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示范教案(3.1.1 两角差的余弦公式)


第三章
本章知识框图

三角恒等变换

本章教材分析

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些公式进行简 单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章,学生接 触了同角三角函数公式.在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出 其他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角函数 与数学变换的结合点上.通过本章学习,使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程 中,发展推理能力和运算能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些 应用. 本章内容安排按两条线进行,一条明线是建立公式,学习变换;一条暗线就是发展推理能 力和运算能力,并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中,也体现在建立公式的过 程之中.因此在本章教学中,教师要特别注意恰时恰点地提出问题,引导学生用对比、联系、化 归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角函数恒等变换不 仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化运 用数学思想方法指导设计变换思路的意识. 突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导,本章 不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.例 如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应用; 从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切 公式,在这个过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了 观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目 的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极 的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如,在旁 白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2α 是 α 的二倍,4α 是 2α 的二倍,这里蕴含着换元的思 想”等,都是为了加强思想方法而设置的. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”, 在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用,考查对公式的熟 练掌握程度和灵活运用能力,其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些 特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上. 教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低,但 教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握好难度. 本章教学时间约需 8 课时,具体分配如下(仅供参考): 节 次 3.1.1 3.1.2 3.1.3 标 题 课 时 两角差的余弦公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1 课时 2 课时 1 课时

3.2

简单的三角恒等变换 本章复习 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 整体设计

2 课时 2 课时

教学分析 本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程 的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:① 实际问题中 存在研究像 tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;② 实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与 α、 单角的三角函数的关系的需要.以实例引入 45° 课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同 时也让学生体会数学知识产生、发展的过程. 本节首先引导学生对 cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所 有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、 发展的具体过程,最后提出 了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、 推导,让学生动手画图,构造出 α-β 角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要 作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:① 在回 顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;② 结合有关图形,完成运用 向量方法推导公式的必要准备;③ 探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓 住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④ 补充完善的过程,既要运用分类讨论 的思想,又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:① 要使学生了 解公式的由来;② 使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③ 使学生掌握公式的推导和证明;④ 通 过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题. 三维目标 1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间 的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力 及逻辑推理能力,提高学生的数学素质. 2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中 的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分 析问题、解决问题的能力. 3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系 的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、 探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养 学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法. 重点难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析 题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:① 实际问题中存在研究像 tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;② 实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α)

这样的包含两角和的三角函数与 α、45° 单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化 而提出本节的研究课题进入新课. 思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45° =

2 3 ,cos30° = ,由此我们能否得 2 2

到 cos15° =cos(45° )=?这里是不是等于 cos45° -30° -cos30° 呢?教师可让学生验证,经过验证可 知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢?cos(α-β)等于什么呢?这时学生急于知 道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础. 推进新课 新知探究 提出问题 ① 请学生猜想 cos(α-β)=? ② 利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用 α、β 的三角函数来表示 cos(α-β)呢? ③ 利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(α-β)=? ④ 细心观察 C(α-β)公式的结构,它有哪些特征?其中 α、β 角的取值范围如何? ⑤ 如何正用、逆用、灵活运用 C(α-β)公式进行求值计算? 活动:问题① ,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可 能就首先想到 cos(α-β)=cosα-cosβ 的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证 它的正确性.如 α=60°,β=30°,则 cos(α-β)=cos30°=

3 1? 3 ,而 cosα-cosβ=cos60°-cos30° = ,这 2 2

一反例足以说明 cos(α-β)≠cosα-cosβ. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即 可. 问题② ,既然 cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么 cos(α-β)究竟等于什么呢?由于这里涉及的是三角 函数的问题,是 α-β 这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢?

图1 如图 1,设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠ POP1=β,则∠ POx=α-β.过点 P 作 PM 垂直于 x 轴, 垂足为 M,那么 OM 就是角 α-β 的余弦线,即 OM=cos(α-β),这里就是要用角 α、β 的正弦线、 余弦线来表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B, 过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cosβ,AP 表示 sinβ,并且∠ PAC=∠ 1Ox=α.于 P 是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ. 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角 α、β、α-β 是有条件限制的,即 α、β、α-β 均为锐角,且 α>β,如果要说明此结果是否对任意角 α、β 都成立,还要做不少推广工作,并且这 项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图2 问题③ ,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图 2,在平面直 角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α、 β,它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、 B,则 OA =(cosα,sinα), OB =(cosβ,sinβ),∠ AOB=α-β. 由向量数量积的定义有 OA · =| OA || OB |·cos(α-β)=cos(α-β), OB 由向量数量积的坐标表示有

OA · =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, OB
于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角 α-β 必须符合条件 0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于 α、 都是任意角,α-β 也是任意角,因此就是研究 β 当 α-β 是任意角时,以上公式是否正确的问题.当 α-β 是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个 角 θ∈ [0,2π),使 cosθ=cos(α-β),若 θ∈ [0,π] OA · =cosθ=cos(α-β).若 θ∈ ,则 [π,2π] 2π-θ∈ ,则 OB [0,π],且 OA · =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). OB 由此可知,对于任意角 α、β 都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β)) 此公式给出了任意角 α、β 的正弦、余弦值与其差角 α-β 的余弦值之间的关系,称为差角 的余弦公式,简记为 C(α-β).有了公式 C(α-β)以后,我们只要知道 cosα、cosβ、sinα、sinβ 的值,就 可以求得 cos(α-β)的值了. 问题④ ,教师引导学生细心观察公式 C(α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角 差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行 记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值就可以求得 cos(α-β)的值了. 问题⑤ ,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生 的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧. 如 cos75° cos45° +sin75° sin45° =cos(75° )=cos30° -45° =

3 , 2

cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ. 讨论结果:① —⑤ 略. 应用示例 思路 1 例 1 利用差角余弦公式求 cos15° 的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角 15° ,它可以拆

分为哪些特殊角的差,如 15° =45° 或者 15° -30° =60° ,从而就可以直接套用公式 C(α-β)计算求 -45° 值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用 法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续 探究. 解:方法一:cos15° =cos(45° )=cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° =

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

方法二:cos15° =cos(60° )=cos60° -45° cos45° +sin60° sin45° =

1 2 2 3 × ? ? ? 2 2 2 2

6? 2 . 4

点评:本题是指定方法求 cos15° 的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中 到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运 用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情 形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会. 变式训练 1.不查表求 sin75° ,sin15° 的值.? 解:sin75° =cos15° =cos(45° )=cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° =

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 3 2 4

sin15° 1 ? cos2 15? = 1 ? ( =

6? 2 2 8?2 6? 2 6? 2 ? . ) = 16 4 4

点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不 难得到上面的解答方法. 2.不查表求值:cos110° cos20° +sin110° sin20° . 解:原式=cos(110° )=cos90° -20° =0. 点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察, 再结合公式 C(α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到 cos(110° ).这就是公式逆用的典例,从 -20° 而培养了学生思维的灵活性. 例 2 已知 sinα=

4 ? 5 ,α∈ ,π),cosβ= ? ( ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 5 2 13

活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲 求 cos(α-β)的值,必先知道 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值,然后利用公式 C(α-β)即可求解.从已知 条件看,还少 cosα 与 sinβ 的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的 平方和关系式时,角 α、β 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己 独立完成. 解:由 sinα=

4 ? ,α∈ ,π),得 ( 5 2
2

cosα= ? 1 ? sin a ? ? 1 ? ( ) ? ? .
2

4 5

3 5

又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

sinβ= ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = (? ) ? (?

3 5

5 4 12 33 ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 65

点评:本题是直接运用公式 C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要 准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数 值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯. 变式训练 已知 sinα=

4 5 ,α∈ (0,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 5 13

解:① α∈ 当 [ 又由 cosβ= ?

? 4 4 2 3 2 ,π)时,且 sinα= ,得 cosα= ? 1 ? sin a ? ? 1 ? ( ) ? ? , 5 2 5 5

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

sinβ= ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? (?

12 5 2 ) =? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

5 4 12 33 ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 65. ? 4 ② α∈ 当 (0, )时,且 sinα= ,得 5 2
= (? ) ? (? cosα= 1 ? sin a ? 1 ? ( ) ?
2 2

3 5

4 5

3 , 5

又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

sinβ= ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =

3 5 4 12 63 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65

点评:本题与例 2 的显著的不同点就是角 α 的范围不同.由于 α∈ (0,π),这样 cosα 的符号可 正、 可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角 α 进行分类讨论,从而培养学生思维 的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏. 思路 2 例 1 计算:(1)cos(-15° ); (2)cos15° cos105° +sin15° sin105° ;

(3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15° ,思考它可以拆分 为 哪 些 特 殊 角 的 差 , 如 -15° =15° -30°或 -15° =45° , 然 后 套 用 公 式 求 值 即 可 . 也 可 化 -60° cos(-15° )=cos15° 再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式 C(α-β)的右边一致,从而化为 特殊角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15° =cos(45° )=cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° =

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

(2)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=cos90° =0. (3)原式=cos[x-(x+y)]=cos(-y)=cosy. 点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养 学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例 2 已知 cosα=

1 11 ? ,cos(α+β)= ? ,且 α、β∈ (0, ),求 cosβ 的值. 7 14 2

活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究 α、 α+β、 之间的关系,也就是 β 寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到 β=(α+β)-α 的关系式,然 后利用公式 C(α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由 α、β 的取值范围求出 α+β 的取值范围,这 是很关键的一点,从而判断 sin(α+β)的符号进而求出 cosβ.

? ),∴ α+β∈ (0,π). 2 1 11 又∵ cosα= ,cos(α+β)= ? , 7 14
解:∵ α、β∈ (0, ∴ sinα= 1 ? cos a ?
2

4 3 , 7 5 3 . 14

sin(α+β)= 1 ? cos (a ? ? ) ?
2

又∵ β=(α+β)-α, ∴ cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα = (?

11 1 5 3 4 3 1 )? ? ? ? . 14 7 14 7 2

点评:本题相对于例 1 难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到 β=(α+β)-α 的关系 式,继而运用公式解决.但值得注意的是 α+β 的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解 题当中常见的问题. 变式训练 1.求值:cos15° +sin15° . 解:原式= 2 (

2 2 cos15° + sin15° 2 (cos45° )= cos15° +sin45° sin15° ) 2 2

= 2 cos(45° )= -15°

2 cos30° =

6 . 2

3 4 ,cosα+cosβ= ,求 cos(α-β)的值. 5 5 3 2 4 解:∵ (sinα+sinβ)2=( ) ,(cosα+cosβ)2=( )2, 5 5
2.已知 sinα+sinβ= 以上两式展开两边分别相加得 2+2cos(α-β)=1, ∴ cos(α-β)= ?

1 . 2

点评:本题又是公式 C(α-β)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平 方,从而得到公式 C(α-β)中 cosαcosβ 和 sinαsinβ 的值,即可求得 cos(α-β)的值,本题培养了学生综 合运用三角函数公式解决问题的能力.

4 1 ,tan(α-β)= ? ,求 cosβ. 5 3 4 3 解:∵ 为锐角,且 cosα= ,得 sinα= . α 5 5
3.已知锐角 α、β 满足 cosα=

? ? ,0<β< , 2 2 ? ? ∴ <α-β< . 2 2 1 又∵ tan(α-β)= ? <0, 3
又∵ 0<α< ∴ cos(α-β)=

3 10

.

从而 sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)= ?

1 10

.

∴ cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =

4 3 3 1 ? ? (? ). × 5 10 5 10

=

9 10 . 50

知能训练 课本本节练习. 解答: 1.(1)cos(

? ? ? -α)=cos cosα+sin sinα=sinα. 2 2 2

(2)cos(2π-α)=cos2πcosα+sin2πsinα=cosα. 2.

2 . 10 15 3 ? 8 . 34

3.

4.

2 7 ?3 5 . 12

课堂小结 1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆 用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小 结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究?(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能 的认识;三角变换的特点. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进 行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、 角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目 进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换 思路,强化数学思想方法之目的. 作业 课本习题 3.1 A 组 2、3、4、5. 设计感想 1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记 忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、 发展的过程. 同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方 法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意 识,激发学生学习的积极性. 2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式 C(α-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、 逆用、 变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了 怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的. 3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本 节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索 创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、 探索推导,获取新知的 途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功 感,从而提高了学习数学的兴趣.


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