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基本不等式及应用3(教师用)


基本不等式及应用
一、知识归纳: 1.基本不等式:

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时,取等号) 2 a?b 2 a b 变形: a ? b ? 2 ab , ( ) ? ab , ? ? 2 2 b a
① a ? 0, b ? 0 , ②重要不等式:如果 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b

时,取“ ? ”号)
2 2

2.最值问题: 已知 x, y 是正数, ①如果积 xy 是定值 P,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P ; ②如果和 x ? y 是定值 S,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值

1 2 S . 4

利用基本不等式求最值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否成立,以及添 项、拆项的技巧,以满足均基本不等式的条件。

x? y 为 x, y 的算术平均数,称 xy 为 x, y 的几何平均数。 2 a?b?c 3 4. (文科不作要求)三元基本不等式:若 a, b, c ? R? ,则 ? abc 3
3.称 二、学习要点: 1.掌握基本不等式的结构特点,利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值,难 点在于定值的确定。 2.基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和” 。必要时可以通过变形(拆补) 、运算(指、 对数等)构造定值。 3.只有在满足“一正、二定、三等”条件下,才能取到最值。 4.基本不等式的主要应用有:求最值、证明不等式、解决实际问题。 三、例题分析: 例 1.已知 x ? 0 ,则 2 ? 3x ?

4 的最大值是__ 2 ? 4 3 _______. x

例 2.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 , 求(1) xy 的最小值; (2) x ? y 的最小值。 解: (1)由 x ? 8 y ? xy ? 0 ,得

8 2 ? ? 1, x y

又 x ? 0, y ? 0 ,则 1 ?

8 2 8 2 8 ? ?2 ? ? ,得 xy ? 64 , x y x y xy

当且仅当 x ? y 时,等号成立。

不等式

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(2)法 1:由 x ? 8 y ? xy ? 0 ,得 x ?

8y ,? x ? 0 ? y ? 2 y?2

则x? y ? y?

8y 16 ? ( y ? 2) ? ? 10 ? 18 , y?2 y?2 16 ,即 y ? 6, x ? 12 时,等号成立。 y?2 8 2 ? ? 1, x y

当且仅当 ( y ? 2) ?

法 2:由 x ? 8 y ? xy ? 0 ,得

则 x? y =( ?

8 x

2x 8 y 2 2x 8 y ? ? 18 。 ) ? ( x ? y ) ? 10 ? ? ? 10 ? 2 y x y y x

例 3.求下列函数的最小值 (1) y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) x ?1

(2)已知 x ? 0, y ? 0 ,且 3x ? 4 y ? 12, 求 lg x ? lg y 的最大值及相应的 x,y 的值。 解: (1)换元法,设 t ? x ? 1 ,? x ? ?1,则 t ? 0 , x ? t ? 1 且y?

(t ? 1) 2 ? 7(t ? 1) ? 10 t 2 ? 5t ? 4 4 ? ? t ? ?5? 4?5 ? 9 t t t

当且仅当 t ?

4 , t ? 2 即 x ? 1 时,等号成立。则函数的最小值是 9。 t 1 1 3x ? 4 y 2 (2)由 x ? 0, y ? 0 ,且 3x ? 4 y ? 12, 得 xy ? (3x)( 4 y ) ? ( ) ?3 12 12 2 3 ? lg x ? lg y ? lg xy ? lg 3 ,当且仅当 3x ? 4 y ? 6 ,即 x ? 2 , y ? 时, 2 3 等号成立。故当 x ? 2 , y ? 时, lg x ? lg y 的最大值是 lg 3 2
2

例 4.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知 旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x (单位:元)。 (1)将总造价 y 表示为 x 的函数: (2)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
不等式 第 2 页(共 6 页)

解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m 则 y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360 由已知 ax ? 360 ,得 a ? 所以 y ? 225 x ?

360 , x

3602 ? 360( x ? 0) x 3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 x

(II)? x ? 0 ? 225 x ?

? y ? 225 x ?

360 2 360 2 时,等号成立. ? 360 ? 10440 .当且仅当 225x = x x

即当 x ? 24 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. 四、练习题: 1.设 a, b ? R ,且 a ? b ? 3 ,则 2a ? 2b 的最小值是 A.6 B. 4 2 C. 2 2 D. 2 6

2.下列不等式中恒成立的是 A.

x2 ? 2 x ?2
2

? 2

1 B. x ? ? 2 x

C.

x2 ? 4 x ?5
2

?2

D. 2 ? 3 x ?

4 ?2 x

3.下列结论正确的是 A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ?

1 ?2 lg x

B. 当x ? 0 时, x ?

1 ?2 x

C. 当x ? 2时, x ? 4. ( x ? y )( ? A.2

1 的最小值为 2 x

D.当 0 ? x ? 2时, x ?

1 无最大值 x

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x , y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 y
B.4 C.6 D.8

5.已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B. 2 2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是 a b
C.4 D.5

不等式

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6.函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x ? 3 的最大值为 M ,最小值为 m ,则
C.

m 的值是 M

A.

1 4

B.

1 2

2 2

D.

3 2
√(1-x)>=0,√(x+3)>=0

解:定义域1-x>=0,x+3>=0 所以 y≥0

-3<=x<=1

y^2=1-x+2[√(1-x)√(x+3)]+x+3 =4+2√(-x? -2x+3) =4+2√[-(x+1)? +4]

-3≤x≤1

所以 x=-1,-(x+1)? +4最大=4,4+2√[-(x+1)? +4]最大值=8, x=-1或3,-(x+1)? +4最小=0,4+2√[-(x+1)? +4]最小值=4, 所以4≤y?≤8 所以2≤y≤2√2 所以 m/M=2/2√2=√2/2

7.下列函数中最小值是 4 的是 A. y ? x ?

4 x

B. y ? sin x ?
a b

4 sin x

C. y ? 2

1? x

? 21? x

D. y ? x 2 ?

1 ? 3, x ? 0 x2 ?1

8.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A. 8 B.4 C.

1 1 ? 的最小值为 a b

1 4

D.1
2 2

9.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 过圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆心,则 ab 的最大 值是 A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

10.已知 a ? 2 , p ? A. p ? q

a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? 4a ?2 ,q ? 2 ,则 a?2
B. p ? q C. p ? q D. p ? q

11.点 (m, n) 在直线 x ? y ? 1 位于第一象限内的图象上运动,则 log 2 m ? log 2 n 的最大值是 _____ ? 2 _______. 12.函数 y ? log 2 ( x ?

1 ? 5)( x ? 1) 的最小值是___3___. x ?1
y2 的最小值 xz
3 .

13.已知 x, y, z ? R ? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则
不等式

第 4 页(共 6 页)

15.已知 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? b ? 1 ,求 S ? 2 ab ? 4a ? b 的最大值。
2 2

解:? a ? 0, b ? 0,2a ? b ? 1,

? 4a 2 ? b 2 ? (2a ? b) 2 ? 4ab ? 1 ? 4ab
且 1 ? 2a ? b ? 2 2ab ,即 ab ?

2 1 , ab ? 4 8 2 ?1 2

? S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 ? 2 ab ? (1 ? 4ab) ? 2 ab ? 4ab ? 1 ?
当且仅当 a ?

1 1 , b ? 时,等号成立。 4 2

16.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y (千辆/小时)与汽 车的平均速度 v (千米/小时)之间的函数关系为: y ?

920v (v ? 0) 。 v ? 3v ? 1600
2

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精 确到 0.1 千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车站的平均速度应在什么范围内?

17.某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正 面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元。 (1)设铁栅长为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)为使仓库总面积 S 达到最大,正面铁栅长 x 应为多少米? 解: (1)因铁栅长为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,则顶部面积为 S ? xy
不等式 第 5 页(共 6 页)

依题设, 40 x ? 2 ? 45 y ? 20 xy ? 3200 ,则 y ? 故 f ( x) ? (2) S ? xy ?

320 ? 4 x (0 ? x ? 80) 2x ? 9
320 x ? 4 x 2 (0 ? x ? 80) 2x ? 9

320 ? 4 x (0 ? x ? 80) , 2x ? 9

令 t ? 2 x ? 9 ,则 x ? 则S ?

1 (t ? 9), t ? 9 2

160(t ? 9) ? (t ? 9) 2 169 ? 9 ? 178 ? (t ? ) ? 178 ? 2 169 ? 9 ? 100 t t

当且仅当 t ? 39 ,即 x ? 15 时,等号成立 所以当铁栅的长是 15 米时,仓库总面积 S 达到最大,最大值是 100m 解法二: 依题设, 40 x ? 2 ? 45 y ? 20 xy ? 3200 , S ? xy 由基本不等式得
2

3200 ? 2 40 x ? 90 y ? 20 xy ? 120 xy ? 20 xy ? 120 S ? 20 S ,

? S ? 6 S ? 160 ? 0 ,即 ( S ? 10)( S ? 6) ? 0 ,故 S ? 10 ,从而 S ? 100
所以 S 的最大允许值是 100 平方米, 取得此最大值的条件是 40 x ? 90 y 且 xy ? 100 ,求得 x ? 15 ,即铁栅的长是 15 米。 18.周长为 12 的矩形围成圆柱(无底) ,当圆柱的体积最大时,圆柱的底面周长与圆柱的高的 比为多少? 解:设矩形长为 x ,宽为 y ,成圆柱的底面半径 r ,休积为 V 则有 x ? y ? 6 , x ? 2? r ,? r ? 则V ? ? r y ? ? (
2

x , y ? 6? x 2?

x 2 1 2 ) y? x (6 ? x) ,其中 0 ? x ? 6 2? 4? 1 x x 1 6 3 8 则 V ? ? ? ? (6 ? x) ? ( ) ? ? 2 2 ? 3 ? x 当且仅当 ? 6 ? x ,即 x ? 4 时,等号成立。这时 y ? 2 2
? 2? r : y ? x : y ? 2 :1 ,即圆柱的底面周长与圆柱的高的比为 2 :1

不等式

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