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3.示范教案(1.3 集合的基本运算第1课时)


1.1.3 集合的基本运算 整体设计 教学分析 课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合 相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法, 如类比等. 值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的 概念,并能够用直观图进行求补集的运算. 三维目标 1.理解两个集合的

并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求 给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比 的能力. 2.通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用, 培养数形结合的思想. 重点难点 教学重点:交集与并集,全集与补集的概念. 教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如 5+3=8.类比实数的加法运算,集合 是否也可以“相加”呢? 教师直接点出课题. 思路 2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗? (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}; (2)A={x|x 是有理数},B={x|x 是无理数},C={x|x 是实数}. 引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课 所要学习的内容. 思路 3.(1)①如图 1131 甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合 A、集合 B 有什 么关系?

图 1-1-3-1 ②观察集合 A 与 B 与集合 C={1,2,3,4}之间的关系. 学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算. (2)①已知集合 A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合 A,B 中的所有元素组成的集合 C. ②已知集合 A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合 A 与 B,并写出由集合 A 与 B 中的所 有元素组成的集合 C.

推进新课 新知探究 提出问题 ①通过上述问题中集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么? ②用文字语言来叙述上述问题中,集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系. ③用数学符号来叙述上述问题中,集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系. ④试用 Venn 图表示 A∪B=C. ⑤请给出集合的并集定义. ⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗? 请同学们考察下面的问题,集合 A 与 B 与集合 C 之间有什么关系? (ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}; (ⅱ)A={x|x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级女同学},B={x|x 是国兴中学 2007 年 9 月 入学的高一年级男同学},C={x|x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级同学}. ⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义?并分别用三种不同的语言形式来表达. 活动:先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表 扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算 并能用数学符号来刻画,用 Venn 图来显示. 讨论结果: ①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不 叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合 C 叫集合 A 与 B 的并集.记为 A∪B=C,读作 A 并 B. ②所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成了集合 C. ③C={x|x∈A,或 x∈B}. ④如图 1131 所示. ⑤一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.其 含义用符号表示为 A∪B={x|x∈A,或 x∈B},用 Venn 图表示,如图 1131 所示. ⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作 A∩B, 读作 A 交 B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C. ⑦一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集. 其含义用符号表示为: A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 用 Venn 图表示,如图 1132 所示.

图 1-1-3-2 应用示例 思路 1 1.设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∪B,A∩B.

图 1-1-3-3 活动:让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决, 重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于 Venn 图写出.观察这两个集 合中的元素,或用 Venn 图来表示,如图 1133 所示. 解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}. 点评:本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用 Venn 图或直接 观察得到结果. 本题易错解为 A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵 守集合元素的三条性质. 变式训练 1.集合 M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则 M∪N=________.M∩N=________. 答案:{-1,1,2,3,5,6,7} ? 2.集合 P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则 m=_________. 分析:由题意得 m2=1 或 2 或 m,解得 m=-1,1, 2 , ? 答案:-1, 2 , ?

2 ,0.因 m=1 不合题意,故舍去.

2 ,0

3.2007 河南实验中学月考,理 1 满足 A∪B={0,2}的集合 A 与 B 的组数为 ( ) A.2 B.5 C.7 D.9 分析:∵A∪B={0,2},∴A ? {0,2}.则 A= ? 或 A={0}或 A={2}或 A={0,2}.当 A= ? 时,B={0,2}; 当 A={0}时,则集合 B={2}或{0,2};当 A={2}时,则集合 B={0}或{0,2};当 A={0,2}时,则集合 B= ? 或{0}或{2}或{0,2},则满足条件的集合 A 与 B 的组数为 1+2+2+4=9. 答案:D 4.2006 辽宁高考,理 2 设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是 ( ) A.1 B.3 C.4 D.8 分析:转化为求集合 A 子集的个数.很明显 3 ? A,又 A∪B={1,2,3},必有 3∈B,即集合 B 中至少 有一个元素 3,其他元素来自集合 A 中,则集合 B 的个数等于 A={1,2}的子集个数,又集合 A 中 含有 22=4 个元素,则集合 A 有 22=4 个子集,所以满足条件的集合 B 共有 4 个. 答案:C 2.设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B,A∩B. 活动:学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义.利用数轴,将 A、B 分别表示出来,则阴影 部分即为所求.用数轴表示描述法表示的数集. 解: A={x|-1<x<2}及 B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图 1134 所示的阴影部分即为所求. 将

图 1-1-3-4 由图得 A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}, A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}. 点评:本类题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的集合,运算时常利用数轴来计算结 果. 变式训练 1.设 A={x|2x-4<2},B={x|2x-4>0},求 A∪B,A∩B. 答案:A∪B=R,A∩B={x|2<x<3}. 2.设 A={x|2x-4=2},B={x|2x-4=0},求 A∪B,A∩B.

答案:A∪B={3,2},A∩B= ? . 3.2007 惠州高三第一次调研考试,文 1 设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B 等于( A.[0,2] B.[1,2] C.[0,4] D.[1,4] 分析:在同一条数轴上表示出集合 A、B,如图 1135 所示.由图得 A∩B=[0,2].

)

图 1-1-3-5 答案:A 课本 P11 例 6、例 7. 思路 2 1.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则 A∩B,B∪C,A∩B∩C 分别是什么? 活动: 学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到, 那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关 键是找出它们的公共元素和所有元素. 解: A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图 1136 所示,所以 A∩B={x|0<x<5}, 因 B∪C={x|x>0},A∩B∩C= ? .

图 1-1-3-6 点评: 本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据 并集和交集的含义,借助于直观(数轴或 Venn 图)写出结果. 变式训练 1.设 A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求 A∩B,A∪B. 解:对任意 m∈A,则有 m=2n=2·n-1,n∈N*,因 n∈N*,故 n-1∈N,有 2n-1∈N,那么 m∈B, 2 即对任意 m∈A 有 m∈B,所以 A ? B. 而 10∈B 但 10 ? A,即 A B,那么 A∩B=A,A∪B=B. 2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合 B 的个数. 解:满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合 B 一定含有元素 3,B={3};还可含 1 或 2 其中一个,有 {1,3},{2,3};还可含 1 和 2,即{1,2,3},那么共有 4 个满足条件的集合 B. 3.设 A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9},求 a. 解:因 A∩B={9},则 9∈A,a-1=9 或 a2=9, a=10 或 a=± 3, 当 a=10 时,a-5=5,1-a=-9; 当 a=3 时,a-1=2 不合题意. 当 a=-3 时,a-1=-4 不合题意. 故 a=10,此时 A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足 A∩B={9}. 4.2006 北京高考,文 1 设集合 A={x|2x+1<3},B={x|-3<x<2},则 A∩B 等于 ( ) A.{x|-3<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>-3} D.{x|x<1} 分析:集合 A={x|2x+1<3}={x|x<1}, 观察或由数轴得 A∩B={x|-3<x<1}. 答案:A 2.设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值. 活动:

明确集合 A、B 中的元素,教师和学生共同探讨满足 A∩B=B 的集合 A、B 的关系.集合 A 是 方程 x2+4x=0 的解组成的集合,可以发现,B ? A,通过分类讨论集合 B 是否为空集来求 a 的值. 利用集合的表示法来认识集合 A、B 均是方程的解集,通过画 Venn 图发现集合 A、B 的关系, 从数轴上分析求得 a 的值. 解:由题意得 A={-4,0}.∵A∩B=B,∴B ? A.∴B= ? 或 B≠ ? . 当 B= ? 时,即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无实数解, 则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1. 当 B≠ ? 时,若集合 B 仅含有一个元素,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得 a=-1, 此时,B={x|x2=0}={0} ? A,即 a=-1 符合题意. 若集合 B 含有两个元素,则这两个元素是-4,0, 即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的解是-4,0. 则有 ?

?- 4 ? 0 ? -2(a ? 1),
2 ?- 4 ? 0 ? a - 1.

解得 a=1,则 a=1 符合题意. 综上所得,a=1 或 a≤-1. 变式训练 1.已知非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? (A∩B)成立的所有 a 值的集合 是什么?

?2a ? 1 ? 3a ? 5, ? 解:由题意知 A ? (A∩B),即 A ? B,A 非空,利用数轴得 ?2a ? 1 ? 3, 解得 6≤a≤9, ?3a ? 5 ? 22. ?
即所有 a 值的集合是{a|6≤a≤9}. 2.已知集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m-1},且 A∪B=A,试求实数 m 的取值范围. 分析:由 A∪B=A 得 B ? A,则有 B= ? 或 B≠ ? ,因此对集合 B 分类讨论. 解:∵A∪B=A,∴B ? A. 又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ? ,∴B= ? ,或 B≠ ? . 当 B= ? 时,有 m+1>2m-1,∴m<2. 当 B≠ ? 时,观察图 1-1-3-7:

图 1-1-3-7

?m ? 1 ? 2m ? 1, ? 由数轴可得 ?? 2 ? m ? 1, 解得-2≤m≤3. ? 2 m ? 1 ? 5. ?
综上所述,实数 m 的取值范围是 m<2 或-2≤m≤3,即 m≤3. 点评:本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的 运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示 法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想, 是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题. 知能训练 课本 P11 练习 1、2、3.

【补充练习】 1.设 a={3,5,6,8},B={4,5,7,8}, (1)求 A∩B,A∪B. (2)用适当的符号( ? 、 ? )填空: A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B. 解:(1)因 A、B 的公共元素为 5、8,故两集合的公共部分为 5、8, 则 A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}. 又 A、B 两集合的元素 3、4、5、6、7、8, 故 A∪B={3,4,5,6,7,8}. (2)由文氏图可知 A∩B ? A,B ? A∩B,A∪B ? A,A∪B ? B,A∩B ? A∪B. 2.设 A={x|x<5},B={x|x≥0},求 A∩B. 解:因 x<5 及 x≥0 的公共部分为 0≤x<5, 故 A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}. 3.设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},求 A∩B. 解:因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故 A、B 两集合没有公共部分. 所以 A∩B={x|x 是锐角三角形}∩{x|x 是钝角三角形}= ? . 4.设 A={x|x>-2},B={x|x≥3},求 A∪B. 解:在数轴上将 A、B 分别表示出来,得 A∪B={x|x>-2}. 5.设 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},求 A∪B. 解: 因矩形是平行四边形,故由 A 及 B 的元素组成的集合为 A∪B,A∪B={x|x 是平行四边形}. 6.已知 M={1},N={1,2},设 A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求 A∩B,A∪B. 分析:M、N 中元素是数.A、B 中元素是平面内点集,关键是找其元素. 解:∵M={1},N={1,2},则 A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故 A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2), (2,1)}. 7.2006 江苏高考,7 若 A、B、C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( ) A.A ? C B.C ? A C.A≠C D.A= ? 分析:思路一:∵(B∩C) ? B,(B∩C) ? C,A∪B=B∩C, ∴A∪B ? B,A∪B ? C.∴A ? B ? C.∴A ? C. 思路二:取满足条件的 A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除 B、D, 令 A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件 A∪B=B∩C, 而此时 A=C,排除 C. 答案:A 拓展提升 观察:(1)集合 A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B 这两个运算结果与集合 A,B 的关系; (2)当 A= ? 时,A∩B,A∪B 这两个运算结果与集合 A,B 的关系; (3)当 A=B={1,2}时,A∩B,A∪B 这两个运算结果与集合 A,B 的关系. 由(1)(2)(3)你发现了什么结论? 活动:依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合 A,B 的关系.用 Venn 图来 发现运算结果与集合 A,B 的关系.(1)(2)(3)中的集合 A,B 均满足 A ? B,用 Venn 图表示,如图 1138 所示,就可以发现 A∩B,A∪B 与集合 A,B 的关系.

图 1-1-3-8 解:A∩B=A ? A ? B ? A∪B=B. 可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下: A∪B=B∪A,A ? (A∪B),B ? (A∪B);A∪A=A,A∪ ? =A,A ? B ? A∪B=B; A∩B=B∩A;(A∩B) ? A,(A∩B) ? B;A∩A=A;A∩ ? = ? ;A ? B ? A∩B=A. 课堂小结 本节主要学习了: 1.集合的交集和并集. 2.通常借助于数轴或 Venn 图来求交集和并集. 作业 1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律? 2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义. 3.书面作业:课本 P12 习题 1.1A 组 6、7、8. 设计感想 由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练 习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或 Venn 图写出集合运算的结果,这是突破本节教 学难点的有效方法. 备课资料 [备选例题] 【例 1】 已知 A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N},B={y|y=-x2-2x+7,x∈R,y∈N},求 A∩B,并分别用描 述法、列举法表示它. 解:y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,A={y|y≥2,y∈N}, 又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8, ∴B={y|y≤8,y∈N}. 故 A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}. 【 例 2 】 2006 第 十 七 届 “ 希 望 杯 ” 全 国 数 学 邀 请 赛 ( 高 一 ) 第 一 试 ,1 设 S={(x,y)|xy>0},T={(x,y)|x>0 且 y>0},则( ) A.S∪T=S B.S∪T=T C.S∩T=S D.S∩T= ? 分析:S={(x,y)|xy>0}={(x,y)|x>0 且 y>0 或 x<0 且 y<0},则 T?S,所以 S∪T=S. 答案:A 【例 3】 某城镇有 1000 户居民,其中有 819 户有彩电,有 682 户有空调,有 535 户彩电和空调都 有,则彩电和空调至少有一种的有_______户. 解析:设这 1000 户居民组成集合 U,其中有彩电的组成集合 A,有空调的组成集合 B,如图 11317 所示.有彩电无空调的有 819-535=284 户;有空调无彩电的有 682-535=147 户,因此二者至少有 一种的有 284+147+535=966 户.填 966.

图 1-1-3-17

差集与补集 有两个集合 A、 B,如果集合 C 是由所有属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合,那么 C 就叫做 A 与 B 的差集,记作 A-B(或 A\B). 例如,A={a,b,c,d},B={c,d,e,f},C=A-B={a,b}. 也可以用韦恩图表示,如图 1-1-3-18 所示(阴影部分表示差集).

图 1-1-3-18 图 1-1-3-19 特殊情况,如果集合 B 是集合 I 的子集,我们把 I 看作全集,那么 I 与 B 的差集 I-B,叫做 B 在 I 中的补集,记作 B . 例如,I={1,2,3,4,5},B={1,2,3}, B =I-B={4,5}. 也可以用韦恩图表示,如图 11319 所示(阴影部分表示补集). 从集合的观点来看,非负整数的减法运算,就是已知两个不相交集合的并集的基数,以及其中 一个集合的基数,求另一个集合的基数,也可以看作是求集合 I 与它的子集 B 的差集的基数.


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