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《高考数学第一轮复习课件》第18讲 导数的综合应用


新课标高中一轮总复习

理数

第三单元 导数及其应用

第18讲 18讲
导数的综合应用

1.掌握利用导数解决实际生活 掌握利用导数解决实际生活 中的优化问题的方法和步骤,如用 中的优化问题的方法和步骤, 料最少、费用最低、消耗最省、 料最少、费用最低、消耗最省、利 润最大、效率最

高等. 润最大、效率最高等 2.掌握导数与不等式、几何等 掌握导数与不等式、 掌握导数与不等式 综合问题的解题方法. 综合问题的解题方法

1.对任意实数 若 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 对任意实数x,若 对任意实数 , 且 x>0时, f ′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0时, 时 , 时 有( ) B A.f ′(x)>0,g′(x)>0 B.f ′(x)>0,g′(x)<0 C.f ′(x)<0,g′(x)>0 D.f ′(x)<0,g′(x)<0

由已知,f(x)是奇函数 是奇函数,g(x)是偶函数 是偶函数, 由已知 是奇函数 是偶函数 又 x>0, f ′(x)>0, 所以f(x)在 (0,+∞)上单调 , , 所以 在 上单调 递增, 递增, 所以f(x)在 (-∞,0)上也是单调递增 即 x<0时 , 所以 在 上也是单调递增,即 时 上也是单调递增 f ′(x)>0. 同理, 上单调递减, 同理,g(x)在(-∞,0)上单调递减, 在 上单调递减 所以x<0时,g′(x)<0,故选 时 所以 ,故选B.

2.已知函数 已知函数y=f ′(x)的图象如右图 已知函数 的图象如右图 所示(其中 其中f 是函数f(x)的导 所示 其中 ′(x)是函数 是函数 的导 函数).下面四个图象中 下面四个图象中,y=f(x)的 函数 下面四个图象中 的 A 大致图象是( ) 大致图象是

y=f ′(x),由题图知, 由题图知, 由题图知 当x<-1时,y<0,所以 ′(x)<0,所以 递减; 时 所以f 所以f(x)递减 所以 所以 递减 所以f 所以f(x)递增 当-1<x<0时,y>0,所以 ′(x)>0,所以 递增 < < 时 > 所以 所以 递增; 当0<x<1时,y<0,所以 ′(x)<0,所以 递减; < < 时 < 所以f < 所以f(x)递减 所以 所以 递减 所以f 所以f(x)递增 当x>1时,y>0,所以 ′(x)>0,所以 递增 > 时 > 所以 > 所以 递增. 故选A. 故选

3.内接于半径为 的半圆的周长最大的矩形 内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形 内接于半径为 和 的边长分别是 5 R和 4 5R .
5 5

如图, 如图,设矩形的一边 长为2x,则另一边长为 长为 则另一边长为 R 2 x 2 (0<x<R), < < 所以矩形的周长y=2(2x+ R 2 x 2 ), 所以矩形的周长 所以y′=2(2所以 令y′=0,得x= 得
x R2 x2

) (0<x<R). < <
2

5 2 = R, , R x 5 2 5 易得x= R是y=2(2x+ R 2 x 2 )的极大值点, 的极大值点, 易得 是 的极大值点 5 即同时也是定义域上的最大值点. 即同时也是定义域上的最大值点
2 R,此时 5 此时 5

4.设点 是曲线y=x3-3x+ 2 上任意一点,P点 设点P是曲线 上任意一点, 点 设点 是曲线 3 处切线的倾斜角为α, 则角α的取值范围 处切线的倾斜角为 , 则角 的取值范围 [0, π )∪[2π ,π) . ∪ 是
2 3

因为y′=3x2-3≥-3,所以 所以tanα≥-3, 因为 所以
2π 所以α∈ 所以 ∈[0, )∪[ ,π). ∪ 2 3

π

1.利用导数解决生活中的优化问题可归结 利用导数解决生活中的优化问题可归结 为求函数的最值问题 其解题的程序:读题 文字语言)建模(数 其解题的程序 读题(文字语言 建模 数 读题 文字语言 学语言)求解(数学应用 反馈(检验作答 数学应用) 检验作答) 学语言 求解 数学应用 反馈 检验作答 注意事项: 注意事项: (1)函数建模 , 要设出两个变量 , 根据题 函数建模, 要设出两个变量, 函数建模 意分析它们的关系, 意分析它们的关系 , 把变量间的关系转化成 函数关系式,并确定自变量的取值范围; 函数关系式,并确定自变量的取值范围;

(2)问题求解中所得出的数学结果要检 问题求解中所得出的数学结果要检 验它是否符合问题的实际意义; 验它是否符合问题的实际意义; (3)在函数定义域内只有一个极值 , 则 在函数定义域内只有一个极值, 在函数定义域内只有一个极值 该极值就是所求的最大(小 值 该极值就是所求的最大 小)值. 2.近几年高考中和导数有关的综合题主 近几年高考中和导数有关的综合题主 要有以下几类 (1)求参数的取值范围 多数给出单调性 求参数的取值范围.多数给出单调性 求参数的取值范围 多数给出单调性, 利用导数研究函数单调性的逆向思维问题, 利用导数研究函数单调性的逆向思维问题 灵活运用等价转化、 分类讨论、 灵活运用等价转化 、 分类讨论 、 数形结合 等思想方法,建立关于字母参数的不等关系 等思想方法 建立关于字母参数的不等关系. 建立关于字母参数的不等关系

(2)用导数方法证明不等式 用导数方法证明不等式. 用导数方法证明不等式 其步骤一般是: 构造可导函数——研 其步骤一般是 : 构造可导函数 研 究单调性或最值——得出不等关系 得出不等关系——整 究单调性或最值 得出不等关系 整 理得出结论. 理得出结论 (3)与几何图形相关的最值问题 根据几 与几何图形相关的最值问题.根据几 与几何图形相关的最值问题 何知识建立函数关系, 何知识建立函数关系 , 然后用导数方法求 最值. 最值

典例精讲
题型一 导数与三次函数的问题
已知函数f(x)=x3-ax2-3x. 已知函数 例1 (1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 的 上是增函数, ) 在 上是增函数 求实数a的 取值范围; 取值范围; 的极值点, ( 2) 若 x=3是 f(x)的极值点 , 当 x∈[1,a]时 , ) 是 的极值点 ∈ 时 的最大值和最小值. 求f(x)的最大值和最小值 的最大值和最小值

立来确定含参不等式,利用等价转化求得a的 立来确定含参不等式,利用等价转化求得 的 取值范围. 取值范围 (1)f ′(x)=3x2-2ax-3>0,在x∈[1,+∞)上 , ∈ 上 恒成立,所以 恒成立,所以a< 当x≥1时,y= 时 a≤0.
3 (x2 1 3 (x- ). x 2 1 )是增函数,其最小值为 是增函数, 是增函数 x

( )可由y=f′(x)在[1,+∞)上f′(x)>0恒成 在 上 恒成 分析 1)可由

3 所以a<0, 又 a=0也合题意 , 所以 也合题意, ×(1-1)=0.所以 所以 , 也合题意 2

(2)依题意 ′(3)=0,即27-6a-3=0,所以 依题意f 依题意 , ,所以a=4. 所以f(x)=x3-4x2-3x, 所以 则f ′(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3),
1 有极大值点x=- ,极小值点 极小值点x=3. 故f(x)有极大值点 有极大值点 3 1

此时, 在 上是减函数, 此时,f(x)在[- ,3]上是减函数,在[3,+∞)上 上是减函数 上 3 是增函数. 是增函数

所以f(x)在 x∈[1,a]上的最小值是 在 ∈ 上的最小值是f(3)=-18,最 所以 上的最小值是 最 大值是f(1)=-6(这里 大值是 (这里f(a)=f(4)=-12<f(1)=-6).

次函数,其导函数是二次函数, 次函数,其导函数是二次函数,这类问题 的难点是研究其中的参数的取值范围.破解 的难点是研究其中的参数的取值范围 破解 难点的方法是对三次函数求导后, 难点的方法是对三次函数求导后,化归成 二次函数,通过二次函数根的分布求解, 二次函数, 通过二次函数根的分布求解, 或利用数形结合思想画出函数的极大值、 或利用数形结合思想画出函数的极大值、 极小值后进行对比分析, 极小值后进行对比分析,求出参数的取值 范围.解三次函数的问题 解三次函数的问题, 范围 解三次函数的问题,可借助导数工具 进行研究, 进行研究, 推进了二次函数性质的深化与 二次函数方法的研究. 二次函数方法的研究

点评三次函数是导数内容中最简单的高

题型二 利用导数证明不等式 例2 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数
f(x)= x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中 其中a>0.设 其中 设 两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点 有公共点, 两曲线 有公共点 处的切线相同. 处的切线相同 (1)用a表示 ,并求 的最大值; 用 表示 表示b,并求b的最大值 的最大值; (2)求证:f(x)≥g(x)(x>0). 求证: 求证
1 2

) 问由函数f(x)与 在公 分析 第 ( 1) 问由函数 与 g(x)在公 共点(x 处的切线相同, 共点 0,y0)处的切线相同,建立关于 的函 处的切线相同 建立关于b的函 数关系式,然后求出b的最大值 的最大值; 数关系式,然后求出 的最大值;第(2) ) 问 求 证 f(x)≥g(x)(x>0) , 先 构 造 函 数 F(x)=f(x)-g(x)(x>0) , 再 证 明 在 x>0 时 , F(x)≥0成立即可 成立即可. 成立即可

(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点 设 与 在公共点 (x0,y0)处的切线相同 处的切线相同. 处的切线相同 又f ′(x)=x+2a,g′(x)= 由题意知 f(x0)=g(x0) f ′(x0)=g′(x0),
1 2 即 x0 +2ax0=3a2lnx0+b 2 3a 2 x0+2a= x , 2 0 3a 舍去), 由x0+2a= 得x0=a,或x0=-3a(舍去 , 或 舍去 x 5 1 20 即有b= a +2a2-3a2lna= 2 a2-3a2lna. 即有 2
3a 2 , x

5 2 2 令h(t)= t -3t lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt). 则 1 2

3 舍去) 列表如下: 由h′(t)=0,得t=e 或t=0(舍去),列表如下: 得 舍去 列表如下

t h′(t) h(t)
1 3
2 3

(0,e ) +

1 3

e 0

1 3

(e ,+∞) -

1 3

极大值
2 3

于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为 在 于是 上的最大值为 h(e
3 )= 2

e ,即b的最大值为 的最大值为

3 e 2

.

(2)证明:设F(x)=f(x)-g(x) 证明: 证明
1 2 = 2 x +2ax-3a2lnx-b(x>0), ( x a )( x + 3a ) 3a 2 = (x>0). x x

则F′(x)=x+2a-

上为减函数,在 上为增函数, 故F(x)在(0,a)上为减函数 在(a,+∞)上为增函数 在 上为减函数 上为增函数 舍去).列表如下 由F′(x)=0,得x=a或=-3a(舍去 列表如下: , 或 舍去 列表如下:
x F′(x) F(x) (0,a) a (0,+∞) +

0
极小值

于是函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是 在 于是函数 上的最小值是 F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0. 故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0, 时有 故当 即当x>0时,f(x)≥g(x). 时 即当

利用导数证明不等式, 点评 利用导数证明不等式,就是把不等式恒 成立的问题, 通过构造函数, 成立的问题 , 通过构造函数 , 转化为利用导 数求函数最值的问题. 数求函数最值的问题 . 应用这种方法的难点 是如何根据不等式的结构特点或者根据题目 证明目标的要求,构造出相应的函数关系 式 . 破解的基本思路是从函数的角度分析和 理解要证明的不等式的结构特点去构造函数 式 , 或者从不等式证明的放缩方向上去构造 函数式, 函数式 , 使所构造出的函数是不等式证明所 需要的最佳函数. 需要的最佳函数

题型三 导数在实际问题中的应用
受金融危机的影响, 例3 受金融危机的影响,三峡某旅游公司经 济效益出现了一定程度的滑坡.现需要对某一 济效益出现了一定程度的滑坡 现需要对某一 景点进行改造升级,提高旅游增加值.经过市 景点进行改造升级,提高旅游增加值 经过市 场调查,旅游增加值 万元与投入x万元之间满 旅游增加值y万元与投入 场调查 旅游增加值 万元与投入 万元之间满 x 51 2-ln x , 足:y= 50 x-ax ∈[t,+∞),其中 为大 ,其中t为大 10 2 x 12 的常数.当 于 1 的常数 当x=10时,y=9.2. 时 (1)求y=f(x)的解析式和投入 的取值范围; 求 的解析式和投入x的取值范围 的解析式和投入 的取值范围; (2)求旅游增加值 取得最大值时对应的 的值 求旅游增加值y取得最大值时对应的 的值. 求旅游增加值 取得最大值时对应的x的值
2

问把x=10,y=9.2代入函数式 即 代入函数式,即 问把 代入函数式 分析 第 (1)问把 可求出a的值 得到 问求f(x)在区 可求出 的值,得到 的值 得到y=f(x);第 (2)问求 第 问求 在区 间上的最大值,需要先讨论 需要先讨论y=f(x)的单调性 确 的单调性,确 间上的最大值 需要先讨论 的单调性 定取得最大值的区间和对应的x的值 的值. 定取得最大值的区间和对应的 的值 (1)因为当 )因为当x=10时,y=9.2, 时 ,
51 1 2-ln1=9.2,解得 即 50 ×10-a×10 × ,解得a= 100 x 51 x2 所以f(x)= x-ln . 所以 10 50 100 x 1 12t 所以6<x≤ . 因为 2 x 12 ≥t且t> ,所以 且 2 2t 1 12t 即投入x的取值范围是 的取值范围是(6, ]. 即投入 的取值范围是 2t 1

,

(2)对f(x)求导, 对 求导, 求导 得f′(x)=
51 50 x 50 1 =x
x 2 51x + 50 =50 x

( x 1)( x 50) . 50 x

舍去). 令f′(x)=0,得x=50或x=1(舍去 , 或 舍去 当 x∈(6,50)时 , f′(x)>0, 且 f(x)在 (6,50]上 ∈ 时 , 在 上 连续, 连续, 因此, 在 上是增函数; 因此,f(x)在(6,50]上是增函数; 上是增函数 当 x∈(50,+∞)时, f′(x)<0且f(x)在[50,+∞)上 ∈ 时 且 在 上 连续. 连续

因此, 在 上是减函数. 因此,f(x)在[50,+∞)上是减函数 上是减函数 所以x=50为极大值点 为极大值点. 所以 为极大值点 当 改造时取得最大增加值; 改造时取得最大增加值;
12t 25 <50,即t∈( ,+∞)时,投入 当6< 即∈ 时 投入 2t 1 44 1 12t ≥50,即t∈( , ∈ 2 2t 1 25 44

,

]时,投入50万元 时 投入 万元
12t 万元 2t 1

改造时取得最大增加值. 改造时取得最大增加值

本题的难点是求旅游增加值y取得 点评本题的难点是求旅游增加值 取得 最大值时对应的x的值.由第(1)问可知 的 最大值时对应的 的值.由第 问可知x的 的值 问可知
12t 取值范围是(6, ],因此需要从研究 取值范围是 , ,因此需要从研究f(x) 2t 1

在这个区间上的单调性入手, 找到变量t 在这个区间上的单调性入手 , 找到变量 t 所在区间上y取得最大值时 的值 所在区间上 取得最大值时x的值 利用导数 取得最大值时 的值.利用导数 知识作为解题工具研究函数的最值等, 知识作为解题工具研究函数的最值等,体 现了导数知识在求解实际问题中的应用价 需要考生多揣摩. 值,需要考生多揣摩

方法提炼
1.应用导数证明不等式,关键在于 应用导数证明不等式, 应用导数证明不等式 构造适当的函数. 构造适当的函数 2.利用导数解决优化问题,关键在 利用导数解决优化问题, 利用导数解决优化问题 于建立目标函数, 于建立目标函数 , 并且还要根据实际 问题,写出函数的定义域. 问题,写出函数的定义域 3.在求实际问题的最值时,如果只 在求实际问题的最值时, 在求实际问题的最值时 有一个极值点,则此点就是最值点. 有一个极值点,则此点就是最值点

走进高考
湖南卷)某地建一座桥 学例1 (2009湖南卷 某地建一座桥 , 两端的桥 湖南卷 某地建一座桥, 墩已建好, 这两墩相距m米 墩已建好 , 这两墩相距 米 , 余下工程只需建 两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算 经测算, 两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算,一个桥墩 的工程费用为256万元; 距离为 米的相邻两墩 万元; 的工程费用为 万元 距离为x米的相邻两墩 之间的桥面工程费用为(2+ x )x万元 假设桥墩 万元.假设桥墩 之间的桥面工程费用为 万元 等距离分布,所有桥墩都视为点, 等距离分布 , 所有桥墩都视为点 , 且不考虑其 他因素.记余下工程的费用为 万元. 记余下工程的费用为y万元 他因素 记余下工程的费用为 万元 (1)试写出 关于 的函数关系式; 试写出y关于 的函数关系式; 试写出 关于x的函数关系式 (2)当 m=640米时 , 需新建多少个桥墩才能使 米时, 当 米时 需新建多少个桥墩才能使y 最小? 最小

(1)设需新建 个桥墩,则(n+1)x=m, 设需新建n个桥墩 设需新建 个桥墩, 即n=
m x

-1,

所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x 所以
m m =256( -1)+ (2+ x )x x x 256m = +m x +2m-256. x 256m 1 (2)由(1)知,f′(x)=m 由 知 2 + x 2 = 256m . x2

x



1 2

令f′(x)=0,得 x , 为减函数; 为减函数;

3 2 =512,所以 所以x=64. 所以

在区间(0,64)内 当 0<x<64时 , f′(x)<0, f(x)在区间 时 , 在区间 内 当 64<x<640 时 , f′(x)>0 , f(x) 在 区 间 (64,640)内为增函数 内为增函数. 内为增函数 所以f(x)在x=64处取得最小值 在 处取得最小值. 所以 处取得最小值 m 640 此时n= -1= -1=9. 此时 x 64 故需新建9个桥墩才能使 最小. 个桥墩才能使y最小 故需新建 个桥墩才能使 最小

本节完,谢谢聆听
立足教育, 立足教育,开创未来


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