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12-13学年高中数学 1.2.1 几个常用的函数的导数课件 新人教A版选修2-2


? 1.2 导数的计算 ? 1.2.1 几个常用函数的导数

能用导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y 1 =x,y= x的导数,能利用所给基本初等函数的导数公 式,求简单函数的导数.

? 本节重点:几个常见函数的导数. ? 本节难点:函数导数的求法及常见函数导 数的应用.

? 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一 点处的切线的斜率,物理意义是运动物体 在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数y =f(x),如何求它的导数呢?
根据导数的定义,求函数 y=f(x)的导数,就是求出 Δy 当 Δx 趋近于 0 时,Δx所趋近的那个定值.

几个常用函数的导数

原函数
f(x)=c

导函数
0 f′(x)= 1 f′(x)= 2x f′(x)=

f(x)=x
f(x)=x2 f(x)=

f′(x)=

f(x)=

f′(x)=

? [例1] 求函数f(x)=π+2的导数. ? [解析] ∵π+2为常数,∴f′(x)=0. ? [点评] π是常数,不是变量.

1 [例 2] 求函数 y=x在点(1,1)处的切线方程. 1 [解析] ∵k=y′=-x2,
当 x=1 时,k=-1, ∴切线方程为:y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.

? [分析] 先利用导数公式求得斜率,再求切 线方程.

? 1? 1 求函数 y=x 在点?-3,-3?处的切线方程. ? ?

[解析]

?1? 1 ? ?′=- 2, y′= x x ? ?

1 切线的斜率 k=y′|x=-3=-9.
? 1? 又切线过点?-3,-3?. ? ?

所以切线方程为 即 x+9y+6=0.

? 1? 1 ?- ?=- (x+3), y- 3 9 ? ?

[例 3]

如图,设直线 l1 与曲线 y= x相切于点 P,直

线 l2 过点 P 且垂直于 l1,若 l2 交 x 轴于 Q 点,又作 PK 垂 直于 x 轴于点 K,求 KQ 的长.

? [分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即 可. 1
[解析] 设 P(x0,y0),则 kl1= = . 2 x0 ∵直线 l1 与 l2 垂直,则 kl2=-2 x0, ∴直线 l2 的方程为 y-y0=-2 x0(x-x0). ∵点 P(x0,y0)在曲线 y= x上, ∴y0= x0. 在直线 l2 的方程中令 y=0, 则- x0=-2 x0(x-x0).

1 1 ∴x= +x0,即 xQ= +x0. 2 2 1 1 又 xK=x0,∴|KQ|=xQ-xK=2+x0-x0=2.

? [点评] x轴上两点间的距离公式d=|x2- x1|.

? 曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x =2所围成的三角形的面积为________.
8 [答案] 3

[解析]

(x+Δx)3-x3 ∵y′=liΔx→0 m Δx

=liΔx→0[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=3x2. m ∴切线的斜率为 y′|x=1=3×12=3, ∴切线方程为 y-1=3(x-1), 与x
?2 ? 轴的交点为?3,0?,与直线 ? ?

x=2 的交点为(2,4).

1? 2? 8 ∴S=2?2-3?×4=3. ? ?

? 一、选择题 ? 1.函数f(x)=3x2在x=1处的导数为 ( ) ? A.2 B.3 ? C.6 D.12 ? [答案] C ? [解析] ∵f′(x)=6x,∴f′(1)=6×1=6.

? 2.一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2, 其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物 体在3秒末的瞬时速度是 ? ( ) ? A.7米/秒 B.6米/秒 ? C.5米/秒 D.8米/秒 ? [答案] C ? [解析] v(t)=s′(t)=-1+2t, ? ∴v(3)=-1+2×3=5(米/秒),故选C.

1 3.函数 y=x+ x在 x=0 处的导数是 A.2 C.0 5 B. 2 D.不存在

(

)

? [答案] D
f(0+Δx)-f(0) Δy [解析] f′(0)=liΔx→0 Δx=liΔx→0 m m , Δx ∵f(0)不存在,∴f′(0)不存在.

? 二、填空题 ? 4.y′=0表示函数y=c图象上每一点处的 切线斜率都为________. ? [答案] 0 ? [解析] 由y′=(c)′=0及导数的几何意义可 知切线斜率都为0.

5.已知 f(x)= x,则 f′(4)=________.

1 [答案] 4
[解析] 1 ∵f′(x)= .∴f′(4)= = . 2 x 2 4 4 1 1

三、解答题 1 6.若直线 y=-x+b 为函数 y=x 图象的切线,求 b 及切点坐标.

[解析] 因为

设切点坐标为(x0,y0), 1 k=- 2. x0

? 1? 1 ? ?′=- 2,所以切线斜率为 y′= x x ? ?

1 1 所以切线方程为 y-x =-x2(x-x0) 0 0 1 2 即 y=- 2x+ .又切线方程为 y=-x+b, x0 x0 ? 1 ?-x2=-1 0 ∴? ? 2 =b ?x0
?x =1 ? 0 ,解得? ?b=2 ? ?x =-1 ? 0 或? ?b=-2 ?

? 即当b=2时,切点为(1,1); ? 当b=-2时,切点为(-1,-1).


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