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2014高考数学必考知识点:概率与统计


2014 高考数学必考知识点:概率与统计
考试内容: 抽样方法.总体分布的估计. 总体期望值和方差的估计. 考试要求: (1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样. (2)会用样本频率分布估计总体分布. (3)会用样本估计总体期望值和方差.

概率与统计 知识要点
一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ① 试验可以在相同的情形下重复进行; ② 试验的所有可能结果是明确可知的, 并且不止一个; ③ 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个, 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若 ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变 量.一般地, 若 ξ 是随机变量, f ( x) 是连续函数或单调函数, 则 f (? ) 也是随机变量.也就是说, 随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的 分布列. ?
x1 p1 x2 p2



xi pi

… …

P 有性质① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ;

… ②p1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 .

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量 .例如: ? ? [0,5] 即 ? 可以取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴ 二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个
k n ?k 事件恰好发生 k 次的概率是: P(ξ ? k) ?C k [其中 k ? 0,1, ? , n, q ? 1 ? p ] np q

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ? ~B
k n ?k (n· p),其中 n,p 为参数,并记 Ck ? b(k;n ? p) . np q

⑵ 二项分布的判断与应用. ① 二项分布, 实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复, 且每 次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ② 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小, 而每次抽取时又只有 两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时 事件 A 发生记为 A k ,事 A 不发生记为 A k , P (Ak ) ? q ,那么 P(ξ ? k) ? P(A1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据 相互独立事件的概率乘法分式: P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ?P(A k ?1 )P(Ak ) ?q k ?1p (k ? 1,2,3, ?) 于是得

到随机变量 ξ 的概率分布列. ? 1 2 P q qp

3
q2p

… …

k
q
k ?1


p



我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k,p) ?q k ?1 p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3? 5. ⑴ 超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ? n ? N) 件, 则 其 中 的 次 品 数
P (ξ ? k) ?
k k CM ?C Nn??M n CN

ξ

是 一 离 散 型 随 机 变 量 , 分 布 列 为

? (0 ? k ? M,0 ? n ? k ? N ? M) .〔分子是从 M 件次品中取 k 件,从 N-M 件正

r 品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m ? 0 ,则 k 的范围可以写为 k=0,1,…,n.〕

⑵ 超几何分布的另一种形式: 一批产品由 a 件次品、 b 件正品组成, 今抽取 n 件 (1≤n≤a+b) , 则次品数 ξ 的分布列为 P (ξ ? k) ?
n ?k Ck a ?C b

C a ?n b

k ? 0,1,? , n. .

⑶ 超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布. 若放回式抽取,则其中次品数 ? 的分布列可如下求得:把 a ? b 个产品编号,则抽取 n 次共有
k n ?k (a ? b) n 个 可 能 结 果 , 等 可 能 : (η ? k) 含 C k na b
k n ?k Ck na b

个 结 果 , 故

P (η ? k) ?

(a ? b) n

?C k n(

a a k a n ?k ) .[我们先为 k 个次品 ) (1 ? ) , k ? 0,1,2,? , n ,即 ? ~ B(n ? a?b a?b a?b

选定位置,共 C k n 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法] 可以 证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P (ξ ? k) ? P (η ? k) ,因此二项分布可作为超几何 分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ? x1 x2 xi …



p1 p2 pi P … … 则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为 ξ 的数学期望或平均数、 均值.数学期望又简称期望.数学

期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴ 随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望: E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b ① 当 a ? 0 时, E (b) ? b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ② 当 a ? 1 时,E (? ? b) ? E? ? b ,即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数的 和. ③ 当 b ? 0 时, E (a? ) ? aE? ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的 乘积. ⑵ 单点分布: E? ? c ?1 ? c 其分布列为: P(? ? 1) ? c . ⑶ 两点分布: E? ? 0 ? q ? 1? p ? p ,其分布列为:(p + q = 1) ⑷ 二项分布: E? ?

ξ P

0 q

1 p

? k ? k!(n ? k )! p

n!

k

?q n ? k ? np 其分布列为 ? ~ B(n, p) .(P 为发生 ? 的概率)

⑸ 几何分布: E? ?

1 p

其分布列为 ? ~ q(k , p) .(P 为发生 ? 的概率)

3. 方差、标准差的定义:当已知随机变量 ξ 的分布列为 P(? ? x k ) ? p k (k ? 1,2, ?) 时,则称
D? ? ( x1 ?E? ) 2 p1 ?( x 2 ?E? ) 2 p 2 ? ? ? ( x n ?E? ) 2 p n ? ? 为

ξ 的方差. 显然 D? ? 0 ,故 ?? ? D? . ?? 为 ξ 的

根方差或标准差.随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动,集中 与离散的程度. D ? 越小,稳定性越高,波动越小 . ............. . 4.方差的性质. ⑴ 随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? .(a、b 均为常数) ⑵ 单点分布: D? ? 0 其分布列为 P(? ? 1) ? p ⑶ 两点分布: D? ? pq 其分布列为:(p + q = 1) ⑷ 二项分布: D? ? npq ⑸ 几何分布: D? ?
q p2

ξ P

0 q

1 p

5. 期望与方差的关系. ⑴ 如果 E? 和 E? 都存在,则 E (? ? ? ) ? E? ? E? ⑵ 设 ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量,则 E (?? ) ? E? ? E? , D(? ? ? ) ? D? ? D? ⑶期 望 与 方 差 的 转 化 : D? ? E? 2?(E? ) 2 ⑷ E (? ? E? ) ? E (? ) ? E ( E? ) ( 因 为 E? 为 一 常 数 ) ? E? ? E? ? 0 . 三、正态分布.(基本不列入考试范围) 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量 ξ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [a, b) 内的
y 概率等于它与 x 轴.直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫 ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f ( x) 叫做 ξ 的密度函数,由于“ x ? (??,??) ”


y=f(x)

是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. ⑴ 正态分布与正态曲线: 如果随机变量 ξ 的概率密度为:f ( x) ?

x a b
( x?? )2 2? 2

1 2? ?

e

?

. ( x ? R, ? , ?

为常数,且 ? ? 0 ),称 ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. f ( x) 的表达式 可简记为 N (?,? 2) ,它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵ 正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? 2) ,则 ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 2 . ⑶ 正态曲线的性质. ① 曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ② 曲线关于直线 x ? ? 对称. ③ 当 x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、 两边低”的钟形曲线. ④ 当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐近线,向 x 轴无限的靠近. ⑤ 当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定,? 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;? 越

小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 3. ⑴ 标准正态分布:如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x) ?
1 2? e
? x2 2

(?? ? x ? ??) ,则称 ξ 服

从标准正态分布. 即 ? ~ N (0,1) 有 ? ( x) ? P(? ? x) , ? ( x) ? 1 ? ? (? x) 求出,而 P(a< ξ ≤b)的 计算则是 P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) . 注意:当标准正态分布的 ?( x) 的 X 取 0 时,有 ? ( x) ? 0.5 当 ?( x) 的 X 取大于 0 的数时,有
?( x) ? 0.5 .比如 ?(

0.5 ? ?

?

) ? 0.0793? 0.5 则

0.5 ? ?

?

必然小于 0,如图.



y S

⑵ 正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (?,? 2) 则 ξ 的分布函数通 常用 F ( x) 表示,且有 P(ξ ? x) ? F(x) ? ? (
x ?μ ). σ
x a 标准正态分布曲线

4.⑴ “3 ? ”原则. 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:① 提出统计假设,统计假

S阴=0.5 Sa=0.5+S

设里的变量服从正态分布 N (?,? 2) .② 确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) .③ 做出判断:如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计假设. 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概 率事件,就拒绝统计假设. ⑵ “3 ? ”原则的应用:若随机变量 ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率 为 99.7% 亦即落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生 了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态分布).


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