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小题训练七


小题训练七
1.若 (a ? 2i)i 2013 ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 a 2 ? b 2 等于( A.0 B.2 C. )

5 2

D.5

2.设集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,则 M ? N 等于( ) A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1, 2}

3.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60 0 的任意向量,则对任意的正实数 t , | ta ? b | 的最小值是( )

?

?

? ?

A.0

B.

1 2

C.

3 2
1 n ? n ?1

D.1

4.已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 an ? A.90 B.121 C.119

, Sn ? 10 ,则 n ? (



D.120

5.设 a ? sin 145°, b ? cos 52°, c ? tan 47°,则 a , b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b 6.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF=

1 .则下列结论中正确的个数 为( ) ..... 2

①AC⊥BE;②EF∥平面 ABCD;③三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值; ④ ?AEF 的面积与 ?BEF 的面积相等, A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的焦点为 F1 , F2 ,若点 ? 在椭圆上,且满足 ?? ? ?F1 ? ?F2 2 a b

(其中 ? 为坐标原点) ,则称点 ? 为“ ? ”点,则此椭圆上的“ ? ”点有( )个 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 8.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生 的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 一年级 女生 男生 A.24 373 377 B.18 二年级 x 370 C.16 三年级 y z D.12

2 2 2 9.已知函数 f ? x ? ? cos x , a , b, c 分别为 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 3b ? c ? 4ab ,则下

列不等式一定成立的是 A. f ? sin A? ? f ? cos B ? C. f ?sin A? ? f ?sin B ? B. f ? sin A? ? f ? cos B ? D. f ? cos A? ? f ? cos B ?

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10. 已知定义在实数集 R 的函数 f ( x ) 满足 f(1) =4,且 f ( x ) 导函数 f ?( x) ? 3 , 则不等式 f (ln x) ? 3ln x ? 1 的解集为 A. (1, ??) B. (e, ??) C. (0,1) D. (0, e)

11.已知 F1 , F2 分别为双曲线
2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,若 a 2 b2
) D. ?3, ?? ? )

PF1 的最小值为 8 a ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( PF2
A. ?1,3?
2

B. 1, 3 ?

?

?

C. ? 3, 3?

?

?

12.曲线 y=x -lnx 上任意一点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是( A.1 B. 2 C.2 D. 2 2

13. 若等差数列 ?an ? 满足 a 7 ? a8 ? a9 ? 0 , 则当 n ? ________时数列 ?an ? 的前 n 项和最大. a7 ? a10 ? 0 , A. 15 B. 16 C. 8 D. 9 .

14.已知不等式 x 2 ? (m ? 1) x ? m 2 ? 0 的解集为 R ,则实数 m 的取值范围为 15.已知某程序框图如下:

A

D

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入的条件是__________. 16. 如图, 等腰梯形 ABCD 中, AB ? AD ? DC ?

1 BC ? 1 , 现将三角形 ACD 2

B

C

沿 AC 向上折起,满足平面 ABC ? 平面 ACD ,则三棱锥 D ? ABC 的外接球的表面积为 _______ . 17. 已知各项均为正数的等差数列 (1)求公差 d 和 (2)令 bn ?

a ? 2 且 a1 , a2 , a3 ? 2 成等比数列. {an } 的公差为 d, s 其前 n 项和为 n , 1

an ;

1 {b } T , 求数列 n 的前 n 项和 n . sn

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:∵ (a ? 2i)i 2013 ? b ? i ,∴ (a ? 2i )i ? b ? i ,∴ 2 ? ai ? b ? i ,∴ ?

?a ? ?1 ,∴ ?b?2

a 2 ? b2 ? 5 .
考点:复数的运算. 2.D 【解析】 试题分析: ∵ N ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ? {x |1 ? x ? 2} ,M ? {0,1, 2} , ∴ M ? N ?{ 1 ,2 } 考点:集合的交集运算. 3.C 【解析】 .

1? 3 3 ? 试题分析: (t a ? b) ? t a ? 2t a ? b ? b ? t a ? t a ? 1 ? ? t a ? ? ? ? ,所以 2? 4 4 ?
2 2 2 2 2 2

2

? ? 3 .注:本题也可数形结合 | ta ? b | 的最小值是 2
考点:向量的模 4.D 【解析】? an ?

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n ,

?Sn ? ( 2 ?1) ? 3 ? 2 ? ...?
n ? 1 ? 1 ? 10,解得 n ? 120 .

?

?

?

n ? 1 ? n ? n ? 1 ?1 ,

?

【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前 n 项和等知识,意在考查学生的简单思维 能力与基本运算能力. 5.A 【解析】 试题分析:? a ?

2 3 ,1 ? b ? , c ? 1,? a ? b ? c ,故选 A. 2 2

考点:三角函数值;比较大小 6.C 【解析】 试题分析:对于①,连接 BD,则根据正方体性质可知: AC ? 平面 BDD1B1 ,而 BE ? 平面

BDD1B1 ,所以 AC ? BD ,①正确;对于②,因为 B1D1 ∥平面 ABCD ,所以 EF ∥平面
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ABCD ,②正确;对于③,点 B 到直线 EF 的距离为定值,即正方体的棱长 1,所以 ?BEF
面积为定值

1 1 1 2 ? ?1 ? , 点 A 到平面 BEF 的距离即为点 A 到平面 BDD1B1 的距离, 等于 , 2 2 4 2

则三棱锥 A ? BEF 的体积为定值,等于

1 1 2 2 ,③正确;对于④,点 A,B 到直线 ? ? ? 3 4 2 24

B1D1 的距离不等,所以 ?AEF 的面积与 ?BEF 的面积不相等,因此正确的是①②③.
考点:点、线、面位置关系. 7.C 【解析】 试 题 分 析 : 设 椭 圆 上 的 点 P( x0 , y0 ) , 可 知 P F ,x 1 ? a? e0

P ? 2F

因为 ? a , 0e x

?? ? ?F1 ? ?F2 ,则有

2

a2 ? e2 x02 ? x02 ? y02 ? x0 2 ? b 2 (1 ?
故选 C. 考点:新定义,椭圆的焦半径公式. 8.C 【解析】 试题分析:

x0 2 2a ) ,解得 x0 ? ? ,因此满足条件的有四个点, 2 a 2

x ? 0.19 ? x ? 380, y ? z ? 2000 ? 750 ? 750 ? 500 2000 64 4 m ? ? ? m ? 16 2000 125 500
故选 C. 考点:等概率抽样,分层抽样. 9.B 【解析】
2 2 2 2 2 试 题 分 析 : 根 据 题 意 有 3a ? 3b ? 4ab ? c ? a ? b ? 2ab cos C , 整 理 得

C? 0 , 所 以 A? B ? (a ? b)2 ? ?ab cos C , 从 而 有 c o s
sin A? s i n ( ? B ?) 2

?
2

,有 A?

?
2

?B ,所以

?

c B, os 又 因 为 函 数 f ? x ? ? cos x 在 [0, ? ] 上 是 减 函 数 , 故 有

f ?sin A? ? f ? cos B ? ,所以选 B.
考点:余弦定理,三角函数的单调性. 10.D 【解析】
答案第 2 页,总 5 页

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试题分析:设 t ? ln x , 则不等式 f (ln x) ? 3ln x ? 1等价于 f (t ) ? 3t ? 1 , 设 g ( x) ? f ( x) ? 3x ? 1, 则 g ?( x) ? f ?( x) ? 3 , ∵ f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? 3 , ∴ g ?( x) ? f ?( x) ? 3 ? 0 ,此时函数在 R 上单调递减, ∵ f (1) ? 4 , ∴ g (1) ? f (1) ? 3 ? 1 ? 0 , 则当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即 g ( x) ? 0 ,则此时 g ( x) ? f ( x) ? 3x ? 1 ? 0 , 即不等式 f ( x) ? 3x ? 1 的解为 x ? 1 , 即 f (t ) ? 3t ? 1 的解为 t ? 1 , 由 ln x ? 1 ,解得 x ? e , 即不等式 f (ln x) ? 3ln x ? 1的解集为 (e, ??) , 故选:B. 考点:1.导数的运算;2.不等式的解法. 【方法点睛】本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数,利用函数的单调性和导数之 间的关系是解决本题的关键, 属于中档题. 解题时一定要注意根据题目已知条件构造合适的 函数,以能用已知条件判断函数的单调性,并能将所解不等式转为一般不等式为标准. 11.A 【解析】

PF1 (2a ? PF2 ) 2 4a 2 ? ? ? PF2 ? 4a ? 8a 当且仅当 PF 试题分析: 2 ? 2a 时取得最小 PF2 PF2 PF2
值,此时 PF 2a ? c ? a 解得, e ? 1 ? 4a .已知 PF 2 ? c ? a,即 率 e ? 1 .故选 A. 考点:双曲线离心率. 12.B 【解析】 试题分析:设曲线 P?x0 , y0 ? 到直线的距离最小,则此点处的导数应等于直线的斜率 1,即

2

c ? 3 .又因为双曲线离心 a

答案第 3 页,总 5 页

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f ??x0 ? ? 2 x0 ?

1 ? 1 ?x0 ? 0? ,解得 x0 ? 1 , y0 ? 1 ,代入点到直线的距离公式等于 x0

d? 2
考点:1.导数的几何意义;2.点到直线的距离 13.C 【解析】 试题分析:由 a 7 ? a8 ? a9 ? 0 可得 a8 ? 0 ;又 a7 ? a10 ? a8 ? a9 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,所以 当 n ? 8 时前 n 项和最大. 考点:1.等差数列的性质;2.等差数列前 n 项和的最值; 14. ( ??, ? ) U (1, ? ?) 【解析】 试题分析: 此题等价于二次函数 y ? x ? (m ? 1) x ? m 的图像和 x 轴没有交点, 故判别式小
2 2

1 3

1 于 0,即 (m ? 1) ? 4m ? 0 得 m 的范围是 ( ??, ? ) U (1, ? ?) .
2 2

3

考点:二次函数与二次不等式的关系. 15. K ? 10 ? 【解析】 试题分析:输出的 S ? 12 ? 11 ? ......,因为 12 ? 11 ? 132 ,所以循环两次就退出循环,此时 k ? 10 ,就要退出循环,那么条件框应填入 K ? 10 ? 考点:1.程序框图的应用;2.循环结构;3.条件语句. 16. 5? 【解析】 试题分析: 由题可得 AC ? 3 ,所以 ?ABC 为直角三角形. 设 AC 、BC 中点分别为 E , F ,

5 1 5 ?1? 则 EF ? ,所以 r ? 1 ? ? ? ? ,则表面积为 4? ? ? 5? . 2 4 2 ?2?
考点:1.几何体的外接球表面积; 17. (1) d ? 2 ;

2

n an ? 2n ; (2) Tn ? . n ?1

【解析】 试题分析: (1)根据三项成等比数列,列方程,求公差,知道公差和首先,根据公式写通项; (2)首先根据等差数列求 试题解析: (1)依题意 ∵ ∴

sn ,再求 ?bn ? ,最后根据形式用裂项向消法求和.

a2 ? a1 ? d ? 2 ? d , a3 ? a1 ? 2d ? 2 ? 2d

a1 , a2 , a3 ? 2 成等比数列
2 a1 ? (a3 ? 2) ? a2

答案第 4 页,总 5 页

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即 2 ? (2 ? 2d ? 2) ? (2 ? d )2 解得 d=-2(舍去)或 d=2 所以

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n
a1 ? an ? n ? n(n ? 1) 2

(2)由(1)可知 sn ? ∴ bn ?

1 1 1 1 ? ? ? sn n(n ? 1) n n ? 1



Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? n ?1 n ?1
考点:1.等差数列;2.裂项向消法求和.

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