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平面向量的基本概念及线性运算-平面向量 2011高考一轮数学精品课件


学案1 平面向量的基本概念 及线性运算

考点分析 1.向量的有关概念 (1)向量 既有 大小 ,又有 方向 的量叫做向量, 向量:既有 又有 的量叫做向量 向量 (或模 或模). 向量的大小叫做向量的长度 或模 (2)零向量 零向量: 零向量 是 任意 的. 长度为0 的向量叫做零向量,其方向 长度为 的向量叫做零向量 其方向

(3)单位向量 给定一个非零向量 与a 同方向 且 单位向量:给定一个非零向量 单位向量 给定一个非零向量a,与 1 的向量 叫做向量 的单位向量 的向量,叫做向量 的单位向量. 叫做向量a的单位向量 长度等于 返回目录

(4)平行向量 方向 相同 或 相反 的 非零 平行向量:方向 平行向量 向量.平行向量又叫 向量 平行向量又叫 共线向量 ,任一组平行向量都可以 任一组平行向量都可以 移到同一条直线上. 移到同一条直线上 规定:0与任一向量 规定 与任一向量 平行 . 相同 相反 的向量. 的向量 的向量. 的向量

(5)相等向量 长度 相等 且方向 相等向量:长度 相等向量 (6)相反向量 长度 相等 且方向 相反向量:长度 相反向量 2.向量的加法和减法 (1)加法 加法

服从三角形法则、 ①法则:服从三角形法则、平行四边形法则 法则 服从三角形法则 平行四边形法则. ②运算性质: 运算性质 返回目录

a+b= (a+b)+c= a+0= (2)减法 减法

b+a a+(b+c) =

(交换律 交换律); 交换律 (结合律 结合律); 结合律 a .

0+a

①减法与加法互为逆运算; 减法与加法互为逆运算 服从三角形法则. ②法则:服从三角形法则 法则 服从三角形法则 3.实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下 长度与方向规定如下: 长度与方向规定如下 ①|λa|= |λ|·|a| ; 返回目录

②当 λ>0

的方向相同;当 时,λa与a的方向相同 当 与 的方向相同 0 .

λ<0

时,

λa与a的方向相反 当λ=0时,λa= 与 的方向相反 的方向相反;当 时 (2)运算律 设λ,?∈R,则 运算律:设 ∈ 则 运算律 ①λ(?a)= ③λ(a+b)= (λ?)a λa+λb

;②(λ+?)a= ② .

λa+?a;

4.平行向量基本定理 向量a与 向量 与b(b≠0)平行的充要条件是 有且只有一个实 平行的充要条件是 使得a=λb 数λ, 使得 .

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题型分析 考点一 向量的有关概念

判断下列各命题是否正确. 判断下列各命题是否正确 (1)若|a|=|b|,则a=b; ) , 是不共线的四点, (2)若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是 ) , , , 是不共线的四点 是 四边形ABCD是平行四边形的充要条件; 是平行四边形的充要条件; 四边形 是平行四边形的充要条件 (3)若a=b,b=c,则a=c; ) , 相等的充要条件是: (4)两向量 相等的充要条件是:|a|=|b|且a∥b; )两向量a,b相等的充要条件是 且 ∥ ; 返回目录

是向量a=b的必要不充分条件; 的必要不充分条件; (5)|a|=|b|是向量 ) 是向量 的必要不充分条件 的充要条件是A与 重合 重合, 与 重合 重合. (6)AB=CD的充要条件是 与C重合,B与D重合 ) 的充要条件是 【分析】从向量的模、相等向量的概念入手,逐个判 分析】从向量的模、相等向量的概念入手, 断其真假. 断其真假

【解析】(1)不正确 两个向量的长度相等,但它们 解析】 两个向量的长度相等, )不正确.两个向量的长度相等 的方向不一定相同. 的方向不一定相同 (2)正确 ∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC. )正确.∵ ∴ 且 ∥ 是不共线的四点, 又A,B,C,D是不共线的四点, , , , 是不共线的四点 返回目录

∴四边形ABCD是平行四边形 ,反之 ,若四边形 四边形 是平行四边形 AB CD是平行四边形,则AB∥DC,且AB与DC方向相同, 是平行四边形, 方向相同, 是平行四边形 ∥ , 与 方向相同 因此, 因此,AB=DC. 的长度相等且方向相同; (3)正确 ∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同; )正确.∵ ∴ 的长度相等且方向相同 又∵b=c, ∴b,c的长度相等且方向相同 的长度相等且方向相同. 的长度相等且方向相同 的长度相等且方向相同, ∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. 的长度相等且方向相同 (4)不正确 当a∥b,但方向相反,即使 )不正确.当 ∥ ,但方向相反,即使|a|=|b|,也 , 不能得到a=b. 不能得到
? 这是因为|a|=|b|?/ a=b,但a=b?|a|=|b|, (5)正确 这是因为 )正确.这是因为 ? , ? , 所以|a|=|b|是a=b的必要不充分条件 的必要不充分条件. 所以 是 的必要不充分条件

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这是因为AB=CD时,应有:|AB|=|CD|, (6)不正确 这是因为 )不正确.这是因为 时 应有: 即由A到 与由 与由C到 的方向相同 但不一定要有A与 重合 的方向相同, 重合, 即由 到B与由 到D的方向相同,但不一定要有 与C重合, B与D重合 与 重合 重合. 【评析】向量中的概念比较多,易混淆,基础性题 评析】向量中的概念比较多,易混淆, 目的判定应从概念的本质上加以理解和应用. 目的判定应从概念的本质上加以理解和应用

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*对应演练* 对应演练*
给出下列命题: 给出下列命题 的长度与向量BA的长度相等 ①向量AB的长度与向量 的长度相等 向量 的长度与向量 的长度相等; 与向量b平行 的方向相同或相反; ②向量a与向量 平行 则a与b的方向相同或相反 向量 与向量 平行,则 与 的方向相同或相反 ③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同 两个有共同起点并且相等的向量 其终点必相同; 其终点必相同 一定是共线向量; ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量 两个有共同终点的向量 一定是共线向量 与向量CD是共线向量 则点A,B,C,D必在同 ⑤向量AB与向量 是共线向量 则点 向量 与向量 是共线向量,则点 必在同 一条直线上; 一条直线上 ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段 其中假命题的 有向线段就是向量 向量就是有向线段.其中假命题的 向量就是有向线段 个数为( ) 个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 返回目录

C(①中,∵向量AB与BA为相反向量 ∴它们的长度相等,∴ ① ∵向量 与 为相反向量,∴它们的长度相等 ∴ 为相反向量 此命题正确. 此命题正确 中若a或 为零向量 则满足a与 平行 为零向量,则满足 平行,但 与 的方向不 ②中若 或b为零向量 则满足 与b平行 但a与b的方向不 一定相同或相反,∴此命题错误. 一定相同或相反 ∴此命题错误 由相等向量的定义知,若两向量为相等向量 且起点相同, 若两向量为相等向量,且起点相同 ③由相等向量的定义知 若两向量为相等向量 且起点相同 则其终点也必定相同,∴该命题正确. 则其终点也必定相同 ∴该命题正确 由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点 若两个向量仅有相同的终点,则不一定共 ④由共线向量知 若两个向量仅有相同的终点 则不一定共 线,∴该命题错误 ∴该命题错误. 共线向量是方向相同或相反的向量, ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若AB与CD是 与 是 共线向量,则 四点不一定在一条直线上,∴ 共线向量 则A,B,C,D四点不一定在一条直线上 ∴该命题 四点不一定在一条直线上 错误. 错误 ⑥∵零向量不能看作是有向线段,∴该命题错误. 零向量不能看作是有向线段 ∴该命题错误 故应选C.) 故应选 返回目录

考点二 向量的线性表示 如图4-1-1,若ABCD是一个等腰梯形 若 是一个等腰梯形,AB∥DC,M,N分别 如图 是一个等腰梯形 ∥ 分别 的中点,已知 试用a,b,c表 是DC,AB的中点 已知 的中点 已知AB=a,AD=b,DC=c,试用 试用 表 示BC,MN,DN+CN.

【分析】结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和 分析】结合图形性质 准确灵活运用三角形法则和 平行四边形法则是向量加减运算的关键. 平行四边形法则是向量加减运算的关键 返回目录

【解析】BC=BA+AD+DC=-a+b+c. 解析】 ∵MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN, ∴2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN =-AD+CB=-b-(-a+b+c) =a-2b-c,

1 1 a-b- c. 2 2 DN+CN=DM+MN+CM+MN
∴MN= =2MN=a-2b-c. 返回目录

【评析】 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个 评析】 解题的关键在于搞清构成三角形的三个 向量间的相互关系,能熟练地找出图形中相等向量 能熟 向量间的相互关系 能熟练地找出图形中相等向量,能熟 能熟练地找出图形中相等向量 练运用相反向量将加减法相互转化. 练运用相反向量将加减法相互转化 (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是: 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是 ①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③ 观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③ 运用法则找关系;④化简结果 运用法则找关系 ④化简结果.

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*对应演练* 对应演练*
如图4-1-2,以向量OA=a,OB=b为边作? ,以向量 为边作? 如图 为边作 OADB,

1 1 BM= BC,CN= CD,用a,b表示 表示OM,ON,MN. 用 表示 3 3

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∵BA=OA-OB=a-b,
1 1 1 BA= a- b. ∴BM= 6 6 6 1 1 1 5 ∴OM=OB+BM=b+ a- b= a+ b. 6 6 6 6

1 1 1 2 2 2 ∴ON=OC+ 3 CD= 2 OD+ 6 OD= OD= a+ b. 3 3 3 2 2 1 5 1 1 ∴MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 3 6 6 2 6 1 53 2 2 即有OM= a+ b,ON= a+ b, 即有 6 6 3 3 1 1 MN= a- b. 2 6
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又OD=a+b,

考点三 向量的共线问题 设两个非零向量a与 不共线 不共线. 设两个非零向量 与b不共线 (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 若 求证:A,B,D三点共线 三点共线; 求证 三点共线 (2)试确定实数 使ka+b和a+kb共线 试确定实数k,使 共线. 试确定实数 和 共线

【分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两 分析】解决点共线或向量共线问题 就要根据两 向量共线的条件a=λb(b≠0). 向量共线的条件

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【解析】 (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), 解析】 证明 证明:∵ ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. 共线, ∴AB,BD共线 共线 三点共线. 又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线 它们有公共点 ∴ 三点共线 (2)∵ka+b与a+kb共线 ∵ 共线, 与 共线 ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 存在实数 使 即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∴ 是不共线的两个非零向量, ∵a,b是不共线的两个非零向量 是不共线的两个非零向量 ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1. ∴ ∴ ± 返回目录

【评析】 (1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量 评析】 由向量数乘运算的几何意义知非零向量 共线是指存在实数λ使两向量能互相表示 使两向量能互相表示. 共线是指存在实数 使两向量能互相表示 (2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时, 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意 待定系数法的运用和方程思想. 待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注 证明三点共线问题,可用向量共线来解决 证明三点共线问题 可用向量共线来解决,但应注 意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共 意向量与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共 点时,才能得出三点共线 才能得出三点共线. 点时 才能得出三点共线

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*对应演练* 对应演练*
设两个非零向量e 不共线. 设两个非零向量 1和e2不共线 (1)如果 如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求 如果 求 三点共线; 证:A,C,D三点共线 三点共线 (2)如果AB=e (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且A,C,D三 ,且A,C,D三 如果 点共线,求 的值 的值. 点共线 求k的值

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(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, 1 1 AC=AB+BC=4e1+e2=- (-8e1-2e2)=- CD, 2 2 共线. ∴AC与CD共线 与 共线 有公共点C,∴ 三点共线. 又∵AC与CD有公共点 ∴A,C,D三点共线 与 有公共点 三点共线 (2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, 三点共线, ∵A,C,D三点共线 三点共线 共线,从而存在实数 使得AC=λCD, ∴AC与CD共线 从而存在实数 使得 与 共线 从而存在实数λ使得 由平面向量基本定理,得 即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),由平面向量基本定理 得 由平面向量基本定理

{

3=2λ -2=-λk,

解得λ= 解得

3 4 ,k= . 2 3
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考点四

向量知识的综合应用

相交于点M,设 试用a和 表示向量 与BC相交于点 设OA=a,OB=b.试用 和b表示向量 相交于点 试用 OM.

1 1 如图4-1-3所示 在△ABO中,OC= 4 OA,OD= OB,AD 所示,在 如图 所示 中 2

【分析】从题设及图中可以看出,直接寻找 分析】从题设及图中可以看出 直接寻找OM与a, 与 直接寻找 b之间的关系是很难行得通的 因此可先设 之间的关系是很难行得通的.因此可先设 之间的关系是很难行得通的 因此可先设OM=ma+nb, 利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可 即可. 利用共线向量的知识及待定系数法求出 即可 返回目录

【解析】设OM=ma+nb, 解析】 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. 1 1 AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 2 2 三点共线,∴ 共线. 又∵A,M,D三点共线 ∴AM与AD共线 三点共线 与 共线 ∴存在实数t,使得 使得AM=tAD, 存在实数 使得 1 即(m-1)a+nb=t(-a+ )b. 2 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2 m-1=-t ∴ 消去t得m-1=-2n. 消去 得 t n= , 2

{

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即m+2n=1.



1 1 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=(m- )a+nb,CB=OB4 4 1 1 OC=b- a=- a+b. 4 4 三点共线,∴ 共线. 又∵C,M,B三点共线 ∴CM与CB共线 三点共线 与 共线

使得CM=t1CB, ∴存在实数t1,使得 存在实数 使得 1 1 ∴(m- )a+nb=t1(- a+b), 4 4 1 1 m- =- t1 ∴ 4 4 n=t1,

{

消去t 消去 1得4m+n=1. ② 1 3 1 3 ①②得 由①②得m= 7 ,n= 7 ,∴OM= 7 a+ 7 b. ∴

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【评析】在求一个向量用另外两个向量线性表示时, 评析】在求一个向量用另外两个向量线性表示时 一般有以下几种方法: 一般有以下几种方法 (1)根据图形 由加减法的定义 可直接得出结论 根据图形,由加减法的定义 可直接得出结论; 根据图形 由加减法的定义,可直接得出结论 (2)如果不易找出它们间的关系 可先设该向量可用 如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用 如果不易找出它们间的关系 另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理 用待定 另外两个向量来线性表示 再利用共线向量定理,用待定 再利用共线向量定理 系数法求出它们的系数,即可得出结论 即可得出结论. 系数法求出它们的系数 即可得出结论

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*对应演练* 对应演练*
O是平面上一定点 是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点 动点 是平面上不共线的三个点,动点 是平面上一定点 是平面上不共线的三个点 P满足 OP = OA + λ( 满足
AB AC ∈ 则 点的轨 + ), λ∈[0,+∞),则P点的轨 | AB | | AC |

迹一定通过△ 迹一定通过△ABC的( 的 A.外心 外心 B.内心 内心 C.重心 重心

B) D.垂心 垂心

B(如图,作向量AP.由向量加法知 如图,作向量 由向量加法知OP=OA+AP 如图 由向量加法知 由已知可得 OP = OA + λ(
AB AC + ), | AB | | AC | AB AC + ). ①②,可得AP = λ( 由①②,可得 | AB | | AC |

① ② ③ 返回目录

AB AC 都是单位向量, ③式中 | AB | , | AC | 都是单位向量,以

这两个向量为一组邻边作 AB1P1C1, 这时? 是菱形,对角线AP 这时?AB1P1C1是菱形,对角线 1平 分∠B1AC1,且
AB AC AB1= ,AC1= . | AB | | AC |



由③④可知 ③④可知AP=λAP1, 可知 再由λ∈ 可知, 点的轨迹是射线 点的轨迹是射线AP,所以,P点的轨 所以, 点的轨 再由 ∈[0,+∞)可知,P点的轨迹是射线 可知 所以 迹一定通过△ 的内心.故应选 迹一定通过△ABC的内心 故应选 的内心 故应选B.) 返回目录

高考专家助教 1.将向量用其他向量 特别是基向量)线性表示, 1.将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示,是 将向量用其他向量( 十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础. 十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础. 2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为 2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为 起点,最后的终点为终点的向量;若这两点重合, 起点,最后的终点为终点的向量;若这两点重合,则和为 零向量. 零向量. 3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线 3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线, 通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线, 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别. 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别. 4.0与实数0有区别,0的模为数0,它不是没有方向, 4.0与实数 有区别,0的模为数 它不是没有方向 与实数0 的模为数0,它不是没有方向, 而是方向不定.0可以看成与任意向量平行 可以看成与任意向量平行. 而是方向不定.0可以看成与任意向量平行. 返回目录

5.由 5.由a∥b,b∥c不能得到a∥c.取不共线的向量a与c, b,b∥ 不能得到a c.取不共线的向量 取不共线的向量a 显然有a 0,c∥ 显然有a∥0,c∥0. 6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形 6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形 法则的根本区别与联系. 法则的根本区别与联系.

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