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广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学(文)


广东省深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试 数 学 (文科) 2013.01.16
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:
1、答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位 置填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏填写自己的考号,并用 2B 铅 笔填涂相应的信息点. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上, 请注意每题答题空间, 预先合理安排. 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损.考试结束后,将答题卡交回. 5、考试不可以使用计算器.

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上. .................. 1、已知全集 U={x∈N*|x<6},A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)等于 A. {1,4} B. {1,5} C.{2,4} D.{2,5} 2、若复数 i· z=1-2i,则 z= A. 2-i B.-2-i C.1+2i D.1-2i 3、如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都 主视图 左视图 是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆, 那么这个几何体的全面积为 A.4π ? B. 2 π 第3题图 3 C.3π D. ? 俯视图

2

4、已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则这个等比 数列的公比是 A.2 B.0.5 C. 3 D. 4 5、阅读右侧程序框图,为使输出的数据为 31,则处应填写的数字为 A.5 B.4 C.6 D.7

开 始 S=1,i=1 否 i<① 是 S=S+2i i=i+1

输出S 结 束 第5题图

π 6、如右图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+Φ )(ω>0, < ? < π )的部分图像,其中 A,B 2
两点之间的距离为 5,那么 f(-1)= A.2 B. 3 A y 2 1 O -2 第6题图 B x C. ? 3 D.-2 7、直线 ax-y+2a=0 与圆 x2+y2=9 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
1

8、已知 O 为坐标原点,点 M 坐标为(-2,1),

?x ? 0 ? 在平面区域 ? x + y ? 2 上取一点 N,则使|MN|为最小值时,点 N 的坐标是 ?y ? 0 ?
A.(0,0) B. (0,1) C. (0,2) y y D. (2,0)

1 2 9、函数 f(x) = lnx ? x 的图像大致是 2 y y
O x O x

O C

x O x D

?f(2) ? 12 10、已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4. 记函数满足 ? 的事件为 A, ?f(?1) ? 3
则事件 A 的概率为

A

B

A.

5 8

B.

1 2

C.

3 8

D.

1 4

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一题作答,多选的按第 14 小题给分,每 小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上. 11、不等式 6x2+x-1<0 的解集是 . 12、已知向量 a ? (1 2) , b ? (x, 4) ,若 a / /b ,则 a ? b , ? 13、已知函数 f(x)、g(x)分别有下表给出: x f(x) 1 1 2 3 3 3 x g(x) 1 3 2 2 3 1

r

r

r

r

r r

.

则 f[g(1)]的值为 ;满足的 f[g(x)]>g[f(x)]的值是____. 14、(坐标系与参数方程选讲选做题) 若点 P(3,m),在以点 F 为焦点的抛物线 ? 15、(几何证明选讲选做题) 如右图, O 是半圆的圆心,直径 AB ? 2 6 , A PB 是圆的一条切线,割线 PA 与半圆交于点 C, B O 第15题图 AC=4,则 PB=____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) = sinx + acos
2

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t 为参数)上,则|PF|= P C

.

x ? ,a 为常数,a∈R,且 x = 是方程 f(x)=0 的解. 2 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[0,π],求函数 f(x)的值域.

2

17、(本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩 均不低于 49 分的整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100)后得到如图的频率分布 直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名 学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 频率/组距 a 0.025 0.020

0.010 0.005 40 50 60 80 70 第17题图 90 100 (分数)

18、(本小题满分 14 分) 如右图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,CC1⊥平面 ABC,BC=4,AB=5,A A1=4, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1//平面 CDB1; (3)求三棱锥 C1- CDB1 的体积. C1 B1

A1

C A D

B

3

19、(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项 和为 Sn,点(n,Sn)( n∈N*)均在函数 y=f(x)的图像上. (1)求二次函数 y=f(x)的表达式; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 b n =

m 3 ,Tn 是数列{bn}前 n 项的和,求使得 Tn < 对所有 n∈N*都成立的 20 a n a n+1

最小正整数 m.

20、(本小题满分 14 分) 矩形 ABCD 的两条对角线相较于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (3)若动圆 P 过点 N(-2,0),且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程.

4

21、(本小题满分 14 分) 设函数 y=f(x)在(a,b)上的导函数为 f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为 f′′(x), 若在(a,b)上,f′(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在(a,b)上为“凸函数” ,已知

f(x) =

1 4 1 3 x ? mx 3 ? x 2 . 12 6 2

(1)求 f′(x)、f′′(x); (2)若 f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数” ,试确定实数 m 的值; (3)若当实数 m 满足|m|≤2 时,函数 f(x)在(a,b)上总为“凸函数” ,求 b-a 的最大值.

5

高三数学(文)参考答案及评分标准
2013.01.16 一、选择题:(10×5′=50′) 1 2 3 题 号 答 案 C B D 4 C 5 A 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A

1、解:U={x∈N*|x<6}={1,2,3,4,5},若 A={1,3},B={3,5}, 则 A∪B={1,3,5},所以?U(A∪B)= {2,4},故选择 C. 2、解:若复数 i· z=1-2i,则 z =

1 ? 2i (1 ? 2i)( ?i) ? ? ?2 ? i ,故选择 B. i i( ?i)

3、解:一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体是底面直径为 1,
? 高为 1 的圆柱,其全面积为 2 ? ( ? ? ? ??1 ?

1 2

3 ?, 2

故选择 D. 4、解:已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则 a52=a1·16, a 2 即(a1+4d) =a1· 1+16d),整理得 a1=2d, (a 开 始 而这个等比数列的公比是 q ?

a 5 a1 ? 4d 2d ? 4d ? ? 3, ? 2d a1 a1

S=1,i=1 否 i<① 是 S=S+2i i=i+1

故选择 C. 5、解:阅读右侧程序框图,S=1,i=1→S=3,i=2→ S=7,i=3→S=15,i=4→S=31,i=5.为使输出的数据 为 31,则①处应填写的数字为 5,故选择 A.
6

输出S 结 束 第5题图

6、解:如右图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+Φ) (ω>0,

π < ? < π )的部分图像,其中|AB|=5,|AC|=4, 2
A

则|BC|=3,所以 f(x)的最小正周期为 6,

y 2 1 O C -2 B 第6题图 x

2π π π ? ,所以 f(x) = 2sin( x ? ?) , 6 3 3 1 π 把点 (0,1)代入上式,得 sin? ? ( < ? < π) , 2 2 5π π 5π ), 所以 ? ? ,所以 f(x) = sin( x ? 6 3 6 π 5π π ) ? 2sin ? 2 ,故选择 A. 那么 f(?1) = 2sin(? ? 3 6 2
则? ?

7、分析:求出直线恒过的定点,判断定点与圆的位置关系. 解法 1 直线 ax-y+2a=0 恒过定点(-2,0),而(-2,0)满足 22+02<9,所以直线与圆相交, 故选择 C. 点评:本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,判断关系的方法是点在圆的内部与外部或 圆上是解题的关键. 解法 2 由题意知,圆心(0,0)到直线 ax-y+2a=0 的距离为 d =

| 2a | a 2 +1

,r=3,

d2 ? r 2 =

a2 8a 2 ? 9 ?9 ? ? 2 ? 0 ,所以 d<r,所以直线 ax-y+2a=0 与圆 x2+y2=9 2 a +1 a +1
y x+y-2=0

的位置关系是相交,故选择 C.

?x ? 0 ? 8、解: ? x + y ? 2 所表示平面区域如图, ?y ? 0 ?
已知 O 为坐标原点,点 M 坐标为(-2,1), 在平面区域内取一点 N,则使|MN|为最小值时, 点 N 的坐标是(0,1),故选择 B. 9、解:函数的定义域为(0,+∞), f'(x) =

A(-2,1) O

x

1 1 ? x 2 (1 ? x)(1 ? x) ?x = = , x x x
1 2 x 的图像大致是 B. 2

令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1(舍去),当 0<x<1 时,f′(x)>0; 当 x>1 时,f′(x)<0, 所以当 x=1 时,函数 f (x)有最大值 f (1)=-0.5,故函数 f(x) = lnx ? y O x O y x y y

O C

x O x D

A

B

10、已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4. 记函数满足 ?
则事件 A 的概率为

?f(2) ? 12 的事件为 A, ?f(?1) ? 3
D.

A.

5 8

B.

1 2

C.

3 8

1 4

7

10、解:由 ?

?f(2) ? 12 ?2b + c ? 8 ? 0 ,得 ? , ?f(?1) ? 3 ?b ? c + 2 ? 0

b 4 b-c+2=0 A O 2b+c-8=0 4 c

其中 0≤b≤4,0≤c≤4,画出平面区域, 由 0≤b≤4,0≤c≤4,围成的正方形的面积为 16,

而事件 A 所占的面积为 16-(2+4)=10,
则事件 A 的概率为: P(A) =

10 5 ? , 16 8

2

故选择 A. 二、填空题:(4× 5′=20′) 11、解:由(3x-1)(2x+1)<0,解得, {x | ? 1 < x < 1} . 2 3 12、解:由 a // b ,得 x=-2,∴ b ? (?2, 4) ,∴ a ? b ? ?10 . ? 13、解:已知函数 f(x)、g(x)分别有下表给出: x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

? ?

?

? ?

f[g(1)]= f(3)=1; 当 x=1 时,f[g(1)]=3,g[f(1)]=3,f[g(x)]>g[f(x)]不成立; 当 x=2 时,f[g(2)]=3,g[f(2)]=1,f[g(x)]>g[f(x)]成立; 当 x=3 时,f[g(3)]=1,g[f(3)]=1,f[g(x)]>g[f(x)]不成立. 故 f[g(1)]的值为 1;满足的 f[g(x)]>g[f(x)]的值是 2.

? x ? 4t 2 14、解:把 ? 化为普通方程 y2=4x,由抛物线的定义可知,|PF|等于点 P(3,m) ? y ? 4t
到准线的距离 3+1=4. 15、解:连结 BC,在 Rt△ABC 中, AB ? 2 6 , AC=4,由勾股定理得, BC ? 2 2 , 由射影定理 BC2=AC· CP,得 CP=2, 再由射影定理 PB2=PC· PA=2×6=12,即 PB ? 2 3 . 三、解答题:(80′) 16、解:(1) f( ) ? sin A O 第15题图 B C P

? ? 1 + acos 2 ? 0 ,则 1+ a ? 0 ,解得 a=-2. ……3 分 2 4 2 ? 2 x ? sinx ? cosx ? 1 ,则 f(x) = 2sin(x ? ) ? 1 , ……5 分 所以 f(x) = sinx ? 2cos 2 4
所以函数 f(x)的最小正周期为 2π . (2)由 x∈[0,π],得 x ? ……6 分 ……10 分

? 2

? ? ?? ? 2 ? [? , ] ,则 sin(x ? ) ? [, , 1] 4 4 4 4 2 ? 4

则 2sin(x ? ) ? [ ?1, 2] , 2sin(x ? ) ? 1 ? [ ?2, 2 ? 1] , 则函数 f(x)的值域为 [?2, 2 ?1] . 17、解:(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1, 解得 a=0.03.
8

? 4

……12 分

……1 分 ……3 分

(2)根据频率分布直方图,考试数学成绩不低于 60 分的频率为 1-10×(0.005+0.01)=0.85. ……4 分 由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数学成 绩不低于 60 分的人数约为 640×0.85=544 人. ……6 分 (3)数学成绩在[40,50)分数段内人数为 40×0.05=2 人,分别记为 A,B, ……7 分 数学成绩在[90,100)分数段内人数为 40×0.1=4 人,分别记为 C,D,E,F,……8 分 若从在[40, 50)与[90, 100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 则所有的基本事件有: (A,B)、(A,C)、(A,D)、(A,E)、(A,F)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(B,F)、 (C,D)、(C,E)、(C,F)、(D,E)、(D,F)、(E,F)共 15 种. ……10 分 如果两名学生数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100)分数段内,那么这两名学生的 数学成绩之差的绝对值一定不大于 10;如果一个成绩都在[40,50)分数段内,另一个成绩都 在[90,100)分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10”为事件 M,则事件 M 包含的基本 事件有:(A,B)、(C,D)、(C,E)、(C,F)、(D,E)、(D,F)、(E,F) 共 7 种. ……11 分 所以所求概率为: P(M) =

7 . 15
C1

……12 分 B1

18、解:(1)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3, BC=4,AB=5,∴AB2=AC2+ BC2,∴AC⊥BC, ∵CC1⊥平面 ABC,AC? 平面 ABC,∴AC⊥CC1, A1 又 BC∩CC1=C,∴AC⊥平面 BCC1B1, BC1? 平面 BCC1B1,∴AC⊥BC1. ……5 分 (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵D 是 AB 的中点,E 是 C1B 的中点,∴DE∥AC1, 又 DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1,AC1∥平面 CDB1. ……10 分 A (3)三棱锥 C1- CDB1 的体积为:

E

C D ……14 分 ……2 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分 ……7 分 ……8 分

B

1 1 1 1 3 VC1 ?CDB1 ? VD? B1 C1C ? SVB1 C1C ? AC ? ? ( ? 4 ? 4) ? ? 4 . 3 2 3 2 2
19、解:(1)设这已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b, 由于 f′(x)=6x-2,得 a=3,b=-2,所以 f(x)=3x2-2x. (2)因为点(n,Sn)( n∈N*)均在函数 y=f(x)的图像上,所以 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an= Sn-Sn-1 =(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, 当 n=1 时,a1= S1=1, 所以 an=6n-5(n∈N*). (3)由(1)得知 bn =

3 3 1 1 1 ? ? ( ? ) ,……9 分 a n a n+1 (6n ? 5)[6(n +1) ? 5] 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn =

?b
i=1

n

i

1 1 1 1 1 1 1 1 ), ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] ? (1 ? 2 6n ? 1 2 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1
……12 分

因此,要使

1 1 m 1 m (1 ? )? (n∈N*)成立的 m 必须满足 ? , 2 6n ? 1 20 2 20

所以满足要求的最小正整数 m 为 10. ……14 分 20、解:(1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为-3, ……1 分
9

又因为点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上, 所以 AD 边所在直线的方程为 y-3=-3(x+1), 即 3x+y+2=0. (2)由 ?

……3 分 ……4 分 ……5 分

?x ? 3y ? 6 = 0 解得点 A 的坐标为(0,-2), ?3x + y + 2 = 0

因为矩形 ABCD 的两条对角线相较于点 M(2,0), 所以 M 为矩形 ABCD 的外接圆的圆心, 又 | AM |?

……6 分

(2 ? 0) ? (0 ? 2) ? 2 2 ,
2 2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为⊙M:(x-2)2+y2=8. ……8 分 (3)因为动圆 P 过点 N(-2,0),所以|PN|是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 | PM |?| PN | ?2 2 , ……10 分 ……11 分 ……12 分
2 2

| PM | ? | PN |? 2 2 .
故动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支, 因为实半轴长为 a ?

2 ,半焦距 c=2,所以虚半轴长为 b ? c ? a ? 2 ,……13 分 x 2 y2 ? ? 1(x ? ? 2) . 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 ……14 分 2 2 1 4 1 3 1 1 x ? mx 3 ? x 2 ,得 f'(x) = x 3 ? mx 2 ? 3x , 21、解:(1)由函数 f(x) = 12 6 2 3 2
f′′(x)=x2-mx-3. ……4 分 2 (2)由于 f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数” ,则有 f′′(x)=x -mx-3<0 在区间(-1,3)上恒成 立,由二次函数的图像,当且仅当 ? 即?

?f''(?1) = 1+ m ? 3 ? 0 , ?f''(3) = 9 ? 3m ? 3 ? 0

……6 分 ……8 分

?m ? 2 ?m=2. ?m ? 2

(3)当|m|≤2 时,f′′(x)=x2-mx-3<0 恒成立 ? 当|m|≤2 时,mx>x2-3 恒成立, ……9 分 ①当 x=0 时,f′′(x)=-3<0 显然成立; ……10 分 ②当 x>0 时, x ? 从而解得 0<x<1; ③当 x<0 时, x ?

3 3 < m ,∵m 的最小值是-2,∴ x ? < ?2 , x x
……12 分

3 3 < m ,∵m 的最大值是 2,∴ x ? ? 2 , x x
……13 分 ……14 分

从而解得-1<x<0; 综上可得,-1<x<1,从而(b-a)max=1-(-1)=2.

10


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