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浙江省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:圆锥曲线


浙江省 2017 届高三数学文一轮复习专题突破训练

圆锥曲线
一、选择、填空题 1、(2016 年浙江省高考)设双曲线 x2–

y2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且 3

△F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______. 2、(2015 年浙江

省高考)、椭圆

x2 y 2 b ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点 F ? c,0 ? 关于直线 y ? x 的对 2 c a b


称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是

3、(杭州市 2016 届高三第一次高考科目教学质量检测)若点 P 在曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 上,点 Q 在 16 9

曲线 C2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1上,点 R 在曲线 C3 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1上,则 | PQ | ? | PR | 的最大值是 ___________. 4、(湖州市 2016 届高三下学期 5 月调测)已知 F1 , F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的左右焦 a 2 b2

点,过 F2 的直线与双曲线的左右支分别交于 A, B 两点.若 ?ABF1 为正三角形,则该双曲线的离 心率是 A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2

5、(嘉兴市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)已知 F1 , F2 分别是椭圆

左右焦点,点 A 是椭圆的右顶点, O 为坐标原点,若椭圆上的一点 M 满足

MF1 ? MF2 , MA ? MO ,则椭圆的离心率为
A.
10 5

B.

2 3

C.

2 2

D .

2 7 7

x2 ? y 2 ? 1,F 是其左焦点, 6、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )如图,已知椭圆方程为 2
A, B 在椭圆上,满足 FA // OB 且 FA : OB ? 3: 2 ,则点 A 的横坐标为(
A.1 B. )

3 4

C.

1 2

D.

1 4

7、 (金华、丽水、衢州市十二校 2017 届高三 8 月联考)过点 ? 0, ?2 ? 的直线交抛物线 y 2 ? 16 x 于
2 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,且 y12 ? y2 ? 1,则 ?OAB ( O 为坐标原点)的面积为(



A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

8、(金丽衢十二校 2016 届高三第二次联考)若焦点在 x 轴上的椭圆的焦距为 16,长轴长为 18,则 该椭圆的标准方程为__▲ . 9、(浙江省名校协作体 2017 届高三上学期 9 月联考)点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左 a2 b2
c ,则双曲 8

支上的一点,其右焦点为 F (c,0) ,若 M 为线段 FP 的中点,且 M 到坐标原点的距离为 线的离心率 e 的取值范围是 A. (1,8] B. ?1, ? 3

? 4? ? ?

C. ? , ?

? 4 5? ? 3 3?

D. (2,3]

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦 a 2 b2 ??? ? ???? 点,点 B 的坐标为 (0, b) ,直线 F1 B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点,若 QP ? 4PF1 ,
10、(宁波市 2016 届高三上学期期末考试).已知 F1 是双曲线 C : 则双曲线 C 的离心率为 A. ( ▲ )

6 2

B.

3 2

C.

5 2

D. 2

11、 l 是经过双曲线 C : (绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测 (二模) )

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

焦点 F 且与实轴垂直的直线, A, B 是双曲线 C 的两个顶点, 若在 l 上存在一点 P ,使 ?APB ? 60? , 则双曲线离心率的最大值为( A. ) C. 2 D. 3

2 3 3

B. 3

12、(嵊州市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦 a 2 b2

点分别为 F1 , F2 ,过椭圆上的点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 Q ,若四边形 F1 F2 PQ 为菱形,则该椭圆的 离心率为 A.

2 ?1 2

B.

3 ?1 2

C. 2 ? 1

D. 3 ? 1

13、 (温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟) 已知点 A, F 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ( a ? 0 ,b ? 0 ) ? ?1 a 2 b2

的左顶点和右焦点,过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和 y 轴分别交 于 P, Q 两点,若 AP ? AQ ? ?a 2 ,则双曲线 C 的离心率为 14、(浙江省五校 2016 届高三第二次联考)已知 F1、F2 是椭圆

??? ? ????



.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦 a 2 b2

点,以 F1F2 为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为 P ,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H ,若

PH ?

a ,则此椭圆的离心率为( ▲ ) 2

A.

5 ?1 2

B.

3 2

C.

17 ? 1 4

D. 2 2 ? 2

15、(诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测)双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F ,离心率 a 2 b2

e ,过点 F 斜率为 1 的直线交双曲线的渐近线于 A 、B 两点, AB 中点为 M ,若 FM 等于半焦距,
则 e 等于( A. 3
2

) B. 2 C. 3 或 2 D. 3 ? 3

x2 y 2 16、 (慈溪中学 2016 届高三高考适应性考试) 已知双曲线 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分 a b
E 的离心率 别为 F1 , F2 , P 是 E 左支上一点,且 | PF 1 |?| F 1F 2 | ,直线 PF2 与圆 x ? y ? a 相切,则
2 2 2





17、(湖州市 2016 届高三下学期 5 月调测)椭圆 ▲ .

y2 ? x 2 ? 1的长轴长是 5



,焦点坐标是

二、解答题 1、(2016 年浙江省高考)如图,设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的 距离等于|AF|-1. (I)求 p 的值; (II)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N, AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.

2、 (2015 年浙江省高考)如图,已知抛物线 C1:y=

1 2 x ,圆 C2:x2 + (y- 1)2 = 1 ,过点 P(t,0)(t>0) 4

作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点.

(1)求点 A,B 的坐标; (2)求 ?PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行,则该直线 与抛物线相切,称该公共点为切点.

3、(杭州市 2016 届高三第一次高考科目教学质量检测)设点 A, B 分别是 x, y 轴上的两个动点,

??? ? ??? ? AB ? 1 ,若 BA ? AC .
(Ⅰ)求点 C 的轨迹 ? ; (Ⅱ)已知直线 l : x ? 4 y ? 2 ? 0 ,过点 D(2, 2) 作直线 m 交轨迹 ? 于不同的两点 E , F ,交直线 l 于 点 K ,问

| DK | | DK | 的值是否为定值,请说明理由. ? | DE | | DF |

4、(湖州市 2016 届高三下学期 5 月调测)已知点 C ? x0 , y0 ? 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点,以 C 为 圆心的圆过该抛物线的焦点 F ,且圆 C 与直线 x ? ? (Ⅰ)当 FC ? 3 时,求 AB ; (Ⅱ)求 FA ? FB 的取值范围.

1 相交于 A, B 两点. 2

5、 (嘉兴市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)已知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,抛 物线的焦点到直线 l : y ? 2 x ? 2 的距离为
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
4 5 . 5

, 1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A, B , (Ⅱ)设点 R(x0 ,2) 在抛物线 C 上,过点 Q(1
若直线 AR, BR 分别交直线 l 于 M , N 两点,求 MN 最小时直线 AB 的方程.

6、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )已知抛物线 C : x2 ? 4 y ,过点 P(t , 0) (其中 t ? 0 ) 作互相垂直的两直线 l1 ,l2 ,直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q ( Q 在第一象限内) ,直线 l2 与抛物线 C 相交于 A, B 两点. (1)求证:直线 l2 恒过定点;
2 (2)记直线 AQ, BQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,当 k12 ? k2 取得最小值时,求点 P 的坐标.

7、 (金华、 丽水、 衢州市十二校 2017 届高三 8 月联考) 已知椭圆

x2 3 ? y 2 ? 1? a ? 1? 的离心率为 , 2 a 2

P ? m, n ? 为圆 x2 ? y 2 ? 16 上任意一点,过 P 作椭圆的切线 PA, PB ,设切点分别为 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? .
(1)证明:切线 PA 的方程为

x1 x ? y1 y ? 1 ; 4

(2)设 O 为坐标原点,求 ?OAB 面积的最大值.

8、(宁波市 2016 届高三上学期期末考试)如图,抛物线 E : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 (0, ) ,圆 心 M 在射线 y ? 2 x( x ? 0) 上且 半径为 1 的圆 M 与 y 轴相切. (Ⅰ)求抛物线 E 及圆 M 的方程; (Ⅱ)过 P(1, 0) 作两条相互垂直的直线,与抛物线 E 相交于 A, B 两点,与圆 M 相交于 C , D 两点,

1 4

N 为线段 CD 的中点,当 S ?NAB ?

3 ,求 AB 所在的直线方程. 2

9、(绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测(二模))如图, A ?1, 2 ? 、 B ? , ?1? 是抛物线

?1 ?4

? ?

y2 ? ax ? a ? 0? 上的两个点, 过点 A 、 B 引抛物线的两条弦 AE, BF .
(1)求实数 a 的值; (2)若直线 AE 与 BF 的斜率是互为相反数, 且 A, B 两点在直线 EF 的两侧. ①直线 EF 的斜率是否为定值?若是求出该定值,若不是, 说明理由; ②求四边形 AEBF 面积的取值范围.

10、 (嵊州市 2016 届高三上学期期末教学质量检测) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点为 F ?1,0 ? , 过 F 作斜率为 k 的直线交抛物线 C 于 A 、 B 两点,交其准线 l 于 P 点. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 PA ? PB ? ? PA ? PB ? PF ,

?1 ? 1? ,求实数 ? 的取值范围. 若 k ?? , ?2 ?

11、 (温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟)设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,抛物线 C 上
2

点 M(3,y0 ) 满足 MF ? 4 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若圆 N : ( x ? 4) ? y ? 9 的切线 l1 与抛物线相交于 A, B 两点,直线 l1 的平行线 l2
2 2

与抛物线 C 相切于点 P ,求 ?PAB 的面积的最小值.

12、(浙江省五校 2016 届高三第二次联考)已知抛物线 y ? 4 x ,焦点为 F ,过点 (2, 0) 且斜率为
2

正数的直线交抛物线于 A, B 两点,且 FA?FB ? ?11 . ( I ) 求直线 AB 的方程; (II)设点 C 是抛物线上 ? AB(不含A、B两点) 上的动点, 求 △ABC 面积的最大值.

??? ? ??? ?

13、 (诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测)已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上一点 P ?1, t ??t ? 0? 到
2

焦点 F 的距离等于 2. (1)求抛物线的方程及点 P 、 F 坐标;

(2)过 P 点作互相垂直的两条直线交抛物线于另外两点 A, B . ①当直线 AB 的斜率为 ?

2 时,求直线 AB 的方程; 5

②求证:直线 AB 经过定点.

14、 (慈溪中学 2016 届高三高考适应性考试)已知点 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 )是曲线

y 2 ? 4x( y ? 0) 上的两点, A, D 两点在 x 轴上的射影分别为点 B, C ,且 | BC |? 2 .
(1)当点 B 的坐标为 (1, 0) 时,求直线 AD 的斜率; (2)记 ?OAD 的面积为 S1 ,梯形 ABCD 的面积为 S2 ,求证:

S1 1 ? . S2 4

参考答案 一、填空、选择题 1、【答案】 (2 7,8) .

考点:双曲线的几何性质. 2、【答案】

2 2

考点:1.点关于直线对称;2.椭圆的离心率. 3、10 6、B 8、 9、B 11、A 16、 10、B 12、B 13、 4、D 7、D 5、D

4 3

14、C

15、B

5 3

17、 2 5 , ? 0, ?2 ?

二、解答题 1、【答案】(1)p=2;(2) ? ??,0? ? ? 2, ??? .

考点:抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 2、【答案】(1) A(2t , t ), B(
2

2t 2t 2 t3 , ) ; (2) 1? t2 1? t2 2

2 因为直线 PA 与抛物线相切,所以 ? ? 16k ? 16kt ? 0 ,解得 k ? t .

所以 x ? 2t ,即点 A(2t , t ) .
2

设圆 C2 的圆心为 D(0,1) ,点 B 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意知,点 B,O 关于直线 PD 对称,故有

x0 ? y0 ? ? ? ?1 2t , ?2 ? ? x0t ? y0 ? 0
解得 x0 ?

[来

2t 2t 2 2t 2t 2 , y ? B ( , ). . 即点 0 1? t2 1? t2 1? t2 1? t2

(2)由(1)知, AP ? t 1 ? t 2 , 直线 AP 的方程为 tx ? y ? t 2 ? 0 , 所以点 B 到直线 PA 的距离为 d ?

t2 1? t 2

.

所以 ?PAB 的面积为 S ?

1 t3 AP ? d ? . 2 2

考点:1.抛物线的几何性质;2.直线与圆的位置关系;3.直线与抛物线的位置关系. 3、解:(Ⅰ)设 A(a, 0) , B(0, b) , C ( x, y) ,则 BA ? (a, ?b) , AC ? ( x ? a, y) . 所以 ?

??? ?

??? ?

?x ? a ? a ,消去 a , b ,得 ? y ? ?b
x2 ? y 2 ? 1 .…………………………6 分 4

点 C 的轨迹 ? 为

(Ⅱ) 设直线 m 的方程为 y ? kx ? b ,有 b ? 2 ? 2k . 解得点 K 的横坐标 xK ?

2 ? 4b , 1 ? 4k

将直线 m 代入椭圆方程得:

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 ,
由韦达定理,得 xE ? xF ?

?8kb 4b 2 ? 4 x x ? , , E F 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以

| DK | | DK | 1 1 ? ?| xD ? xk |? ( ? ) | DE | | DF | | xD ? xE | | xD ? xF | ?| 2 ? | 4 ? ( xF ? xE ) | 2 ? 4b |? 1 ? 4k | 4 ? ( 2 xF ? xE) +xF xE |

8k ? 4b | 4k 2 ? 2bk ? 1| ?| |? 1 ? 4k | 4k 2 ? 4bk ? b2 |
=2 . 4、解:(Ⅰ)因为 FC ? x0 ? …………………………9 分

p ? x0 ? 1 , 2

所以 x0 ? 2 ;-----------------------------------------------------------2 分

所以点 C 到 x ? ?

1 5 的距离 d ? ,------------------------------4 分 2 2

所以圆 C 的半径是 FC ? 3 ,

?5? AB ? 2 3 ? ? ? ? 11 .------------------------------------------6 分 ?2?
2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, F ?1,0 ? ,
2 圆 C 的方程是 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? x0 ? 1? ? y0 , 2 2 2

令x??

1 3 2 , y ? 2 y0 y ? 3 x0 ? ? 0 ,-----------------------------------------------7 分 2 4

? ? 4 y02 ?12x0 ? 3 ? 4x0 ? 3 ? 0 恒成立,
设 A ? ? , y1 ? , B ? ? , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 2 y0 , y1 ? y2 ? 3 x0 ? 因为点 C ? x0 , y0 ? 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,故 y0 2 ? 4 x0 , 所以 FA ? FB ?
2

? 1 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

3 ,------------------9 分 4

y12 ?

9 9 ? y2 2 ? ? 4 4

? y1 y2 ?

2

?

9 2 81 y1 ? y2 2 ? ? .--------11 分 ? 4 16

3? 9? 3 ? ? 81 ? ? ? ? 3x0 ? ? ? ? 4 y0 2 ? 2 ? 3 x0 ? ? ? ? . 4? 4? 4 ? ? 16 ? ?
? 9 x0 2 ? 18 x0 ? 9 ? 3 x0 ? 1 ,--------------------------------------------------------------13 分
因为 x0 ? 0 ,所以 FA ? FB ??3, ??? .---------------------------------------------------15 分 5、解: (Ⅰ)抛物线的焦点为 ( ∴ y ? 4x
2

p?2 4 5 p ,0 ) , d ? ,得 p ? 2 ? 2 5 5
(6 分) (7 分) (8 分)

1,2) (Ⅱ)点 R(x0 ,2) 在抛物线 C 上,∴ x0 ? 1 ,得 R(
设直线 AB 为 x ? m( y ? 1) ? 1(m ? 0) ,

1 1 2 A( y12 , y1 ) , A( y 2 , y2 ) , 4 4
联立: ?

? x ? m( y ? 1) ? 1 y 2 ? 4x ?

得 y ? 4my ? 4m ? 4 ? 0 ,
2

则 y1 ? y 2 ? 4m, y1 y 2 ? 4m ? 4 又设 AR : y ? 2 ?

(10 分)

y1 ? 2 4 ( x ? 1) ? ( x ? 1) , 1 2 y1 ? 2 y ?1 4

联立: ?

? ?y ? 2 ? ? ?

4 ( x ? 1) 2 2 ,得 x M ? ? ,同理 x N ? ? y1 ? 2 y1 y2 y ? 2x ? 2

(12 分)

∴ MN ?

5 xM ? x N ? 2 5

1 1 m2 ? m ? 1 m ? ?2 5 ? 2 5 1? 2 y 2 y1 m ?1 m ? 2m ? 1

? 2 5 1?

1 m?2? 1 m
(15 分)

当 m ? ?1 时, MN min ? 15 ,此时直线 AB 方程: x ? y ? 2 ? 0 . 6、解: (Ⅰ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1 直线的方程为 y ? k ( x ? t ) ,
?x2 ? 4y 与抛物线方程联立 ? 可得: ? y ? k( x ? t )
x 2 ? 4kx ? 4kt ? 0 ,由于直线 l1 与抛物线 C 相切,

所以 ? ? 16k 2 ? 16kt ? 0 ,求得: t ? k ,故 Q 点坐标为 Q (2t , t 2 ) ,

1 1 由于 l1⊥l2,故设 l2 的方程为: y ? ? ( x ? t ) ,即 y ? ? x ? 1 , t t
所以直线 l2 恒过定点(0,1);
?x2 ? 4y 2 2 x1 x2 ? ) , B( x 2 , ) ,联立直线 l2 方程与抛物线方程 ? (Ⅱ)设 A( x 1 , 1 4 4 ?y ? ? x ? 1 t ?

可得: x 2 ?

4 4 x ? 4 ? 0 ,则 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ?4 , t t
t2 ?

2 x1 4 ? 1 ( 2t ? x ) ,同理: k ? 1 (2t ? x ) , 则题意可知: k1 ? 2 2 1 4 2t ? x1 4

2 2 所以: k1 ? k2 ?

1 1 [(2t ? x1 ) 2 ? (2t ? x2 ) 2 ] ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 8t 2 ] 16 16

1 2 1 1 16 [ 2 ? 16 ? 8 ? 8t 2 ] ? [ 2 ? t 2 ? 1] ? 2 ? 16 t 2 t 2 1 2 2 故当 t ? 4 2 时, k1 有最小值为 2 ? ,此时 P 的坐标为 P(4 2 ,0) . ? k2 2 ?
7、解: (1)由题, e ?

3 c a2 ?1 ,解得 a ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ? ? 2 a a
2

①当 y1 ? 0 时, x1 ? ?2 ,直线 x ? ?2 ,∴ x ? 4 ,代入椭圆方程得到 y ? 0 , ∴切线 PA 的方程是 x ? ?2 .

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 ?1 ? x 2 ②当 y1 ? 0 时,联立 ? ,消 y ,得到 x ? 4 ? ? 1 ?x ? ? 4 ? 0 , ? y1 4 y1 ? ? x1 x ? 4 y1 y ? 4 ? 0
即 ?1 ?

2

? ?

x12 ? 2 2 x1 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ?x ? 2 ?x ? 2 ? 4 ? 0 , 2 ? 4 y1 ? y1 y1 ? ? 4 x12 ? 4 4 x12 x12 ?? 1 x12 x12 ? ? 4 ? 4 ? 2 ?? 2 ? 1? ? 4 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? 2 ? y14 y1 ?? y1 y1 y1 ? ? ? y1 ? y1
2

所以 ? ?

??

4 ? 4 ? 4 y1 ? 4 x12 16 16 ? 16 ? ? ? 2 ? 16 ? ?0 2 2 y1 y1 y1 y12

x1 x ? y1 y ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 4 xx xx (2)根据(1)可得切线 PA 的方程为 1 ? y1 y ? 1 ,切线 PB 的方程为 2 ? y1 y ? 1 , 4 4
∴切线 PA 的方程为

? x1m ? y1n ? 1 ? mx ? 4 ? ny ? 1 . ∴? ,所以直线 AB 方程为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 x m 4 2 ? ? y2 n ? 1 ? ? 4
? mx ? ny ? 1 ? m2 ? 2m 4 ? ∴? 4 ,消 y 得到 ?1 ? 2 ??x 2 ? 2 ?x ? 2 ? 4 ? 0 , n n 2 2 ? 4n ? ? ?x ? 4 y ? 4 ? 0

16 4m2 ? 2 ? 2 ? 16 2 ? ? m? n ∴ AB ? 1 ? k 2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 ? 1? ? ? ? ? n a m2 ? 4n ? 1? 2 4n
又∵原点 O 到直线 AB 的距离 d ?

1 m ? n2 2 4
2



∴ S?OAB ? ? AB ? d ? ? 1? ? ?

1 2

1 2

? m? ? ? ? 4n ?

2

?

16 4m2 ? 2 ? 16 1 n2 n ? 2 m m2 1? 2 ? n2 2 4n 4

?

4 4n2 ? m2 ? 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 4n2 ? m2
2 2

又∵ P ? m, n ? 为圆 x2 ? y 2 ? 16 上任意一点,∴ m ? n ? 16 . ∴ S?OAB ?

4 3n2 ? 12 4t 4 ,令 t ? 3n2 ?12 ? 2 3 ,则 S?OAB ? 2 在 ? 2 3, ?? 上单调 ? 2 3n ? 16 t ?4 t? 4 ? t

?

递减,所以 S?OAB ? 8、

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 分 2

解:(Ⅰ) 抛物线 E : y ? x2 ,………3 分 圆 M 的方程: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ; ………6 分 (Ⅱ)设直线 AB 的斜率为 k ( k 显然存在且不为零)

? y ? x2 ? x 2 ? kx ? k ? 0 联立 ? ? y ? k ( x ? 1)

? ? ? k 2 ? 4k ? 0 ? ? ? x A ? xB ? k ?x ? x ? k ? A B

………8 分

又与直线 AB 垂直的直线 CD 与圆 M 相交, 则 ?

3 3 1 ,而 ? (??, ? 3) ? ( 3, ??) 即 ? ?k? k 3 3

3 ?k ?0. 3 1 1 S?NAB ? | AB | ? | NP |? | AB | ?d (其中 d 表示圆心 M 到直线 AB 的距离) 2 2 1 2 ………12 分 ? 1 ? k 2 ? k 2 ? 4k ? ? k 2 ? 4k 2 2 1? k 3 9 1 9 2 又 S ?NAB ? ,所以 k ? 4k ? ,解得 k ? ? 或 k ? (舍) 2 4 2 2 1 1 1 所以 AB 所在的直线方程为: y ? ? ( x ? 1) 即 y ? ? x ? . ………15 分 2 2 2
k 2 ? 4k ? 0 ,故 ?
9、解:(1)把点 A ?1, 2 ? 代入拋物线方程得 a ? 4 .

(2)①设点 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,直线 AE : y ? k ? x ?1? ? 2 ,则直线 B1 F : y ? ?k ? x ?

? ?

1? ? ? 1, 4?

联立方程组 ?

? 2 ? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 ,消去 y 得: k x ? ? 4k ? 2k ? 4 ? x ? ? 2 ? k ? ? 0 , 2 ? ? y ? 4x
2

x1

?2 ? k ? ?
k2

? 2 ? k ? , ?2k 2 ? 4k ) ?2k 2 ? 4k , y1 ? k ? x1 ? 1? ? 2 ? , ? E ( k2 k2 k2
2

? 1? ? 2 1 2 ? y ? ?k ? x ? ? ? 1 ? ? 1 ? 4 ? ,消去 y 得: k 2 x2 ? ? 联立方程组 ? k ? 2 k ? 4 x ? 1 ? k ? ? ? ? ? ? 0, ?2 ? ? 4 ? ? y2 ? 4x ?

? 4 ? k ? , x ? ? 4 ? k ? , y ? ? k ? x ? 1 ? ? 1 ? k 2 ? 4k , 1 x2 ? 2 2 ? 2 ? 4 16k 2 4k 2 4? k2 ?
2 2

? ? 4 ? k ? 2 k 2 ? 4k ? y ?y , 得F? ? .故 kEF ? 1 2 ? ?4 . 2 ? 4k 2 ? k x1 ? x2 ? ?
②设直线 EF : y ? ?4 x ? b ,联立方程组 ?

? y ? 4x ? b ? y ? 4x
2

,消去 y 得: 16x ? ?8b ? 4? x ? b ? 0 ,
2 2

1 2 ? ? ? ?8b ? 4 ? ? 64b 2 ? 16 ? 64b ? 0, b ? ? ,? A, B 两点分别在直线 EF 的两 4
侧,?? b ? 6? b ? 0 , 故 0 ? b ? 6 ,? x1 ? x2 ?

2b ? 1 b2 17 2 , x1 x2 ? ,? EF ? 1 ? ? ?4 ? x1 ? x2 ? 1 ? 4b , 4 16 4

设 d1 , d 2 分别为点 A1 , B1 到直线 EF 的距离, d1 ?

b?6 1 ? ? ?4 ?
2

, d2 ?

b 1 ? ? ?4 ?
2

,

S AEBF ?

1 1 3 3 15 ? ? d1 ? d2 ? EF ? ? b ? b ? 6 ? 1 ? 4b ? 1 ? 4b ? ? ? , ?, 2 8 4 ?4 4 ?

? 3 15 ? ? 四边形 AEBF 面积的取值范围是 ? , ? . ?4 4 ?
10、解:(Ⅰ)因为焦点 F ?1,0 ? ,所以

p ? 1 ,解得 p ? 2 . 2

………………4 分

(Ⅱ)由题可知:直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1?? k ? 0? , 准线 l 的方程为 x ? ?1 . 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ………………6 分

PA ? 1 ? k 2 ? x1 ? 1?, PB ? 1 ? k 2 ? x2 ? 1?, PF ? 2 1 ? k 2 .
由?

………………8 分

? y ? k ? x ? 1? ? 消去 y 得 k 2 x2 ? ? 2k 2 ? 4? x ? k 2 ? 0 , 2 ? ? y ? 4x
2k 2 ? 4 ,x1 x2 ? 1 . k2
………………10 分

故 x1 ? x2 ?

由 PA ? PB ? ? PA ? PB ? PF 得 解得 ? ?

? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1? ? 2? ?1 ? k 2 ? ? ? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1?
……………13 分

1 . 2 ?1 ? k 2 ?

?1 ? ?1 2? 因为 k ? ? ,1? ,所以 ? ? ? , ? . ?2 ? ?4 5?
11、解: (Ⅰ) MF ? 3 ?

………………15 分

p ?4 2
………………4 分 ………………5 分

?p ?2,
故抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ; (Ⅱ)设 l1 : x ? my ? n ,由 l1 与 ? N 相切得

4?n 1 ? m2
由?

?3

? m2 ?

n2 ? 8n ? 7 9

………………7 分

? x ? my ? n ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 4n ? 0

? ? 16m2 ? 16n ? 0 且 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4n
AB ? 1 ? m2 y1 ? y2 ? 1? m2 16m2 ?16n ? 4 1? m2 m2 ? n
………………10 分 不妨设 l2 : x ? my ? t 由?

? x ? my ? t ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 4t ? 0

? 直线 l2 与抛物线相切,
? ? 16m2 ? 16t ? 0 ?t ? ?m2

?l2 : x ? m y? 2m

? l1 与 l2 的距离为 d ?
? S ?PAB ?

m2 ? n m2 ? 1

………………12 分

1 AB ? d = 2 m2 ? n m2 ? n 2
1 2 n2 ? 8n ? 7 n ?n?7 ?n ? 3 9

设 u ? m2 ? n ?

?

1 1 27 3 (n ? ) 2 ? ? 3 2 4 2
3 3 3 3 ) ? 2 4
………………15 分

? S?PAB ? 2u3 ? 2 ? (
当n ? ?

1 3 3 时 , ? S?PAB ?min ? 2 4

12、解:( I )设直线 AB 为 x ? my ? 2(m ? 0) , A(

y12 y2 , y1 ), B( 2 , y2 ) , F (1, 0) 4 4

?? ? 16m 2 ? 32 ? 0 ? x ? my ? 2 ? 2 ,消 x,得 y ? 4my ? 8 ? 0 ,则 ? y1 ? y2 ? 4m ? 2 ? y ? 4x ? y ?y ? ?8 1 2 ?
则 FA?FB ? (

??? ? ??? ?

2 y12 y2 y2 y2 y 2 y 2 y 2 ? y2 ? 1, y1 )? ( 2 ? 1, y2 ) ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? y1 y2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? y1 y2 4 4 4 4 16 4

? 4?
2

16m2 ? 16 ? 1 ? 8 ? ?11 4

得 m ? 1 ,又因为 m ? 0 ,故 m ? 1 ,即直线 AB 的方程 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 (II)设 C (
2 ?x ? y ? 2 y0 ,解得 y1,2 ? 2 ? 2 3 ,故 2 ? 2 3 ? y0 ? 2 ? 2 3 , y0 ) , ? 2 4 ? y ? 4x

2 y0 1 ? y0 ? 2 | | ( y 0 ? 2) 2 ? 3 | ? 4 设点 C 到直线 AB 的距离为 d ? 4 2 2

|

当 y0 ? 2 , d max ? 故 S △ABC max ?

3 2 ,而 | AB |? 2 48 ? 4 6 2

1 | AB | d ? 6 3 2

13、解:(1)∵ FP ? 1 ?

p ? 2 ? p ? 2, y 2 ? 4 x …………………………………………2 分 2

∴ P ?1,2? , F ?1,0? ……………………………………………………………………2 分 (2)①令 l AB : y ? ?

2 x?b 5

2 ? ?y ? ? x ?b ∴? 5 ? y2 ? 4x ?
∴y??

2 y2 ? ? b, 20 y ? ?2 y 2 ? 20b, y 2 ? 10 y ? 10b ? 0 5 4

y1 ? y2 ? ?10, y1 y2 ? ?10b ………………………………………………………………2 分
又∵ PA ? PB ∴ PA ? PB ? ? x1 ? 1, y1 ? 2 ? ? ? x2 ? 1, y2 ? 2 ?

??? ? ??? ?

? ? x1 ?1?? x2 ?1? ? ? y1 ? 2?? y2 ? 2?
? y 2 ?? y 2 ? ? ? 1 ? 1?? 2 ? 1? ? y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 4 ?? 4 ?
?
2 y12 y2 1 2 ? ? y12 ? y2 ? ? 1 ? y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 0 …………………………………2 分 16 4



100b 2 1 ? ?100 ? 20b ? ? 1 ? 10b ? 24 ? 0 16 4

25b 2 12 ? 15b ? 0 ? b ? 或 0. 4 5
即 l AB : y ? ? ∴y?? ②令 A ?

2 12 2 x ? (过点 P ,舍去),或 y ? ? x . 5 5 5

2 x …………………………………………………………………………2 分 5

2 ? y12 ? ? y2 ? , y1 ? , B ? , y2 ? ? 4 ? ? 4 ?

∵ kPA ? kPB ? ?1 ,∴

y1 ? 2 y2 ? 2 ? 2 ? ?1 y12 y2 ?1 ?1 4 4



4 4 ? ? ?1 ,∴ 16 ? ? ? y1 y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 4? ……………………………………2 分 2 ? y1 y2 ? 2

∴ y1 y2 ? ?20 ? 2 ? y1 ? y2 ? 又∵ l AB : y ? y1 ?

y2 ? y1 y12 ? 4 ? x ? x ? x ? ? ? ? ? ………………………………………1 分 1 2 y2 y12 y1 ? y2 ? 4 ? ? 4 4

∴ y ? y1 ?

y12 yy 4x 4x ? ? ? 1 2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

?

1 1 ?4 x ? 20 ? 2 ? y1 ? y2 ?? ? 4 x ? y1 y2 ? ? ? …………………………………1 分 y1 ? y2 y1 ? y2 ?

∴ x ? 5 时, y ? ?2 ,即过定点 ? 5, ?2? ………………………………………………1 分 14、 (1)因为 B(1, 0) ,所以 A(1, y1 ) ,代入 y ? 4 x ,得到 y1 ? 2 ,
2

又 | BC |? 2 ,所以 x2 ? x1 ? 2 ,所以 x2 ? 3 , 代入 y 2 ? 4 x ,得到 y1 ? 2 3 , 所以 k AD ?

y2 ? y1 2 3 ? 2 ? ? 3 ?1 . x2 ? x1 2

(2)设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m , 则 S1 ? S ?OMD ? S ?OMA ? 由?

1 | m( x2 ? x1 ) |?| m | . 2

? y ? kx ? m ,得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , 2 y ? 4 x ?

? ?? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 16 ? 16km ? 0 ? 4 ? 2km ? x1 ? x2 ? 所以 ? k2 ? ? m2 x x ? ? 1 2 k2 ?
1 4 ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? , 2 k km ? 0 ,所以 k ? 0, m ? 0 , 又注意到 y1 y2 ? 4
又 S2 ?

所以

S1 m km , ? ? S2 y1 ? y2 4 S1 km 1 ? ? . S2 4 4

因为 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,所以 0 ? km ? 1 ,所以


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