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第3章§3.5数列的综合应用


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第3章 数 列 章

双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考

§3.5

数列的综合应用

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3.5 数 列 的 综 合 应 用 考向瞭望· 考向瞭望·把脉高考 考点探究·挑战高考 考点探究· 双基研习· 双基研习·面对高考
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基础梳理 1.等差、等比数列的综合应用 .等差、 是等差数列, (1)若{an}是等差数列,则数列 n}(c>0, 若 是等差数列 则数列{ca , c≠1)为____数列; 数列; 为等比数列 (2)若{an}为正项等比数列,则数列 为正项等比数列, 若 为正项等比数列 , 为等差数列; {logcan}(c>0,c≠1)为____数列; 数列 (3)若{an }既是等差数列又是等比数列,则数 既是等差数列又是等比数列, 若 既是等差数列又是等比数列 列{an}为__________. 为 非零常数列.
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2.与银行利率相关的几类模型 . (1)银行储蓄单利公式 银行储蓄单利公式 利息按单利计算,本金为a元 每期利率为r 利息按单利计算,本金为 元,每期利率为 + 存期为x,则本利和y= a(1+xr). ,存期为 ,则本利和 =_______. (2)银行储蓄复利公式 银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 元, 每期利率为r,存期为x,则本利和y= 每期利率为 ,存期为 ,则本利和 = a(1+r)x + _______.

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原来产值的基础数为 N,平均增长率为 , N(1+p)x + p,对于时间 x 的总产值 y=_________. , = (4)分期付款模型 分期付款模型 a 为贷款总额,r 为月利率,b 为月等额 为贷款总额, 为月利率, 本息还款数, 为贷款月数, 本息还款数 , n 为贷款月数 , 则 b= = r(1+r)na ( +) . n (1+r) -1 +)

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课前热身

1.(教材小结与复习例 1 改编 在直角三 . 教材小结与复习例 改编)在直角三 角形中,三条边长成等差数列, 角形中,三条边长成等差数列,则其中 一锐角的正切值为( ) 一锐角的正切值为 4 A.1 B. . 3 3 C. D. 3 3
答案: 答案:B

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2.若等差数列{an}和等比数列 n}的首项均 .若等差数列 和等比数列{b 的首项均 和等比数列 为1,且公差d>0,公比q>1,则集合{n|an= ,且公差 ,公比 ,则集合 bn}(n∈N*)的元素的个数最多有 的元素的个数最多有( ∈ 的元素的个数最多有 A.1个 B.2个 . 个 . 个 C.3个 D.4个 . 个 . 个 答案: 答案:B )
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答案: 答案:A

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4.Sn为等差数列 n}的前 项和,S9=- . 为等差数列{a 的前 项和, =-36 的前n项和 =-104,等比数列 n}中,b5=a5,b7 ,S13=- ,等比数列{b 中 等于__________. =a7,则b6等于 .
答案: 答案:±4 2

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5.已知数列{an}中,a1=2,点(an-1, .已知数列 中 , - an)(n>1且n∈N)满足 =2x-1,则an= 满足y= - , 且 ∈ 满足 __________.
答案: 答案:2
n-1

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+1

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考点探究· 考点探究·挑战高考
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考点突破 等差数列与等比数列 的综合问题 对于同一个数列, 对于同一个数列 , 某些项在一定的条件 下可以成为等比数列, 下可以成为等比数列 , 另一些项在特定条 件下也可以成为等差数列, 件下也可以成为等差数列 , 寻找这个数列 项之间的关系是解题的关键.参考教材3.5 项之间的关系是解题的关键.参考教材 及复习题三的10、 例 4,复习与小结的例 及复习题三的 、 , 复习与小结的例2及复习题三的 11、12题. 、 题
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设等比数列{a 的前 设等比数列 n}的前 n 项和为 Sn, λ (λ≠- 首项 a1=1,公比 q=f(λ)= , = = ≠ 1+λ + 1,0). . (1)证明:Sn=(1+λ)-λan; 证明: 证明 + - 1 (2)若数列 n}满足 b1= ,bn=f(bn-1)(n 若数列{b 满足 若数列 2
例1

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的通项公式. ∈N*,n≥2),求数列 n}的通项公式. ≥ ,求数列{b 的通项公式

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a1-anq 思路分析】 【思路分析】 (1)由公式 Sn= 由公式 求 1-q - 证. 1 (2)找{ }的关系. 的关系. 找 b 的关系 n 证明】 【证明】 (1)∵λ≠-1,0,∴q≠1, ∵ ≠ , ≠ , λ 1-an· - 1+λ + a1-anq ∴Sn= = λ , 1-q - 1- - 1+λ +

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∴Sn=(1+λ)-λan. + -
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bn-1 λ 1 (2)∵ f(λ)= ∵ = , ∴ bn = ?b = 1+λ 1+bn-1 + + n 1 +1. bn-1 1 1 数列{ 是首项为 ∴数列 b }是首项为 =2,公差为 1 的 , b1 n 等差数列, 等差数列, 1 1 . + - = + , ∴b =2+(n-1)=n+1,∴bn= n+1 + n

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【思维总结】 通过公比的函数关系 f(λ) 思维总结】 1 转化为{ 求通项 求通项. 将{bn}转化为 b }求通项. 转化为 n 1 n- 1 1 1n 解: λ=1 时,an=( ) , cn=an(b -1)=( ) 当 = ∴ = 2 2 n -1 n, , 1 12 1 n- 1 ∴Tn=1+2× +3×( ) +…+n×( ) ,① + × × × 2 2 2 1 1 12 13 1n Tn= +2×( ) +3×( ) +…+n×( ) ,② × × × 2 2 2 2 2
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1 1 12 13 ①-②得: Tn=1+ +( ) +( ) +…+ + 2 2 2 2 1 n- 1 1n 1n 1n ( ) -n( ) =2[1-( ) ]-n( ) , - - 2 2 2 2 1n 1n 1 n- 2 所以 Tn=4[1-( ) ]-2n( ) =4-( ) - - - 2 2 2 1 n- 1 -n( ) . 2

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数列在实际中的应用 数列来源于生活也反作用于生活,解决这一 数列来源于生活也反作用于生活, 类问题的关键是要通过分析问题中的量及这 些量的关系,尤其如“每年 每年(月 比上一年 比上一年(月 些量的关系,尤其如 每年 月)比上一年 月 )…”这些反映数量之间的递推关系的语言, 这些反映数量之间的递推关系的语言, 这些反映数量之间的递推关系的语言 并把生活语言借助符号转化为数列语言, 并把生活语言借助符号转化为数列语言,从 而将实际问题转化为数列问题. 而将实际问题转化为数列问题.
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例2
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2010 年 7 月,中国丹霞地貌申遗

成功,为此, 成功,为此,有关单位决定投入资金进 行生态环境建设, 行生态环境建设,并以此继续发展旅游 产业, 根据规划, 本年度投入 800 万元, 万元, 产业, 根据规划, 1 以后每年投入比上年增加 , 本年度该项 5 万元, 旅游收入估计为 400 万元,由于该项建 设对该项旅游业的促进, 设对该项旅游业的促进,预计今后的旅 1 游收入每年会比上年增加 . 4
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假设本年度为第一年, 求 假设本年度为第一年, 10 年内总投入 和该项旅游业的总收入各为多少万元? 和该项旅游业的总收入各为多少万元? 6 10 5 10 (( ) =6.19,( ) =9.31). , . 5 4 思路分析】 【 思路分析 】 每年的投入资金是以
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1 800 为首项,公比为 + )的等比数列, 为首项,公比为(1+ 的等比数列 的等比数列, 5 求和 S10.每年的旅游总收入以 400 为首 每年的旅游总收入以 1 公比为(1+ 的等比数列 的等比数列, 项,公比为 + )的等比数列,求和 T10. 4
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【解】
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年投入为 万元, 第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入 1 万元, 为 800×(1+ )万元, , n 年投入为 800×(1 × + 万元 … 第 × 5 1 n -1 万元,所以, + ) 万元,所以,10 年内的总投入为 5 1 1 10-1 S10=800+800×(1+ )+…+800×(1+ ) + × + + × + 5 5 6 10 800×[1-( ) ] × - 5 6 10 = =4000×[( ) -1] × 5 6 1- - 5 万元). =4000×5.19=20760(万元 . × = 万元
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万元, 第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年 1 万元, 旅游业收入为 400×(1+ )万元,…,第 × + 万元 4 1 n-1 n 年旅游业收入为 400×(1+ ) 万元, 万元, × + 4 所以, 所以,10 年内的旅游总收入为 1 T10 = 400+ 400×(1+ )+ … + 400×(1 + × + + × 4 1 10-1 + ) 4 5 10 万元). = 万元 =1600×[( ) -1]=13301(万元 . × 4
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所以10年内总投入 万元, 所以 年内总投入20760万元,总收入为 年内总投入 万元 13301万元. 万元. 万元 思维总结】 【思维总结】 本题是求两个等比数列的前 10项和. 项和. 项和

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数列的综合问题 数列的综合问题主要有以下两类: 数列的综合问题主要有以下两类:一是已知 函数的条件, 函数的条件,利用函数的性质图象研究数列 问题,如恒成立、最值问题等. 问题,如恒成立、最值问题等.二是已知数 列条件,利用数列的范围、公式、 列条件,利用数列的范围、公式、求和方法 等知识对式子化简变形, 等知识对式子化简变形,从而解决函数问题 .
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4 例3 已知数列 n}的前 n 项和 Sn= (an 已知数列{a 的前 3 7 2 13 -1),数列 n}的前 n 项和 Tn= n + ,数列{b 的前 2 2 n,n∈N*. , ∈ (1)求数列 n},{bn}的通项公式; 求数列{a , 的通项公式; 求数列 的通项公式 (2)若对于任意的 n∈N*, M·an≥bn 成 若对于任意的 ∈ 有 的取值范围. 立,求实数 M 的取值范围.

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【思路分析】 思路分析】 -1 求 bn.

Sn+1-Sn 求 an,Tn-Tn

bn bn M·an≥bn 转化为 M≥ , 的最大值. ≥a 求a 的最大值. n 4 n 【解】 (1)∵Sn= (an-1),n∈N*, ∵ , ∈ 3 4 ∴Sn+1= (an+1-1). . 3 4 4 ∴Sn+1-Sn= (an+1-an),即 an+1= (an , 3 3 , +1-an), ∈ ∴an+1=4an,n∈N*.
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4 又 a1=S1= (a1-1),所以 a1=4. , 3 的等比数列. ∴{an}是首项为 4, 是首项为 , 公比为 4 的等比数列. 从而{a 的通项公式是 从而 n}的通项公式是 an=4n,n∈N*. ∈ 当 n=1 时,b1=T1=10,当 n≥2 时, = , ≥ bn=Tn-Tn-1=7n+3, =1 也适合这个 n= + , 公式, 公式, 故 bn=7n+3,n∈N*. + , ∈ (2) 由 (1) 知 , 对 于 任 意 的 n ∈ N* , 有 M·an≥bn 成立, 成立,
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7n+3 + 等价于 M≥ n 对任意的 n∈N*成立, ≥ ∈ 成立, 4 7n+3 + 等价于 M≥( n )max. ≥ 4 7(n+1)+3 ( + ) n+ 1 4 7n+10 + 而 = ,由于 7n+10 + 7n+3 4(7n+3) + ( + ) 4n 7n+10 + =-21n- 2<0, 则 - 4(7n+ 3)=- + =- - , 4(7n+3) ( + ) <1 对任意的 n∈N*成立, ∈ 成立,
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7n+3 + ∴{ n }是单调递减数列. 是单调递减数列. 是单调递减数列 4 7n+3 7×1+3 5 + × + ∴( n )max= = , 41 2 4 5 的取值范围是[ ,+∞ . 故实数 M 的取值范围是 ,+∞). 2 【思维总结】 本题的难点是对
bn M·an≥bn 的 转 化 及 的 单 调 性 的 判 an 本题的解法仍然采用了“ 定.本题的解法仍然采用了“不等式恒 成立”问题的常用方法,求最值. 成立”问题的常用方法,求最值. 的常用方法
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方法感悟
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方法技巧 1.等差、等比混合问题,一般根据其中一个数 .等差、等比混合问题, 列设定未知量,根据另一个数列建立等式关系, 列设定未知量,根据另一个数列建立等式关系, 如课前热身4. 如课前热身 2.有关数列的综合问题,关键做好四个转化: .有关数列的综合问题,关键做好四个转化: (1)非等差、等比数列与等差、等比数列的转化, 非等差、 非等差 等比数列与等差、等比数列的转化, 如例1(2). 如例 . (2)函数与数列的转化,如课前热身 例1. 函数与数列的转化, 函数与数列的转化 如课前热身5.例 (3)不等式与数列的转化,如例 不等式与数列的转化, 不等式与数列的转化 如例3. (4)实际问题与数列的转化,如例 实际问题与数列的转化, 实际问题与数列的转化 如例2.
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失误防范 1.将实际问题转化为数列问题时应注意: .将实际问题转化为数列问题时应注意: (1)分清是等差数列还是等比数列; 分清是等差数列还是等比数列; 分清是等差数列还是等比数列 (2)分清是求 n还是求 n,特别要准确地确定 分清是求a 还是求S 分清是求 项数n. 项数 2.解题过程中,若出现an-1或Sn-1时,要 .解题过程中,若出现 - - 注意对n= 的验证 如例3, . 的验证, 注意对 =1的验证,如例 ,(1).
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考向瞭望· 考向瞭望·把脉高考

考情分析 从近几年的高考试题来看,主要是以等差、 从近几年的高考试题来看,主要是以等差、 等比数列为载体,与函数、方程、不等式、 等比数列为载体,与函数、方程、不等式、 解析几何相融合的解答题,每年试题较新, 解析几何相融合的解答题,每年试题较新, 难度中档偏上, 难度中档偏上,个别省份为数列应用题或者 与极限综合. 与极限综合.
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2010年的上海文理试题都是与不等式、最值 年的上海文理试题都是与不等式、 年的上海文理试题都是与不等式 等综合,江西文理是与不等式、 等综合,江西文理是与不等式、无理数等综 合的证明问题,湖北是数列应用题, 合的证明问题,湖北是数列应用题,全国卷 与极限综合. Ⅱ与极限综合. 预测2012年高考,试题以主观题出现,关注 年高考, 预测 年高考 试题以主观题出现, “数列与不等式、函数、解析几何 的综合, 数列与不等式、 的综合, 数列与不等式 函数、解析几何”的综合 综合考查学生运用数列知识解决综合问题的 能力. 能力.

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规范解答 (2010年高考浙江卷 本题满分 分)设a1 年高考浙江卷)(本题满分 年高考浙江卷 本题满分14分 设 为实数, ,d为实数,首项为 1,公差为 的等差数列 为实数 首项为a 公差为d的等差数列 {an}的前 项和为 n,满足 5S6+15=0. 的前n项和为 的前 项和为S 满足S = (1)若S5=5,求S6及a1; 若 , (2)求d的取值范围. 的取值范围. 求 的取值范围

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-15 【解】 (1)由题意知 S6= 由题意知 =-3, =- , S5 a6=S6-S5=- , =-8, ?5a1+10d=5, = , 所以? 解得 a1=7.4 分 =-8, =- ?a1+5d=- , =-3, 所以 S6=- ,a1=7.6 分

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(2)因为 S5S6+15=0, 因为 = , 所以(5a 所以 1+10d)(6a1+15d)+15=0, + = , 即 2a2+9da1+10d2+1=0,10 分 = , 1 故(4a1+9d)2=d2-8,所以 d2≥8. , 故 d 的 取 值 范 围 为 d≤ - 2 2 或 ≤ d≥2 2.14 分 ≥

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【名师点评】 本题主要考查等差数列的性质 名师点评】 求和公式等基础知识及转化思想、 、求和公式等基础知识及转化思想、方程思想 的运用. 的运用. 本题从外观上看,题设与所求都很普通, 本题从外观上看,题设与所求都很普通,其综 合强度并不大,但满分率并不高, 合强度并不大,但满分率并不高,分析其原因 : 转化思想运用不熟:不知如何构造关于d的 ①转化思想运用不熟:不知如何构造关于 的 不等式.本解法用平方数非负的性质, 不等式.本解法用平方数非负的性质,也可以 看作关于a 的一元二次方程2a+ 看作关于 1的一元二次方程 +9da1+10d2+1 =0,利用 ,利用?≥0. 分析题意有误,认为(1)是 的条件 的条件. ②分析题意有误,认为 是(2)的条件.将(1) 的范围. 中求得的a 代入(2)中 结果求不出d的范围 中求得的 1代入 中,结果求不出 的范围.
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名师预测
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2x+3 + 1 数列{a 满足 a 已知函数 f(x)= = , 数列 n}满足 a1=1,n+1=f(a ) , 3x n n∈N*. 考 ∈ 向 瞭 (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列 望 (2)令 T=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1, Tn; · 令 = 求 把 脉 1 (3)令 bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn, 高 令 ≥ , , 考 an-1an m-2000 - * 若 Sn< 对一切 n∈N 恒成立,求最小正整数 ∈ 恒成立, 2 m.
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第3章 数 列 章

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2+3an + 1 2 解:(1)∵an+1=f( )= ∵ = =an+ , an 3 3 2 数列{a 是以 为公差的等差数列, ∴数列 n}是以 为公差的等差数列, 3 2n+1 + . 又 a1=1,∴an= , 3 (2)Tn = a1a2 - a2a3 + a3a4 - a4a5 + … - a2na2n+1 = a2(a1- a3)+a4(a3- a5)+…+ a2n(a2n- 1 + + -a2n+1) 4 4 2 =- (a2+a4+…+a2n)=- (2n +3n). =- . 3 9
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2n+1 + (3)因为 an= 因为 ,所以当 n≥2 时,bn ≥ 3 1 9 9 1 = = = ( - an-1an (2n-1)( +1) 2 2n-1 )(2n+ ) - )( - 1 ), , 2n+1 + 又 b1=3,∴Sn=b1+b2+…+bn , 9 1 1 1 1 1 ) = (1- + - +…+ - - 2 3 3 5 2n-1 2n+1 - + 1 9 9 )< , = (1- - 2 2n+1 2 +
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m-2001 - * 所以要使 Sn< 对一切 n∈N 恒成 ∈ 2 - 9 m-2001 即可, 立,只需 ≤ 即可, 2 2 解得 m≥2010, 所以最小正整数 m= ≥ , = 2010.

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