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练习(基础,提升):平面向量(无答案)


基础巩固训练 1 1. 判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)共线向量一定在同一条直线上。 (2)所有的单位向量都相等。 (3)向量 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线。 (4)向量 a 与 b 共线,则 a // b
? ?

( (
?

) ) ) ) ) )

?

?

?

?

?

( ( (

?

?

?

?

(5)向量 AB// CD ,则 AB // CD 。 (6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 (

→=2DC →”是“四边形 ABCD 为梯形”的 2. 在四边形 ABCD 中, “AB A、充分不必要条件 3.已知向量 l1 ? 0, A、 ? ? 0 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 )

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? R, a ? l1 ? ?l 2 , b ? 2l1 ,若向量 a和b 共线,则下列关系一定成立的是(
B、 l 2 ? 0

?

?

C、 l1 // l2

?

?

D、 l 2 ? 0 或 ? ? 0

?

?

4. .D、E、F 分别是△ABC 的 BC、CA、AB 上的中点,且 BC ? a , CA ? b ,给出下列命题,其中正确命 题的个数是( ) ② BE ? a ?

1 ① AD ? ? a ? b 2 1 1 ③ CF ? ? a ? b 2 2
A、1 B、2 5.已知: AB ? 3(e1 ? e 2 ), A、A,B,C 三点共线 C、C,A,D 三点共线

1 b 2

④ AD ? BE ? CF ? 0 C、3 D、4 )

BC ? e1 ? e 2 , CD ? 2e1 ? e 2 ,则下列关系一定成立的是(
B、A,B,D 三点共线 D、B,C,D 三点共线

6.若 | OA ? OB |?| OA ? OB | 则向量 OA, OB 的关系是( A.平行 B.重合 C.垂直 D.不确定 综合拔高训练

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?



7.如图,已知 AB ? a, AC ? b, BD ? 3DC ,用 a, b 表示 AD ,则 AD ? ( ) A. a ?

??? ?

? ????

? ??? ?

????

? ?

????

????

A

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 . 已 知 a + b = e1 ? 3e2 , a - b = e1 ? 2e2 , 用 e1 、 e 2 表 示 B ? a= 。
2 9.已知 a ? t e1 ? (k ? 1)e2 , b ? (2t ? 1)e1 ? 3e2 ,且 a // b ,试求 t 关于 k 的函数。

3? b 4

B.

1? 3? 1? 1? a ? b C. a ? b 4 4 4 4

D.

3? 1? a? b 4 4

C D

10.如图,在△OAB 中, OC ?

1 1 (1)试 OA , OD ? OB ,AD 与 BC 交于 M 点,设 OA ? a , OB ? b , 4 2
1

用 a 和 b 表示向量 OM (2)在线段 AC 上取一点 E,线段 BD 上取一点 F,使 EF 过 M 点,设 OE ? ? OA ,

OF ? ? OB 。
求证:

1 3 ? ? 1。 7? 7 ?

基础巩固训练 2

? ? ? ? 1. 设平面向量 a ? ? 3,5 ? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ? (
A. ? 6, 3 ?



B. ? 7, 3 ? C. ? 2,1? D. ? 7, 2 ? ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? ???? 2.在 △ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD ? ( ) ? ? ? ? 2 1? 5? 2 2 1? 1 2? A. b ? c B. c ? b C. b ? c D. b ? c 3 3 3 3 3 3 3 3 3.已知 a=(1,2) ,b=(-3,2) ,当 ka+b 与 a-3b 平行,k 为何值( A )

1 4

1 B - 4

C -

1 3

D

1 3
( )
D A

4.如图,线段 AB 与 CD 互相平分,则 BD 可以表示为

??? ?

??? ? ??? ? A . AB ? CD
C.

? ??? ? 1 ??? ( AB ? CD) 2

? 1 ??? ? 1 ??? B. ? AB ? CD 2 2 ??? ? ??? ? D. ?( AB ? CD)

B C

5. 如图,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且

??? ? 2 ??? ? 1 ???? ???? 2 ??? ? 1 ???? AP ? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 5 5 3 4
( )

C

Q P

1 A. 5

4 B. 5

1 C. 4

1 D. 3

A

B

6.如图,在△ ABC 中,已知 AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 60? ,

A

???? ? ??? ? ??? ? AH ? BC 于 H , M 为 AH 的中点,若 AM ? ? AB ? ? BC ,
则? ? ? ? .
2

?M
B H C

? ? ? ? 7.已知向量 a ? (1 ,3 cos ? ) ,则 a ? b 的最大值为 , sin ? ) , b ? (1
8.已知向量 a ? (?2, 2), b ? (5, k ) ,若 a ? b 不超过 5,则 k 的取值范围是

综合拔高训练



?

?

?

?



9.已知 a ? (1,2), b ? ( ?3,2) ,当实数 k 取何值时, k a +2 b 与 2 a —4 b 平行?

→ → → 10.已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5) ,且OP =OA +tAB . (1) 当 t 变化时,点 P 是否在一条定直线上运动? (2) 当 t 取何值时,点 P 在 y 轴上? (3) OABP 能否成为平行四边形?若能求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.

基础巩固训练 3 1. 已知向量 a =(x,1) ,b =(3,6) ,a ? b ,则实数 x 的值为 A.

1 2

B. ? 2

C. 2

D. ? ( D. 3 3

1 2

2.已知 a ? b ? ?12 2 , a ? 4 , a 和 b 的夹角为 135 ? ,则 b 为 A. 12 B. 3 C. 6



OB ? OB? OC .则 △ABC 一定是( 3. △ABC 内有一点 O ,满足 OA ? OB ? OC ? 0 ,且 OA?
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



4.在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边,设向量 m ? (b ? c, c ? a ), n

??

?

? (b, c ? a) ,若

?? ? m ? n ,则角 A 的大小为(
A.

) C.

? 6

B.

? 3

? 2

D.

2? 3

5.己知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , a 与 b 的夹角为 60°,直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 与圆
3

1 ( x ? cos ? )2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 的位置关系是 ( 2
A.相切 B.相交 C.相离

) D.随 ? , ? 的值而定 .

6.设 ?ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 CA ? CB =

综合拔高训练 7.已知 a =(-1, 3), b =(2, -1),若(k a + b )⊥( a -2 b ),则 k= 8.设平面上向量 a ? (cos ? ,sin ? )(0 ? ? ? 2? ), b ? ( ? , (1) 证明向量 a ? b 与 a ? b 垂直 (2) 当两个向量 3 a ? b 与 a ? 3 b 的模相等,求角 ? . .

?

?

1 3 ? ? ), a 与 b 不共线, 2 2

?

?

? ?
?

?

?

?

9. 在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 1, (1) 求 AB 边的长度; (2) 证明: tan A ? 2 tan B ; (3)若 | AC |? 2 ,求 | BC | .

??? ? ????

??? ? ??? ? AB ? BC ? ?2 .

????

??? ?

4

基础巩固训练 1. 如 果 一 架 向 东 飞 行 200km , 再 向 南 飞 行 300km , 记 飞 机 飞 行 的 路 程 为 s , 位 移 为 a , 则 ( ) A. s>|a| B. s<|a| C. s=|a| D. s 与|a|不能比大小

2. 已知 OA ? 1 , OB ? 3 ,OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ?AOB 内,且 ?AOC ? 30o ,设 OC ?mOA nOB ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(m, n ? R) ,则
A.

m 等于 n
B.3 C.





1 3

3 3
AB | AB | ? AC | AC |

D. 3

3.在△ABC 中,已知向量 AB与 AC满足(

) ? BC ? 0且

AB

| AB | | AC |

?

AC

?

1 ,则△ABC 为( 2



A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形

B.直角三角形 D.等边三角形

A O

4. 在 Δ ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2 ,则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值
B

为 . 5. 一个 30?的斜面上放有一个质量为 1kg 的球,若要保持球在斜面上静止不动,应沿斜面方向给球多大 _________ 力 ; 若 表示 球的 重力 的向 量为 p , 球对 斜面 的压 力为 ω , 则球 的重 力沿 斜面 方向 的分 力 f=___________保持球在斜面上静止不动的推力 f′= 6.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(—3,4) ,若点 C 在∠AOB 的一平分线上,且 | OC |? 2 , 则 OC ? ____________. 综合拔高训练 7 . 已 知 : A 、 B 、 C 是 ?ABC 的 内 角 , a, b, c 分 别 是 其 对 边 长 , 向 量 m ?

M

C

?

3 , cos?? ? A? ? 1 ,

?

? ?? ? ? n?? ? cos? 2 ? A ?,1? ? , m ? n .求角 A 的大小; ? ? ? ?

5

8.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、 C (cos? , sin ? ), ? ? ( (1)若 | AC |?| BC |, 求角? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1, 求

? 3?

, ). 2 2

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

9.四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2,?3) (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积。

10.已知点 A(2,0)、B(0,2)、C (cos? , sin ? ) , O 为坐标原点,且 0 ? ? ? ? . (1)若 | OA ? OC |?

7 ,求 OB 与 OC 的夹角;

(2)若 AC ? BC ,求 tan ? 的值.

6


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