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万有引力竞赛练习


万有引力典例和针对练习 【典例分析】 (一)万有引力的计算 1.如图所示,阴影区域是质量为 M、半径为 R 的球体挖去一个小圆球后的剩余部分,所挖 去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是, 求球体剩余部分对球体外离球心 O 距离为 2R、 质量为 m 的质点 P 的引力.

(二)天体的运动 2.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒,其绕土星的运动可视为圆周运动。

其中有两个岩 石颗粒 A 和 B 与土星中心距离分别为 rA=8.0×104km 和 r B=1.2×105 km。忽略所有岩石 颗粒间的相互作用。 ⑴求岩石颗粒 A 和 B 的线速度之比。 ⑵求岩石颗粒 A 和 B 的周期之比。

3.已知万有引力常量 G,地球半径 R,地球的自转周期 T,地球表面的重力加速度 g,同步 卫星距地面的高度 h,月球和地球之间的距离 r,月球绕地球的运转周期 T0。某同学根据以 上条件,提出一种估算地球质量 M 的方法: 同步卫星绕地球作圆周运动,由 (1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由。如不正确,请给出正确的解法和结果。 (5 分) (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 (8 分月球绕地球的运转 周期 T1,地球的自转周期 T2,地球表面的重力加速度 g.某同学根据以上条件,提出一种估算地 球质量 M 的方法: 同步卫星绕地心作圆周运动,

4.某课外小组经长期观测,发现靠近某行星周围有众多卫星,且相对均匀地分布于行星周 围,假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动,通过天文观测,测得离行星最近的一

颗卫星的运动半径为 R1,周期为 T1,已知万有引力常为 G。求: ⑴行星的质量; ⑵若行星的半径为 R,行星的第一宇宙速度; ⑶通过天文观测,发现离行星很远处还有一颗卫星,其运动半径为 R2,周期为 T2,试估算 靠近行星周围众多卫星的总质量。

(三)人造天体(飞行器)问题 5.A 是地球的同步卫星。另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内,离地面高度为 h。已知 地球半径为 R, 地球自转角速度为ω 0,地球表面重力加速度为 g, O 为地球中心。 (A 在 B 外, B 在 O 外,地球半径为 R,地球距离 B 为 h) (1)求卫星 B 的运行周期 (2)如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同,某时刻 A、B 两卫星相距最近(O、B、A 在同一直 线上),则至少经过多少时间,它们再一次相距最近?

6.已知万有引力常量 G,地球半径 R,地球的自转周期 T,地球表面的重力加速度 g,同步 卫星距地面的高度 h,月球和地球之间的距离 r,月球绕地球的运转周期 T0。某同学根据以 上条件,提出一种估算地球质量 M 的方法: 同步卫星绕地球作圆周运动,由(1) 请判断上面的结果是否正确, 并说明理由。如不正确, 请给出正确的解法和结果。 (5 分) (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 (8 分月球绕地球的运转 周期 T1,地球的自转周期 T2,地球表面的重力加速度 g.某同学根据以上条件,提出一种估算地 球质量 M 的方法: 同步卫星绕地心作圆周运动,

7.已知某行星半径为 R,以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星的周期为 T,该行星上发射的 同步卫星的运行速度为 V,则同步卫星距行星表面高度为多高?求该行星的自转周期?

(四)力学(抛体、超失重)综合问题 9.在"勇气号"火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才 停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为 h,速度方向是水平 的,速度大小为 v0,求它第二次落到火星表面时速度的大小,计算时不计火星大气阻力。 已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为 r,周期为 T,火星可视为半径为 r0 的均匀球体。

10.一火箭内的实验平台上放有测试仪器,火箭启动后以加速度 g/2 竖直加速上升,达到某 高度时,测试仪器对平台的压力减为启动前的 17/18.求此时火箭距地面的高度.(取地球半 径 R=6.4×103 km)

【针对训练】 1.某行星自转周期是 6 小时。在该行星赤道上称得某物体的重力是同一物体在两极称得的 重力的 90%,求该行星的平均密度。

2.侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行. 已知侦察卫星在一天的时间内绕地球运 行 n 圈,地球的半径为 R,地面处的重力加速度为 g,地球自转的周期为 T. 求侦察卫星的运 行轨道距地面的高度 h.

3. 已知万有引力常量 G, 地球半径 R, 月球和地球之间的距离 r, 同步卫星距地面的高度 h, 月球绕地球的运转周期 T1,地球的自转周期 T2,地球表面的重力加速度 g.某同学根据以上 条件,提出一种估算地球质量 M 的方法: 同步卫星绕地心作圆周运动,由 (1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果. (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.

4.中国首个月球探测计划"嫦娥工程"预计在 2017 年送机器人上月球,实地采样送回地球, 为载人登月及月球基地选址做准备.设想我国宇航员随"嫦娥"号登月飞船绕月球飞行,飞船 上备有以下实验仪器: A. 计时表一只, B. 弹簧秤一把, C. 已知质量为 m 的物体一个, D. 天 平一只(附砝码一盒).在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动,宇航员测 量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行 N 圈所用的时间为 t.飞船的登月舱在月球上着陆 后, 遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量, 利用上述两次测量所得的物理量可 出推导出月球的半径和质量. (已知万有引力常量为 G) ,要求: (1)机器人进行第二次测量的内容是什么? (2)试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式.

5.已知某行星半径为 R,以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星的周期为 T,该行星上发射的 同步卫星的运行速度为 V,则同步卫星距行星表面高度为多高?求该行星的自转周期?

6.某课外小组经长期观测,发现靠近某行星周围有众多卫星,且相对均匀地分布于行星周 围,假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动,通过天文观测,测得离行星最近的一 颗卫星的运动半径为 R1,周期为 T1,已知万有引力常为 G。求: ⑴行星的质量; ⑵若行星的半径为 R,行星的第一宇宙速度; ⑶通过天文观测,发现离行星很远处还有一颗卫星,其运动半径为 R2,周期为 T2,试估算 靠近行星周围众多卫星的总质量。

7.地球质量为 M,半径为 R,自转角速度为ω ,万有引力恒量为 G,如果规定物体在离地 球无穷远处势能为 0,则质量为 m 的物体离地心距离为 r 时,具有的万有引力势能可表 示为 Ep = -G.国际空间站是迄今世界上最大的航天工程,它是在地球大气层上空地球飞行的 一个巨大的人造天体,可供宇航员在其上居住和进行科学实验.设空间站离地面高度为 h, 如果在该空间站上直接发射一颗质量为 m 的小卫星, 使其能到达地球同步卫星轨道并能在 轨道上正常运行,则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能?

8.宇航员站在一个星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一个小球。经过时间 t,小球落 到星球表面。测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到 2 倍,则抛出 点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为 R,万有引力常 数为 G。求该星球的质量 M.

9.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间 t 小球落回原处;若他在某

星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间 5t 小球落回原处。 (取地球表面重 力加速度 g=10m/s2,空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度 g'; (2)已知该星球的半径与地球半径之比为 R 星:R 地=1:4,求该星球的质量与地球质量 之比 M 星:M 地。

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