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1.1.1相似三角形判定定理


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以上图形相似,怎么才能判断相似呢?

观察
A?

A

B?

C?

B

C

有什么方法判断两图形相似?定义法?

相似三角形的定义? 如果 ?A

? ?A ', ?B ? ?B ', ?C ? ?C '
AB BC AC ? ? A' B ' B 'C ' A'C '

那么

ΔABC∽ΔA′B′C′ A A?
B?
C?

B

C

对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似.

探讨
判断两三角形相似的方法? 定义法
A?

A

定义法太复杂! 还有其它方法 吗?

B?

C?

B

C

思考

教学目标
知识与能力
1.掌握相似三角形的定义以及3个判定定理. 2.掌握直角三角形的特殊性质及判定. 3. 掌握相似三角形的性质.

过程与方法
1.通过初中学习相似三角形的定义,进一步学 习和掌握相似三角形的判定和性质.

2.培养化归思想,从特殊到一般,再到特殊.

情感态度与价值观
1.通过相似三角形的定义,推导出其它的判定 定理. 2.通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识, 推导出新的知识或性质,有利于深刻理解.

教学重难点
重点
相似三角形的判定定理和性质.

难点
灵活应用相似三角形的性质和判定进行计算和 证明.

研讨
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论, ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例,又因为 DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
A

根据相似三角形的定义:
D E C

ΔADE∽ΔABC

B

定义法!

研讨
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论, ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例,又因为 DE//BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∠A是对顶角.
D E A

根据相似三角形的定义: ΔADE∽ΔABC
B

C

以上能得出 什么结论?

知识要 点 预备定理
平行于三角形一边的直线与三角形的 其它两边(或两边的延长线)相交,所截 得的三角形与原三角形相似.

已知:在△ABC 和△A′B′C′中,

A A′

?A ? ?A', ?B ? ?B '
求证:ΔABC∽ΔA′B′C′ B C B′

C′

分析:要证两个三角形相似,目前只有两个途径.

一个是三角形相似的定义,(显然条件不具备);
另一个是预备定理. 怎样满足预备 定理的条件?

证明:在ΔABC的边AB、AC上,分别截取 AD=A′B′,AE=A′C′,连结DE.
∵AD=A′B′,∠A=∠A′,AE=A′C′ ∴ ΔA DE≌ΔA′B′C′, ∴ ∠ADE=∠B′, 又∵ ∠B′=∠B, ∴ ∠ADE=∠B, ∴ DE//BC, ∴ ΔADE∽ΔABC. ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
A A′

D

E C B′ C′

B

知识要 点 判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等,那么这两个三角 形相似.可以简单说成:两角对应相等,两 三角形相似.

探究
A
A'

判定定理1是从三角形的三 个角来证明三角形相似,能不能 从三角形的角和边一起考虑,来 B 证明相似呢?

C B'

C'

角和边!

思 考

已知:在△ABC 和△A ' B ' C ' 中,
A' B ' A'C ' ?A ? ?A ', ? AB AC

A A'

求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '

D B

E C B'

C'

分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C',要证题 目结论,只需要证明ADE∽ABC. 根据预备定理,只要证明DE//BC,题意即证. 由AD=A'B',AE=A'C'及条件
AD AE ? 有:AB AC AD AE ? 能否由 AB AC A' B' A' C ' ? AB AC

推出DE//BC?

思 考

证明
ΔABC,D,E分别在边AB、AC上,
AD AE ? , AB AC

求证:DE//BC

A

证明 过D点作DE'//BC,交AC于E',根据平 D 行线分线段成比例定理的推论,
AD AE ' ? AB AC ? AD AE ? AB AC

E E' C

B

所以:AE=AE',E和E'重合, 因此,DE//BC.

知识要 点 引理
如果一条直线截三角形的两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例,那 么这条直线平行于三角形的第三边.

由以上引理,就可以解决之前提出的:

已知两条边对应成比例,且夹角相等
证明这两个三角形相似.
A A'

B

C B'

C'

一个角, 两条边,证 明相似?

知识要 点 判定定理2
对于任意两个三角形,如果一个三角 形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例,并且夹角相等,那么这两个三角形相 似.即两边对应成比例,且夹角相等,两 三角形相似.

探究
A A'

判定定理2是从三角形的一 个角和两条边来证明三角形相似, 能不能从三角形的三条边来证明 B 相似呢?

C B'

C'

三条边!

思 考

知识要 点 判定定理3
对于任意两个三角形,如果一个三角 形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例,那么这两个三角形似.即三边对 应成比例,两三角形相似.

已知:在△ABC 和△A ' B ' C '中,
A' B' B' C ' C ' A' ? ? AB BC CA

A A' D

求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '

E
C B' C'

证明

B

在ΔABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过D点作 DE//BC,交AC于E点,于是有:
AD AE DE ? ? ; ?ADE与?ABC相似; AB AC BC AD A' B' ? AD ? A' B' ,? ? . AB AB A' B' B' C ' C ' A' 又? ? ? , AB BC CA

DE B' C ' EA C ' A' ? ? , ? . BC BC CA CA ? DE ? B' C ' , EA ? C ' A'. ? ?ADE ? ?A' B' C '. ? 原结论即证 .
B

A
A'

C B'

C'

结论

三边对应成比例,两三角形相似.

研讨
直角三角形是一种特殊的三角形,有一个角 是直角,三条边满足勾股定理.所以,在判断两个 直角三角形相似,可不可以类推一般三角形相似 的判断定理,条件可不可以简化呢? A
A'

直角三角形 相似,如何 判定!

B

思 考

C B'

C'

知识要 点 定理
1. 如果两个直角三角形有一个锐角 对应相等,那么它们相似. 2. 如果两个直角三角形的两条直角 边对应成比例,那么它们相似.

已知:在Rt△ABC 和Rt△A ' B ' C ' 中, A A'
AB AC ?C ? 90 , ? A' B' A' C '
0

求证:RtΔABC∽ Rt A ' B ' C '

B

C B'

C'

AB AC 证明 设 ? ? k; 则AB ? kA' B' , AC ? kA' C ' ; A' B' A' C '
? BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? k 2 A' B'2 ? A' C '2 ? k 2 B' C '2

?

?

BC ? BC ? kB' C ' , ? k; B' C '

由判定定理3

得 RtΔABC∽RtΔA'B'C'.

知识要 点 定理
如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个直角三角形的斜边和一 条直角边对应成比例,那么这两个直角 三角形相似.

小练习
依据下列各组条件判定两三角形是否相似? 相似 (判定2) 1.∠A= 45 , AB =12cm , AC =15cm ,
∠A′= 45°, A′B′=16cm , A′C′=20cm ; 2.∠B=∠B′=75°, ∠C=50°, ∠A′=55°; 3.∠B= ∠B′=75°, ∠A=50°, ∠A′=55°;

相似 (判定1) 不相似 不相似

4. AB=12cm,AC=15cm,A′B′=16cm,A′C′=20cm
5. AB = 4cm , AC = 5cm , BC = 6cm, A′B′= 16cm , A′C′= 20cm , B′C′= 24cm ;

相似 (判定3)

探讨
如果已知两个三角形相似, 你能得出他们有哪些一般性质呢?

从边长,高, 周长,面积, 考虑!

画一画,比 一比!


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