
D

1 ?? EI

? qa ? qa ? ? ? 2 ? a ? ? ? 2 EI ? ?
3 4

1

a

C

a A

由? 11 X 1 ? ?1P ? 0 得

3qa X1 ? 8

a a

3qa ? X B ? 0, YB ? 8
11qa X A ? 0, YA ? 8

???
qa2 MA ? 8

???,

?逆时针?
目录

qa 2 2

qa 2 2

例14.2:两端固定的梁,跨中受集中力P作用,设梁的抗弯刚度 为EI,不计轴力影响,求梁中点的挠度。 解:
P
A
l 2

C
l 2

B

? 11
? 1P

1 l ?l ? 1? ? ? EI EI
1 ?? EI ? Pl 2 ? Pl 2 ? ? 8 ? 1? ? ? ? 8 EI ? ?

P

X1

P 2

由?11 X 1 ? ?1P ? 0
Pl 得X 1 ? 8

1 Pl 4
Pl 8
P

Pl 2 l 3 Pl 3 Pl ? wC ? ? 2? 8 ? ?? ? 48EI 16EI 192EI

A
l 2

C
l 2

B

Pl 8

目录

例14.3:求图示刚架的支反力。
C

q

q
B

a a

C

a

B

解:

? 11
? 1P

2 ? EI

? a 2 2a ? 2a 3 ? ? 2 ? 3 ? ? ? 3EI ? ?
? 2 qa 2 a? qa 4 ? ?3 8 a? 2? ? ? ? 24 EI ? ?
a

a
A

A

1 ?? EI

qa2 8

a
qa 2

由?11 X 1 ? ?1P ? 0
qa 得X1 ? 16
qa 9qa ???,YB ? ? ? XB ? ?? 16 16

qa 2

7qa qa ?? ?, YA ? 16 ??? XA ? 16
目录

上面我们讲的是只有一个多余约束的情况! 那么当多余约束不止一个时,力法方程是什么样的呢?

P2

P2

P 1

P 1

P3

X3
X2
目录

P3
X1

变形协调条件 : 作用点沿着 ?i 表示 X i 由叠加原理:

?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 0
方向的位移 X
i

?1 ? ?1X1 ? ?1X 2 ? ?1X 3 ? ?1P ? 0
?1 ? ?11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?1P ? 0
同理

? 2 ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2 P ? 0

? 3 ? ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ? 3P ? 0
目录

力法正则方程:

??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? ?1F ? 0 ?? X ? ? X ? ? ? ? X ? ? ? 0 ? 21 1 22 2 2n n 2F ? ??????? ? ? ?? n1 X 1 ? ? n 2 X 2 ? ? ? ? nn X n ? ? nF ? 0

矩阵形式:

??11 ?12 ?? ? 22 ? 21 ?? ? ? ?? n1 ? n 2

? ? 1n ? ? X 1 ? ? ? 1 F ? ?? ? ? ? 2n ? ? X2? ? ? 2F ? ?? ? ? ? ? ??0 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? nn ? ? ?Xn ? ? ? ? ? nF ? ?

?ii 表示沿着 方向 Xi

单独作用时所产生的位移 X i ?1 单独作用时所产生的位移 X j ?1

?ij 表示沿着 方向 Xi

F单独作用时所产生的位移 ? iF 表示沿着 方向载荷 Xi 目录

引起的弯矩为 X ? 1 i ? 设:

? ? X j ? 1引起的弯矩为 ? 载荷F引起的弯矩为 ?
?ii ? ?
l

Mi

Mj
MF

则:

Mi Mi dx EI

?ij ? ?
l

Mi M j EI

dx

?i F

Mi M F ?? dx EI l
目录

14-3 对称及反对称性质的利用
对称性质的利用:

对称结构:若将结构绕对称轴对折后, 结构在对称轴两边的部分将完全重合。
目录

对称载荷:将对称结构绕对称轴对折后,对称轴两边的载荷完 全重合(即对折后载荷的作用点和作用方向重合,且作用力的

大小也相等)。
P2 P2

P 1

P 1

目录

反对称载荷:将对称结构绕对称轴对折后,对称轴两边的载荷 作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。

P2

P2

P 1

P 1

目录

P

P 2

P 2

P

P 2

P 2

目录

? 对称结构在对称载荷作用下的情况:
F F

F

X3

X2

F

X1
X3

X2
P P

P

P

用图乘法可证明 当对称结构上受对称载荷作用时, 可得: 在对称面上反对称内力等于零。

?12 ? ? 21 ? ? 23 ? ? 32 ? 0
? 11 X 1 ? ? 13 X 3 ? ??1F ? 31 X 1 ? ? 33 X 3 ? ?? 3 F ? 22 X 2 ? 0
目录

于是正则方程可化为

对称结构在反对称载荷作用下的情况:
F F

F

X3

X2

F

X1
X3

X2
P P

P

P

同样用图乘法可证明 当对称结构上受反对称载荷作用时, 可得: 在对称面上对称内力等于零。

?12 ? ? 21 ? ? 23 ? ? 32 ? 0
? 11 X 1 ? ? 13 X 3 ? 0 ? 31 X 1 ? ? 33 X 3 ? 0 ? 22 X 2 ? ?? 2 F
目录

于是正则方程可化为

例14.4:平面刚架受力如图,各杆 EI=常数。试求C处的约束力 q 及A、B处的支座反力。
a 2
C

a 2

解:

? 11

1 ? EI
1 ?? EI

? a 2 2a ? a 3 ? ? 2 ? 3 ? ? ? 3EI ? ?
? a 2 qa 2 ? qa 4 ? ? 2 ? 8 ? ? ? ? 16 EI ? ?

a
A

a
B

q
a 2

? 1P

由力法正则方程:

?11 X 1 ? ?1P

3qa ?X C ? ,YC ? 0, M C ? 0 16
3qa X A (?) ? X B (?) ? , 16

3qa ? 0得: X 1 ? 16

a
A

qa 2 8 qa 2 8

qa Y A ? YB ? ?? ? 2

qa2 M A (顺时针) ? M B (逆时针) ? 16
a

例14.5:等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及 其作用位置。
A
P

B
a

解:载荷关于对角线AC和BD反对称
P P

由平衡条件可得:
2 P 2

a
D
P
C

a
Q

a
P

Q ? P cos45? ?
M max ? Pa 2

A

B

( M max发生在外载荷 P作用点处 )
C

P

Q

附录I
平面图形的几何性质

附录I平面图形的几何性质

§I-1
§I-2

静矩和形心
惯性矩和惯性半径

§I—1 静矩和形心
1.静矩

z

y

dA

Sz ? ? y d A
A

z

, Sy ? ? z dA
y
A

O

形心坐标:

z

y

C
z

? y?

O
yd A A ,

y

A

? z?

A

zd A A

静矩和形心坐标之间的关系:

z

y

C
z

Sz y? A Sy z? A
y

O
S z ? y A,

Sy ? zA

例:计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图
形对y轴和z轴的静矩,并确定图形的形心坐标。

z
2 ? y ? z ? h? 1 ? 2 ? b ? ?

O

y

2 ? ? 1 y z 4 bh 解: S ? 2 1? 2 ? dy ? y ? 2 dA ? ? 2 h ? 15 b ? ? 0 A
2
2 ? y2 ? b h S z ? ? y dA ? ? yh? 1 ? 2 ? d y ? 4 b ? ? 0 A
b

b

2

z

h

? y ? z ? h? 1 ? 2 ? b ? ?
2

O

y b

dy

y

? y2 ? 2bh A ? ? d A ? ? h? 1 ? 2 ? d y ? 3 b ? 0 ? A

b

形心坐标为:

bh Sz 3b 4 y? ? ? A 2bh 8 3 4bh Sy 2h 15 z? ? ? 2bh A 5 3
2

2

例:确定图示图形形心C的位置。

解: y ? S z ? 10 ? 120 ? 5 ? 70 ? 10 ? 45 ? 19.7 mm 1200 ? 700 A
10 ? 120? 60 ? 70 ? 10 ? 5 z? ? ? 39.7mm A 1200? 700 Sy

例:求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。

解:

2 ? h a? b h ?h ?? 2? ?a ? S y ? b? ? a? ? a ? ? ? ? ? ?2 ?? 4 2? 2 ? 4 ?

§I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩

z
y
ρ

dA

z
y
2 A

Iz ? ? y dA , I y ? ? z dA
2 A

O

工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与
某一长度平方的乘积,即

I y ? A iy
I z ? A iz

2

或 iy ?
或 iz ?

Iy A
Iz A

2

i y 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径

二、极惯性矩

z
y

I p ? ? ? dA
2 A

dA

?

? ? ? y ?z
2 2

2

z

? I p ? I y ? Iz
O
y

例:求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。

解:

Iy ? ?

A

bh z dA ? ? z bdz ? 12 ?h/2
2

h/2

2

3

dz

z

例:求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。

Ip ?

?d

4

32

I y ? Iz ? I p I y ? Iz

惯性积

z
y

dA

z

O
I yz ? ? yz d A
A

y

如果所选的正交坐标轴中,有一个坐标轴 是对称轴,则平面图形对该对坐标轴的惯性积

必等于零。

I yz ? 0

z
y

dA dA

几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐 标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时,则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。

因此,具有一个或两个对称轴的正交坐标
轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的

惯性矩称为主惯性矩。

(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为
形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主

惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

附录I

平面图形的几何性质

附录I 平面图形的几何性质
§I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩

§I-3 平行移轴公式

z a

y

zc yc

y ? yc ? a z ? zc ? b
zc

C

dA

yc

z b

O

y

z a

zc

C
b

yc

O

y

I z ? I zC ? a A

2

平行移轴公式:

Iy ? Iy ?b A
2
C

Iz ? Iz ? a A
2
C

I yz ? I y z ? abA
C C

例:求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy

z a a
d

y

解:

z a a
y

d (2a ) Iy ? 12

3

?? d ? ? ? ? d ? 2d ? ? d ? 2d ?2? ? a? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 ? 3? 8 ? 3? ? ? 128 ?
4

d

CL6TU11
2 2

2

2

§I-4 转轴公式

主惯性轴和主惯性矩

? y1 ? y cos? ? z sin ? ? ?z1 ? ? y sin ? ? z cos?
I y1 ? ? z1 dA
2 A

? ? ( ? y sin ? ? z cos? ) dA
2 A

? I z sin ? ? I y cos ? ? I yz sin 2?
2 2

?

I y ? Iz 2

?

I y ? Iz 2

cos 2? ? I yz sin 2?

转轴公式:

Iy ? Iz Iy ? Iz ? ? cos 2? ? I yz sin 2? ? I y1 ? 2 2 ? Iy ? Iz I y ? Iz ? ? cos 2? ? I yz sin 2? ? I z1 ? 2 2 ? I ? I y z ? I y1z1 ? sin 2? ? I yz cos 2? ? 2 ?

主惯性轴方位:

设正交坐标轴y0 、z0 是主惯性轴,其方位 角为? 0 ,则

I y0z0 ?

I y ? Iz 2

sin 2? 0 ? I yz cos 2? 0 ? 0

tan2? 0 ? ?

2 I yz I y ? Iz

主惯性矩公式:
2 ? I y ? Iz I y ? Iz ? ? 2 ?I y ? ? ? ? ? I yz 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?I ? I y ? Iz ? ? I y ? Iz ? ? I 2 ? ? yz ? z0 2 ? 2 ? ?

或简写成:
I y0 I z0 ? I y ? Iz 2 ? I y ? Iz ? 2 ? ? ? I ? yz ? 2 ?
2

求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩
大小的步骤: 1)找出形心位置; 2)通过形心c建立参考坐标 yoz, 求出 I y , I z , I yz 。

3)求 ?0 , I y0 , I z0

例:求图示平面图形形心主惯性轴的方位 及形心主惯性矩的大小。

解: 将原平面图形分成上中 下三个 矩形。过形心建立参考 坐标系ycz
I y ? 2 I y1 ? I y2

3 ? 40 ? 53 ? 5 ? 60 2 ? 2? ? 40 ? 5 ? 27.5 ? ? 12 ? 12 ?

? 393333 mm ? 39.33cm
I z ? 2 I z1 ? I z2

4

4

3 ? 5 ? 40 3 ? 60 ? 5 2 ? 2? ? 40 ? 5 ? 22.5 ? ? 12 ? 12 ?

? 256458 mm 4 ? 25.65 cm 4
I yz ? 2 I yz1 ? 2? 40 ? 5 ? 27.5 ? 22.5? ? 247500 mm ? 24.75cm
4 4

2 ? 24.75 由 tan 2? 0 ? ? ?? ? ?3618 . I y ? Iz 39.33 ? 2565 . 2 I yz
得形心主惯性轴的方位角 ? 0 ? ?37.3? 或 52.7?
形心主惯性矩的大小为: I y0 I z0 ? I y ? Iz 2 58.2 ? I y ? Iz ? 2 4 ? ? ? I ? cm ? yz ? 2 ? 6.81
2


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