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高三数学试题江苏省南京市2013届高三9月学情调研测试--


江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研测试

数 学 试 题
2012.09 注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试 卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内.试题的答案写在 答卷纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答卷纸. ... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置 上. ....... 1.已知集合 A={x|x2<3x+4,x∈R},则 A∩Z 中元素的个数为 2+3i 2.已知 =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab= i . .

3.为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为 6, 12,18.若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则乙组中应抽取的城市数为 . 4.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的, 则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 . 5.已知非零向量 a,b 满足|a|=|a+b|=1,a 与 b 夹角为 120° ,则向量 b 的模为 . 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F 的抛物线 y2=2x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为 15, 则线段 PF 的长为 . 1 S4 7.已知等比数列{an}的公比 q=- ,Sn 为其前 n 项和,则 = 2 a4 8.右图是一个算法的流程图,最后输出的 k= . 3 , 3 .
开始 k←1 S←0 k←k+2 S←S+k S < 20 N Y

9.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=1,A=60° ,c=

则△ ABC 的面积为 . 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的圆心在第一象限,圆 C 与 x 轴交于 A(1, 0),B(3,0)两点,且与直线 x-y+1=0 相切,则圆 C 的半径为 .
?e -k,x≤0, 11.已知函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围 ?(1-k)x+k,x>0
x

是 . 输出 12.已知 α,β 为平面,m,n 为直线,下列命题: k ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; 结束 ③若 α∩β=n,m∥α, m∥β,则 m∥n; ④若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n. (第 8 题) 其中是真命题的有 .(填写所有正确命题的序号) π 13.已知直线 x=a(0<a< )与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,若 2 1 MN= ,则线段 MN 的中点纵坐标为 5 .

14.已知函数 f(x)=2x2+m 的图象与函数 g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数 m 的取值范围 为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 ........

证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知平面向量 a=(1,2sinθ),b=(5cosθ,3). (1)若 a∥b,求 sin2θ 的值; π (2)若 a⊥b,求 tan(θ+ )的值. 4 16. (本小题满分 14 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.
A B (第 16 题) C D A1 B1 C1

17. (本小题满分 14 分) 经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 E=kv3t,其中 v 为鲑鱼在静水中 的速度,t 为行进的时间(单位:h),k 为大于零的常数.如果水流的速度为 3 km/h,鲑鱼在河中 逆流行进 100 km. (1)将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数; (2)v 为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 1 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,离心率为 , a b 2 右准线为 l:x=4.M 为椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于点 P. (1)求椭圆 C 的方程; ? ? (2)若AM=MP,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A O N 19. (本小题满分 16 分) 设 t>0,已知函数 f (x)=x2(x-t)的图象与 x 轴交于 A、B 两点. (1)求函数 f (x)的单调区间; B P

x

(第 18 题)

1 (2)设函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率为 k,当 x0∈(0,1]时,k≥- 恒成立,求 t 的 2 最大值; (3)有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好 与函数 y=f(x)的图象有两个不同的交点 C,D,若四边形 ..

ABCD 为菱形,求 t 的值.

20. (本小题满分 16 分)
2 2 已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:S2 n=3n an+Sn-1,an≠0,n≥2,

n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值; (2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.

数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写 在答题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. ... 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指 .... 定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,CP 是圆 O 的切线,P 为切点,直线 CO 交圆 O 于 A,B 两点,AD⊥CP,垂足为 D. 求证:∠DAP=∠BAP.
P D C A · O B

B.选修 4—2:矩阵与变换 设 a>0,b>0,若矩阵 A=?

2 2 ?a 0? 把圆 C:x2+y2=1 变换为椭圆 E:x +y =1. ? 4 (3 第 21A 题) ?0 b?

(1)求 a,b 的值; - (2)求矩阵 A 的逆矩阵 A 1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,已知圆 C:ρ=4cosθ 被直线 l:ρsin(θ- )=a 截得的弦长为 2 3,求实数 a 的 6 值. D.选修 4—5:不等式选讲 1 已知 a,b 是正数,求证:a2+4b2+ — ≥4.[ ab

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内 作答.解答应 ........ 写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图,PA⊥平面 ABCD,AD//BC,∠ABC=90° ,AB=BC=PA=1,AD=3,E 是 PB 的中点. (1)求证:AE⊥平面 PBC; (2)求二面角 B-PC-D 的余弦值. P

E A B C D

23.在一个盒子中有大小一样的 7 个球,球上分别标有数字 1,1, 2,2,2,3,3.现从盒子中同 (第 22 题) 时摸出 3 个球,设随机变量 X 为摸出的 3 个球上的数字和. (1)求概率 P(X≥7);[来源:学§ 科§ 网] (2)求 X 的概率分布列,并求其数学期望 E(X).

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.4 7 6. 2 1 11.[ ,1) 2 2.-6 7.-5 12.②③④ 3.4 8.11 7 13. 10 1 4. 3 9. 3 6 5.1 10. 2

1 14.(-∞,- -ln2) 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a∥b,所以 1× 3-2sinθ× 5cosθ=0, …………………3 分 3 即 5sin2θ-3=0,所以 sin2θ= . 5 (2)因为 a⊥b,所以 1× 5cosθ+2sinθ× 3=0. 5 所以 tanθ=- . 6 π 所以 tan(θ+ )= 4 π tanθ+tan 4 1 = . π 11 1-tanθtan 4 …………………6 分 …………………8 分 …………………10 分

…………………14 分

16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. …………………5 分 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. …………………7 分 (2)(证法一) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B. …………………11 分 因为 OD?平面 ADC1,A1B? / 平面 ADC1, 所以 A1B//平面 ADC1. (证法二) ∥BD. 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 = 所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. 因为 C1D?平面 ADC1,D1B? / 平面 ADC1, 所以 D1B//平面 ADC1. 同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1. 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1. …………………11 分 …………………14 分 …………………14 分

A1 B1

C1

A1 B1

D1

C1

O

A B

C D

A B

C D

(第 16 题图)

(第 16 题图)

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)鲑鱼逆流匀速行进 100km 所用的时间为 t= 100 100kv3 所以 E=kv3t=kv3 = (v∈(3,+?)). v-3 v-3 (2)E?=100k 3v2(v-3)-v3 2v2(v-4.5) =100k . 2 (v-3) (v-3)2 100 . v-3 …………………2 分

…………………6 分 …………………10 分

令 E?=0,解得 v=4.5 或 v=0(舍去). 因为 k>0,v>3,所以当 v∈(3,4.5)时,E?<0,当 v∈(4.5,+?)时,E?>0. 100kv3 故 E= 在(3,4.5)上单调递减,在(4.5,+?)上单调递增.…………13 分 v-3 所以,当 v=4.5 时,E 取得最小值. 即 v=4.5km/h 时,鲑鱼消耗的能量最小. 18. (本小题满分 16 分) …………………14 分

?a=2, ?a=2, 解: (1)由?a 解得? 所以 b =3. ?c=1. = 4 . ?c
2 2

c

1

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3

…………………4 分

? ? 3 3 (2)因为AM=MP,所以 xM=1,代入椭圆得 yM= ,即 M(1, ), 2 2 1 所以直线 AM 为:y= (x+2),得 P(4,3), 2 ? 3 ? 所以BM=(-1, ), BP =(2,3). 2 …………………8 分

?? 5 因为BM· BP = ≠0,所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上. …………………10 分 2 (3)因为 MN 垂直于 x 轴,由椭圆对称性可设 M(x1,y1),N(x1,-y1). y1 6y1 直线 AM 的方程为:y= (x+2),所以 yp= , x1+2 x1+2 直线 BN 的方程为:y= -y1 -2y1 (x-2),所以 yp= , …………………12 分 x1-2 x1-2

6y1 -2y1 6 2 所以 = .因为 y1≠0,所以 =- .解得 x1=1. x1+2 x1-2 x1+2 x1-2

3 所以点 M 的坐标为(1, ). 2 19. (本小题满分 16 分)

…………………16 分

2t 解: (1)f ′(x)=3x2-2tx=x(3x-2t)>0,因为 t>0,所以当 x> 或 x<0 时,f ′(x)>0, 3 2t 所以(-∞,0)和( ,+∞)为函数 f (x)的单调增区间; 3 2t 2t 当 0<x< 时,f ′(x)<0,所以(0, )为函数 f (x)的单调减区间. ………………4 分 3 3 1 1 (2)因为 k=3x02-2tx0≥- 恒成立,所以 2t≤3x0+ 恒成立, 2 2x0 因为 x0∈(0,1],所以 3x0+ 1 ≥2 2x0 1 3x0× = 6, 2x0 …………………6 分

1 6 即 3x0+ ≥ 6,当且仅当 x0= 时取等号. 2x0 6 所以 2t≤ 6,即 t 的最大值为 6 . 2 …………………8 分

2t 4t3 (3)由(1)可得,函数 f (x)在 x=0 处取得极大值 0,在 x= 处取得极小值- . 3 27 因为平行于 x 轴的直线 l 恰好 与函数 y=f (x)的图象有两个不同的交点, .. 4t3 所以直线 l 的方程为 y=- . 27 4t3 4t3 2t t 令 f (x)=- ,所以 x2(x-t)=- ,解得 x= 或 x=- . 27 27 3 3 2t 4t3 t 4t3 所以 C( ,- ) ,D(- ,- ) . 3 27 3 27 因为 A(0,0) ,B(t,0) .易知四边形 ABCD 为平行四边形. AD= t 4t3 (- )2+(- )2,且 AD=AB=t, 3 27 t 4t3 34 8 (- )2+(- )2=t,解得:t= . 3 27 2 …………………12 分 …………………10 分

所以

…………………16 分

20. (本小题满分 16 分)
2 2 解: (1)在 S2 n=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2, 因为 an≠0,所以 a2=12-2a,a3=3+2a. …………………2 分 因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3.……4 分 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 经检验 a=3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2 n=3n an+Sn-1. 2 2
2 2 2 2 2 2 (2)由 S2 n=3n an+Sn-1,得 Sn-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① 所以 Sn+1+Sn=3 (n+1)2,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ 所以 an+2+an+1=6n+9,④

……………6 分 ………………8 分

④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,…,及数列 a3,a5,a7,…都是公差为 6 的等差数列, 因为 a2=12-2a,a3=3+2a.

………10 分

? ?a,n=1, 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ? ?3n-2a+6,n为偶数,

…………………12 分

要使数列{an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n 为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1, 即 a<12-2a, 3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数), 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数), 9 15 解得 <a< . 4 4 9 15 所以 M=( , ),当 a∈M 时,数列{an}是递增数列. 4 4 ………………16 分

附加题参考答案
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指 .... 定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:因为 CP 与圆 O 相切,所以∠DPA=∠PBA. 因为 AB 为圆 O 直径,所以∠APB=90° , 所以∠BAP=90° -∠PBA. 因为 AD⊥CP,所以∠DAP=90° -∠DPA, P 所以∠DAP=∠BAP.
D C A · O B

………………2 分 ………………6 分 ………………10 分

B.选修 4—2:矩阵与变换 解(1) :设点 P(x,y)为圆 C:x2+y2=1 上任意一点, 经过矩阵 A 变换后对应点为 P′(x′,y′) x′=ax, ?a 0? ?x?=?ax?=?x′?,所以? ? 则? . ? ?? ? ? ? ? ?0 b? ?y? ?by? ?y′? ?y′=by. x2 y2 因为点 P′(x′,y′)在椭圆 E: + =1 上, 4 3 a2x2 b2y2 所以 + =1,这个方程即为圆 C 方程. 4 3
?a2=4, 所以? 2 ,因为 a>0,b>0,所以 a=2,b= 3. ?b =3.

(第 21A 题)

………………2 分

………………6 分 ………………8 分

?2 (2)由(1)得 A=? ?0

0? ?,所以 A-1 3?

?2 =? ?0

1

? ?. 3 3?
0

………………10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

解:因为圆 C 的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4, 直线 l 的直角坐标方程为 x- 3y+2a=0. |2+2a| 所以圆心 C 到直线 l 的距离 d= =|1+a|. 2 因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 3,所以 r2-d2=3. 即 4-(1+a)2=3.解得 a=0,或 a=-2. D.选修 4—5:不等式选讲 1 已知 a,b 是正数,求证:a2+4b2+ — ≥4. ab 证明:因为 a,b 是正数,所以 a2+4b2≥4ab. 1 1 1 所以 a2+4b2+ — ≥4ab+ — ≥2 4ab×— =4. ab ab ab 1 即 a2+4b2+ — ≥4. ab 22. (1)根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), 1 1 D(0,3,0),P(0,0,1),E( ,0, ), 2 2 1 → → 1 → AE=( ,0, ),BC=(0,1,0),BP=(-1,0,1). 2 2 → → → → 因为AE· BC=0,AE· BP=0, → → → → 所以AE⊥BC,AE⊥BP. 所以 AE⊥BC,AE⊥BP. 因为 BC,BP?平面 PBC,且 BC∩BP=B, 所以 AE⊥平面 PBC.
x E A B C D y z P

………………4 分 ………………6 分

………………10 分

………………2 分

………………10 分

………………4 分

→ → (2)设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· CD=0,n· PD=0. → → 因为CD=(-1,2,0),PD=(0,3,-1),所以-x+2y=0,3y-z=0. 令 x=2,则 y=1,z=3. 所以 n=(2,1,3)是平面 PCD 的一个法向量. → 因为 AE⊥平面 PBC,所以AE是平面 PBC 的法向量. → AE· n 5 7 → 所以 cos<AE,n>= = . → 14 |AE|· |n| 5 7 → 由此可知,AE与 n 的夹角的余弦值为 . 14 5 7 根据图形可知,二面角 B-PC-D 的余弦值为- . 14 C3C2 + C2C2 8 C2C3 3 23.解(1)P(X=7)= = ,P(X=8)= 3 = . 3 35 C7 C7 35
2 1 2 1 2 1

………………8 分

………………10 分

11 所以 P(X≥7)= . 35
1 1 1 3 2 1

………………………4 分
2 1 2 1

C2C3C2 + C3 13 C2C2 + C3C2 8 C2C3 3 (2)P(X=6)= = ,P(X=5)= = ,P(X=4)= 3 = . 3 3 35 35 35 C7 C7 C7 所以随机变量 X 的概率分布列为 7[来 源: X 4 5 6 8 学。 科。 网] 13 [来 35 P 3 35 8 35 源:学 8 3 35 35 科网 ZXXK ] …………………………………………8 分

3 8 13 8 3 所以 E(X)=4× +5× +6× +7× +8× =6. ………………………10 分 35 35 35 35 35


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