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新课标2013学年度高一年级(上学期)期末考试数学试题附答案[编辑7页]


新课标 2013 学年度高一年级 (上学期)期末考试数学试题附答案
试卷结构:本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合 题目要求的,请把它填到答案卷上) 1.如果 S={1,2,3,4,5},M={1,3,4},N={2,4,5},那么( SM)∩( SN )等于( ) A. ?
2

B.{1,3}

C.{4}

D.{2,5} ( )

2.函数 y ? x ? 2 x ? 2, x ? [0,2] A.只有最小值 C.既有最小值又有最大值 3.函数 y ? B.只有最大值 D.既无最大值也无最小值

x 2 ? 6 x ? 8 的定义域为 M,函数 g ( x) ?

x?4 的定义域为 N,则 M 与 N 的关系是 x?2
( )

A.M=N C.M∩(
RN)=

B. M ? N

?

D. M∩(

RN)=

?
( D. 1 ? a ? b ( D.1 ) )

4.设 x ? 0, 且a ? b ? 1, a, b ? (0,??), 则a, b 的大小关系
x x

A. b ? a ? 1

B. a ? b ? 1
?

C. 1 ? b ? a

5.已知 f (cos x) ? cos 2 x, 则f (sin 30 ) 的值等于 A.

1 2

B.-

1 2

C.0

6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a17=10,则 S19 的值为 A.55 7.数列 1, B.95 C.100 D.不能确定





1 1 1 的前 n 项和为 ( ) , , ?, 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 2n 3n 4n 3n ? 1 A. B. C. D. n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 a 2 8.若 f ( x) ? ? x ? 2ax 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( g ( x) ? x ?1
A. (?1,0) ? (0,1) B. (?1,0) ? (0,1]



1/7

C. (0,1) 9.已知 sin 2? ? ? A. ?

D. (0,1]

1 5

24 ? ? ,? ? (? ,? ), 则 sin ? ? cos? 等于 25 2 4 1 7 B. C. ? 5 5
2

( D.



7 5


10.关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负实根的充要条件是

( 1 A.a<0 B. a ? 1 , 3 C. 0 ? a ? 1 D. 0 ? a ? 1或a ? 0 , ?1 5 11.已知函数 y ? f (x) 存在反函数且 f (3) =0,则函数 f ( x ? 1) 的图象必经过点( A. (2,0) B. (0,2)
2



C. (3,-1)

D. (-1,3) ( )

12.已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3)若x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a ,则 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 )与f ( x 2 ) 大小不能确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填在横线上) 13. G ?

ab是a, G, b 成等比数列的
.

条件.

14.不等式|3(x+1)-5≥4 的解集为 15.已知函数 f ( x) ? log 2
( x 2 ? ax ? a )

的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 .

.

16.cot20°cos10°+ 3 sin10°tan70°-2cos40°=

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 ( ax2 ? x ? a ) x 17. (本题 12 分) p: 设 关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 {x, | x ? 0} ; 函数 y ? lg Q: 的定义域为 R, 3 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 a 的取值范围. , 5

2/7

a x ?1 18. (本题 12 分)设函数 f ( x) ? x (a ? 0, a ? 1) a ?1
(1)求 f
?1

( x)
?1

(2)当 a>1 时,求满足 f (3)a>0,讨论 f
?1

( x) ? 0的x 的取值范围.

( x) 的单调性.

19. (本题 12 分)有四个数,其中前 3 个数成等差数列,后三个数成等比数列并且第一个数与第四个数的 和是 37,第二个数与第三个数的和是 36,求这四个数.

20. (本题 12 分)已知 (1)求 tan? 的值

3? 10 ? ? ? ? , tan? ? cot? ? ? 4 3

5 sin 2
(2)求

?
2

? 8 sin

?
2

cos

?
2

? 11 cos2

?
2

?8

2 sin(? ?

?
4

)

3/7

21. (本题 12 分) 数列 {a n }的前n项和S n ? 2a n ? 1, 数列{bn }中, bn ? (3n ? 2)a n (1)求数列 {a n } 的通项 an (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn。

22. (本题 14 分) 已知函数 f (x) 的定义域为 R,又任意实数 m、n,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ?

1 , 2

1 1 且f ( ) ? 0,当x ? 时, f ( x) ? 0. 2 2
(1)求 f(1) (2)求和 f(1)+ f(2)+ f(3)+……f(n) (n∈N*) (3)判断函数 f(x)的单调性并证明.

4/7

新课标 2013 学年度高一年级 (上学期)期末考试数学试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.B 7.B 8.D 9.A 10.B 11.D 12.A 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 1 2 13.既不充分又不必要 14. (??, ] ? [2,??) 15. (??,?4] ? [0,??) 16.2 , 3 3 解答题 17.解:若 P 真则 0<a<1,若 P 假则 a ? 1或a ? 0 , 5 1 1 2 若 Q 真,由 a ? 0, ? ? 1 ? 4a ? 0得a ? 若Q假侧a ? …………6 分

2

2

又 P 和 Q 有且仅有一个正确,当 P 真 Q 假时 0 ? a ? 当 P 假 Q 真时 a ? 1 综上可得 a ? (0, ] ? [1,??)

1 2

…………8 分 …………10 分 …………12 分

1 2

a x ?1 1? y 得a x ? 18.解: (1)令 x 1? y a ?1
1? x

x ? l o g 而a x ?

1? y 1? y a

1? y ?0 1? y
…………4 分

? ?1 ? y ? 1
(2) f
?1

? f ?1 ( x) ? log 1? x (?1 ? x ? 1) a
1? x 1? x a

( x) ? 0即为log

? 0, 而a ? 1
?0 ? x ? 1
…………8 分

?

1? x 2x ? 1,即 ? 0, 1? x x ?1

∴满足条件的 x 的取值范围是 0<x<1

1? x (3)令 u ? 设 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 1? x 1 ? x1 1 ? x 2 ? 2( x 2 ? x1 ) 则u ( x1 ) ? u ( x 2 ) ? ? ? 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 )

? ?1 ? x1 ? x 2 ? 1 x 2 ? x1 ? 0

?1 ? x1 ? 0

1 ? x2 ? 0

? u ( x1 ) ? u ( x 2 )
1? x 1? x a

u ( x)是(?1,1)上的增函数, 又a ? 1
因此 f
?1

( x) ? log

在(-1,1)上是增函数.
2

…………12 分

19.解:设后三个数 a,aq,aq (q 为公比) 由前三个数成等差数列可知,第一个数为 2a-aq 于是 ① (2a ? aq) ? aq ? 37
2

② a ? aq ? 36

…………4 分
5/7

①的两边分别除以②的两边,并整理得

36 q 2 ? 73q ? 35 ? 0
解得 q1 ? 将 q1 ?

…………6 分

5 7 , q2 ? 4 9
…………8 分 …………10 分

5 代入② 得 a1 ? 16 4 7 81 将 q 2 ? 代入 ② 得 a 2 ? 9 4
因此,所求的四个数为 12,16,20,25 或

99 81 63 49 , , , 4 4 4 4 10 ? 3 tan 2 ? ? 10 tan? ? 3 ? 0 3

…………12 分

20.解: (1)? tan? ? cot? ? ?

解得 tan? ? ? 或 tan? ? ?3

3? 1 ? ? ? ? ,? ?1 ? tan? ? 0 ? tan? ? ? 4 3 1 (2)? tan? ? ? 3 ?

1 3

…………4 分

?

5 sin 2

?

2

? 8 sin

?

2

cos

?

2

? 11 cos2

?

2 sin(? ? 5(sin 2

?
4

2

?8

)

1 ? cos? ?8 5 ? 4 sin ? ? 3 ? 3 cos? ? 8 2 2 2 ? sin ? ? cos? sin ? ? cos? 4 sin ? ? 3 cos? 4 tan? ? 3 5 …………12 分 ? ? sin ? ? cos? tan? ? 1 4 ? cos2 ) ? 4 sin ? ? 6 ?
① ②

?

?

21.解: (1)? S n ? 2a n ? 1

S n?1 ? 2an?1 ? 1(n ? 2)
①-②得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 (2)? bn ? (3n ? 2) ? 2
n ?1

? a n ? 2a n?1

…………4 分

? Tn ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (3n ? 2) ? 2 n ?1 …………③ 2Tn ? 1 ? 2 ? 4 ? 2 2 ? 7 ? 2 3 ? ? ? (3n ? 2) ? 2 n …………④
③—④得 ? Tn ? 1 ? 3(2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

) ? (3n ? 2) ? 2 n ? ?5 ? (3n ? 5) ? 2 n
…………12 分
6/7

? Tn ? (3n ? 5) ? 2 n ? 5

22.解(1)令 m ? n ?

1 2 1 1 1 1 则 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? ? 2 2 2 2 则f (n ? 1) ? f (n) ? f (1) ? 1 2

…………4 分

(2)再令 m ? 1

即f (n ? 1) ? f (n) ? 1

1 ?{ f (n)}是首项为 , 公差为 1 的等差数列. 2
n n(n ? 1) n 2 ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? ? ? 2 2 2
(3)函数 f ( x)在(??,??) 上是增函数 证明:任取 x1 , x2 ? (??,??)且x2 ? x1
? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x1 ) 1 1 1 1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( ) ? ? f ( x 2 ? x1 ? ) 2 2 2 2 1 1 ? x 2 ? x1 , 则x 2 ? x1 ? ? 2 2 1 1 又当x ? , f ( x) ? 0 ? f ( x 2 ? x1 ? ) ? 0 2 2 即f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0, f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?

…………8 分

所以函数f ( x)在(??,??)上是增函数.

…………14 分

? a1 ? S1 ? 2a1 ? 1

? a1 ? 1

?{a n }是首项为 , 公比为2的等比数列a n ? 2 n ?1 1

7/7


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