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2013年全国高中数学联赛加试题另解


2013年第12期

201 3年全国高中数学联赛加试题另解
中圈分类号:012 文献标识码:A 文章编号:1005一“16(2013)12—00ll—07

第一题如图l, AB是圆厂的一条弦,
,o、

设么QBF=[CPF=[CPD=[CBD.

所以,么C明=么D鲋.

/>故△蹦曰∽△C船

P为弧A日内一点,E、F

为线段AB上两点,满

等等:鬈. CB DB‘

② 9

足AE=朋=昭.联结
PE、P,并延长,与圆
网l

又QF∥批则籍=筹=}
故C日=CA+A日=4AC.

厂分别交于点C、D.证明:
EF?CD=AC?BD.

代入式②知式①成立. (张鹄湖北省武汉二中,430010) 证法2如图3,联 结AD、BC,取线段AD 的中点Q,联结CQ、
EQ.

证法1要证命题成立,只需证
3AC?BD=CD?AB 々令4AC?BD=CD-AB+AC?BD.

由托勒密定理知

.-

CD?AB+AC?BD=AD?BC.

因为AE=朋,所
以。EQf佃D。


故只需证
4AC?BD=AD?BC.

则么衄Q=么CPD
=么CAD.

图3

如图2,延长伽Ⅳ
到点Q,使cE=EQ.


;、\\ { 、\、

于是,A、C、Q、E四点共圆.

联结BQ、叼.设甜
与BQ交于点凰则四
边形AcFQ为平行四 边形.

从而,么QCE=么Q船=么DC8. 进而,么B衄=么DCQ. 又么CDQ=么C髓,知
△CDQ∽△CBE





;一=o=一 CB BE 2EF
:々BC?AD=4EF?CD.

.CD

D0



故么CQF =么ACQ =么P鲋.
于是,P、Q、日、F



以下同标准答案.
(刘才华

山东省宁阳第一中学,271400

仇玉祥 四点共圆.
图2

江苏省连云港市新海实验中学,

222004杨岚清上海市虹口区教师进修学
院,200081)

万方数据

中等数学

证法3如图

4,延长朋到点
M,使碍BM=FB.
联结DM、AD. 设/4E=EF=
FB=BM=%.
~_,M ,,

又△A朋∽△嬲F'贝|j筹=等. 故筹=等jAc?肋=cD?BF=∞?胍
(王继忠 山东省东营市胜利第一中

学,257027)
证法6
网4

由相交弦定 理知
PF?FD=AF?FB=2x1=EF-FM.

如图

6,延长AC到点K,

使得AC=似,联结
DK.

于是,P、E、D、朋四点共圆.

。从而,么脚伪=么CPD=么cAD.

又么D删=么ACD,则
△AcD∽△枷D
(杨同伟
710043

由于AE=EF,

飚EC?伸K.

j篇=器

故么A即
=么AcE =么ADF. 所以,A、K、D、F 四点共圆.

=々AC?BD=BM?CD=EF?CD.

h抄≈
图6

陕西省西安市昆仑中学, 姚广玉 江苏省金湖中学,211600 山东省枣庄市第十八中学,277200
辽宁省大连育明高中高二(3)班, 如图5,

?李耀文
王浩宇
1160231

因此,么DKC=么日肋. 又么朋D=么朋D,则
△DKC∽△DFB
AC DC KC DC BF BD EF BD

证法4

联结朋、∞.则在
△曰cD中,由正弦定 理得
上}D

j sin么曰CD

EF?CD=AC?BD.

CD—sin么凹D

(王剑明
图5

浙江省嘉兴市第一中学, 江苏省常熟市中学,

sin么脚
武n[EPF

314050

蔡祖才

215500朱斌上海民办兰生复旦中学,
200438) PE PB? AE EF

在△P8E中,由张角定理得
西n[BPF 武n[EPF
-。BD PE

证法7如图7,延

M——=——=一=—— ”CD PB AC AC。
(宋红军

炳。EF?CD=AC?BD.
浙江省富阳中学,311499



长凹到点G,使EG= EC,联结酗、佃、卯、
AD、佃、CF、曰P.则四边 形AC阳。为平行四边形.
叉EP?EG=EP?EC
=AE?BE=EF?EB.

东晖浙江省北仑中学,315800孙洪一

东省淄博市第四中学高三(19)班,255100)
证法5注意到,

于是,G、P、F、曰四点
共圆.

G园
图7

s啪E=S蟹EF

:净APsin么』4PC=PFsin么C肋

AP?Ac=PF?cD

则么CBD=么CPD=么GB,. [BCD=[BPD=[BGF.

j筹=筹.

万方数据

2013年第12期

投△BCD∽△BGF

~… … EF.GD:Ac.肋. j黎:等:等j CD GF AC
一~‘

塑一丝一丝一丝一丝
BD—PK—pE—AE—EF‘

故EF?CD=AC?BD. (徐伯儒 证法10 万喜人 如图 湖南图书馆培训楼 万喜学校,410001)

(孙铄哈尔滨师范大学附属中学高
二(2)班,150080) 证法8 如图

8,联结删、朋,联结
cB与PD交千点M.

10,过点P作PQ∥
AB与圆厂交于点 Q.联结AQ、曰Q、CQ、 Dp、AD、曰C.

对△B佃和割

线P朋应用梅涅劳
斯定理得

考虑直线PQ和
AB交于无穷远点
_o
Hl
o 图。

笔.等.祭=1.① FE PC MB“、。7 _._一●I■I
又△P肘C∽△删D,则

(记为∞). (∞,E,F,曰)成两组调和点列.

网10

由题意不难得到:(∞,A,E,F)以及 ② 8

黑:祭. BD MB
因为Bf’=Ej’,所以,由式①、②得

因此,直线束(Pp,以,朋,PF)和直线
束(PQ,PE,PF,P曰)分别为调和线束.
因为P、Q、A、C、D、B六点共圆,所以,四

豢等:1. BD?PM一
又△脚伊∽△D们,则

③ 。

边形似CD和四边形QC骝均为调和四边形.
由调和四边形的性质和托勒密定理知

器:黑. CM CD‘
由式③、④得

” ④

fAQ‘cD=Ac.DQ 2寺cQ.AD,

鲁绻:1.
BP?BD一

lcD?加=册?cQ=÷加?胞
⑤ 。

又△AcE∽△PBE,则
EP AE.、

两式相乘得Ac?肋=和D?Bc.
由托勒密定理得
AB?CD+AC?BD=BC-AD.

历2丽‘ 由式⑤、⑥得朋?cD=Ac?肋.
三(2)班.150080)



(唐文威哈尔滨师范大学附属中学高
证法9 如图9,

缝合AB=3EF,得EF?CD=AC?BD. (潘彩江苏省新海高级中学,222006) 第二题给定正整数Ⅱ、秽。数列{n。}定
义如下:01=“+秽,对整数m≥l,
02m=nm+U,口2m+l=口m+t,.

作BK身PD.与EP鹋 延长线交于点K,联结
曰C、P8.

记Sm=口l+Ⅱ2+…+nm(m=1,2,…).

由EF:FB。得
EP=PK.

证明:数列{S。}中有无穷多项是完全平 方数. 证法l对任意的正整数几有
S2…一l =口l+(n2+口3)+(口4+口5)+…+
图9

因么BCD=么BPD =[KBP.

(口2n+l一2+02。+l—1) =(u+秽)+(口l+M+口l+夥)+ (口2+Ⅱ+02+秒)+…+(啦。一1+u+%。一l+移)
一=!”f,,{,、+2≮

么B阳=么解B.

所以,△曰CD∽△船P
又△FP8(,、,\E4r.则

万方数据

14

中等数学

’等等=等+字‘
2”1 2“ 2

证法3设髫、),∈N+,记 菇M+尹=(戈,y), 且(戈,),)出现的个数为l(髫,y)1. 由已知o。=u+移,对整数m(m≥1),
口2爪=口m+U,口2m+l=口m+移,

j等…字
j S2^-1=n?2”1(u+”). 在上式中取n=2(u+tI)J|}2(.|}∈N+).



口.=u+t,=(1,1).

则是叫=2(u+tJ)七2?22‘“小2。1(u+口)

故I(1,1)I=l=c:,此时,髫+),=2,共
20=1个. 口2=口l+u=(2,1),口3=口l+口=(1,2).

=(u+t,)2尼2.22(…)‘2
=[(u+口)j}?2_‘“。’肛]2. 于是,S:叫为完全平方数. 由于正整数||}有无穷多个,因此,数列 {S。}中有无穷多项是完全平方数. (查正开 江苏省常熟市中学,215500) 证法2设2卜1≤m≤2‘一1,并设m的 二进制表示为(6。6:…九):. 若6I=l,则口。=口【子】+移; 若6I=0,则口。=吖詈】+u? 设6:,6,,…,6。中l的个数为石.则其中 0的个数为J}一l一菇.故 口m=口l+茹”+(后一l一戈)u
=(戈+1)口+(无一戈)u.

故I(2,1)l=l=c?,l(1,2)I=1=c:.
此时,戈+,,=3,共2。=2个.
口4=口2+Ⅱ=(3,1),口5=口2+口=(2,2), 口6=口3+u=(2,2),口7=口3+”=(1,3).

故I(3,1)|-1=c:,l(2,2)I_2=c;, l(1,3)I.1=ci.
此时,菇+),=4,共22=4个.

据此,可发现su+抛=(s,t)出现c:::一:
个,对应茗+),=s+I,共2…以个.

下面用数学归纳法证明. (1)当算+),=s+t=2时,结论显然成立. (2)假设当菇+),=s+‘=ljI+l(矗∈N+) 时,结论成立,即

令m’=2‘+2卜1—1一m,设m’的二进制 表示为(c。c:…c。):.则由二进制表示的唯一 性知ci=1—6i(2≤i≤||}). 所以,c2,c3,…,cI中l的个数为I|}一l—z, O的个数为氟故
口。,=(戈+1)u+(后一菇)移.

I(七,1)I=c:一l,I(七一1,2)l=c:一l, I(|j}一2,3)l=c:一1,…,I(1,后)I=c:::,
共有2卜1个. 当石+),=s+z=七+2时,由题意,可经以
下变换 (||},1)_+(||}+l,1);

于是,口。,+口。=(||}+1)(n+口).

则∑口i=÷∑(口;+蚴-l+:㈠一i) =÷∑(1|}+1)(u+秽)
=2‘一2(Jj}+1)(“+口).

(矗一i+2,i一1)_(.|}一i+2,i) 或(I|}一i+1,i)_+(.|}一i+2,i), 其中,2≤i≤l|},i∈N+;
(1,尼)_+(1,I|}+1),

并且每一个前者,均得到唯一的后者.故有

故s:叫=∑∑口i =∑2㈨(后+1)(u+口) =(u+t,)∑2‘?2(.|}+1)
=28—1,l(u+移).

l(矗+l,1)l_I(I|},1)l=c:一l=c?…)一1;
l(五一i+2,i)I

=I(七一i+2,i—1)l+I(后一i+1,i)I

=c:二:+c:二:=c:::1).1,
其中,2≤i≤J|},i∈N+;
I(1,后+1)I=I(1,五)I

以下同标准答案.
(黄志军江苏省南京外国语学校,五加08)

=c::l_c矧;=:.
由二项式系数的性质,知当茗+),=七+1

万方数据

2013年第12期

15

(.|}∈N+)时,总个数为

=222”1(“川+2‘(u+t,)2

c:。+,)一。+c:。+。)一,+…+c;:::;:
=2(‘+1)-‘.

为完全平方数,且由£的任意性知这样的m。
有无穷多. (邹明

综合(1)、(2),知对任意的s、t∈N+,
结论成立. 记6。=口2。一l+口2。一l+I+…+口2.一I.贝0

山东省青岛二中,266104)

第三题一次考试共有m道试题,n名 学生参加,其中,m、n≥2为给定的整数.每道 题的得分规则是:若该题恰有z名学生没有 答对,则每名答对该题的学生得菇分,未答对 的学生得零分.每名学生的总分为其m道题 的得分总和.将所有学生总分从高到低排列 为p,≥p2≥…≥n.求pl+n的最大可能值. 解法1首先对正整数m用数学归纳法 证明不等式p。+p。≤m(几一1). (1)当m=1时,若得p。分的学生答对 这道题,则其余学生也应答对此题.
此时,pl=p2=…=p。=0.

6。=《一。(n,1)+c:一。(n—l,2)+…+c:::(1,n) =c:一J(,lⅡ+tI)+c:一l[(n一1)M+2秽]+
…+c:::(M+删)

=[rIc:一。+(n一1)c:一l+…+c:::]u+ [c:一。+2c:一。+…+nc:::]移 =[,Ic:一.+(几一1)c:一。+…+c:::](u+")

=÷[(,l+1)(《一.+c:一.+..?+q::)](u+口)
=(,l+1)2”2(M+秽).

故s2。一I=口1+02+…+02。一l

=∑6i=∑(i+1)2Ⅲ(“+移)
=n?2“一1(H+秽).

若得p。分的学生没有答对此题,显然有
pl+p。=pl+0≤n—1.

令n=2‘(M+秽).则
S2。一l=22‘‘“+”’+‘一1(H+秽)2.

(2)若对m道题成立,有
pl+p。≤m(n—1).

当t为奇数时,显然为一个平方数,且这 样的平方数随£的值的变化而变化. 从而,命题得证. (翟明春 山东省淄博市第四中学,
255100)

对于m+1道题有 (i)得分最少的学生答对所有的m+1 道题,则其余学生也均答对这m+l道题.有
p1=p2=…。p。=0.

解法4由题意得 S2。+l=25。+(m+1)口1. 令m^+1=2mt+1(.|}∈N+),m1=1.

(ii)得分最少的学生至少有一道题没有 答对,任取一道没有答对的题记为口,其余的 m道题组记为A.令n个人在A中的得分排 列为p:≥p;≥…≥p:,在m+l道中的得分 排列为p。≥p:≥…≥p。.因为得p。分的学生 没有答对口,所以,仍有p。=p:. 由归纳假设有p:+p:≤m(n一1). 注意到,在A中得分最高的学生没有答 对口时,则在m+l道题中得分最高者可能 易主,但仍有p.≤p:+(,l一1).则 p1+p。≤p:+p。+琅一1 =p:+p:+n—l
≤(m+1)(n一1).

则m沪2‘一1,

‰+,=‰+一=‰+(帆+1)q=2s%+≯口-

号》专=} 由争=≥,得 ≥=≥+≥(¨)=等
j.s。。=2”1舱1. 取凡=2¨’nl(£∈N+),则

得p:分的学生答对。时,该题得分小于 或等于n—l,有pI≤p:+,l一1,即

s。。=222”1旷1×2州口;

万方数据

16

中等数学

p1+p。≤(m+1)(n—1).

(潘铁天津市实验中学,300074赵 斌辽宁省实验中学,110031)
第四题设,l、||}(凡<2‘)均为大于1的

由数学归纳法,知对一切正整数有
pl+p。≤m(n一1).

另一方面,若有一名学生全部答对,其他
n—1名学生答错,则

整数.证明:存在2无个不被n整除的整数.若 将它们任意分成两组,则总有一组有若干个
数的和被凡整除. 证法l对于给定的凡,只需考虑最小的 七,即此时有
2‘一1≤,l<2‘.

p。+p。=p。=∑(凡一1)=m(凡一1).
综上,p。+p。的最大值为m(n—1).

中,3删)

(鄢素芬

张国清

江西省抚州市一

解法2记n名学生为A.,A:,…,A。,且 Ai的总得分为pi(1≤i≤几).设Al有xi(0≤i ≤凡一1)道题得了i分.于是,
菇O+石l+…+Xn一1=,n,

将凡用二进制表示为
n=2‘一1+oI一2?2‘一2+口I一3?2‘一3+…+

口l?2+口o(ni∈{0,l}). 取2七个数分别为
1,2叼,241“,2。2“,…,2%一2+‘~,一l, 一1,一2,一4,…,一2‘一2.



Pl=zl+2戈2+…+(n—1)菇。一1. 对于Ai得了i(1≤i≤n一1)分的题,则

该题恰有i名学生未答对,故恰有n—i名学 生答对.从而,学生A:,A,…,A。在该题上的 总得分为(n—i—1)i.而对4。得了0分的 题,设该题恰有菇名学生未答对.则学生A:, A,,…,A。在该题上的得分为

显然,n比其中的每一个数都大,更无法 整除其中的任一个数. 用反证法证明这2I|}个数符合条件. 假设这2.j}个数能够分为A、曰两组,且 每一组中均不存在若干个数的和被n整除. 不妨设l在A中,则两个一1均在曰中(否 则,若有一1在A中,1与一1的和为0可被n 整除)。故2叼在A中,因为它的值只能是1或
2,而曰中已有两个一1,所以,又可得出一2

戈(n一菇)≤等.

故pl饥≤pI+业学
≤zl+222+…+(,l一1)并。一1+

在B中,因为l和2叼总可凑得2.以此类推, 若1~2q“在A中,且其中有若干项之和为 2”1,则一2“1在B中. 又一1—1—2—4一…一2‘+1=一2‘+2。贝0 无论口…为0或l,2q“”“在A中.最终必然 得到A组中的为1,2叼,28?“,…,2吣z“~.然 而易知它们的和恰为n(可使两式相减,其中 2“一口i的值总为1),矛盾. 故这2.|}个数符合条件.
(于伯梁 (9)班,271000)

知+(n一2)毛+2(n一3)恕+..?+(凡一2)稚。

=靴+等半"志戈。
≤∑(i+几一i—1)戈i+(n—1)zo
=(,l一1)m.

n一1

另一方面,若有_名学生全部答对、其他 凡一1名学生全部答错,则

p。+p。=∑(n—1)=m(凡一1).
综上,p,+p。的最大值为m(n一1).

山东省泰安第一中学高二

证法2若不存在m,使,l=2“,则可取

万方数据

2013年第12期
f2’1 l≤i≤I|}; I|}+l≤i≤2后一l; i=2矗.

17

若存在m,使n=2“,可取
口:=口2=l,口m+2=口m+3=一1.

口;={一2‘一‘一1,

【一1.

当3≤i≤m+l时,取oi=2’2;

因为忍≠2“,所以,存在奇素数p,p№
由p+口i,知n十口i.

当m+4≤i≤2m+2时,取口j=2””一; 当2m+3≤i≤2艮时,任取口i使,l十口‘. 假设存在一种分法,两组中均无若干个 数的和被,t整除. 则不妨设口.在第一组,此时,由l+(一1) =0,知口。+:、口。+,在第二组,n2在第一组. 假设口l,口2,…,哦在第一组,口。+2,口。+3, …,a。ml(2≤i≤m)在第二组. 由‰+2+%+3+…+‰+i+l=一Z~=一口l+l,

口i+I+口m+2+口m+3+…+口m+i+l=0,

此时,假设存在一种分法,两组中均无若
干个数的和被n整除. 则不妨设口.在第一组,此时,由l+(一1)

=0,知口川、口姓在第二组. 假设al,口2,…,口i在第一组,口㈧,n‘+2, …,吼¨,口拙在第二组.
由Ⅱ2^+口I+1+口^+2+…+凸々+i

:一f!+∑∥1-一2i,


』=O



则口…在第一组. 又口。m2+口j+l=O,故口。m2在第一组. 由数学归纳法,知口,,口:,…,口。+。在第一 组,o。+2,口。+3,…,口2。+2在第二组.



口i+l+Ⅱ姓+口I+l+oI+2+…+口I+i=0.

故口…(1≤i≤J|}一1)在第一组.
又口^+i+I+Ⅱi+1=O,贝0口I+。+l(矗+l≤i ≤2I|}一2)在第一组.



由数学归纳法,知口。,D:,…,口。在第一 组,。…,a川,…,口…,口2^在第二组. 设,l=2060+2161+…+2¨6七-1(6。∈ {O,1}).将6i=1对应的口i取出.则这些口。
的和为n,与假设矛盾.

则n=∑口i,与假设矛盾.
从而,对所有的n,存在口。,口:,…,口盐使 得无论怎样分组,必有_组中有若干个数的 和被n整除.
(黄志军
222008、

江苏省南京外国语学校,

故必有一组有若干个数的和被n整除.

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万方数据

2013年全国高中数学联赛加试题另解
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2013(12)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201312003.aspx


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