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2012高三数学一轮复习单元练习题:函数与数列(Ⅲ)


高三数学单元练习题:函数与数列( 高三数学单元练习题:函数与数列(Ⅲ)
一.填充题: (本题共 10 个小题,每题 4 分,共 40 分) 1、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 + a12 + a17 + a19 = 8 ,则 S 25 的值为 2、函数 f ( x) =
x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)



的定义域为

。 。 。

3、设方程 2 ln x = 7 ? 2 x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 < x0 的最大整数解为 4、函数 y = 1 + 2 cos x + lg(2 sin x + 3 ) 的定义域是

5、 设函数 f ( x) = g ( x) + x 2 , 曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x + 1 , 则曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 切线的斜率为
a x

。 。

6、已知函数 f ( x ) = x 2 + ( x ≠ 0, a ∈ R) 在区间 [ 2, +∞ ) 是增函数,则实数 a 的取值范围为 7、函数 y =
2 x2 ? x + 1 ( x > 1) 的值域是 x ?1



? x ? y ≥ 0, ? ?2 x + y ≤ 2, 8、若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围是 ? y ≥ 0, ? ?x + y ≤ a



9、若关于 x 的不等式 a ≤ x 2 ? 3x + 4 ≤ b 的解集恰好是 [ a, b] ,则 a + b =
3 4



10、已知 f 1 ( x) = sin x + cos x ,记
' f 2 ( x) = f1' ( x) , f3 ( x) = f 2' ( x) ,…, f n ( x ) = f n ?1 ( x ) ( n ∈ N *, n ≥ 2) ,

π π π 则 f1 ( ) + f 2 ( ) + LL + f 2009 ( ) = 4 4 4



二.附加题: (本题共 2 个小题,满分 10 分,不计入总分) 11、在计算机的算法语言中有一种函数 [ x] 叫做取整函数(也称高斯函数) ,它表示 x 的整数部分,即[ x ] 是不超过 x 的最大整数.例如:[2] = 2,[3.1] = 3,[ ?2.6] = ?3 .设函数 f ( x) = 值域为 。
2x 1 ? ,则函数 y = [ f ( x )] + [ f ( ? x)] 的 1 + 2x 2

12、 在公差为 d ( d ≠ 0) 的等差数列 {a n } 中, S n 是 {a n } 的前 n 项和, 若 则数列 S 20 ? S10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 也 成 等 差 数 列 , 且 公 差 为 100d , 类 比 上 述 结 论 , 相 应 地 在 公 比 为 q ( q ≠ 1) 的 等 比 数 列 {bn } 中 , _______________________________ ____________________________________________________________________________________。

第1页

三.解答题: (本题共 4 个大题,满分 60 分) 13、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = cos ? x +
2

? ?

π? 1 ? , g ( x) = 1 + sin 2 x . 12 ? 2

(I)设 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间.

14、 (本小题满分 16 分)已知函数 g ( x) =

1 m ?1 ? ln x , + ln x 在[1, π) +∞) 上为增函数, θ∈ 且 (0, ,f ( x) = mx ? sin θ ? x x

m∈m. (1)求 θ 的值; (2)若 F ( x) = f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围;

15、(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) =

x2 ( x ∈ R, x ≠ 2) .(1)求 f ( x) 的单调减区间;(2)若 g ( x) = x 2 ? 2ax 与函数 x?2

f ( x) 在 x ∈ [0,1] 上有相同的值域,求 a 的值;(3)设 m ≥ 1 ,函数 h( x) = x3 ? 3m 2 x + 5m, x ∈ [0,1] ,若对于任意 x ∈ [0,1] ,总存

在 x0 ∈ [0,1] 使得 h( x0 ) = f ( x) 成立,求 m 的取值范围. 16、(本小题满分 16 分)已知:数列﹛ a n ﹜,﹛ bn ﹜中, a1 =0, b1 =1,且当 n ∈ N + 时, a n , bn , a n +1 等差数列, bn , a n +1 , bn +1 成等比数列. (1)求数列﹛ a n ﹜,﹛ bn ﹜的通项公式; 成

b ( 1] 不等式 2λ ? 3) n ≥ 2λ ? 4)a n + λ ? 3) (2) 求最小自然数 k , 使得当 n ≥ k 时, 对任意实数 λ ∈ [0, , ( (
恒成立; (3)设 d n =
参考答案 一.填充题:
1 b1 + 1 b2 + ??? + 1 bn

d d d 2 ( . ( n ∈ N+ ) ,求证:当 n ≥2 都有 d n >2 2 + 3 + ? ? ? + n ) 2 3 n

1. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 + a12 + a17 + a19 = 8 ,则 S 25 的值为 2.函数 f ( x) =
x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

.50

的定义域为





3.设方程 2 ln x = 7 ? 2 x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 < x0 的最大整数解为____▲____.

第2页

4. 函数 y = 1 + 2 cos x + lg(2 sin x + 3 ) 的定义域是________. (2kπ ?
f ( x) = g ( x) + x 2 ,曲线

π
3

, 2 kπ +

2π ](k ∈ Z ) 5.设函数 3

y = g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x + 1 ,则曲线 y =
▲ 。4

f ( x) 在

点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
a x

6.已知函数 f ( x ) = x 2 + ( x ≠ 0, a ∈ R) 在区间 [ 2, +∞ ) 是增函数,则实数 a 的取值范围为 7.函数 y =
2 x2 ? x + 1 ( x > 1) 的值域是___ [ 7, +∞ ) __________________ x ?1



.

? x ? y ≥ 0, ? ?2 x + y ≤ 2, 8.若不等式组 ? ? y ≥ 0, ? ?x + y ≤ a

表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围是



(0, 1] U [ 4 , + ∞) . 3

9.若关于 x 的不等式 a ≤ x 2 ? 3x + 4 ≤ b 的解集恰好是 [ a, b] ,则 a + b =
3 4

4

.

' 10. 已知 f 1 ( x) = sin x + cos x ,记 f 2 ( x) = f1' ( x) , f3 ( x) = f 2' ( x) ,…, f n ( x ) = f n ?1 ( x ) ( n ∈ N *, n ≥ 2) ,

π π π 则 f1 ( ) + f 2 ( ) + LL + f 2009 ( ) = ____▲____. 2 4 4 4
二.附加题: (本题共 2 个小题,满分 10 分) 11. 在计算机的算法语言中有一种函数 [ x ] 叫做取整函数(也称高斯函数) ,它表示 x 的整数部分,即[ x ] 是不超过 x 的最大整数.例如:[2] = 2,[3.1] = 3,[ ?2.6] = ?3 .设函数 f ( x) = 值域为 ___ {?1,0} _______ 12. 在 公 差 为 d ( d ≠ 0) 的 等 差 数 列 {a n } 中 , 若 S n 是 {a n } 的 前 n 项 和 , 则 数 列
2x 1 ? ,则函数 y = [ f ( x )] + [ f ( ? x)] 的 1 + 2x 2

S 20 ? S10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 也成等差数列, 且公差为 100d , 类比上述结论, 相应地在公比为 q ( q ≠ 1) 的
等比数列 {bn } 中,_________________________________________ 若 Tn 是数列 {bn } 的前 n 项积,则有

T20 T30 T40 , , 也成等比数列 , 且公比为 q 100 T10 T20 T30

三.解答题: (本题共 4 个大题,满分 60 分) 13、已知函数 f ( x ) = cos ? x +
2

? ?

π? 1 ? , g ( x) = 1 + sin 2 x . 12 ? 2

第3页

(I)设 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x ) =

1 π [1 + cos(2 x + )] . 2 6 π = kπ , 6

因为 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 + 即 2 x0 = kπ ?

π (k ∈Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) = 1 + sin 2 x0 = 1 + sin( kπ ? ) . 2 2 6

当 k 为偶数时, g ( x0 ) = 1 + 当 k 为奇数时, g ( x0 ) = 1 + (II) h( x ) = f ( x ) + g ( x ) =

1 1 3 ? π? sin ? ? ? = 1 ? = , 2 ? 6? 4 4 1 π 1 5 sin = 1 + = . 2 6 4 4 1? π ?? 1 ? ?1 + cos ? 2 x + 6 ? ? + 1 + 2 sin 2 x 2? ? ??

=

1? ? π? ? 3 ?cos ? 2 x + 6 ? + sin 2 x ? + 2 = 2? ? ? ?

? 3 1? 3 1 cos2x + sin 2 x ? + ? ? 2? 2 2 ? ? 2

1 π? 3 ? = sin ? 2 x + ? + . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x + ≤ 2kπ + ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ + ( k ∈ Z )时, 2 3 2 12 12 1 π? 3 ? sin ? 2 x + ? + 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? ,kπ + ? ( k ∈ Z ) . 12 12 ?

函数 h( x ) =

故函数 h( x ) 的单调递增区间是 ? kπ ? 14、已知函数 g ( x) =

1 m ?1 + ln x 在[1,+∞)上为增函数,且 θ∈(0,π) f ( x) = mx ? ? ln x ,m∈m. , (1) sin θ ? x x

求 θ 的值; (2)若 F ( x) = f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; 解: (1)由题意, g′(x) = ?
1 sinθ ? x ?1 + ≥0 在 [1,+∞ ) 上恒成立,即 ≥0 . sinθ ? x x sinθ ? x2 1
2

∵θ∈(0,π) ,∴ sin θ > 0 .故 sin θ ? x ? 1≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立,

第4页

只须 sin θ ? 1 ? 1≥ 0 ,即 sin θ ≥ 1 ,只有 sin θ = 1 .结合 θ∈(0,π) ,得 θ =
(2)由(1) ,得 f ( x) ? g ( x) = mx ?

π . 2

m mx 2 ? 2 x + m ? 2ln x . ∴ ( f ( x) ? g ( x ) )′ = . x x2

∵ f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数,∴ mx 2 ? 2 x + m ≥ 0 或者 mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 在[1,+∞)恒成立.
2 ( mx ? 2 x + m ≥ 0 等价于 m(1 + x ) ≥ 2 x ,即 m ≥ 1 + x 2 ,而 x 2 + 1 x + 1 , x + 1 )max=1,∴ m ≥ 1 .
2

2x

2x

=

2

2

x

x

2 mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 等价于 m(1 + x ) ≤ 2 x ,即 m ≤

2x 2x ∈(0,1], m ≤ 0 . 2 在[1,+∞)恒成立,而 2 1+ x x +1

综上,m 的取值范围是 ( ?∞, 0] U [1, +∞ ) .

15、已知函数 f ( x) =

x2 ( x ∈ R, x ≠ 2) .(1)求 f ( x) 的单调减区间;(2)若 g ( x) = x 2 ? 2ax 与函数 f ( x) 在 x ∈ [0,1] 上有相 x?2

同 的值 域 , 求 a 的 值 ;(3) 设 m ≥ 1 , 函 数 h( x) = x3 ? 3m 2 x + 5m, x ∈ [0,1] , 若对 于任 意 x ∈ [0,1] , 总存在 x0 ∈ [0,1] 使 得 h( x0 ) = f ( x) 成立,求 m 的取值范围. 解: (1) f '( x) = ( x ? 2) 2 ,令 f '( x ) < 0 ,得 0 < x < 2 或 2 < x < 4 ,所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0, 2) 和 (2, 4)
x2 ? 4x

(2) 由 (1) 可 知 , f ( x ) 在 [0,1] 上 是 减 函 数 , ∴ 其 值 域 为 [ ?1, 0] , ∴ 当 x ∈ [0,1] 时 , g ( x ) 的 值 域 为

[?1, 0] .Q g (0) = 0 为最大值,∴ 最小值只能为 g (1) 或 g (a ) .
若 g (1) = ?1 ,则 ?
? a ≥1 ? a =1 , ?1 = 2a = ?1
?1 ? ≤ a ≤1 ??a 2 = ?1 ? ? a = 1 ,综上可得 a

若 g (a ) = ?1 ,则 ? 2

= 1.

(3)设 h( x ) 的值域为 A ,由题意知 [?1,0] ? A .又 h '( x) = 3x 2 ? 3m 2 ≤ 0 恒成立( Q m ≥ 1, x ∈ [0,1] ),所以 h( x ) 在[0,1]上为
减函数,所以 ?
? h( x) max = h(0) = 5m ≥ 0 ? m ≥ 2 ,所以 m 的取值范围为 [2, +∞) . 2 ?h( x) min = h(1) = 1 ? 3m + 5m ≤ ?1

16、(本小题满分 16 分)已知:数列﹛ a n ﹜,﹛ bn ﹜中, a1 =0, b1 =1,且当 n ∈ N + 时, a n , bn , a n +1 成
等差数列, bn , a n +1 , bn +1 成等比数列. (1)求数列﹛ a n ﹜,﹛ bn ﹜的通项公式;

b ( 1] 不等式 2λ ? 3) n ≥ 2λ ? 4)a n + λ ? 3) ( 2) 求最小自然数 k , 使得当 n ≥ k 时, 对任意实数 λ ∈ [0, , ( (

第5页

恒成立; (3)设 d n =
1 b1 + 1 b2 + ??? + 1 bn

d d d 2 ( . ( n ∈ N+ ) ,求证:当 n ≥2 都有 d n >2 2 + 3 + ? ? ? + n ) 2 3 n

(1) ∵当 n ∈ N + 时, a n , bn , a n +1 成等差数列, bn , a n +1 , bn +1 成等比数列.
∴2 bn = a n + a n +1 , a n +1 = bn ? bn +1 .
2

又∵ a1 = 0 , b1 = 1 ,∴ bn ≥0, a n ≥0 , 且 2bn = ∴ 2 bn =

bn?1bn + bn bn +1 ,

bn ?1 + bn +1 ( n ≥2),

∴数列﹛ bn ﹜是等差数列,又 b2 = 4 ,∴ bn = n , n = 1 也适合.
2 ∴ bn = n , a n = ( n ? 1) n .

b ( a ( (2) 将 a n , bn 代入不等式 2λ ? 3) n ≥ 2λ ? 4) n + λ ? 3) (
整理得: ( 2n ? 1)λ + n 2 ? 4n + 3 ≥0

(? )

令 f (λ ) = ( 2n ? 1)λ + n 2 ? 4n + 3 ,则 f (λ ) 是关于 λ 的一次函数,

?n 2 ? 4 n + 3 ≥ 0 ? ∴? 2 ,解得 n ≤1 或 n ≥3. ?n ? 2 n + 2 ≥ 0 ? ∴存在最小自然数 k = 3 ,使得当 n ≥ k 时,不等式( ? )恒成立. 1 1 1 1 1 (3) 由(1)得: d n = 1 + + + …+ .∴ d n ? d n ?1 = , d n + d n ?1 = 2d n ? ( n ≥2) , n 2 3 n n

? f ( 0) ≥ 0 由题意可得 ? ? f (1) ≥ 0

2 2 ∴ d n ? d n ?1 = 2

dn 1 ? n n2
2 2 2

由( d n ? d n ?1 )+( d n ?1 ? d n ? 2 )+…+( d 2 ? d12 )
2 2

= 2(

d d 2 d3 d 4 1 1 1 1 + + + …+ n ) ?( 2 + 2 + 2 + …+ 2 ) , 2 3 4 n 2 3 4 n

d d 2 d3 d 4 1 1 1 1 + + + …+ n ) ?( 2 + 2 + 2 + …+ 2 ) + 1 2 3 4 n 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + …+ ∵ 2 + 2 + 2 + …+ 2 < (n ? 1) n 2 3 4 n 1× 2 2 × 3 3 × 4

即: d n2 = 2(

=1 ?

1 1 1 1 1 1 1 + ? + ? + …+ ? 2 2 3 3 4 n ?1 n

第6页

=1 ?

1 <1 n

2 ∴当 n≥2 时, d n >2(

d d 2 d3 d 4 + + + …+ n ) . 2 3 4 n

第7页


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