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(数学)江苏省泰州中学2016-2017学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含答案


江苏省泰州中学 2016-2017 学年高一上学期 第一次月考数学试题
第一次质量测试(数学)
一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x |1 ? x ? 2} , B ? {1, 2,3, 4} ,则 A ? B ? 2.函数 y ? 1 ? x ? .

x 的定义域为

. . . .

3.若函数 g ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ,则 g (3) 的值是 4.函数 y ? ? x ? 1 在区间 [ , 2] 上的最大值是 5. f ( x) ? x ? ax ? 1 为偶函数,则 a ?
2

1 2

6.在映射 f : A ? B 中,A ? B ? {( x, y ) | x, y ? R} , 且 f : ( x, y ) ? ( x ? y , x ? y ) , 则 A中 的元素 (?1, 2) 在 B 中对应的元素为
2



7.若函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上是增函数,则实数 m 的取值范围 为 .

8.已知函数 f ( x) ? ?

?3 x ? 2, x ? 1
2 ? x ? ax, x ? 1

,若 f ( f (0)) ? 3a ,则实数 a ?



9.已知 f ( x) ? ax 7 ? bx 5 ?

c ? 8 ,且 f (?2016) ? 10 ,那么 f (2016) ? x
2



10.函数 f ( x) ? 12 ? 4 x ? x 的单调递增区间为 11.函数 f ( x) ? 是 .



ax ? 1 ( a 为常数)在 (?2, 2) 内为增函数,则实数 a 的取值范围 x?2

12.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 为奇函数,且在 (??, 0) 内是减函数, f (?3) ? 0 ,则不等 式 xf ( x) ? 0 的解集为 .

1

?ax, x ? 1 ? 13.已知 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围 a (4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? ? 2
是 .

14.设函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c ,给出下列四个命题: ① c ? 0 时, f ( x) 是奇函数; ② b ? 0, c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ f ( x) 的图象关于 (0, c) 对称; ④方程 f ( x) ? 0 至多两个实根. 其中正确的命题是 . (填序号)

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x |1 ? x ? 6} , B ? {x | 2 ? x ? 9} . (1)分别求: A ? B , (CR B ) ? A ; (2)已知 C ? {x | a ? x ? a ? 1} ,若 C ? B ,求实数 a 的取值集合. 16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) . (1)求 f ( x ? 1) 的定义域;
2

(2)若函数 f ( x) 是 (?1,1) 上的减函数,且 f (1 ? t ) ? f (t ? 1) ,求 t 的取值范围.
2

17. (本小题满分 14 分) 某民营企业生产 A, B 两种产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润与投资成正比,其关 系如图甲, B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资单 位:万元).

2

(1)分别将 A, B 两种产品的利润表示为投资 x (万元)的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A, B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元? 18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? 0 ,对定义域内的任意 x1 , x2 都有

f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f (4) ? 1 .
(1)求证:函数 f ( x) 是偶函数; (2)求证: f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式: f (3 x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 . 19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x ? 2tx ? 2 ,其中 t ? R .
2

(1)若 t ? 1 ,求函数 f ( x) 在区间 [0, 4] 上的取值范围; (2)若 t ? 1 ,且对任意的 x ? [a, a ? 2] ,都有 f ( x) ? 5 ,求实数 a 的取值范围; (3)若对任意的 x1 , x2 ? [0, 4] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 8 ,求实数 t 的取值范围. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? a ) ? ?

1 ? 1(a ? R ) . x

(1)若 f ( x) 的定义域为 (??, a ) ? ( a, ??) ,求证: f ( x) ? f (2a ? x) ? ?2 对定义域内所 有 x 都成立; (2)当 f ( x) 的定义域为 [a ?

1 , a ? 1] 时,求 f ( x) 的值域; 2
3

(3) 若 f ( x) 的定义域为 (??, a ) ? ( a, ??) , 设函数 g ( x) ? x ? | ( x ? a ) f ( x) | , 当a ?
2

1 时, 2

求 g ( x) 的最小值.

试卷答案
一、填空题 1. {1, 2} 2.

[0,1]

3. 5

4.

1 2

5.0

6.

(?3, 2)
7. 11.

m ? ?16
a? 1 2

8. 4 12.

9. -26

10. [?6, ?2] 13.

(??, ?3] ? [3, ??) ? {0}

[4,8)

14.①②③

二、解答题 15.(1) A ? B ? (2, 6) , (CR B ) ? A ? {x | x ? 9或x ? 6} . (2)由 ?

?a ? 2 ,得 2 ? a ? 8 . ?a ? 1 ? 9

4

??1 ? 1 ? t ? 1 ? ∴ ? ?1 ? t 2 ? 1 ? 1 ?1 ? t ? t 2 ? 1 ?
解得: 0 ? t ? 1 . 17.(1)设投资为 x 万元, A 产品的利润为 f ( x) 万元, B 产品的利润为 g ( x) 万元 由题设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k2 x ,

1 1 5 5 ,故 k1 ? ,又 g (4) ? ,∴ k2 ? . 4 4 2 4 1 5 从而 f ( x) ? x( x ? 0) , g ( x) ? x ( x ? 0) . 4 4
由图知 f (1) ? (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10 ? x 万元,设企业利润为 y 万元

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?

1 5 x? 10 ? x (0 ? x ? 10) 4 4

10 ? t 2 5 1 5 65 令 t ? 10 ? x ,则 y ? ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16
5 65 时, ymax ? ,此时 x ? 3.75 . 2 16 7 1 1 18.(1)略; (2)略; (3) [? , ? ) ? ( ? ,3) ? (3,5] 3 3 3
当t ? 19.因为 f ( x) ? x ? 2tx ? 2 ? ( x ? t ) ? 2 ? t ,所以 f ( x) 在区间 (??, t ] 上单调减,在区间
2 2 2

[t , ??) 上单调增,且对任意的 x ? R ,都有 f (t ? x) ? f (t ? x) ,
(1)若 t ? 1 ,则 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1
2

f ( x) 在区间 [0, 4] 上的取值范围为 [1,10] .
(2) “对任意的 x ? [a, a ? 2] , 都有 f ( x) ? 5 ” 等价于 “在区间 [a, a ? 2] 上, [ f ( x)]max ? 5 ”

t ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1
所以 f ( x) 在区间 (??,1] 上单调减,在区间 [1, ??) 上单调增. 当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时,由 [ f ( x)]max ? f (a ? 2) ? ( a ? 1) 2 ? 1 ? 5 ,得

?3 ? a ? 1 ,从而 0 ? a ? 1 ;
当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时,由 [ f ( x)]max ? f (a ) ? ( a ? 1) 2 ? 1 ? 5 ,得 ?1 ? a ? 3 ,从而

5

?1 ? a ? 0 ,
综上, a 的取值范围为区间 [?1,1] . (3)设函数 f ( x) 在区间 [0, 4] 上的最大值为 M ,最小值为 m , 所以“对任意的 x1 , x2 ? [0, 4] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 8 ”等价于“ M ? m ? 8 ” ①当 t ? 0 时, M ? f (4) ? 18 ? 8t , m ? f (0) ? 2 . 由 M ? m ? 18 ? 8t ? 2 ? 16 ? 8t ? 8 ,得 t ? 1 从而 t ? ? ②当 0 ? t ? 2 时, M ? f (4) ? 18 ? 8t , m ? f (t ) ? 2 ? t
2 2 2 2

由 M ? m ? 18 ? 8t ? (2 ? t ) ? t ? 8t ? 16 ? (t ? 4) ? 8 ,得

4?2 2 ? t ? 4?2 2
从而, 4 ? 2 2 ? t ? 2 . ③当 2 ? t ? 4 时, M ? f (0) ? 2 , m ? f (t ) ? 2 ? t ,
2

由 M ? m ? 2 ? (2 ? t ) ? t ? 8 ,得 ?2 2 ? t ? 2 2 ,
2 2

从而 2 ? t ? 2 2 ④当 t ? 4 时,M ? f (0) ? 2 ,m ? f (4) ? 18 ? 8t , 由 M ? m ? 2 ? (18 ? 8t ) ? 8t ? 16 ? 8 , 得t ? 3. 从而, t ? ? 综上, a 的取值范围为区间 [4 ? 2 2, 2 2] .

1 ? 1(a ? R ) , x 1 ?1 ? x ? a ∴ f ( x) ? ? ?1 ? x?a x?a x ?1? a ∴ f ( x) ? (a?R 且 x ? a) a?x x ? 1 ? a 2a ? x ? 1 ? a x ? 1 ? a a ? x ? 1 ∴ f ( x) ? f (2a ? x) ? ? ? ? a?x a ? 2a ? x a?x x?a x ? 1 ? a ? a ? x ? 1 2( x ? a ) ? ? ? ?2 a?x a?x
20.(1)∵ f ( x ? a ) ? ?
6

1 1 1 ? x ? a ? 1 时, ?1 ? a ? x ? ? ,即 ?2 ? ? ?1 ,亦即 2 2 a?x 1 ?3 ? ?1 ? ? ?2 , a?x x ?1? a ∴ ?3 ? ? ?2 ,故 f ( x) 的值域为 [?3, ?2] . a?x
(2)当 a ?

1 3 ? ( x ? ) 2 ? ? a, x ? a ? 1 ? ? 2 4 2 (3) g ( x) ? x ? | x ? 1 ? a |? ? ( x ? a) 1 5 2 ?( x ? ) ? a ? , x ? a ? 1 ? ? 2 4
①当 x ? a ? 1 且 x ? a 时, g ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) 2 ? ∵a ?

1 2

3 ?a, 4

1 1 1 ,∴ a ? 1 ? ? ,即 a ? 时,函数在 [a ? 1, a ) 和 (a, ??) 上单调递增, 2 2 2

g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2
②当 x ? a ? 1 时, g ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) 2 ? a ? 如果 a ? 1 ?

1 2

5 , 4

1 3 , 即 a ? 时,g ( x) 在 (??, a ? 1] 上为减函数,g ( x) min ? g (a ? 1) ? (a ? 1) 2 . 2 2 1 3 1 5 如果 a ? 1 ? ,即 a ? 时, g ( x) min ? g ( ) ? a ? , 2 2 2 4 3 5 3 5 又因为当 a ? 时, (a ? 1) 2 ? ( a ? ) ? ( a ? ) 2 ? 0 ,即 (a ? 1) 2 ? a ? 2 4 2 4 1 3 2 综上所述,当 ? a ? 时, g ( x) 的最小值是 (a ? 1) ; 2 2 3 5 当 a ? 时, g ( x) 的最小值是 a ? . 2 4

7


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