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高中数学函数数列知识点解析


第一章.集合与函数的概念 一、集合的概念与运算: 1、集合的特性与表示法:集合中的元素应具有:确定性 互异性 合的表示法有:列举法 描述法 venn 图等。 2、集合的分类:①有限集、无限集、空集。 ②数集: y y ? x 2 ? 2

无序性;集

?

?

点集: ? x, y ? x ? y

? 1

?

?

3、子集与真子集:若 x ? A 则 x ? B ? A ? B

若 A ? B 但 A ? B ?A B

若 A ? ?a1,a2,a3 ,?an ? ,则它的子集个数为 2n 个 4、集合的运算:① A ? B ? ? x x ? A且x ? B? ,若 A ? B ? A 则 A ? B ② A ? B ? ? x x ? A或x ? B? ,若 A ? B ? A 则 B ? A ③ CU A ? ? x x ? U 但x ? A? 5、映射:对于集合 A 中的任一元素 a,按照某个对应法则 f ,集合 B 中都有唯一 的元素 b 与之对应,则称 f : A ? B为A到的映射 ,其中 a 叫做 b 的原象,b 叫 a 的象。 二、函数的概念及函数的性质: 1、函数的概念:对于非空的数集 A 与 B,我们称映射 f : A ? B 为函数,记作

y ? f ? x ? ,其中 x ? A, y ? B ,集合 A 即是函数的定义域,值域是 B 的子集。
定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质: ⑴ 定义域: 10 简单函数的定义域:使函数有意义的 x 的取值范围,例:
y?

?2 x ? 5 ? 0 5 lg(3 ? x) 的定义域为: ? ? ? x?3 2 2x ? 5 ?3 ? x ? 0

20 复合函数的定义域:若 y ? f ? x ? 的定义域为 x ? ? a, b? ,则复合

函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 的定义域为不等式 a ? g ? x ? ? b 的解集。
30 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。

⑵ 值域: 10 利用函数的单调性: y ? x ?

p ( p ? o) x

y ? 2 x 2 ? ax ? 3 ? x ? ? ?2,3??

20 利用换元法: y ? 2x ? 1 ? 3x

y ? 3x ? 1 ? x 2 ? 2

30 数形结合法 y ? x ? 2 ? x ? 5

⑶ 单调性:10 明确基本初等函数的单调性: y ? ax ? b (k ? 0)

y ? ax2 ? bx ? c

y?

k x

y ? a x ? a ? 0且a ? 1?

y ? loga x ? a ? 0且a ? 1?

y ? xn ? n ? R ?

20 定义:对 ?x1 ? D, x2 ? D 且 x1 ? x2

若满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在 D 上单调递增 若满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在 D 上单调递减。 ⑷ 奇偶性:10 定义: f ? x ? 的定义域关于原点对称, 若满足 f ? ? x ? =- f ? x ? ―― 奇函数 若满足 f ? ? x ? = f ? x ? ―― 偶函数。
20 特点: 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于 y 轴对称。

若 f ? x ? 为奇函数且定义域包括 0,则 f ? 0? ? 0 若 f ? x ? 为偶函数,则有 f ? x ? ? f ? x ? (5)对称性: 10 y ? ax2 ? bx ? c 的图像关于直线 x ? ?
b 对称; 2a

20 若 f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2a ? x ? , 则 f ? x? 的

图像关于直线 x ? a 对称。
30 函数 y ? f ? x ? a ? 的图像关于直线 x ? a 对称。

第二章、基本初等函数 一、指数及指数函数: 1、指数: a m ? a n ? a m?n
n

a m / a n = a m?n
a0 ? 1 ? a ? 0?

?a ?

m n

?a mn

a ?a
m

m n

2、指数函数:①定义: y ? a x (a ? 0, a ? 1) ②图象和性质:a>1 时, x ? R, y ? (0, ??) ,在 R 上递增,过 定点(0,1) 0<a<1 时, x ? R, y ? (0, ??) ,在 R 上递减,过定 点(0,1)

例如: y ? 3x?2 ? 3 的图像过定点(2,4) 二、对数及对数函数: 1、对数及运算: ab ? N ? loga N ? b

log 1 a ?

0 , al a o? g
log a

1a l o agN ? N
m ? log a m ? log a n n

log ? ? ? l oa gm a ?m n
n log g am ?n lo am

lao n g

log a b ?

log c a log c b

log a b >0(0<a,b<1 或 a,b>1﹚ log a b <0(0<a<1, b>1,或 a>1,0<b<1﹚

2、对数函数: ①定义: y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 与 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数。 ②图像和性质:10 a>1 时, x ? ? 0, ??? , y ? R ,在 ? 0, ??? 递增,过定点(1,0)
20 0<a<1 时, x ? ? 0, ??? , y ? R ,在 ? 0, ??? 递减,过定点(1,0)。

三、幂函数:①定义: y ? xn ? n ? R ? ②图像和性质:10 n>0 时,过定点(0,0)和(1,1),在 x ? ? 0, ??? 上 单调递增。
20 n<0 时,过定点(1,1),在 x ? ? 0, ??? 上调递减单。

高中数学 第三章 数列 1. ⑴等差、等比数列: 等差数列 等比数列 定义 an?1 {an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数) {an }为G ? P ? ? q(常数) an 通 项 公式

an = a1 + ( n-1 ) d= ak + ( n-k )
d= dn + a1 -d

an ? a1q n?1 ? ak q n?k

求 和 公式

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 sn ?

(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

中 项 A= 公式

a?b 2

推 广 :

G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m

2

2 a n = an ?m ? an ? m

性 质

1 若 m+n=p+q 则 a ? a ? a ? a m n p q

若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。

2 若 , {k n } 成 A.P (其中 k n ? N )则 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N )

{a kn } 也为 A.P。
3 . sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成 等 差 数 列。 4
d? a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

则 {a kn } 成等比数列。

sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。

q n?1 ?

an , a1

q n?m ?

an (m ? n) am

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
① 2 ② an ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等差数列.
?s1 ? a1 (n ? 1) ⑷数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ? ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍
S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ;

②若等差数列的项数为 2 n?n ?N

?

? ,则 S 偶?S 奇 ? nd,

S奇 S偶

?

an a n ?1 ;
S偶 ? n n ?1

③若等差数列的项数为 2n ? 1?n ?N ? ? ,则 S 2n ?1? ?2n ? 1?a n ,且 S 奇 ?S 偶?a n , S 奇

? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .

3. 常用公式:①1+2+3 …+n = ② 12 ?2 2 ?32 ? ?n 2 ?
3 3 3 3

n?n ? 1? 2

n?n ? 1??2n ? 1? 6
2

n?n ? 1?? ③ 1 ?2 ?3 ?n ? ? ? 2 ? ? ?

[注]: 熟悉常用通项: 9, 99, 999, … ? an ? 10n ?1 ; 5, 55, 555, … ? a n ? ?10n ? 1?.
5 9

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r , 则每年的产量成等比数列,公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n?1 ,且过 n 年后 总产量为:
a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r , 每月利息按复利计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1 ? r ) n 元. 因此,第二年 年初可存款:
a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =
a (1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )

⑶分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清; r 为年利率.
a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ?1 ? x?1 ? r ?m? 2 ? ...... x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 1

5. 数列常见的几种形式: ⑴ a n? 2 ? pa n?1 ?qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤: ①写出特征方程 x 2 ? Px ? q ( x 2 对应 a n? 2 , x 对应 a n ?1 ) , 并设二根 x1 , x 2 ②
n n 若 x 1 ? x 2 可设 a n. ?c1 x n 1 ?c 2 x 2 ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? (c 1 ?c 2 n) x 1 ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定

c 1 ,c 2 .

⑵ a n ? Pa n?1 ?r (P、r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消 去常数 n 转化为 a n? 2 ? Pa n ?1 ?qa n 的形式, 再用特征根方法求 a n ; ④ a n ?c1 ?c 2 P n?1 (公 式法), c 1 ,c 2 由 a 1 ,a 2 确定.

①转化等差,等比: a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pan ? Px ? x ? x ? ②选代法: a n ? Pan?1 ?r ? P( Pan?2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?
?P n?1a1 ? P n?2 ?r ? ? ? Pr? r .

r . P ?1

r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1

③用特征方程求解:

a n ?1 ? Pa n ? r ? (P ? 1 )a n ? Pa n ?1 . ? a n ?1 ?a n ? Pa n ? Pa n ?1 ?a n ?1 ? ?相减, a n ? Pa n ?1 ? r ?

④由选代法推导结果: c1 ?

r r r r . ,c 2 ?a1 ? ,a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? (a1 ? )P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P

6. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d
n 值,有两种方法:
? 0 时,有最大值.

如何确定使 S n 取最大值时的
d 2

一是求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ? n 2 ? (a1 ? )n 利用二次函数的 性质求 n 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:
1 1 1 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2

d 2

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列, 此等差数列的首项就是原两 个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数. (一)、判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n ≥2 的任意自然数,验证 an ? an?1 (

an ) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式 an?1

2 法:验证 2an?1 ? an ? an?2 (an ?1 ? an an? 2 )n ? N 都成立。

?a ? 0 (二) 、 在等差数列 { an } 中,有关 Sn 的最值问题: (1)当 a1 >0,d<0 时, 满足 ? m ?am?1 ? 0 ?a ? 0 的项数 m 使得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时, 满足 ? m 的项数 m 使得 s m 取 ?am?1 ? 0
最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

? c ? 2.裂项相消法:适用于 ? c 为常 ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列, ? an an?1 ?

数;部分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列,?bn ? 是各项不为 0 的等 比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 n( n ? 1) 1): 1+2+3+...+n = 2 2) 1+3+5+...+(2n-1) = n 2

?1 ? 3) 13 ? 23 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
4) 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? 5)
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q


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