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高一下学期期末数学试题(含答案)


数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 到 2 页,第Ⅱ卷 3 到 4 页,共 150 分,考 试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) o 1.cos660 的值为( ). A. ? 1

2

B. ? 3

2

C. 1

2

D. 3

2

2.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s
s

乙 8.8 3.6

丙 8.8 2.2

丁 8.7 5.4

8.3 3.5

从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是( ). A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 某全日制大学共有学生 5600 人,其中专科生有 1300 人,本科生有 3000 人,研究生有 1300 人,现采用分 层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本 为 280 人 , 则 应 在 专 科 生 、 本 科 生与研究生这三类学生中分别抽取( )人 . A.65,150,65 B.30,150,100 C.93,94,93 D.80,120,80 4. 对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是 ( ).

A.r 2 < r 4 < 0 < r 3 < r 1 C.r 4 < r 2 < 0 < r 3 < r 1

B.r 4 < r 2 < 0 < r 1 < r 3 D.r 2 < r 4 < 0 < r 1 < r 3

5. 已知 a ? (5, 4), b ? (3, 2) ,则与 2a ? 3b 平行的单位向量为 (

?

?

?

?

).

2 5) A. ( 5 ,

5 5 2 5) C. ( 5 , ? 2 5 )或(? 5 , 5 5 5 5

2 5 )或(? 5 , B. ( 5 , ? 2 5) 5 5 2 5] D. [ 5 , 5 5 5 5

6. 要得到函数 y= 2 cosx 的图象,只需将函数 y= 2 sin(2x+π ) 的图象上所有的点的 (

4

).

A. 横坐标缩短到原来的 1 倍 ( 纵坐标不变 ) ,再向左平行移动 π 个单位长度

2 2

8

B. 横坐标缩短到原来的 1 倍 ( 纵坐标不变 ) ,再向右平行移动 π 个单位长度

4

C. 横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ,再向左平行移动 π 个单位长度

4

D. 横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) , 再向右平行移动 π 个单位长度

8

7. 在如图所示的程序框图中,输入 A=192 , B=22 , 则输出的结果是 ( ). A.0 B.2 C.4 D.6 8. 己知 ?为锐角,且 2 tan( π ? α) ? 3 cos( π ? β) ? 5 ? 0 ,

2

tan( π ? α) ? 6 sin( π ? β) ? 1 ,则 sin ?的值是 (

).

A. 3 5 5

B. 3 7 7

C. 3 10 10

D. 1 3

9. 如图的程序框图,如果输入三个实数 a , b , c ,要求输 出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该 填入下面四个选项中的 ( ). A.c > x ? B.x > c ? C.c > b ? D.b > c ? 10. 在△ ABC 中, N 是 AC 边上一点,且 AN ? 1 NC , P 是 BN

?? ?

?? ?

2 ?? ? ?? ? 2 ?? ? 上的一点,若 AP ? mAB ? AC ,则实数 m 的值为 ( 9 A. 1 9 B. 1 3 C.1 D.3

).

11. 已知 f(x) 是定义在 (-3,3) 上的奇函数,当 0 < x < 3 时, 如图所示,那么不等式 f(x)cosx < 0 的解集是 ( ).

A.(?3, ? π ) ? (0, 1) ? ( π , 3) B.( ? π , ?1) ? (0, 1) ? ( π , 3) 2 2 2 2 C.(?3, ?1) ? (0, 1) ? (1, 3) D.( ?3, ? π ) ? (0, 1) ? (1, 3) 2
12. 关于 x 的方程 3 sin 2x ? cos 2x ? k ? 1 在 [0, π ] 内有相异两实根,

2

则 k 的取值范围为 ( ) A.(-3 , l) B.[0,1)

C.(-2 , 1)

D.(0,2)

第Ⅱ卷
二、填空题 ( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 ) 13. 若 sin(α ? π ) ? 4 ,则 cos(α ? π ) ? ____________.

3

5

6

14. 茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评

中的成绩,其中有一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ______. 15.如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,AP=3,点 Q 是△BCD 内(包括边界)的动点,则 AP ? AQ 的取 值范围是___________. 16. 给出下列说法: ①终边在 y 轴上的角的集合是 {α | α ? kπ , k ? Z}

?? ? ?? ?

2

②若函数 f(x)=asin2x+btanx+2,且 f(-3)=5,则 f(3)的值为-1 ③函数 y=ln|x-1|的图象与函数 y=-2cos?x(-2≤x≤4}的图像所有交点的横坐标之和等于 6,其中正确的说法 是__________〔写出所有正确说法的序号) 三、解答题 17.(本小题满分 10 分) 已知 | a |? 4, | b |? 3 . (1)若 a与b 的夹角为 60 ,求 (a ? 2b) ? (a ? 3b) ;
o

?

?

? ?
?

?

?

?

?

(2)若 (2a ? 3b) ? (2a ? b) =61,求 a与b 的夹角

?

? ?

? ?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) ? cos(2 x ? π ) ? 2 sin 2 x ,

3

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)若?为锐角,且 f( α ) ? 3 ,求 sin?的值.

2

4

19,(本小题满分 12 分) 某校从高一年级周末考试的学生中抽出 6O 名学生,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示: (1)依据频率分布直方图,估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (2) 已 知 在 [90 , 100] 段 的 学 生 的 成 绩 都 不 相 同 , 且 都 在 94 分 以 上 , 现 用 简 单 随 机 抽 样 方 法 , 从 95,96,97,98,99,100 这 6 个数中任取 2 个数,求这 2 个数恰好是两个学生的成绩的概率.

20.(本小题满分 12 分) 函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0,?>0,- π <?< π ,x∈R)的部分图象如图所示.

2

2

(1)求函数 y=f(x)的解析式;(2)当 x∈ [? π, ? π ] 时,求 f(x)的取值范围.

6

21.(本小题满分 12 分) 2 2 设有关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0. (l)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,t+1]任取的一个数,b 是从区间[0,t]任取的一个数,其中 t 满足 2≤t≤3,求方程有 实根的概率,并求出其概率的最大值.

22.(本小题满分 12 分) 已知 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数 f(x)=2sin(?x+?)(?>0, ? π <?<0)图象上的任意两点,且角?的终

2

边经过点 P(l,- 3 ),若|f(x1)-f(x2)|=4 时,|x1-x2|的最小值为 π .

3

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)当 x∈ [0, π ] 时,不等式 mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围。

6

答案
一、选择题 1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.B 11.B 12.B 二、填空题 13. ? 4

5
?

14. 4

5
?

15.[9,18]

16.②③

三、解答题 17.解:(1)∵ | a |? 4, | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 ,∴ a ? b ?| a | ? | b | ? cos 60o ? 6
o

? ?

? ?

?

?

∴ (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? b ? 6b ? ?44 ??????????????5 分 (2)∵ (2a ? 3b) ? (2a ? b)=4a ? 4a ? b ? 3b ? 37 ? 4a ? b ? 61 ,∴ a ? b ? ?6
o o o ∴ cos θ ? ?a ? b? ? ? 1 ,又 0 ≤?≤180 ,∴?=120 . ??????????10 分

?

?

?

?

?2 ? ? ?2

?2

?

?

? ?

? ?

?2

? ?

? ?

? ?

|a |?| b|

2

18.解:(1) f(x) ? cos(2 x ? π ) ? 2 sin 2 x ? cos 2 x cos π ? sin 2 xsin π ? (1 ? cos 2 x)

3

3

3

? 1 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 cos 2 x ? 1 2 2 2 2 ? sin(2 x ? π ) ? 1 6
所以 f(x)的最大值为 2,最小正周期???????????????6 分 (2)由 f( α ) ? sin(α ? π ) ? 1 ? 3 得 sin(α ? π ) ? ? 1

2

6

4

6

4

∵0<?< π ,∴- π <?- π < π , cos(α ? π ) ?

2

6

6

3

6

15 . 4
6 6

sin?=sin[(?- π )+ π ]=sin(?- π )cos π +cos(?- π )sin π = 15 ? 3 ??12 分

6

6

6

6

8

19.解:(1)由图知,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为 (0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80 所以,抽样学生成绩的合格率是 80%. 利用组中值估算抽样学生的平均分:

x =45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72
估计这次考试的平均分是 72 分??????????????????6 分 (2)从 95,96,97,98,99,100 中抽取 2 个数, 全部可能的基本事件有: (95, 96) , (95,97) , (95,98) , (95,99) , (95,100) , (96, 98) , (96,99) , (96,100) , (97,98) , (97,99) , (97,100) , (98,99) , (98,100) , (99,100) , 共 15 个基本事件. 如果这 2 个数恰好是两个学生的成绩,则这 2 个学生在[90,100]段,而[90,100]的人数是 3 人,不妨设这 3 人的成绩是 95,96,97. 则事件 A: “2 个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件: (95,96) , (95,97) , (96,97).共有 3 个基本

事件.所以所求的概率为 P(A)= 3 = 1 . ?????????12 分

15 5 2

20.解:(1)由图象得 A=1, T ? 2π ? π ? π ,所以 T=2?,则?=1.

4

3

6

将点( π ,1)代入得 sin( π +?)=1,而- π <?< π ,所以?= π ,

6

6

2

2

3

因此函数 f(x)=sin(x+ π ).????????????????6 分

3

(2)由于 x∈ [? π, ? π ] , - 2π ≤x+ π ≤ π ,所以-1≤sin(x+ π )≤ 1 ,

6

3

3

6

3

2

所以 f(x)的取值范围[-1, 1 ]. ?????????????????12 分

2

21.解:(1)总的基本事件有 12 个,即 a,b 构成的实数对(a,b)有(0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2).设事件 A 为“方程有实根”,包含的基本事件有(0, 0), (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2)共 9 个,所以事件 A 的概率为 P(A)= 9 = 3 ??????5 分

12 4

(2)a,b 构成的实数对(a,b)满足条件有 0≤a≤t+1,0≤b≤t,a≥b,设事件 B 为“方程有实根” ,则此事 件满足几何概型.

P(B) ?

S阴影 S矩形

(1 ? t ? 1) ? t 2 ? ? t ? 2 ? 1 (1 ? 1 ) ???????10 分 t(t ? 1) 2(t ? 1) 2 t ?1
4 t ?1 3 4 t ?1 3

∵2≤t≤3,∴3≤t+1≤4,即 1 ? 1 ? 1 ,所以 5 ? 1 ? 1 ? 4 即 5 ≤P(B)≤ 2 ,所以其概率的最大值为 2 . ???????????12 分

8

3

3

22.解:(1)角?的终边经过点 P(1,- 3 ),tan?=- 3 ,∵ ? π <?<0,∴?=- π .

2

3

由|f(x1)-f(x2)|=4 时,|x1-x2|的最小值为 π ,得 T= 2π ,即 2π = 2π ,∴?=3

3

3

ω

3

∴f(x)=2sin(3x- π )

3

??????????????????4 分

(2)令 ? π +2k?≤3x- π ≤ π +2k?,得 ? π + 2kπ ≤x≤ 5π + 2kπ ,k∈Z

2

3

2

18

3

18

3

∴函数 f(x)的单调递增区间为[ ? π + 2kπ , 5π + 2kπ ],k∈Z. ????7 分

18

3

18

3

(3)当 x∈ [0, π ] 时,- 3 ≤f(x)≤1,所以 2+f(x)>0,

6

mf(x)+2m≥f(x)等价于 m ?

f(x) ? 1? 2 . 2 ? f(x) 2 ? f(x)

由- 3 ≤f(x)≤1,得

f(x) 的最大值为 1 , 2 ? f(x) 3

所以实数 m 的取值范围是[ 1 ,+?).?????????????????12 分

3


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