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2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算


2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
教学目标:使学生掌握平面向量共线的条件及简单的证明过程,会使用该定理解 题,掌握轴上向量的定义方法,会计算向量的坐标,利用向量的坐标解 题。 教学重点难点:重点是平行向量基本定理; 难点是平行向量基本定理的应用. 教学内容安排: 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 在学习向量概念的时候,我们 已经定义了什么是向量共线(即平 师生互答 行).而我们要知道向量的共线和平 行是同一个含义,它与直线的平行、 与 复习 复习旧知识, 重合不同,两个向量的基线是同一 条直线或两条平行直线时,向量都 教师讲解 提问 引出新知识 称为共线(或平行)向量,<因为向量 ? ? 结合 是自由的>。它的表示方法是 a // b , 而且由于零向量觉得方向不定,所 以可以把零向量认为成和任一向量 平行的向量。 1.平行向量基本定理: 定理 形成 如果 a ? ?b ,则 a // b ;反之, 如果 a // b ,且 b ? 0 ,则存在唯一 一个实数 ? ,使得 a ? ?b .λ (这样我们给出的这个平行向 量的基本定理,根据它就可以判断 两个向量是否共线了,实际上,给出 的这种判断方法是一种代数的判断 方法,后面在学习了坐标后我们在 判断是否共线时也是根据这种方法 来判断的.) 2.单位向量: 给定一个非零向量 a ,与 a 同 方向且长度等于 1 的向量,叫做向量 a 的单位向量. 如果 a 的单位向量记作 a0 ,由 数乘向量的定义可知: a = | a | a0 或 同学们要 牢记基本定理, 而且这样以来 实数与这条轴 上的向量建立 起一一对应的 关系,至此,我 们就可以用数 学生通过

值来表示向量. 对 老 师 利 用 向 给 我 们 奠 定 了 量加法 的讲 解 , 向量的数量化 能够很自然地

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定理 形成

a0 = a . a0

的基础,也是我 接 受 向 量 和 实 们将来平面向 数相乘的这样

二.轴上向量的坐标及其运算: 量空间向量数 一种从一般的 (对于数轴定义的回忆) 规定了方向和长度单位的直线 量化的基础. 加法到乘法的 叫做轴. 已知轴 l .取单位向量 e ,使 e 的方向与 l 同方向,根据向量平行的 条件,对轴上任意向量 a ,一定存在 唯一实数 x ,使 a = x e . 反过来,任意给定一个实数 x , 我们总能作一个向量 a = x e ,使它 那么我们 的长度等于这个实数 x 的绝对值,方 向与实数的符号一致. 这里的单位向量 e 叫做轴 l 的 由 数 轴 上 两 点 基向量, x 叫做 a 在 l 上的坐标(或 数量). x 的绝对值等于 a 的长,当 的 距 离 可 以 用 a 与 e 同方向时, x 是正数,当 a 与 右边的点的坐 e 反向时, x 是负数. 1.数轴上两点间的距离公式: 标减去左边点 AB ? x2 ? x1 , 变换,通过观察、 比较、抽象、概 括出向量的坐 标表示,为以后 向量平面的坐 标做好准备,是 向量坐标非常 重要的坐标表

2.轴上向量的坐标等于向量终 的 坐 标 这 种 方 示的引理。另一 点 的 坐 标 减 去 始 点 的 坐 法来计算两点 方面有助于发 标: AB ? x2 ? x1 间的距离,所以 展 学 生 的 理 性 以 这 两 点 为 起 思维的能力,从 终点的向量的 简单的向量的 定理 形成 所 在 线 段 的 长 知识开始,逐步 度 就 应 为 下 面 深入,为平面向 的公式 量的基本定理 做好充分的准 备。

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例 1.已知数轴上三点 A, B, C 的坐标 分别是 4,-2,-6, 应用 举例 求: AB, BC , CA 的坐标长度.
?? ?? ??

学生需要

通过设问,

锻炼的能力之 引导学生体会 一,注意回顾和 解 题 思 路 的 形 正确使用定理, 成过程,培养学 是平面向量坐 生利用现讲的

C -6

B -2

O 0

A 4

标的基础定理。 定 理 解 题 的 能 力。

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