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育才2013届高三第二次模拟考试(数学文)


东北育才学校高三第二次模拟考试数学文科试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8} P={3,4,5} Q={1,3,6} 那么集合{2,7,8}是( A. P∪Q B. P∩Q C. CuP∪CuQ D.CuP∩CuQ
2



2. 下列命题:① ?x ? R? x 2 ? x ;② ?x ? R? x 2 ? x ;③ 4 ? 3 ;④“ x ? 1 ”的充要条件是 “ x ? 1 ,或 x ? ?1 ”. 其中正确命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知函数 f ? x ? ? ? )

? f ? x ? 5? , x ? 0 ? ,则 f ? 2009? ? ( ?log 2 ? ? x ? , x ? 0 ?



A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的 A.32 5. 右图是计算 B.0.2

1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为( 4
C.40 D.0.25

)

1 1 1 ? ?? ? 的值的程序 1? 2 2 ? 3 9 ?10
) C. i ? 10 D. i ? 11 B. i ? 9

框图,其中在判断框中应填入的条件是( A. i ? 8

2 6. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 2)ln x ? 2008x ? 2009 , 则方程 f ( x) ? 0 在下面哪个区间内必有实

根( A. (0,1) 7. 已知 sin( A.

) B. (1, 2) C. (2,3) D. (2, 4) ) D. ?

?
6

??) ?

7 9

1 2? ? 2? ) 的值等于( ,则 cos( 3 3 7 1 B. ? C. 3 9
2 2

1 3

8.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则

1 1 ? 的最小值是( a b
A.4 B.2

) C.

1 2
-1-

D.

1 4

9. 设数列 ? A.1

?1? 1 ? 是等差数列,且 a2 a4 ? a4 a6 ? a6 a2 ? 1 , a 2 a 4 a 6 ? ,则 a10 ? ( 6 ? an ?
B.-1 C.



1 5 10. 如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面 ?SCD 内及其边界上运动, 并且总是保持 PE ? AC.则动点 P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是( )
D.-1 或
S P D D C S P D C S P P C D C S

1 5

A. ..

B A

C A

D A

. 11. 已知函数 f ?x? ? x 2 ? 2x ? 1 , 若存在实数 t , 当任意 x ? ?1 m?时, f ?x ? t ? ? x 恒成立, , V
则实数 V 的最大值为( m A. 5 A B. 4
2 2

) C. 3 D. 2

12 若双曲线

1 x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则该双 2 4 a b


曲线的离心率是( A. 5 B.

6 2

C. 2

D.

2 3 3
A D

二、填空题:(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.如图,平面上一长 12 cm ,宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一 半径为 1 cm 的圆(圆心在矩形对角线交点处). 把一枚半径

1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内) ,则硬币

B
不与该圆相碰的概率为 .

C

? 3x ? y ? 0 ??? ??? ? ? ? O O A ?P ? 14.已知定点 A 3, 3 ,O 是坐标原点, P ? x, y ? 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , z ? ??? 的 点 则 ? OA ?y ? 0 ? ?

?

?

最大值为

.

15.已知实数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a6 ? 32 , an ? 2 ?

a n2?1 an

,把数列 ?an ? 的各项排成

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?????

如图所示的三角形状,记 A ? m, n ? 为第 m 行从左起第 n 个数, 则 A(12,5)= .

16.已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 1,E 为棱 AA1 的中点,一直线过 E 点与异面直线 1

-2-

BC , C1D1 分别相交于 M,N 两点,则线段 MN 的长等于

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)

?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边,且 4 sin 2
(Ⅰ)求 ? A ;

B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

(Ⅱ)若 a ? 7 , ?ABC 的面积为 10 3 ,求 b ? c 的值.
18.(本小题满分 12 分) 某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个小球的抽奖箱中,每次取出后放回, 连续取两次,取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中 三等奖. (Ⅰ)求中三等奖的概率; (Ⅱ)求中奖的概率. 19.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90 ,
0

且 AB ? AA ? 2 , D, E, F 分别为 B1 A, C1C, BC 的中点, 1 (Ⅰ)求证: DE //平面 ABC ; (Ⅱ)求证: B1F ? 平面 AEF ; (Ⅲ)求点 E 到平面 AB1F 的距离. 20.(本小题满分 12 分)

A1 B1 D

C1

E

A B

F

C

已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x2 ? 2k 2 ? 4 ,若 f ( x ) 的单调减区间为 (0, 4) . (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)对任意的 t ? [?1,1] ,关于 x 的方程 2 x ? 5x ? a ? f (t ) 总有实根,求实数 a 的取值
2

范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, a 2 b2
2

直线 x ? y ? b ? 0 是抛物线 y ? 4 x 的一条切线. (Ⅰ)求椭圆的方程;

-3-

(Ⅱ)过点 S (0,? ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点.问:是否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求点 T 坐标;若不存在,说明理由. 22.(本小题满分 12 分) 设等比数列{ an }的前 n 项和 Sn ,首项 a1 ? 1 ,公比 q ? f (? ) ? (Ⅰ)证明: Sn ? (1 ? ? ) ? ?an ; (Ⅱ)若数列{ bn }满足 b1 ? (Ⅲ)若 ? ? 1 ,cn ? an (

1 3

?
1? ?

(? ? ?1, 0) .

1 , bn ? f (bn?1 )(n ? N * , n ? 2) ,求数列{ bn }的通项公式; 2

1 ? 1) ,数列{ cn }的前项和为 Tn ,求证:当 n ? 2 时,2 ? Tn ? 4 . bn

-4-

东北育才学校高三第二次模拟考试 数学文科试卷答案
一. 二. 1-12:DCBAC 13. 1 ? 15. 2 BBACA BD 14. 3 16. 3
2

?
20

125

三.17. 解: (Ⅰ)由 4 sin
2

B?C 7 7 ? cos 2 A ? 得: 4[1 ? cos( B ? C )] ? cos 2 A ? , 2 2 2
???????3 分

可得 4 cos A ? 4 cos A ? 1 ? 0 ,

cos A ?

1 ? ,? ?A ? . 2 3

???????5 分

? ? 2 2 2 ?7 ? b ? c ? 2bc cos 3 ? (Ⅱ) ? ?10 3 ? 1 bc sin ? ? 2 3 ?
? (b ? c) 2 ? 169,? b ? c ? 13 .

???????7 分

???????10 分

18.解:设“中三等奖”的事件为 A, “中奖”的事件为 B,从四个小球中有放回的取两个共 有(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,0)(2,1) , , , , , , , , , , (2,2)(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)16 种不同的方法。 , , , , , ???????3 分 (Ⅰ)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种: (0,3)(1,2)(2,1)(3,0) 、 、 、 ???????4 分 故

P( A) ?

4 1 ? 16 4

???????6 分

(Ⅱ)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种。 两个小球相加之和等于 4 的取法有 3 种: (1,3)(2,2)(3,1) , , 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种: (2,3)(3,2), ?????9 分 , 由互斥事件的加法公式得

P( B) ?

4 3 2 9 ? ? ? 16 16 16 16

??????12 分

19.解: (Ⅰ)取 BB1 中点 G,连 DG,EG ∵B1D=AD, B1G=GB,∴DG//AB,同理 GE//BC, ∵DG ? GE=G,AB ? BC=B,∴平面 DGE//平面 ABC , ∵DE ? 平面 DGE,∴DE//平面 ABC . (Ⅱ) ∵AB=AC=2

??????4 分

? BAC= 90? ,

∴BC=2 2
-5-

在 ? B1 FE 中 EC=1

∴ B1E =3 ,

B1F = 6

∴ B1F ? FE

又∵ AF ? BC. AF ? BB1 ∵ B1F ? FE , AF ? B1F (Ⅲ)∵ AF ? 平面 B1C ∵ EF ? B1F

∴ AF ? 平面 B1C ,∴ AF ? B1F , ∴ B1F ? 平面 AFE ??????8 分

∴ AF ? EF ∴EF= 3 为所求. ??????12 分 ??????2 分 ??????4 分

∴ EF ? 平面 B1 FA

20.解: (I) f ?( x) ? 3kx2 ? 6(k ? 1) x 又? f ?(4) ? 0,? k ? 1 (II)? f ?(t ) ? 3t 2 ? 12t

? ?1 ? t ? 0时f ?(t ) ? 0;0 ? t ? 1时f ?(t ) ? 0
且 f (?1) ? ?5, f (1) ? ?3,

? f (t ) ? ?5
? 2 x 2 ? 5x ? a ? ? 8a ? 25 8

??????8 分

8a ? 25 15 ? ?5解得 a ? ? 8 8

??????12 分

21.解: (Ⅰ)由 ?

? x ? y ? b ? 0消去y得 : x 2 ? (2b ? 4) x ? b 2 ? 0 2 ? y ? 4x
2 2 2

因直线 y ? x ? b与抛物线 ? 4x 相切,? ? ? (2b ? 4) ? 4b ? 0 ,∴ b ? 1 , y ??????2 分 ∵圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 a2 b2

形,∴ a ?

2b ? 2

??????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 故所求椭圆方程为 2
2

??????5 分

(Ⅱ)当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? ( y ? ) ? ( )
2

1 3

4 3

2

-6-

当 L 与 x 轴垂直时,以 AB 为直径的圆的方程: x 2 ? y 2 ? 1

1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ( ) 由? 3 3 解得? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 ?
即两圆公共点(0,1) 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) ??????7 分

(ⅰ)当直线 L 斜率不存在时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) (ⅱ)若直线 L 斜率存在时,可设直线 L: y ? kx ?

1 3

1 ? ? y ? kx ? 3 ? 由? 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 2 ?x ? y2 ? 1 ?2 ?

12k ? ? x1 ? x 2 ? 18k 2 ? 9 ? 记点 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ),则? ? x x ? ? 16 ? 1 2 18k 2 ? 9 ?

??????9 分

又因为 ? ( x1 , y1 ? 1),TB ? ( x 2 , y 2 ? 1) TA

4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) 3 3
? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 4 16 k ( x1 ? x 2 ) ? 3 9 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 18k ? 9 3 18k ? 9 9
??????11 分 ?????12 分

∴TA⊥TB, 综合(ⅰ) (ⅱ) ,以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1). 22.解:

a1[1 ? ( )n ] a1 (1 ? q ) ? n ? n ?1 1? ? (Ⅰ) Sn ? ? ? (1 ? ? )[1 ? ( ) ] ? (1 ? ? ) ? ? ( ) ? 1? q 1? ? 1? ? 1? 1? ?
n

?

???????2 分 而 an ? a1 (

) n ?1 ? ( ) n ?1 1? ? 1? ?

?

?

????????3 分 ????????4 分

所以 Sn ? (1 ? ? ) ? ?an

-7-

(Ⅱ) f (? ) ?

?
1? ?

,? bn ?

bn?1 1 1 ,? ? ?1, 1 ? bn?1 bn bn?1

???????6 分

1 1 ?{ } 是首项为 ? 2 ,公差为 1 的等差数列, bn b1 1 ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 ,即 bn
bn ? 1 . n ?1
1 2
????????????8 分

n ?1 (Ⅲ) ? ? 1 时, an ? ( ) , ? cn ? an (

1 1 ? 1) ? n( )n ?1 bn 2

1 1 1 ?Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( ) 2 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ? ? n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 1 1 n ( n 相减得? Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) ? 2[1 ? )] ? n( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 n?2 1 n ?1 ?Tn ? 4 ? ( ) ? n( ) ? 4 , ???????10 分 2 2 1 n ?1 又因为 cn ? n( ) ? 0 ,?Tn 单调递增, ?Tn ? T2 ? 2, 2
故当 n ? 2 时, 2 ? Tn ? 4 . ?????????????????12 分

-8-


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