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三视图求几何体的表面积与体积


三视图求几何体的表面积与体积
一、选择题 1.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )

(A)

11 2

(B)5

(C)

9 2

(D)4

2.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此 几何体的体积为( (A)6 ) (B)9 (C)12 (D)18

3.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角 形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为(
A. 2 6


2 (D) 2

(B)

3 6

2 (C) 3

4.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此 球的体积为( (A) 6π ) (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π

5.将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几
-1-

何体的左视图为(



6.(2012·浙江高考文科·T3)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该三棱锥的体积是( )

(A)1 cm3

(B)2 cm3

(C)3 cm3

(D)6 cm3 )

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

4 2 3 4

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

(A)28+ 6 5

(B)30+ 6 5

(C)56+ 12 5

(D)60+ 12 5

8. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )
-2-

10. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( ) (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱

(A)球

. 11.某几何体的三视图如图所示, 它的体积为( (A)12π ) (B)45π (C)57π (D)81π

12.某几何的三视图如图所示,它的体积为

(A)72π

(B)48π

(C)30π

(D)24π

13.已知某几何体的三视图如图所示,
-3-

则该几何体的体积为(
8? (A) 3

)
10? (C) 3

(B)3π

(D)6π

二、填空题 14.已知某几何体的三视图如图所示

则该几何体的体积为

.

AB ? AD ? 3cm, AA1 ? 2cm , 15.如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 则四棱锥 A ? BB1D1D

的体积为

cm3 .

16. 已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥的体积等于

________ cm3 .

-4-

17.(2012·天津高考理科·T10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) , 则该几何体的体积为__________ m3 .

18.一个几何体的三视图如图所示 (单位:m ) , 则该几何体的体积为__________
m3 .

19. (2012· 山东高考理科· T14) 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,E , F 分别为线段 AA1 , B1C 上的点,则三棱锥 D1 ? EDF 的体积为____________.

-5-

【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积,只需知道 B1C 上的任意 一点到面 DED1 的距离相等.

【解析】 ?DED1 的面积为正方形面积的一半,三棱锥的高即为正方体的棱长,所
1 1 1 1 VD1 ? EDF ? VF ? DED1 ? S ?DED1 ? h ? ? DD1 ? AD ? AB ? 3 3 2 6. 以 1 【答案】 6

20.(2012·山东高考文科·T13)如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为 线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A ? DED1 的体积为_____.

【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积,只需知道 B1C 上的任意 一点到面 DAD1 的距离相等.

【解析】以△ ADD1 为底面,则易知三棱锥的高为 1,故
1 【答案】 6

21.(2012·安徽高考理科·T12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表 面积是 .

-6-

【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出几何体的直观图. 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱,
1 S ? 2 ? ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 2 几何体的表面积是 .

【答案】 92 22.(2012·安徽高考文科·T12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积等于_____.

【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则得出几何体的直观图, 进而求得体积. 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱,则该几何体的体积是
1 V ? ? (2 ? 5) ? 4 ? 4 ? 56 2 .
-7-

【答案】 56 23.(2012·辽宁高考理科·T13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为______________.

【解题指南】读懂三视图,它是长方体(挖去一个底面直径为 2 cm 的圆柱) , 分别求表面积,注意减去圆柱的两个底面积. 【解析】长方体的长宽高分别为 4,3,1,表面积为 4?3? 2 ? 3?1? 2 ? 4?1? 2 ? 38; 圆柱的底面圆直径为 2,母线长为 1,侧面积为 2? ?1?1 ? 2? ;圆柱的两个底面积
2 ? ? ?12 ? 2?

.故该几何体的表面积为 38 ? 2? ? 2? ? 38 .

【答案】38 24. (2012·辽宁高考文科·T13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为_______________.

【解题指南】读懂三视图,它是圆柱和长方体的组合,分别求体积即可. 【解析】该组合体上边是一个圆柱,底面圆直径为 2,母线长为 1;体积
2 2 V1V ? sh ?? ?1 ? sh ?? ?1 ?1 ?? 1? ?? , 下面是一个长方体, 长、 宽、 高分别为 1S

4,3,1, 体积 V2 ? 4 ? 3 ?1 ? 12 .

故组合体体积 V1 ? V2 ? 12 ? ? .
-8-

【答案】 12 ? ? 25.(2012·辽宁高考文科·T16)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点, PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面 积为______________. 【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系,将点 P,A,B,C,D 看作长方体的顶 点来考虑. 【解析】由题意,PA⊥平面 ABCD,则点 P,A,B,C,D,可以视为球 O 的内接长方体 的顶点,球 O 位于该长方体的对角线的交点处,那么△OAB 的面积为长方体对角 面的四分之一.
11 ? AB PA ??22 66 , ? PB ?? OABD 面积 = 22 33 ? 6=3 的 ? AB??22 3, 3, PA , ? PB??6, 6, ?? OABD 面积 = ? ? ? 6=3 33 . 44

【答案】 3

3

三、解答题 26.(2012·新课标全国高考文科·T19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 1 垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

【解题指南】 (1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一条直线
-9-

与另一个平面垂直,要证平面 BDC1⊥平面 BDC,可证 DC1 ? 平面 BDC; (2)平面 BDC1 分棱柱下面部分 B ? DACC1 为四棱锥,可直接求体积,上面部分可 用间接法求得体积,从而确定两部分体积之比. 【解析】(I)由题设可知 BC ? CC1, BC ? AC, CC1 ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACC1 A1 . 又 DC1 ? 平面 ACC1 A1 ,所以 DC1 ? BC . 由题设知 ?A1DC1 ? ?ADC ? 45? ,所以 ?CDC1 ? 90? ,即 DC1 ? DC .又 DC ? BC ? C, 所以 DC1 ? 平面 BDC .又 DC1 ? 平面 BDC1 ,故平面 BDC1 ? 平面 BDC. (II)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC ? 1 .由题意得
1 1? 2 1 V1 ? ? ? 1? 1 ? 3 2 2.

又三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1 ,所以 ?V -V1 ?:V1 =1:1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1:1. 27.(2012·江西高考文科·T19)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线 段 AB 上的两点, 且 DE⊥AB, CF⊥AB, AB=12, AD=5, BC=4 2 , DE=4.现将△ADE, △CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合于点 G,得到多面体 CDEFG.

(1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2) 求多面体 C DEFG 的体积. 【解题指南】 (1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一条直线 与另一个平面垂直,要证平面 DEG⊥平面 CFG,可证 EG⊥平面 CFG; (2)多面体 C DEFG 为四棱锥,由平面 DEG⊥平面 CFG 得到四棱锥的高,利用体
- 10 -

积公式求体积. 【解析】 (1)由已知可得 AE=3,BF=4,则折叠完后 EG=3,GF=4,又因为 EF=5, 所以可得 EG ? GF . 又因为 CF ? 底面EGF ,可得 CF ? EG ,即 EG⊥平面 CFG,所以平面 DEG⊥平面 CFG. (2)过点 G 作 GO 垂直于 EF,GO 即为四棱锥 G-EFCD 的高,所以所求体积为
1 1 12 S 长方形 DEFC·GO= ×4×5× =16. 3 3 5

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