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指数运算和指数函数经典练习题


指数运算和指数函数
一、知识点
1.根式的性质 (1)当 n 为奇数时,有 n a n ? a (2)当 n 为偶数时,有 n a n ? a ? ? (3)负数没有偶次方根 2.幂的有关概念
n

?a, (a ? 0) ?? a, (a ? 0)

(4)零的任何正次方根都是零

(1)

正整数指数幂: a n ? a ? ?? ?? a(n ? N ?) ?a ? a..........? ? ... (2)零指数幂 a ? 1(a ? 0)
0

(3)负整数指数幂

a?p ?

1 (a ? 0. p ? N ?) ap

m

(4)正分数指数幂 (5)负分数指数幂

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N ?, 且n ? 1)
a
? m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N ?, 且n ? 1)

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1) a r ? a s ? a r ?s , (a ? 0, r, s ? Q) (3) (ab) ? a ? a , (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r s

(2) (a r ) s ? a rs , (a ? 0, r, s ? Q)

4.指数函数定义:函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数。
x

5. 指数函数的图象和性质

y ? ax

0 < a < 1

a > 1





定义域 值域 性 质 定点 单调性 对称性

R
(0 , +∞) 过定点(0,1) ,即 x = 0 时,y = 1 (1)a > 1,当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1。 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数

y ? a x 和 y ? a ? x 关于 y 轴对称

指数运算和指数函数
1.函数 y ? ( x ? 5) ? ( x ? 2) A. {x | x ? 5, x ? 2}
0 ? 1 2

的定义域 B. {x | x ? 2} D. {x | 2 ? x ? 5或x ? 5}





C. {x | x ? 5}

2.若指数函数 y ? a x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于 A.





1? 5 2

B.

?1? 5 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 2
( )

?2 ? x ? 1, x ? 0 ? 3.函数 f ( x) ? ? 1 ,满足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围 2 ?x , x ? 0 ? A. (?1,1) B. (?1,??) C. {x | x ? 0或x ? ?2} D. {x | x ? 1或x ? ?1} 2 1 ? x ? x?2 4.函数 y ? ( ) 得单调递增区间是 2 1 1 A. [?1, ] B. (??,?1] C. [2,??) D. [ , 2 ] 2 2 x ?x e ?e 5.已知 f ( x) ? ,则下列正确的是 2
A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数 二、填空题
2 3 1 2 1 2 1 3 1 5









B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

1 6、 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) =__________。 3
2 x 7 若函数 f ? x ? ? a ? 4 x ? 4 a 是指数函数,则 a =

?

?

. .

8.已知函数 f (x)的定义域是(1,2),则函数 f (2 ) 的定义域是 9.当 a>0 且 a≠1 时,函数 f (x)=a 三、解答题 10. (12 分)求函数 y ?
x-2

x

-3 必过定点

.

1 5
x x ?1

的定义域.

?1

11.画出函数 f ? x ? ? ?

?3? ? 的图像,并指出值域和单调区间。 ?2?

?| x|

12. (12 分)已知函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

13. (12分) (1)已知 f ( x ) ?

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 3 ?1
x

(2)画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3X-1|=k无 解?有一解?有两解?

a x ?1 14.已知函数 f(x)= x (a>0 且 a≠1). a ?1
(1)求 f(x)的定义域和值域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性.


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