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二次函数的图像(左右平移)


1 1 2 2 画出二次函数 y ? ? ? x ? 1? , y ? ? ? x ? 1? 2 2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.
x
1 ?x ? 1?2 2 1 2 y ? ? ?x ? 1? 2 y??

探究

的图象,

·· · ·· · ·· ·

>-3

-2

-2 1 ? 2

-1

0

-8 -4.5 -2

0 1 ? 2 1 ? 2

1

2

3

·· · ·· · ·· ·

-2 -4.5 -8 0
? 1 2

-2

-4

-2 -2 -4

2

4

-6

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

1 2 可以看出,抛物线 y ? ? ? x ? 1? 的开口向下,对称轴 2
是经过点(-1,0)且与x轴垂直的直线,我们把它记住

1 2 x=-1,顶点是(-1,0);抛物线 y ? ? ? x ? 1? 2 x=1 下 的开口向_________,对称轴是________________,顶点
(1,0) 是_________________.

1 2 1 1 2 y ? ? ? x ? 1? 与抛物线 y ? ? x 2 抛物线 y ? ? ? x ? 1? 2 2 2
有什么关系?

1 2 x 向左平移1个单位,就得到抛物 2 1 1 2 y ? ? x 2 向右平移1个单位,就得到抛物 线 y ? ? ? x ? 1? ;把抛物线 2 2
可以发现,把抛物线 y ? ?

线 y??

1 2 ? x ? 1? . 2

-4

-2 -2

2

4

1 2 y ? ? ? x ? 1? 2

-4 -6

y??

1 ?x ? 1?2 2

1 y ? ? x2 2

练习

在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象:

1 2 y? x 2

1 2 y ? ? x ? 2? 2

1 2 y ? ? x ? 2? 2

观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点.

抛物线 y = a ( x-h)2 的特点:

低 a>0时,开口________, 最 ____ 点是顶点; 高 向下 a<0时,开口________, 最 ____ 点是顶点; 直线 x = h 对称轴是 _____________, ( h,0 ) 顶点坐标是 __________。
演示

向上

复习

问题1 探究1 练习1 问题2

探究2 练习2

抛物线 y = 2(x+3)2

开口方向

对称轴

顶点坐标

向上
y = -3(x-1)2

直线x=-3 直线x=1 直线x=3

( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)

向下 向下

y = -4(x-3)2

顶点从(0,0)移到了 (0,–2),即x=0时, y取最大值–2

5 4 3 2 1

y

顶点从(0,0)移到了 (0, 2),即x=0时, y取最大值2

x 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y ? ? x ?2 –3 3 –4 –5

1 2 y ?? x ?2 3 1 2 y?? x 3

顶点从(0,0)移到了 5 (–2,0),即x= –2时, 4 y取最大值0 3 2 1

y

顶点从(0,0)移到了 (2,0),即x=2时, y取最大值0

x 1 2 3 4 5

1 –5 –42 –3 –2 –1 O –1 y ? ? ?x ? 2? 3 –2 –3 –4 –5

1 2 y ? ? ?x ? 2? 3 1 2 y?? x 3

向上 y轴
(0,0) y

向上 直线x=1
(1,0)
5 4 3 2 1

y=2x2

y=2(x–1)2
1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1O –1 –2

x

y

1 2 y ? ?x ? 2? 2

5 4 3 2 1

1 2 y? x 2

x

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4

1 2 3 4 5

二次函数y=a(x±h)2的图象和性质.

y=ax2

当向右平移h时 当向左平移h时

y=a(x-h)

2
2

y=a(x+h)

y=a(x+h)2的图象 低 向上 a>0时,开口_____, 最 ____ 点是顶点;
a<0时,开口_____, 最 ____ 点是顶点; 向下 高

对称轴是 直线x=-h , 顶点坐标是 (-h,0) 。

指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标

?1?y ? 2?x ? 3?

2

向上
2

直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)

(3,0)
(–1,0)

?2?y ? ?0.5?x ? 1?

向下 向下

3 2 ?3? y ? ? x ? 1 4

(0,–1)

?4?y ? 2?x ? 2? 2 ?5?y ? 0.5x

2

向上 向上

直线x=2
直线x=0 (Y轴)
直线x=0 (Y轴)

(2, 0)
(0,0)
(0,-3)

3 ?6? y ? ? x ? 3 4

向下

课堂练习 1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 y=0.5x2 先向 ( 左 )移2个单位得到。 2.已知s= –(x+1)2,当x为 –1 时,s取最 大 值 为 0 。 3.顶点坐标为(1,0),且经过(0,-1)的抛物线的函数 解析式是( D ) A.y=(x+1)2 C.y=(x–1)2 B. y= –(x+1)2 D. y= –(x–1)2

抛物线y=a(x+h)2的性质 -h (1)对称轴是直线x=_________

(-h、0) (2)顶点坐标是___________
(3)当a>0时,开口向上,在对称轴的左 减小 侧y随x的增大而_______;在对称轴的 右侧y随x的增大而________。 增大

(4)当a<0时,开口向下,在对称轴的 增大 左侧y随x的增大而_________;在对称轴 减小 的右侧y随x的增大而___________

抛物 上 1、函数y=2x2的图象是______线,开口向____, (0,0) y轴 对称轴是_____,顶点坐标是_______,当x=___ 0 0 小 时,函数有最____值为____;在对称轴左侧, y 减小 随x的增大而_______,在对称轴右侧, y随x的

增大 增大而_______。
下 2、函数y=-2x2+4的图象开口向____,对称轴是 (0,4) y轴 _____,顶点坐标是_______,当x=____时,函 0 大 数有最____值为____;当x<0时,y随x的增大而 4 增大 减小 _______,当x>0时, y随x的增大而_______。

下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____,对称轴 (-1,0) 是____________,顶点坐标是________,当 直线x=-1

大 < -1 0 -1 x=____时,函数有最____值为____;当x_____
> -1 时,y随x的增大而增大,当x_____时, y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4,y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同,_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到; 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。

y=

2 ax

+k

y = a(x – h
2 左右平移 ax

2 )

上下平移

y=

如何来求与坐标轴的交点?
求y=x2+2x-8与坐标轴的交点。


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