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复变函数试题


伊犁师范学院数学系

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》模拟考试试题 复变函数》模拟考试试题
《复变函数》考试试题(一) 复变函数》考试试题(
判断题(4x10=40 分) : 一、 判断题 1、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 ( 2、有界整函数必在整个复平面为常数。 ( )
)



3、 若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 D 内连续, u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续。 则 ( ( 4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。 ) )

5、若 z0 是 f (z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f (z ) 的 m 阶极点。 ( 6、若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件,则 f(z)在 z0 解析。 ( 7、若 lim f ( z ) 存在且有限,则 z0 是函数的可去奇点。 ) (
z→ z0



8、 f(z)在单连通区域 D 内解析, 若 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ∫ f ( z )dz = 0 。
C



) )

9、若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数。 (

10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D

内恒等于常数。 (



二、填空题(4x5=20 分) 填空题
1、若 C 是单位圆周,n 是自然数,则 ∫

1 dz = __________。 C ( z ? z )n 0

2、设 f ( z ) = ( x 2 + 2 xy) + i (1 ? sin( x 2 + y 2 ), ?z = x + iy ∈ C ,则
z →1+ i

lim f ( z ) = _________。

3、设 f ( z ) =
+∞

1 ,则 f(z)的定义域为___________。 z +1
2

4、 ∑ nz n 的收敛半径为_________。
n =0

ez 5、 Res( n ,0) = _____________。 z
: 三、计算题(8x5=40 分) 计算题

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《复变函数》期末模拟试题

f ( z) =

1、设

1 ( z ? 1)( z ? 2) ,求 f (z ) 在 D = {z : 0 <| z |< 1} 内的罗朗展式。

2、求

∫e

z +1

| z | =1

sin zdz +

1 dz ∫| z|=3 ( z ? 1)( z ? 4) 2πi 。

3 3、求函数 sin(2 z ) 的幂级数展开式。

4、求 f ( z ) =

1 在 2 <| z |< +∞ 内的罗朗展式。 ( z ? 1)( z ? 2)

5、求 z 4 ? 5 z + 1 = 0 ,在|z|<1 内根的个数。

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(二) 复变函数》考试试题(
: 一、判断题(4x10=40 分) 判断题 1、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 连续。 ) ( 2、有界整函数必为常数。 ( ) ) ) )

3、若 {z n } 收敛,则 {Re zn } 与 {Im zn } 都收敛。(

4、若 f(z)在区域 D 内解析,且 f ' ( z ) ≡ 0 ,则 f ( z ) ≡ C (常数)( 。

( 5、若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 6、若 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件。 ( 7、若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析。 ) ( 8、若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析。 ( ) ) )

( 9、若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析。 10、cos z 与 sin z 的周期均为 2kπ 。 ( 二、填空题(4x5=20 分) 填空题 1、 )



dz = __________。 | z ? z0 | =1 ( z ? z ) n 0

2、设 f ( z ) =

1 ,则 f(z)的孤立奇点有__________。 z +1
2

3、若函数 f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________。 4、 sin z + cos z = _________。
2 2

5、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的 _____________。 : 三、计算题(8x5=40 分) 计算题 1、



1 dz. | z | =1 cos z

eiz 2、求 Res( , i ). 1+ z 2
? 2?i ? 3、 lim? ? . n →∞ ? 6 ?
n

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《复变函数》期末模拟试题

4、求 f ( z ) =

1 在 2 <| z |< +∞ 内的罗朗展式。 ( z ? 1)( z ? 2)

9 6 2 5、求 z ? 2 z + z ? 8 z ? 2 = 0 在|z|<1 内根的个数。

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(三) 复变函数》考试试题(
: 一、判断题(3x10=30 分) 判断题 1、若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f(z)在 z0 解析。 ) ( 2、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 ( 3、如 z0 是函数 f(z)的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在。(
z → z0

) )

4、若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析。 ) ( 5、若函数 f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在 D 内连续,则二元函数 u(x,y)与(x,y)。 ( 6、函数 sin z 与 cos z 在整个复平面内有界。 ( ) ) )

7、若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 ( 8、若 z0 是 f (z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f (z ) 的 m 阶极点。 (



9、存在整函数 f (z ) 将复平面映照为单位圆内部。 (



10、若函数 f(z)是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f(z)在区域 D 内为常数。 (



二、填空题(2x10=20 分) 填空题
1、若 zn =

n+2 1 + i (1 + ) n ,则 lim z n = __________。 n →∞ 1? n n

2、若 C 是单位圆周,n 是自然数,则 ∫

1 dz = __________。 C ( z ? z )n 0

3、函数 sin z 的周期为___________。 4、设 f ( z ) =


1 ,则 f (z ) 的孤立奇点有__________。 z +1
2

5、幂级数 ∑ nx n 的收敛半径为__________
n =0

6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 f ' ( z ) 的_____零点。 7 、若函数 f(z) 在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内 _________。 、 8、函数 f ( z ) =| z | 的不解析点之集为________。 9、 Res( e n ,0) = ____________,其中 n 为自然数。 z
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z

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《复变函数》期末模拟试题

10、公式 eix = cos x + i sin x 称为_____________. : 三、计算题(8x5=40 分) 计算题
1、设 f ( z ) = ∫ 3λ2 + 7λ + 1 dλ ,其中 C = {z :| z |= 3} ,试求 f ' (1 + i ). C λ?z 1 dz ∫| z|=3 ( z ? 1)( z ? 4) 。 2πi

2、求 ∫ e z +1 sin zdz +
| z | =1

ez 3、设 f ( z ) = 2 ,求 Re s ( f ( z ), ∞). z ?1
1

4、求函数 e z 在 0 <| z |< +∞ 内的罗朗展式。 5、求复数 w =
2

z ?1 的实部与虚部。 z +1
2

?1+ i ? ?1? i ? 6、求 ? ? +? ?. ? 2? ? 2?

: 四、证明题(6+7+7=20 分) 证明题
1、设 ∞ 是函数 f(z)的可去奇点且 lim f ( z ) = A ∈ C ,试证:
z →∞

Re s ( f ( z ), ∞) = ? lim z ( f ( z ) ? A) 。
z →∞

2、若整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且 f (0) = 0 ,则 f ( z ) ≡ 0(?z ∈ C ) 。 3、证明 z 4 ? 6 z + 3 = 0 方程在 1 <| z |< 2 内仅有 3 个根。

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(四) 复变函数》考试试题(
: 一、判断题(3x10=30 分) 判断题 1、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 ( ) )

lim ( 2、如果 z0 是 f(z)的本性奇点,则 z → z f ( z ) 一定不存在。
0

3、若 lim f ( z ) 存在且有限,则 z0 是 f(z)的可去奇点。(
z → z0

)

4、若函数 f(z)在 z0 可导,则它在该点解析。 (

) ) ) )

5、若数列 {zn } 收敛,则 {Re zn } 与 {Im z n } 都收敛。 ( 6、若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析。 (

7、若幂级数的收敛半径大于 0,则其和函数必在收敛圆内解析。 ( 8、存在整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部。 ( )

9、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数,且在 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z) 在区域 D 内恒等于常数。 ( 10、 | sin z |≤ 1(?z ∈ C ) 。 ( 二、填空题(2x10=20 分) 填空题
1、函数 ez 的周期为__________。 2、幂级数
+∞

) )

∑ nz
n =0

n

的和函数为__________。

3、函数 ez 的周期为__________。 1 4、设 f ( z ) = ,则 f (z ) 的孤立奇点有__________。 1 + z2 的收敛半径为_________。

5、幂级数 ∑ nx n 的和函数为____________。
n =0



6 、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的 _____________。 z + z + ... + zn 7、若 lim zn = ξ ,则 lim 1 2 = ______________。 n →∞ n →∞ n
ez 8、 Re s ( n ,0) = ________,其中 n 为自然数。 z 9、方程 2 z 5 ? z 3 + 3 z + 8 = 0 在单位圆内的零点个数为________。

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《复变函数》期末模拟试题

1 的幂级数展开式为__________。 1 + z2 计算题 : 三、计算题(5x6=30 分)

10、函数 f ( z ) =

1、 ∫

|z|= 2

z dz. (9 ? z )( z + i )
2

e iz 2、求 Res( , i ). 1+ z2

? 2?i ? 3、 lim? ? . n →∞ ? 6 ?
n
1

4、求函数 e z 在 0 <| z |< +∞ 内的罗朗展式。
5、求方程 z 8 ? 4 z 5 + z 2 = 1 在单位圆内零点的个数。

?1+ i ? 6、求 lim ? ? 。 n →∞ ? 2 ?
n

四、证明题(6+7+7=20 分) 证明题
1、设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z ) 在 D

内解析。
2 、 如 果 函 数 f (z ) 在 D = {z :| z |≤ 1} 上 解 析 , 且 | f ( z ) |≤ 1(| z |= 1) , 则 | f ( z ) |≤ 1(| z |≤ 1) 。 3、设方程 z 8 ? 4 z 5 + z 2 ? 1 = 0 证明:在开单位圆内根的个数为 5。

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(五) 复变函数》考试试题(
: 一、判断题(3x10=30 分) 判断题 1、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 连续。 ) ( 2、若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f(z)在 z0 解析。 ) ( 3、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件。( 4、若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则 f ' ( z ) ≠ 0(?z ∈ D ) 。 ( ) )

5、 f(z)在单连通区域 D 内解析, 若 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ∫ f ( z )dz = 0 。
C



) )
C

( 6、若 f(z)在区域 D 内解析,则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ∫ f ( z )dz = 0 。
7、若 f ' ( z ) ≠ 0(?z ∈ D ) ,则函数 f(z)在是 D 内的单叶函数。 ( 8、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 (





9、如果函数 f(z)在 D = {z :| z |≤ 1} 上解析,且 | f ( z ) |≤ 1(| z |= 1) ,

则 | f ( z ) |≤ 1(| z |≤ 1) 。 (
10、 | sin z |≤ 1(?z ∈ C ) 。 (





二、填空题(2x10=20 分) 填空题
1、若 zn =

n+2 1 + i (1 + ) n ,则 lim zn = __________。 z → +∞ 1? n n 1 2、设 f ( z ) = 2 ,则 f (z ) 的定义域为__________。 z +1

3、函数 sin z 的周期为___________。 4、 sin 2 z + cos 2 z = ________。 5、幂级数 ∑ nz n 的收敛半径为_____________。
n =0 +∞

6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>1,则 z0 是 f ' ( z ) 的______零点。 7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析,则称它是_______。 8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为__________。 9、方程 2 z 5 ? z 3 + 3 z + 8 = 0 在单位圆内的零点个数为_________。

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《复变函数》期末模拟试题

10、公式 eix = cos x + i sin x 称为__________。 : 三、计算题(5x6=30 分) 计算题
?2?i? 1、 lim ? ?. n →∞ ? 6 ?
n

2、设 f ( z ) = ∫

3λ2 + 7λ + 1 dλ ,其中 C = {z :| z |= 3} ,试求 f ' (1 + i ). C λ?z

ez 3、设 f ( z ) = 2 ,求 Re s ( f ( z ), i ). z +1
4、求函数 sin z 3 在 0 <| z |< ∞ 内的罗朗展式。 z6
z ?1 的实部与虚部。 z +1

5、求复数 w =
6、求 e
? i 3

π

的值。

四、证明题(6+7+7=20 分) 证明题
1、方程 z 7 + 9 z 6 + 6 z 3 ? 1 = 0 在单位圆内的根的个数为 6。 2、若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在区域 D 内解析, v(x,y) 等于常数,则 f ( x) 在 D 内恒等于常数。 3、若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点。

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(六) 复变函数》考试试题(
一、判断题(3x8=24 分) 判断题 1、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 ( ) )

2、若函数 f(z)在 z0 处解析,则 f(z)在 z0 满足 Cauchy-Riemann 条件。 ( 3、如果 z0 是 f(z)的可去奇点,则 lim f ( z ) 一定存在且等于零。(
z→ z0

)

4、若函数 f(z)是区域 D 内的单叶函数,则 f ' ( z ) ≠ 0(?z ∈ D ) 。 (

) )

( 5、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数。

6、若函数 f(z)在区域 D 内的解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D 内

恒等于常数。 (

) )

7、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 ( 8、 | sin z |≤ 1(?z ∈ C ) 。 (



二、填空题(2x10=20 分) 填空题
1、若 zn = sin

1 1 + i (1 + )n ,则 lim zn = __________。 n →+∞ 1? n n z 2、设 f ( z ) = 2 ,则 f (z ) 的定义域为__________。 z +1

3、函数 e z 的周期为___________。 4、 sin 2 z + cos 2 z = ________。 5、幂级数 ∑ n 2 z n 的收敛半径为_____________。
2

+∞

n =0

6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>1,则 z0 是 f ' ( z ) 的______零点。 7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析,则称它是_______。 8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为__________。 9、方程 3 z 8 ? z 3 + 3 z + 8 = 0 在单位圆内的零点个数为_________。

ez 10、 Res( n ,0) = _____________。 z
三、计算题(5x6=30 分) 计算题

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《复变函数》期末模拟试题

?1+ i ? ?1? i ? 1、求 ? ? +? ?. ? 2? ? 2? 2、设 f ( z ) = ∫
3、设 f ( z ) =

2

2

3λ2 + 7λ + 1 dλ ,其中 C = {z :| z |= 3} ,试求 f ' (1 + i ). C λ?z

ez ,求 Re s ( f ( z ),0). z2

4、求函数

z 在 1 <| z |< 2 内的罗朗展式。 ( z ? 1)( z ? 2)

5、求复数 w =

z ?1 的实部与虚部。 z +1 2π dx 6、利用留数定理计算积分: ∫ , (a > 1). 0 a + cos x

四、证明题(6+7+7=20 分) 证明题
1、方程 24 z 7 + 9 z 6 + 6 z 3 + z 3 + 1 = 0 在单位圆内的根的个数为 7。 2、若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在区域 D 内解析, | f ( z ) | 等于常数,则 f ( z ) 在 D 内恒等于常数。 3、若 z0 是 f (z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f (z ) 的 m 阶极点。

五、计算题(10 分) 计算题 求一个单叶函数,去将 z 平面上的上半单位圆盘 {z :| z |< 1, Im z > 0} 保形映射为 w 平面的单位圆盘 {w :| w |< 1} 。

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(七) 复变函数》考试试题(
判断题( x10=2 一、 判断题(2x10=20 分) 1、若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析。 ) ( 2、若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件,则 f(z)在 z0 解析。 ) ( 3、如果 z0 是 f(z)的极点,则 lim f ( z ) 一定存在且等于无穷大。(
z→ z 0

)

若 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ∫ f ( z )dz = 0 。 4、 f(z)在单连通区域 D 内解析,
C



) )

5、若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 (
C

6、 f(z)在单连通区域 D 内解析, 若 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ∫ f ( z )dz = 0 。





7、若函数 f(z)在区域 D 内的解析,且在 D 内某一条曲线上恒为常数,则 f(z)在

区域 D 内恒等于常数。 (

) )

8、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 (

9、 如果函数 f(z)在 D = {z :| z |≤ 1} 上解析, | f ( z ) |≤ 1(| z |= 1) , | f ( z ) |≤ 1(| z |≤ 1) 。 且 则




z →∞

( 10、 lim e z = ∞ 。



二、填空题(2x10=20 分) 填空题 10=20 =2 n 2 1、若 zn = sin + i (1 ? )n ,则 lim zn = __________。 z → +∞ 1+ n n 1 2、设 f ( z ) = ,则 f (z ) 的定义域为__________。 sin z 3、函数 sin z 的周期为___________。
4、 sin 2 z + cos 2 z = ________。 5、幂级数 ∑ nz n 的收敛半径为_____________。
n =0 +∞

6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>1,则 z0 是 f ' ( z ) 的______零点。 7、若函数 f(z)在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是_______。 8、函数 f ( z ) = z 的不解析点之集为__________。
9、方程 20 z 8 ? 11z 3 + 3 z + 5 = 0 在单位圆内的零点个数为_________。
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《复变函数》期末模拟试题

10、 Res(

ez ,1) = _____________。 z 2 ?1

三、计算题(5x6=30 分) 计算题
?2?i? 1、 lim ? ?. n →∞ ? 6 ?
n

2、设 f ( z ) = ∫
3、设 f ( z ) =

3λ2 + 7λ + 1 dλ ,其中 C = {z :| z |= 3} ,试求 f ' (1 + i ). C λ?z

ez ,求 Re s ( f ( z ), ±i ). z2 +1

4、求函数

z 在 1 <| z |< 2 内的罗朗展式。 ( z ? 1)( z ? 2)

5、求复数 w =

z ?1 的实部与虚部。 z +1
+∞ ?∞

6、利用留数定理计算积分 ∫

x2 ? x + 2 dx 。 x 4 + 10 x 2 + 9

四、证明题(6+7+7=20 分) 证明题(
1、方程 z 7 + 9 z 6 + 6 z 3 ? 1 = 0 在单位圆内的根的个数为 6。 2、若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在区域 D 内解析, u ( x, y ) 等于常数,则 f ( z ) 在 D 内恒等于常数。 3、若 z0 是 f (z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f (z ) 的 m 阶极点。

五、计算题(10 分) 计算题( 求一个单叶函数,去将 z 平面上的带形区域 {z : 的单位圆盘 {w :| w |< 1} 。

π
2

< Im z < π } 保形映射为 w 平面

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(八) 复变函数》考试试题(
判断题( : 二、 判断题(4x10=40 分) 1、若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 ( 2、如果 z0 是 f(z)的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在。 (
z→ z0

) )
)

若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 D 内连续, u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续。 则 ( 3、
4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。 (

) )

5、若 z0 是 f (z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f (z ) 的 m 阶极点。 ( 6、若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件,则 f(z)在 z0 解析。 (
z→ z0



7、若 lim f ( z ) 存在且有限,则 z0 是函数的可去奇点。 ) (

若 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 ∫ f ( z )dz = 0 。 8、 f(z)在单连通区域 D 内解析,
C



) )

9、若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数,则它在 D 内有任意阶导数。 (

10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析,且在 D 内某个圆内恒为常数,则在区域 D

内恒等于常数。 (



二、填空题(4x5=20 分) 填空题 1、函数 ez 的周期为__________。
2、幂级数 ∑ nz n 的和函数为__________。
n =0 +∞

3、设 f ( z ) =
+∞

1 ,则 f(z)的定义域为___________。 z +1
2

4、 ∑ nz n 的收敛半径为_________。
n =0

5、 Res(

ez ,0) = _____________。 zn

三、计算题(8x5=40 分) 计算题 :
1、 ∫

z dz. | z| = 2 (9 ? z )( z + i )
2

2、求

Res

(

e iz 1 + z

2

, ? i ).

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《复变函数》期末模拟试题

?1+ i ? ? ? 3、 ? 2 ?

n

?1? i ? + ? ? 2 ? 。 ?

n

4

设 u ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ) 。求 v( x, y ) ,使得 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 为解析函数, 且满足 f (1 + i ) = ln 2 。其中 z ∈ D (D 为复平面内的区域) 。

4 5、求 z ? 5 z + 1 = 0 ,在|z|<1 内根的个数

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题(九) 复变函数》考试试题(
(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,2 × 5=10 分) 一、判断题。 判断题。 1.当复数 z = 0 时,其模为零,辐角也为零。 ( )

2. z 0 是多项式 P ( z ) = a n z n + a n?1 z n?1 + ? ? ? + a 0( a n ≠ 0 ) 若 的根, z 0 也是 P (z ) 则

的根。





3.如果函数 f (z ) 为整函数,且存在实数 M ,使得 Re f ( z ) < M ,则 f ( z ) 为

一常数。





4.设函数 f 1 ( z ) 与 f 2 ( z ) 在区域 D 内解析,且在 D 内的一小段弧上相等,

则对任意的 z ∈ D ,有 f 1 ( z ) ≡ f 2 ( z ) 。
5.若 z = ∞ 是函数 f ( z ) 的可去奇点,则 Re s f ( z ) = 0 。
z =∞

( (

) )

二、填空题(每题 2 分) 填空题
1. i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5 ? i 6 = ____ 。 2.设 z = x + iy ≠ 0 ,且 ? π < arg z ≤ π , ?

π
2

< arctan

y π < ,当 x < 0, y > 0 时, x 2

y + _______ 。 x 1 3 . 函 数 w = 将 z 平 面 上 的 曲 线 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 变 成 w 平 面 上 的 曲 线 z arg z = arctan

__________ 。
4.方程 z 4 + a 4 = 0(a > 0) 的不同的根为 ________________________ 。 5. (1 + i ) i __________________________________ 。 6.级数 ∑ [2 + (?1) n ]z n 的收敛半径为 ________________________ 。
n =0 ∞

7. cos nz 在 | z |< n (n 为正整数)内零点的个数为 ________________________ 。 8.函数 f ( z ) = 6 sin z 3 + z 3 ( z 6 ? 6) 的零点 z = 0 的阶数为 ______ 。 9.设 a 为函数 f ( z ) =

? ( z) 的一阶极点,且 ? (a ) ≠ 0,ψ (a ) = 0,ψ ′(a ) ≠ 0 ,则 ψ ( z)

54

伊犁师范学院数学系

《复变函数》期末模拟试题

Re s f ( z ) = ___________________ 。
z =a

10.设 a 为函数 f (z ) 的 m 阶极点,则 Re s
z =a

f ′( z ) = ___________________ 。 f ( z)

( 三、计算题。 50 分) 计算题。
1.设 u ( x, y ) =

1 ln( x 2 + y 2 ) 。求 v( x, y ) ,使得 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 为解析函数, 2 1 且满足 f (1 + i ) = ln 2 。其中 z ∈ D (D 为复平面内的区域)(15 分) 。 2

。 2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶)(10 分)

(1) tan 2 z ; (5 分) ( 3.计算下列积分。 15 分)

(2 )

e 。 5 分) ( ez ?1

1 z ?1

z 19 π dθ dz (8 分) (2) ∫ (1) ∫| z| = 4 2 , (7 分) 。 4 4 3 0 1 + cos 2 θ ( z + 1) ( z + 2)
( 4.叙述儒歇定理并讨论方程 z 7 ? 5 z 4 + z 2 ? 2 = 0 在 | z |< 1 内根的个数。 10 分) ( 四.证明题。 20 分) 证明题。
1.设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是上半复平面内的解析函数,证明 f ( z ) 是下半复平

面内的解析函数。 10 分) (
2.设函数 f ( z ) 在 | z |< R 内解析,令 M (r ) = max | f ( z ) |, (0 ≤ r < R) 。证明:M (r )
| z|=r

在区间 [0, R ) 上是 一个 上升 函数, 且若 存在 r1 及 r2 ( 0 ≤ r1 < r2 < R ) ,使

M (r1 ) = M (r2 ) ,则 f ( z ) ≡ 常数。 10 分) (

55

伊犁师范学院数学系

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》试卷(十) 复变函数》试卷(
一、填空题。(每题 2 分) 填空题。 1、设 z = r (cos θ + i sin θ ) ,则
1 = _________________ 。 z

2、设 函 数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) , A = u 0 + iv0 , z 0 = x0 + iy 0 , 则
z → z0

lim f ( z ) = A 的充要条件是 ___________________________ 。

3、设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析, f ( z ) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线 则
C 的积分 ∫ f ( z )dz = _______ 。
C

4、设 z = a 为 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) = ______ 。
z →a

5、设 f ( z ) = z sin z ,则 z = 0 是 f ( z ) 的 ______ 阶零点。
6、设 f ( z ) = 1 , 则 f ( z) 在 z = 0 的 邻 域 内 的 泰 勒 展 式 为 1+ z2

_______________________ 。
7、设 | z ? a | + | z + a |= b ,其中 a, b 为正常数,则点 z 的轨迹曲线是 ______ 。 8、设 z = ? sin
π

π
6

? i cos

π
6

,则 z 的三角表示式为 __________________ 。

9、 ∫ 4 z cos zdz = ___________________ 。
0

10、 设 f ( z ) =

e?z ,则 f ( z ) 在 z = 0 处的留数为 _________ 。 z2

二、计算题。 计算题。
1、计算下列各题。(9 分) (1)

cos i ;

(2)

ln(?2 + 3i ) ;

(3)

3 3? i

2、求解方程 z 3 + 8 = 0 。(7 分) 3、设 u = x 2 ? y 2 + xy ,验证 u 是调和函数,并求解析函数 f ( z ) = u + iv ,使之
f (i ) = ?1 + i 。(8 分)

4、计算积分。(10 分)
56

伊犁师范学院数学系

《复变函数》期末模拟试题

(1)
(2)

∫ (x
C

2

+ iy )dz ,其中 C 是沿 y = x 2 由原点到点 z = 1 + i 的曲线。



1+ i

0

[( x ? y ) + ix 2 ]dz 。积分路径为自原点沿虚轴到 i ,再由 i 沿水平方向向

右到 1 + i 。
5、试将函数 f ( z ) = 1 分别在圆环域 0 <| z |< 1 和 1 <| z |< 2 内展开为洛 ( z ? 1)( z ? 2)

朗级数。(8 分)
6、计算下列积分。(8 分) (1)

5z ? 2 ∫|z|=2 z( z ? 1) 2 dz ;
+∞

(2)

sin 2 z ∫|z|=4 z 2 ( z ? 1)dz .

7、计算积分 ∫

x2 dx 。(8 分) ?∞ 1 + x 4

8、求下列幂级数的收敛半径。(6 分)

(1 )

∑ nz
n =1



n ?1

(?1) n n z (2 ) ∑ n! n=1


9、讨论 f ( z ) =| z | 2 的可导性和解析性。(6 分)

证明题。 三、 证明题。
1、设函数 f (z ) 在区域 D 内解析, | f ( z ) | 为常数,证明 f (z ) 必为常数。(5 分) 2、试证明 az + a z + b = 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数。(5 分)

57

伊犁师范学院数学系

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试卷(十一) 复变函数》考试试卷(
一、填空题。(每题 2 分) 填空题。 1、设 z = r (cos θ + i sin θ ) ,则 z n = _________________ 。
2 、 设 函 数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) , A = u 0 + iv0 , z 0 = x0 + iy 0 , 则
z → z0

lim f ( z ) = A 的充要条件是 ___________________________ 。

3、设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,则 f ( z ) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线
C 的积分 ∫ f ( z )dz = _______ 。
C

4、设 z = a 为 f ( z ) 的可去奇点,则 lim f ( z ) 为。
z→ a

5、设 f ( z ) = z 2 (e z ? 1) ,则 z = 0 是 f ( z ) 的 ______ 阶零点。
2

6 、 设 f ( z) =

1 , 则 f (z ) 在 z = 0 的 邻 域 内 的 泰 勒 展 式 为 1? z2

_______________________ 。
7、设 | z ? a | + | z + a |= b ,其中 a, b 为正常数,则点 z 的轨迹曲线是 ______ 。 8、设 z = sin α + i cos α ,则 z 的三角表示式为 __________________ 。 9、 ∫ ze z dz = ___________________ 。
1 1+ i

1 10、设 f ( z ) = z 2 sin ,则 f ( z ) 在 z = 0 处的留数为 _________ 。 z

二、计算题。 计算题。
1、计算下列各题。(9 分) (1) 2
Ln(?3 + 4i ) ;

(2)

e

?1+

πi
6

;

(3)

(1 ? i )1+i

求解方程 z 3 + 2 = 0 。(7 分)

3 设 u = 2( x ? 1) y , 验 证 u 是 调 和 函 数 , 并 求 解 析 函 数 f ( z ) = u + iv , 使 之
f (2) = ?i 。(8 分)

4、计算积分 ∫ [( x ? y ) + ix 2 ]dz 。积分路径为(1)自原点到 1 + i 的直线段;(2) 自
0

1+ i

原点沿虚轴到 i ,再由 i 沿水平方向向右到 1 + i 。(10 分)
58

伊犁师范学院数学系

《复变函数》期末模拟试题

5、试求 f ( z ) =

1 在 z = ?1 的邻域内的泰勒展开式。(8 分) z?2

6、计算下列积分。(8 分) (1)



sin z (z ?

| z| = 2

π
2

dz ; )2

(2)

z2 ? 2 ∫|z|=4 z 2 ( z ? 3)dz .

7、计算积分 ∫



0

dθ 。(6 分) 5 + 3 cos θ

8、求下列幂级数的收敛半径。(6 分)

(1)

∑ (1 + i)
n =0



n

z

n

(n!) 2 n z (2) ∑ nn n=1



9、设 f ( z ) = my 3 + nx 2 y + i ( x 3 + lxy 2 ) 为复平面上的解析函数,试确定 l , m, n 的值。
(8 分)

证明题。 三、 证明题。
1 设函数 f (z ) 在区域 D 内解析, f (z ) 在区域 D 内也解析,证明 f (z ) 必为常数。

(5 分) 2 试证明 az + a z + b = 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数。(5 分)

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