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福建师大附中2016届高三数学下学期模拟考试试题 理


福建师大附中 2016 届高三模拟考试卷 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i A.-1 B.1 C. i

2016

,则复数 z 的虚部为(

).

D. ? i

3. 已知向量 a, b ,其中 a ? 2, b ? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则向量 a, b 的夹角是( A.

? ?

?

?

? ?

?

? ?

).

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

4.某射击手射击一次命中的概率是 0.7,连续两次均射中的概率是 0.4,已知某次射中, 则随后一次射中的概率是( )A. B. C. D.

5.下列表格所示的五个散点,原本数据完整,且利用最小二乘法求得这五个散点的线性 回归直线方程为 ? y ? 0.8x ?155 ,后因某未知原因第 5 组数据的 y 值模糊不清,此位 置数据记为 m (如下表所示) ,则利用回归方程可求得实数 m 的值为( )

x
y

196 1

197 3

200 6

203 7

204

m

A、 8.3

B、 8.2

C、 8.1

D、 8

6.如图,该程序框图的算法思路来源于我国 古代数学名著 《九章算术》 中的“更相减 损术”, 执行该程序框图, 若输出的 a =3, 则输入的 a , b 分别可能为 ( )
1

A.15、18 C.13、18

B.14、18 D.12、18

7. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概 率是( ) A.

3 10

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

8.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ? 数 f ? x ? 的单调递减区间是( )

? ? 3? ? ) 的图象的一个对称中心为 ? , 0 ? , 则函 2 ? 8 ?

, 2k? ? ? (k ? Z ) A. ? 2k? ? 8 8? ? , k? ? ? (k ?Z ) C. ? k ? ? 8 8? ? ? 3?

?

3?

??

(k ? Z ) B. ? 2k? ? , 2k? ? 8 8 ? ? ? (k ? Z ) D. ? k? ? , k? ? 8 8 ? ? ? ?

?

?

5? ?

??

?

5? ?

?x ? 2 ? 9.已知实数 x 、 y 满足条件 ? x ? y ? 4 ,若目标函数 z ? 3 x ? y 的最小值为5,则 a 的 ? ax ? y ? 5 ? 0 ?

值为(

) B.﹣17 C.2 D.17

A.﹣2

10.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧 视图的轮廓是边长为 2 的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为( )

A.2 C.2

B.4 D.2

2

11.已知双曲线

x2 y 2 - 2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 做圆 x2+y 2=a2 的切线 2 a b

分别交双曲线的左、右两支于点 B,C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程 为( A.y=±3x ) B.y= ?2 2 x C.y=±( 3 +1)x D.y= ?( 3- 1) x

12. 设函数 f ? x ? 的定义域为 R , f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , 当 x ??0,1? 时,

? 1 5? f ? x ? ? x3 , 则 函 数 g ? x ? ? cos ?? x ? ? f ? x ? 在 区 间 ? ? , ? 上 的 所 有 零 点 的 和 为 ? 2 2?
( ). A. 7 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
3 13.若 y ( x ?

B. 6

1 n ) (n ? N * ) 的展开式中存在常数项,则常数项为 2 x y



14.已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F ?1,0 ? ,点 F 关于直线 y ? 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的方程为 .

1 x 的对称点 2

BC ? 1 , 15. 设正三棱锥 A ? BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上, E , F 分别是 AB, BC
的中点, EF ? DE ,则球 O 的半径 为 16.已知数列 {an } 满足 a1 ? ?1, an ? an?1 ? 2
n?1

.

(n ? N , n ? 2), 且 {a2 n ?1} 是递减数列,

{a2 n } 是递增数列,则 a2016 ? _____
17.(本小题满分 12 分)

___.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2b cos C ? c ? 2a
(Ⅰ)求角 B 的大小;

3

(Ⅱ)若 BD 为 AC 边上的中线, cos A ?

1 129 ,BD= ,求△ABC 的面积 7 2

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥中 P ? ABCD ,底面 ABCD 为边长 为 2 的正方形, PA ? BD. (Ⅰ)求证: PB ? PD; (Ⅱ)若 E,F 分别为 PC,AB 的中点, EF ? 平面 PCD, 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小. 19.(本小题满分12分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 5件作检验,这5件 产品中优质品的件数记为n. 如果n=3,再从这批产品中任取2件作检验,若都为优质品, 则这批产品通过 检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批 产品通过检验;如果n=5,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为 为优质品相互独立. (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)已知每件产品检验费用为 200 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 x (单位:元),求 x 的分布列. 20.(本小题满分 12 分) 已知点 F ?1,0 ? ,点 A 是直线 l1 : x ? ?1 上的动点,过 A 作直线 l2 ,l1 ? l2 ,线段 AF 的垂直平分线与 l2 交于点 P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若点 M , N 是直线 l1 上两个不同的点, 且△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1, 直线
2 2

1 ,且各件产品是否 2

4

PF 的斜率为 k ,求

k 的取值范围. MN

21.(本小题满分12分) 设函数 f ( x) ? ln ( x ? 1) + a ( x2 ? x) ,其中 a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目,如果多做,则 按所做的第一个题目计分,作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22。 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点

D ,过点 D 作 DE ? CA 交 BA 的延长线于点 E .
(Ⅰ)求证: DE ? AE ?BE ;
2

F E A C D O .

B

(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF ? 4 , EA ? 2 , 求线段 AC 的长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | 2 x ? 1| ( a ? R ) .
5

(I)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 2 的解集; (II)若 f ( x) ?| 2 x ?1| 的解集包含集合 [ ,1] ,求实数 a 的取值范围.

1 2

6

2016 年福建师大附中高考模拟考试数学试题(理科) 参考答案 一、选择题:CBBCD; ABDAC; CA 二、填空题:13. 84 三、解答题: 17. (本题满分 12 分) 解: (1) 2b cos C ? c ? 2a , 由正弦定理,得 2 sin B cos C ? sin C ? 2 sin A ,--------------2 分 14.

5x2 5 y 2 ? ?1 9 4

15.

6 4

16.

2 2016 ? 1 3

? A? B ?C ??

?sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C ????????3 分 2 sin B cosC ? sin C ? 2(sin B cosC ? cos B sin C )
sin C ? 2 cos B sin C
因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以

cos B ?

1 2,

因为 0 ? B ? ? ,所以

B?

?
3 .-----------5 分

(2)法一:在三角形 ABD 中,由余弦定理得
2 ? 129 ? b ?b? 2 ? c ? ? 2 c ? cos A ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? 2

129 b2 1 2 ? c ? ? bc 4 7 ??(1)???????7 分 所以 4
c b ? 在三角形 ABC 中,由正弦定理得 sin C sin B ,

由已知得

sin A ?

4 3 7

7

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

5 3 14 ,???????9 分

c?
所以

5 b 7 ??(2)?????????10 分

?b ? 7 ? 由(1) , (2)解得 ?c ? 5
1 S? ABC ? bc sin A ? 10 3 2 所以 ????????12 分
法二: 延长 BD 到 E , DE ? BD ,连接 AE ,

?ABE 中,

?BAE ?

2? 3 ,

BE 2 ? AB2 ? AE 2 ? 2 ? AB ? AE ? cos ?BAE
因为 AE ? BC ,

129 ? c2 ? a 2 ? a ? c (1)- -----------7 分

由已知得,

sin A ?

5 3 4 3 sin C ? sin( A ? B) ? , 14 ,???????9 分 7 所以

c sin ?ACB 5 ? ? a sin ?BAC 8

(2)----------10 分

由(1)(2)解得 c ? 5, a ? 8 ,

S?ABC ?

1 c ? a ? sin ?ABC ? 10 3 2 ----------12 分

18. 解:(1)连接 AC , BD , AC , BD 交于点 O , 因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD 且 O 为 BD 的中点.
8

又 PA ? BD, PA ? AC ? A, 所以 BD ? 平面 PAC , 由于 PO ? 平面 PAC ,故 BD ? PO . 又 BO ? DO ,故 PB ? PD . ---------------4 分 -------------2 分

1 CD (2)设 PD 的中点为 Q ,连接 AQ, EQ , EQ ∥ , = 2
所以 AFEQ 为平行四边形, EF ∥ AQ , 因为 EF ? 平面 PCD , 所以 AQ ? 平面 PCD ,???????5 分 所以 AQ ? PD , PD 的中点为 Q , 所以 AP ? AD ?

2.

由 AQ ? 平面 PCD ,又可得 AQ ? CD , 又 AD ? CD ,又 AQ ? AD ? A 所以 CD ? 平面 PAD 所以 CD ? PA ,又 BD ? PA , 所以 PA ? 平面 ABCD ????????7 分 (注意:没有证明出 PA ? 平面 ABCD ,直接运用这一结论的,后续过程不给分)

??? ? ???? ??? ? AB , AP , AD AB , AD , AP 由题意, 两两垂直, ,以 A 为坐标原点,向量 的方向为 x 轴 y
轴 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

9



A(0,0,0), B( 2,0,0), Q(0,

2 2 , ), D(0, 2,0), P(0,0, 2) 2 2

???? ? 2 2 ??? AQ ? (0, , ), PB ? ( 2, 0, ? 2) 2 2 ???????9 分 ???? AQ 为平面 PCD 的一个法向量.
设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,

??? ? ???? PB ? AQ 1 ? ???? ? sin ? ? ??? | PB | ? | AQ | 2

????????11 分

? 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角为 6 .????12 分

1 10 5 P( X ? 1400) ? C53 ( )5 ? ? 2 32 16 1 5 P( X ? 1200) ? C5 4 ( )5 ? 2 32 P( X ? 1000) ? 1 ? P( X ? 1400) ? P( X ? 1200) ?
所以 X 的分布列为: X 1000 1200 1400 P 17 5 5

17 ???????10 分 32

32

32

16
???????12 分
10

20.解析: (Ⅰ)解:依 题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于它到直线 l1 的距离,???1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l1 : x ? ?1 为准线的抛物线 . ???? 2 分 ∴曲线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . ?????????????3 分

(Ⅱ )解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 方程为: y ? m ? 分 化简得, ? y0 ? m? x ? ? x0 ?1? y ? ? y0 ? m? ? m ? x0 ?1? ? 0 . ∵△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,
2 2

y0 ? m ? x ? 1? , x0 ? 1

?????????4

∴圆心 ? 0, 0 ? 到直线 PM 的距离为 1 ,即
2 2 2

y0 ? m ? m ? x0 ? 1?

? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1?
2

2

? 1 . ???5 分
2

故 ? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? m ? ? 2m ? y0 ? m ?? x0 ? 1? ? m

? x0 ? 1?

2

.

易知 x0 ? 1 ,上式化简得,? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ? 1? ? 0 .??????6 分 同理, 有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ????????????7 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ? 分 ∴ MN ? m ? n ? 分 ∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 ,
2

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1
2 4 y0

????????????8

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? .?????9 x0 ? 1

11

∴ MN ?

? x0 ? 1?

16 x0

2

?

4 ? x0 ? 1? x 2 ? 4 x0 ? 1 ?2 0 . 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . 1 x0 ? ? 4 x0

????????????10 分

∵函数 y ? x ?

1 1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, ∴ x0 ? ? 1 ?1 ? 0 . x x0
????11 分

∴ x0 ?

1 1 1 ? . ? 4 ? 4. ∴0 ? 1 x0 x0 ? ? 4 4 x0

∴0 ?

k MN

?

1 . 2



k MN

的取值范围为 ? 0, ? . ??????12 分

? ?

1? 2?

12

13

14

22. 解析: (Ⅰ)证明:因为 AD 是⊙ O 的切线, 所以 ?DAC ? ?B (弦切角定理) .??????1 分 因为 DE ? CA , 所以 ?DAC ? ?EDA .???????????2 分 E 所以 ?EDA ? ?B . 因为 ?AED ? ?DEB (公共角) , D O . A F

B

C

所以△ AED ∽△ DEB .???????????????????????3 分 所以

DE BE
2

?

AE DE



即 DE ? AE ?BE .?????????????????????????4 分 (Ⅱ)解:因为 EF 是⊙ O 的切线, EAB 是⊙ O 的割线, 所以 EF ? EA?EB (切割线定理) .?????????????????5 分
2

因为 EF ? 4 , EA ? 2 ,所以 EB ? 8 , AB ? EB ? EA ? 6 .???????7 分 由(Ⅰ)知 DE ? AE ?BE ,所以 DE ? 4 .???????????????8 分
2

因为 DE ? CA ,所以△ BAC ∽△ BED . ???????????????9 分 . ED BA ? ED 6 ? 4 ? ? 3 . ???????????????????10 分 所以 AC ? BE 8 所以

BA

BE

?

AC

15

24. 解: (I)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 1| ,

f ( x) ? 2 ? | x ? 1| ? | 2 x ? 1|? 2 ,

1 ? ?1 ? x ? 1, ?x ? , ? ? x ? 1, 上述不等式可化为 ? 或 ?2 或? 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2, ? ?1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2, ? ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2,
1 ? ?1 ? x ? 1, ? x ? , ? ? x ? 1, ? 解得 ? 或? 2 或 ?2 4 ???3 分 x ? . ? ? ? x ? 0, ? ? x ? 2, 3 ?
1 1 4 或 ? x ? 1或1 ? x ? , 2 2 3 4 ∴原不等式的解集为 {x | 0 ? x ? } . ?????5 分 3
∴0 ? x ?
16

(II)∵ f ( x) ?| 2 x ?1| 的解集包含 [ ,1] , ∴当 x ? [ ,1] 时,不等式 f ( x) ?| 2 x ? 1| 恒成立,??????6 分 即 | x ? a | ? | 2 x ? 1|?| 2 x ? 1| 在 x ? [ ,1] 上恒成立, ∴ | x ? a | ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 , 即 | x ? a |? 2 ,∴ ?2 ? x ? a ? 2 , ∴ x ? 2 ? a ? x ? 2 在 x ? [ ,1] 上恒成立, ??????8 分 ∴ ( x ? 2)max ? a ? ( x ? 2)min , ∴ ?1 ? a ?

1 2

1 2

1 2

1 2

5 , 2 5 2
??????10 分

∴ a 的取值范围是 [ ?1, ] .

17


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