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选修2-2第一章《导数及其应用》测试题


王志勇

选修 2-2 第一章《导数及其应用》基础测试题
姓名 班级 考号 成绩

1 1 A. [ , e 2 ] 2 2
10.下列式子不 正确的是( . A. 3x 2 ? x cos x

?

1 1 B. ( , e 2 ) 2 2
)

?

?

?

C. [1, e 2 ]

D. (1, e 2 )

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要 求的). 1.已知函数 f ( x) = x ? cos 2 x ,则 f ( x) 的导函数 f ?( x) = ( ). A. cos 2 x ? 2 x sin 2 x B. cos 2 x ? x sin 2 x C. cos 2 x ? 2 x sin 2 x
h ?0

?

?

? = 6 x ? cos x ? x sin x

B. ? ln x ?

? ?

1 ?? 1 2 ? = ? x2 ? x x3

D. cos 2 x ? x sin 2 x ). C. ? sin 2 x ?? = 2cos 2 x

2.已知函数 y= f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0∈ (a,b),则 lim A. f ? ? x0 ? B. ?2 f ? ? x0 ?

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) =( h
D. 0

D. ?

? sin x ?? cos x ? sin x ? = x2 ? x ?

C. 2 f ? ? x0 ?

11.设 f ( x ) , g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? 0 ,

3.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图 象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 C.3 个 4.设函数 f ( x) = A. x = B.2 个 D.4 个 ).

y

y = f ?( x)

且 g (?3) = 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是( A. (?3, 0)

). C. (??, ? 3)

(3, ? ?)

B. (?3, 0)

(0, 3)

(3, ? ?)

D. (??, ? 3)

(0, 3)
).

b

a
). B. x =

O

12.如果某物体以初速度 v(0) = 1 ,加速度 a(t ) = 2t 做直线运动,则质点在 t = 3 时的瞬时速度为(

x

2 ? ln x ,则( x

A.6 B .7 注:将选择题答案填入下表: 题号 1 2 3 答案

C.9 4 5 6 7 8 9

D.10 10 11 12

1 为 f ( x ) 的极大值点 2

1 为 f ( x ) 的极小值点 2

C. x = 2 为 f ( x ) 的极大值点
3

D. x = 2 为 f ( x ) 的极小值点 ). D. 0 ? b ?

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分). 13.垂直于直线 2x+6y+1=0 且与曲线 y = x +3x-5 相切的直线方程是 14.函数 f ( x ) =
3



5.函数 f ( x) = x ? 6bx ? 3b 在 (0, 1) 内有极小值,则( A. 0 ? b ? 1
3

B. b ? 1

C. b ? 0

1 2

x 的单调递减区间为 2? x

2

. . _.

15.若 f ( x) = x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 16.曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为_

6.曲线 y = x 在点 (2,8) 处的切线方程为( ) . A. y = 6 x ? 12 B. y = 12x ? 16 C. y = 8x ? 10 D. y = 2 x ? 32

7.在 R 上的可导函数 f ( x) =

b?2 的取值范围是( a ?1 1 A. ( ,1) 4
2

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c ,当 x ? (0,1) 取得极大值,当 x ? (1,2) 取得极小值,则 3 2

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分)
4 2 已知函数 f ( x) = ax ? bx ? c 的图像经过点 (0, 1) ,且在 x = 1 处的切线方程是 y = x ? 2 .

(Ⅰ) 求 y = f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 求 y = f ( x) 的单调区间.

) . B. ( ,1)

1 2

C. ( ?

1 1 , ) 2 4

D. ( ?

1 1 , ) 2 2

8.函数 y= a x +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a =( A.

)
D.1 ) .

1 8

B.

9.函数 f ( x) =

1 x ? e (sin x ? cos x) 在区间 [0, ] 的值域为( 2 2

1 4

C.

1 2

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王志勇

18.(本小题满分 12 分) 已知 a 为实数,且函数 f ( x) = ( x 2 ? 4)(x ? a) . (Ⅰ) 求导数 f ?( x) ; (Ⅱ) 若 f ?(?1) = 0 ,求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值和最小值.

21.(本小题满分 12 分)某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广
2 告费 t (百万元),可增加销售额约为 ?t ? 5t (百万元)( 0 ? t ? 5 ),现该公司准备共投入 300 万元,分别用于广

告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费 x (百万元),可增加的销售额约为 ? x ? x ? 3x (百万元) .为 使该公司由此获得的收益最大,求 x 的值.
3 2

19.(本小题满分 10 分)已知向量 a = ( x 2 , x ? 1),b = (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) = a ? b 在区间 (?1,1) 上是增函数, 求 t 的取值范围。 22.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) = (Ⅰ) 当 a =

ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax 2

4 时,求 f ( x ) 的极值点; 3

(Ⅱ) 若 f ( x ) 为 R 上无极值点,求 a 的取值范围.

20.已知 x = 1 是函数 f ( x) = mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 ,

(I)求 m 与 n 的关系式;

(II)求 f ( x) 的单调区间;

(III)当 x ???1,1? 时,函数 y = f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范 围.
(

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