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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套课件:专题一 选择题的解题方法.1


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专题一 集合、常用逻辑用语、向量、不等式 第一讲 集合、常用逻辑用语

【主干知识】 1.必记公式 A?B (1)A∩B=A?____.

B?A (2)A∪B=A?____.
2n 真子集个数是 (3)若集合A的元素有n个,则A的子集个数是__, 2n-1 非空真子集

的个数是____. 2n-2 ____,

2.重要结论 (1)四种命题间的关系: ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

(2)充分、必要条件: 设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有 从逻辑观点看 p是q的充分不必要条件 (p?q,q p) p是q的必要不充分条件 (q?p,p q) p是q的充要条件(p?q) p是q的既不充分也不必要条件 (p q,q p) 从集合观点看

A? B ______
B? A ______ A=B ____

A与B互不包含

3.易错提醒
(1)忽视集合元素性质的验证:集合中的元素具有确定性、互异

性、无序性,在解决含有字母参数的集合问题时,易忽视三种性
质导致失误.

(2)忽略空集的讨论:空集是任何集合的子集.在解题时,若未明
确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如,A?B,

则需考虑A=?和A≠?两种可能的情况.

(3)集合的含义认识不清:如集合A={x|y=2x},B={y|y=2x},C= {(x,y)|y=2x}是三个不同的集合.解决集合问题,要注意认清集 合的含义,去寻找解决问题的方法. (4)混淆命题的否定与否命题:分清命题的否定和否命题的区别, 否命题是对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题 的结论否定.

【考题回顾】 1.(2014·北京高考)若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=

(
A.{0,1,2,3,4} B.{0,4}

)

C.{1,2}

D.{3}

【解析】选C.A∩B={1,2}.

2.(2014·浙江高考)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则 S∩T= ( ) B.[2,+∞) D.[2,5]

A.(-∞,5] C.(2,5)

【解析】选D.依题意计算得S∩T={x|2≤x≤5},故选D.

3.(2014·天津高考改编)已知命题p:?x>0,总有(x+1)ex>1,则 ?p为 ( )
0

A.?x0≤0,使得(x0+1) e x ≤1 B.?x0>0,使得(x0+1) e x ≤1
0

C.?x>0,总有(x+1)ex≤1 D.?x≤0,总有(x+1)ex≤1

【解析】选B.因为?x>0,(x+1)ex>1,所以?p为?x0>0,使得(x0+
1) e x ≤1.
0

4.(2014·湖南高考)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,
则x2>y2.在命题

①p∧q;②p∨q;③p∧(?q);④(?p)∨q中,真命题是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

(

)

【解析】选C.由不等式的性质,得p真,q假.由“或、且、非”
的真假判断得到①假,②真,③真,④假.

5.(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则

“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的
A.充分不必要条件

(

)

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”?“AC⊥BD”,“AC⊥BD”

推不出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是
“AC⊥BD”的充分不必要条件.

6.(2014·绍兴模拟)下列命题中,真命题是

(

)

A.?m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数 B.?m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 【解析】选A.当m=0时,f(x)=x2是偶函数,故A正确.f(x)=x2+mx 不可能是奇函数,故B错.当m=1时,f(x)=x2+x是非奇非偶函数, 故C,D错.

热点考向一
【考情快报】

集合的概念及运算

难度:基础题

命题指数:★★★

题型:以选择题、填空题为主
考查方式:考查形式有两种:一种是简单整数的集 合间的运算;一种是以不等式为背景,考查集合间 的关系及运算

【典题1】(1)(2014·宁波模拟)设集合 M ? {x|- 1 ? x ? 1},N=
2 2

{x | x2≤x},则M∩N=
1 A.[- 1, ) 2 1 C.[0, ) 2

(

)

1 B.(- ,1] 2 1 D.(- ,0] 2

(2)(2014·锦州模拟)已知全集U=R,设集合A={x|y=ln(2x-1)}, 集合B={y|y=sin(x-1)},则(?UA)∩B为(
1 A.( ,+?) 2 1 C.[- 1, ] 2 1 B.(0, ] 2 D.?

)

解一元二次不等式求N . 【信息联想】(1)看到x2≤x,想到_____________________

对数函数 (2)看到A={x|y=ln(2x-1)},B={y|y=sin(x-1)},想到_________
的定义域和三角函数的值域 . _________________________

【规范解答】(1)选C.因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}, 又 M ? {x | ? 1 <x< 1},
2 2

所以M∩N= {x | 0 ? x<1}. 故选C.
2

(2)选C.集合 A={x | x ? 1 },
2

则 ?U A={x | x ? 1 }.
2

集合B={y|-1≤y≤1}, 所以(?UA)∩B= {x | x ? 1} ? ?y | -1 ? y ? 1?={x | -1 ? x ? 1 }.
2 2

【互动探究】若题(2)中集合B={x|y=sin(x-1)},则(?UA)∩B= _________. 【解析】集合A= {x | x ? 1},则 ?U A={x | x ? 1 }.
2 2

集合B=R,则 ? ?U A ? ? B ? {x | x ? 1}.
2 1 答案: (-?, ] 2

【规律方法】解答集合运算问题的策略 首先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性,代表的 意义.然后根据集合中元素的性质化简集合. (1)若给定集合涉及不等式的解集,要借助数轴 . (2)若涉及抽象集合,要充分利用Venn图. (3)若给定集合是点集,要注意借助函数图象. 提醒:注意元素的互异性及空集的特殊性 .

【变式训练】1.(2014·银川模拟)已知集合A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 ( A.1 B.3 C.5 D.9 )

【解析】选C.当x=0,y=0时,x-y=0; 当x=0,y=1时,x-y=-1; 当x=0,y=2时,x-y=-2; 当x=1,y=0时,x-y=1; 当x=1,y=1时,x-y=0;

当x=1,y=2时,x-y=-1;
当x=2,y=0时,x-y=2;

当x=2,y=1时,x-y=1; 当x=2,y=2时,x-y=0. 根据集合中元素的互异性知,B中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.

2.(2014·沈阳模拟)集合M={4,5,-3m},N={-9,3},若M∩N

≠?,则实数m的值为(
A.3或-3 B.3

)

C.3或-1

D.-1

【解析】选C.由M∩N≠?可知-3m=-9或-3m=3,解得m=3或m=

-1.

【加固训练】1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 ? M U
= ( )

A.U
C.{3,5,6}

B.{1,3,5}
D.{2,4,6}

【解析】选C.本题考查集合的运算.因为M={1,2,4},所以 ?U M ={3,5,6}.

2.设集合A={4,5,6,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合 ?U(A∩B)中的元素共有 A.3个 B.4个 ( ) C.5个 D.6个

【解析】选B.U=A∪B={3,4,5,6,7,8,9},A∩B={4,7,9},所以 ?U(A∩B)={3,5,6,8},故选B.

3.设S={x|x<-1或x>5},T={x|a<x<a+8},若S∪T=R,则a的取值范 围是 ( ) B.-3≤a≤-1 D.a<-3或a>-1

A.-3<a<-1 C.a≤-3或a≥-1

【解析】选A.在数轴上表示两个集合, 因为S∪T=R,
a< ? 1, 由图可得 ? ? ?a ? 8>5,

解得-3<a<-1.

热点考向二
【考情快报】

命题真假的判断与否定

难度:中档题

命题指数:★☆☆

题型:以选择题、填空题为主 考查方式:以基础知识为考查对象,考查命题的 真假.逻辑联结词和四种命题

【典题2】(1)“若α = ? ,则cos α = 1 ”的否命题为(

A.“若α ≠ ? ,则cos α ≠ 1 ”

3

2

)

2 3 B.“若α ≠ ? ,则cos α = 1 ” 3 2 C.“若cos α ≠ 1 ,则α ≠ ? ” 3 2 D.“若α = ? ,则cos α ≠ 1 ” 2 3

(2)已知命题p:?x∈R,2x<3x;命题q:?x0∈R,使x03=1-
x02,则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.p∧(﹁q) )

B.(﹁p)∧q D.(﹁p)∧(﹁q)

否命题既否定条件也 【信息联想】(1)看到“否命题”,想到___________________

否定结论 . _________
函数y=x3与y=1-x2 (2)看到命题:?x0∈R,使x03=1-x02,想到________________ 是否有交点 . ___________

【规范解答】(1)选A.否命题既否定条件,也否定结论,“α
? ”的否定为“α≠ ? ”,“cos α= 1 ”的否定为 3 3 2 “cos α≠ 1 ”,故选A. 2



(2)选B.当x=0时,20=30=1,所以p为假命题;因为y=x3与y =1-x2的图象有交点,所以方程x3=1-x2有解,所以q为真命 题.则(﹁p)∧q为真命题.

【规律方法】
1.命题真假的判定方法

(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识判断.
(2)四种命题真假的判断依据:一个命题和它的逆否命题同真

假.
(3)形如p∨q,p∧q,﹁p命题的真假根据真值表判定.

2.全称命题与特称(存在性)命题真假的判定方法 (1)全称命题:判定全称命题为真命题,必须考虑所有情形, 判断全称命题为假命题,只需举一反例. (2)特称(存在性)命题:判断特称命题(存在性命题)的真假, 只要在限定集合中找到一个特例,使命题成立,则为真,否则 为假.

3.常见命题的否定形式
原 语 句 都 是 不 都 是 至少 有一 个 一个 也没 有 至多有 ?x∈A, 一个 p(x)真 ?x0∈A, 至少有 使p(x0) 两个 假 p且 q ﹁p 或 ﹁q ?x0∈M,使 p(x0)成立 ?x∈M,p(x) 不成立



>

否定 不 形式 是 原 语 句 否定 形式



p或 q ﹁p 且 ﹁q

【变式训练】1.(2014·陕西高考)原命题为“若 a n ? a n ?1 <an,
2

n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题
真假性的判断依次如下,正确的是 ( )

A.真,真,真
C.真,真,假

B.假,假,真
D.假,假,假

【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否 命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.

2.(2014·湖北省八校模拟)已知命题p:m,n为直线,α 为平

面,若m∥n,n?α ,则m∥α ;命题q:若a>b,则ac>bc,则
下列命题为真命题的是( )

A.p或q
C.﹁p且q

B.﹁p或q
D.p且q

【解析】选B.命题q:若a>b,则ac>bc为假命题,命题p:m,
n为直线,α为平面,若m∥n,n?α,则m∥α也为假命题,

因此只有“﹁p或q”为真命题.

【加固训练】1.(2014·延边模拟)下列命题错误的是(

)

A.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x,y中 至少有一个不为0,则x2+y2≠0” B.若命题p:?x0∈R,使x02-x0+1≤0,则﹁p:?x∈R,x2-x +1 >0 C.△ABC中,cos 2A<cos 2B是A>B的充要条件 D.若向量a,b满足a·b<0,则a与b的夹角为钝角

【解析】选D.a与b的夹角为180°时,a·b<0,但a与b的夹角 不是钝角,所以D错.

2.给出以下三个命题: ①若ab≤0,则a≤0或b≤0; ②在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B; ③在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有 实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 ( A.① B.② C.③ D.②③ )

【解析】选B.①的否命题是:若ab>0,则a>0且b>0,为假命 题,也有可能是a<0且b<0,对②由正弦定理得sin A=sin B ?a=b?A=B,正确.对③原命题错误,若b2-4ac<0,则方程无 实数根,所以,只有②的四种命题都是真命题.

热点考向三
【考情快报】

充要条件的判断
高频考向 多维探究

难度:基础、中档题

命题指数:★★★

题型:以选择题、填空题为主 考查方式:常与集合、函数、不等式、向量、三 角等内容交汇考查,常见的是判断充分、必要条 件或根据条件求相应参数值

命题角度一

以集合、不等式、函数为命题背景

【典题3】(1)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B
≠?”的充要条件是 ( )

A.a>-2
C.a>-1

B.a≤-2
D.a≥-1

(2)“m<1”是“函数f(x)=x2+x+m有零点”的( A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 B.充要条件 D.既非充分又非必要条件

)

集合A,B有公共元素 . 【信息联想】(1)看到A∩B≠?,想到__________________

x2+x+m=0有实数根 . (2)看到函数f(x)=x2+x+m有零点,想到________________

【规范解答】(1)选C.方法一:由x2-x-2<0知-1<x<2,

即A={x|-1<x<2}.
由B={x|-2<x<a}及A∩B≠?知a>-1,故选C.

方法二:由题意知A={x|-1<x<2},
若A∩B=?,则a≤-1,

因此当A∩B≠?时,a>-1.故选C.
(2)选C.因为函数f(x)=x2+x+m有零点的充要条件是1-4m≥0,解

得m≤ 1 ,故m<1是函数f(x)=x2+x+m有零点的必要不充分条件.
4

命题角度二

以三角函数、平面向量为命题背景

【典题4】(1)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”
的 ( )

A.充分不必要条件
C.充分必要条件

B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

(2)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ),x∈R为偶函数”
的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

数量积公式 . 【信息联想】(1)看到|a·b|=|a||b|,想到___________ 偶函数的定义f(-x)=f(x) . (2)看到f(x)在R上为偶函数,想到_______________________

【规范解答】(1)选C.a,b为向量,设a与b的夹角为θ.由

|a·b|=|a|·|b|cos θ=|a||b|,得|cos θ|=1,cos θ=〒1,
所以θ=0或π,能够推得a∥b,反之也能够成立,为充分必要

条件.
(2)选A.当φ=0时,f(x)=cos(x+φ)=cos x(x∈R)是偶函数,而

由f(x)=cos(x+φ),x∈R是偶函数不一定得出φ=0,而是
φ=kπ(k∈Z),故A正确.

【规律方法】 1.充分、必要条件的判断方法 先判断p?q与q?p是否成立,然后再确定p是q的什么条件.

2.判断充分、必要条件时应注意的问题 (1)先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A 不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B, 且B不能推出A. (2)举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误 不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明 . (3)准确转化:若﹁p是﹁q的必要不充分条件,则p是q的充分 不必要条件;若﹁p是﹁q的充要条件,那么p是q的充要条件.

【变式训练】1.设向量a=(x,1),b=(4,x),则“a∥b”是“x=2”
的 ( )

A.充分不必要条件
C.充分必要条件

B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.若a∥b,则x·x-1〓4=0,
即x=〒2,推不出x=2; 但是反之成立,故选B.

2.(2014·湖州模拟)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)
为偶函数”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【解析】选A.因为φ=0时,f(x)=cosx是偶函数;当f(x)= cos(x+φ)为偶函数时,φ=2kπ(k∈Z),故“φ=0”是“f(x) =cos(x+φ)为偶函数”的充分不必要条件.

【加固训练】1.(2014·合肥模拟)一次函数 y= ? m x+ 1 的图
n n

象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( A.m>1,且n<1 C.m>0,且n<0 B.mn<0 D.m<0,且n<0
n n

)

【解析】选B.因为 y= ? m x+ 1 经过第一、三、四象限,故 - m >0,1 <0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要
n n

不充分条件为mn<0,故选B.

2.设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.因为函数f(x)=ax在R上是减函数,所以0<a<1.由 函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数可得:2-a>0,即a<2.所以若 0<a<1,则a<2,而由a<2推不出0<a<1.所以“函数f(x)=ax在R上 是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不 必要条件.

3.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是
n=_______.

【解析】 x ? 4 ? 16-4n ? 2 ? 4-n, 因为x是整数,即 2 ? 4-n
2

为整数,所以 4-n 为整数,且n≤4,又因为n∈N*,取n=1,

2,3,4,验证可知n=3,4符合题意;反之由n=3,4,可推出一元
二次方程x2-4x+n=0有整数根.

答案:3或4

【备选考向】利用命题的真假求参数的取值范围

【典题】(1)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数
根.命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若“p或q”为真命

题,“p且q”为假命题,则m的取值范围是
A.m≥3 B.1<m≤2

(

)

C.1<m≤3

D.m≥3或1<m≤2

(2)设p:关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q:函数y=
ax 2 ? x ? a 的定义域为R.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则

实数a的取值范围是___________.

??1 ? m2-4 ? 0, 【解析】(1)选D.由p得, ? 则m ? 2. ?-m ? 0,

由q得Δ2=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 则1<m<3. 因为“p或q”为真,“p且q”为假,所以p与q一真一假.

①当p真q假时, ? ?

m ? 2,

?m ? 1或m ? 3,

解得m≥3;

?m ? 2, ②当p假q真时, ?

?1 ? m ? 3,

解得1<m≤2.

所以m的取值范围为m≥3或1<m≤2.

(2)根据指数函数的单调性,可知命题 p为真时,实数a的取值 集合为P={a|0<a<1};对于命题q:函数的定义域为R的充要条 件是ax2-x+a≥0恒成立. 当a=0时,不等式为-x≥0, 解得x≤0,显然不成立; 当a≠0时,不等式恒成立的条件是
? 1 ?a ? 0, 解得a≥ . ? 2 2 ? ?? ? ? ?1? ? 4a ? a ? 0,

综上,命题q为真时,a的取值集合为 Q={a | a ? 1 }.
2

由“p∨q是真命题,p∧q是假命题”, 可知命题p,q一真一假, 当p真q假时,a的取值范围是
1 1 P ? ? ?R Q ?=?a | 0 ? a ? 1? ? {a | a ? }={a | 0 ? a ? }; 2 2

当p假q真时,a的取值范围是 (?RP)∩Q={a|a≤0或a≥1}∩ {a | a ? 1}=?a | a ? 1?. 综上,a的取值范围是 (0, ) ∪[1,+≦).
1 答案: (0, ) ∪[1,+≦) 2 1 2 2

【规律方法】利用命题的真假求解参数取值范围的步骤 根据含有逻辑联结词的命题的真假求解参数的取值范围的基本 步骤可以分为三步: (1)求出相关命题为真时所对应的参数的取值范围 . (2)根据含有逻辑联结词的命题的真假,判断两个命题的真假 .

(3)根据命题的真假情况,利用集合的交集和补集运算求解参
数的取值范围.

2 2 x y 【加固训练】1.若命题p:曲线 - = 1 为双曲线,命题 a ?2 6?a

q:函数f(x)=(4-a)x在R上是增函数,且p∨q为真命题,p∧q 为假命题,则实数a的取值范围是________.

【解析】当p为真命题时,(a-2)(6-a)>0,解之得2<a<6.

当q为真命题时,4-a>1,即a<3.
由p∨q为真命题,p∧q为假命题知p,q一真一假.

当p真q假时,3≤a<6.当p假q真时,a≤2.
因此实数a的取值范围是(-≦,2]∪[3,6). 答案:(-≦,2]∪[3,6)

2.(2013·北京模拟)已知m>0,给出以下两个命题: 命题p:函数y=mx在R上单调递减; 命题q:?x∈R,不等式x+|x-2m|>1恒成立. 若p∧q是假命题,p∨q是真命题,则m的取值范围为 .

【解析】p:0<m<1;在同一坐标系中画出函数y=1-x与y= |x-2m|的图象可知,要使对?x∈R都有x+|x-2m|>1成立, 应有2m>1,所以m> 1 ,即q:m> 1 ,
2 2

因为p∧q为假,p∨q为真,所以p与q一真一假,当p真q假 时,0<m≤ 1 ;当p假q真时,m≥1,所以实数m的取值范围是
2 1 (0, ] ? [1,+?). 2 1 答案: (0, ] ? [1 ,+?) 2

数形结合思想 ——解决集合间的关系及集合运算问题 【思想诠释】 集合间的关系及集合运算问题用到数形结合思想的常见类型: 1.集合关系的判断:如判断两个点集之间的关系、由不等式组 成的集合之间的关系.

2.求交集、并集、补集:求集合的交集、并集、补集常借助数 轴及韦恩图直观求解. 3.求参数取值范围:已知集合之间的关系,求参数的取值范围.

【典例分析】
【典题】(2014·秦皇岛模拟)设平面点集A={(x,y)|

? y ? x ? (y ?
3 A. ? 4

1 B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B ) ? 0}, x

所表示的平面图形的面积为(
3 B. ? 5 4 C. ? 7

)
D. ? 2

【思想联想】看到集合A与集合B表示的是平面的点集,想到数

形结合思想,画出相应的图形,结合图形进行求解 .

【规范解答】

【能力迁移】

?2x ? y ? 2 ? 0, (2014·皖南模拟)已知集合 A ? {? x, y ? | ? ? x ? 2y ? 1 ? 0, }, ? x ? y ? 2 ? 0, ?

B={(x,y)|x2+(y-1)2≤m},若A?B,则m的取值范围是______.

【思想联想】(1)由集合A中x,y的约束条件,可联想到利用数 形结合思想画出可行域. (2)由集合B,可以联想到其表示的是以(0,1)为圆心, m 为 半径的圆及其内部.

【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,三个顶点到圆心 (0,1)的距离分别是1,1, 2 ,由A?B得三角形所有点都在圆 的内部,故 m ≥ 2 ,解得m≥2.

答案:[2,+≦)


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