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2013年广东省高考压轴卷数学理试题


2013 年广东省高考压轴卷 数学理试题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再

写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式: 锥体的体积公式: V ? 球体体积公式: V 球 ?
1 3 4 3 S h ( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)
3

? R ( R 是半径)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 设全集 R,A ? { x | x ( x ? 2 ) ? 0} , B ? { x | y ? ln (1 ? x )} , 则 A ? C B ) = 1、 ( U A. ( ? 2 ,1) B. [1, 2 ) C. ( ? 2 ,1]
5i z





D. (1, 2 ) = D. ? 2 ? i ( ) ( )

2、 已知复数 z 的实部为 ? 1 , 虚部为 2, 则 A. 2 ? i B. 2 ? i C. ? 2 ? i

3、 已知 a ? R , “ a ? 2 ” “ | x ? 2 | ? | x | ? a 恒成立” 则 是 的 A.充分不必要条件 件 4、 函数 f ( x ) ? x ? sin x ( x ? R ) A.是偶函数,且在 ( ? ? , ? ? ) 上是减函数; C.是奇函数,且在 ( ? ? , ? ? ) 上是减函数; B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条





B.是偶函数,且在 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数; D.是奇函数,且在 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数;
1

2 5、已知 ? ? ? x , y ? x ? 1, y ? 1 ,A 是曲线 y ? x 与 y ? x 2 围成的区域,若向区域 ? 上随

?

?

机投一点 P, 则点 P 落入区域 A 的概率为 A.
1 3

( D.
1 12



B.

1 4

C.

1 8

第 1 页 共 12 页

6、 1 是某市参加 2012 年高考的学生身高条形统计图, 图 从左到右的各条形表示的学生人数 依次记为 A1,A2,…,A10(如 A2 表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数)图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图. 现要统计身高在 160~180cm (含 160cm,不含 180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( )

A.i<6 B.i<7 C.i<8 D.i<9 7、2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻,则不同排法的种数是 ( ) A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
b 8、称 d ( a , b ) ? | a ? b | 为两个向量 a , b 间的距离。若 a 、 满足:① |b |= 1 ; ② a ? b ; ③对
? ? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

任意的 t ? R , 恒有 d ( a , t b ) ? d ( a , b ) ,则 A. ( a ? b ) ? ( a ? b )
? ? ? ?

?

?

? ? ?

( C. a ? b
? ?



B. b ? ( a ? b )

?

?

D. a ? ( a ? b )

?

?

?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9-13 题) 9、某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了解该 单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人,则样 本容 量为___________
?x ? 0 ? 10、设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的 ?2 x ? y ? 3 ?

最大值是_________. 11 、已知某棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥 的体积为
n

第 11 题图

.
2 3 n

? 12 、 若 ( 1 x )? a 0 ? a x ? a x2 ? a x 3? ? ? ? ? a n x 1

n? N (

*

) , 且 a1 : a 3 ? 1 : 7 , 则

第 2 页 共 12 页

a5 ? _____

13、定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {( m , n ) m , n ? R } , B ? R ,已知对所有的有序正整数 对 ( m , n ) 满足下述条件:① f ( m ,1) ? 1 ;②若 n ? m , f ( m , n ) ? 0 ; ③ f ( m ? 1, n ) ? n [ f ( m , n ) ? f ( m , n ? 1)] , 则 f ( 2 , 2 ) ? 选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14、已知曲线 C 1 的参数方程为
( ? ? R ) ,则它们的交点的直角坐标为

, f (n, 2) ?



(0≤θ<π) ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? _____ .

?
4



15、如图,直线 P C 与 ? O 相切于点 C ,割线 P A B 经过 圆心 O ,弦 C D ⊥ A B 于点 E , P C ? 4 , P B ? 8 ,则
CE ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x )?
A ? 0, ? ? 0, ? π 2 ?? ? π 2
A s i?n (?x?

,)x ? R ( 其 中

) ,其部分图像如图所示. y
1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5 6

(1) 求函数 f ( x ) 的解析式;

x

(2) 已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点

M 、 N 、 P 都在函数 f ( x ) 的图像上,求 sin ? M N P 的值.

17. (本小题满分 13 分)生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于
82 为正品, 小于 82 为次品. 现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测, 检测结果统计如下:

测试指标 元件 A 元件 B

[70, 76)

[76,82)
12

[82,88)

[88, 94)

[94,100]

8
7

40
40

32
29

8
6

18

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若 是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率. 18. (本题满分 13 分)如图甲,直角梯形 A B C D 中, A B // C D , ? D A B ?
第 3 页 共 12 页

?
2

,点 M 、 N

C 分别在 A B , D 上, M N ? A B ,M C ? C B ,B C ? 2 ,M B ? 4 , 且 现将梯形 A B C D 沿 M N 折起,使平面 A M N D 与平面 M N C B 垂直(如图乙) . (Ⅰ)求证: A B // 平面 D N C ;

(Ⅱ)当 D N 的长为何值时,二面角 D ? B C ? N 的大小为 3 0 ? ?

D

D

N

C A N C

A
19.(本小题满分 14 分)

M 图甲

B

M 图乙

B

设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S 1 = 2 , S n + 1 = 3 S n + 2 ? n ? 1, 2, 3 ? ? . (I)求证:数列 {S n + 1} 为等比数列; (Ⅱ)设 b n ?
an Sn
2

,求证: b1 ? b 2 ? ... ? b n ? 1 .

20. (本小题满分 14 分)动圆 P 在 x 轴上方与圆 F: x ? ? y ? 1 ? ? 1 外切,又与 x 轴相切.
2 2

(1)求圆心 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知 A、B 是轨迹 C 上两点,过 A、B 两点分别作轨迹 C 的切线,两条切线的交点 为 M, 设线段 AB 的中点为 N,是否存在 ? ? R 使得 M N ? ? O F (F 为圆 F 的圆心) ; (3)在(2)的条件下,若轨迹 C 的切线 BM 与 y 轴交于点 R,A、B 两点的连线过点 F,试 求△ABR 面积的最小值.
f ? x ? ? x ? a ? ln x
???? ? ????

21.(本小题满分 14 分)

?a

? 0? .

(1)若 a ? 1, 求 f ? x ? 的单调区间及 f ? x ? 的最小值; (2)若 a ? 0 ,求 f ? x ? 的单调区间;
ln 2 2
2 2

(3)试比较

?

ln 3 3
2

2

?? ?

ln n n
2

2



? n ? 1 ?? 2 n ? 1 ? 的大小. ?n ? 2 ?n ? 1?

N 且 n ? 2 ,并证明

?

?

你的结论.

第 4 页 共 12 页

2013 年广东省高考压轴卷 数学理试题答案
一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 题 号 1 2 3 4 D 5 D 6 C 7 B 8 B

答 B A C 二.填空题(每题 5 分,共 30 分) 案

第 5 页 共 12 页

9、 12. 14.

15
?56

10、____ __ 0 13、 2
30 6 )

11、
2 ?2
n

2

(

30 6

,

15.

12 5

1、 A ? ? 0 , 2 ? , B ? ? ? ? ,1 ? , C U B ? ?1, ? ? ? , 2、 z ? ? 1 ? 2 i ,
5i z ? 5i ?1 ? 2i ? 5i ? ? 1 ? 2i ? ? 1 0 ? 5i 5 ? 2?i

? ?1 ? 2i ? ? ? 1 ? 2i ?

3、 x ? 2 ? x ? a 恒成立等价于 ? x ? 2 ? x

?

m in

? a ,即 2 ? a

4、 f ? ? x ? ? ? x ? sin ? ? x ? ? ? x ? sin x ? ? f ? x ? ,得 f ? x ? 为奇函数
f
/

? x? ? 1

? c o sx ? 得 f 0

? x ? 在 R 上为增函数
2

5、区域 A 面积为 ?
P ? 1 3 /4 ? 1 12

1 0

?

x ? x

?

?2 1 3? 1 1 d x ? ? x 2 ? x ? |0 ? 3 3 ?3 ?
3

6、160~180 是 A 4 到 A 7 ,参与循环的是 i ? 7 ,循环结束 是i ? 8 7、先把两个女生选好在捆绑在一起 C 3 A 2 ? 6
2 2

假设捆在一起的女生记为 A,B,另一个女生记为 C,两个男生记为甲乙,从左到右编号 1~5 (一)A,B 排在 1,2 号,那么甲可以选 3,4.若甲选 3,则 C,乙无要求,有 2 种;如果甲选 4 号,则 C 只能选 5 号,有一种。则共 3 种情形 (二)A,B 排在 2,3 号,那么甲只能选 4 号, C 只能选 5 号,有一种。 (三)A,B 排在 3,4 号,那么甲只能选 2 号, C 只能选 1 号,有一种。 (二)A,B 排在 4,5 号,情形同(一)共 3 种 则总数为 N=6*8=48 种 8、考察向量减法的三角法则,以及向量模的几何意义。 对任意的 t ? R , 恒有 d ( a , t b ) ? d ( a , b ) ,表明 d ( a , b ) ? | a ? b | 是所有 d ( a , t b ) ? | a ? t b | 中 最短的一个,而垂线段最短,故有 b ? ( a ? b ) 9、
n 750 ? 7 350 1 2

?

?

? ? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

得 n=15

10、线性规划,三角形区域,最优解(1,1) 11、四棱锥底面是直角梯形,面积为
? 2 ? ? 2 ? 1 ? ? 3 ,高为 2,则体积为 2

第 6 页 共 12 页

12、

a1 a3

?

?Cn ?Cn

1 3

?

1 n ? n ? 1? ? n ? 2 ? 6

?

1 7

得 n=8, a 5 ? ? C 8 ? ? 5 6
5

13、解:根据定义得 f ( 2, 2 ) ? f (1 ? 1, 2 ) ? 2[ f (1, 2 ) ? f (1,1)] ? 2 f (1,1) ? 2 ? 1 ? 2 。
f (3, 2 ) ? f ( 2 ? 1, 2 ) ? 2[ f ( 2, 2 ) ? f ( 2,1)] ? 2 ? ( 2 ? 1) ? 6 ? 2 ? 2 ,
3

f ( 4, 2 ) ? f (3 ? 1, 2 ) ? 2[ f (3, 2 ) ? f (3,1)] ? 2 ? (6 ? 1) ? 1 4 ? 2 ? 2 ,
4

f (5, 2 ) ? f ( 4 ? 1, 2 ) ? 2[ f ( 4, 2 ) ? f ( 4,1)] ? 2 ? (1 4 ? 1) ? 3 0 ? 2 ? 2 ,
5

所以根据归纳推理可知 f ( n , 2 ) ? 2 ? 2 。
n

14、在直角坐标系中:曲线 C 1 :
2

x

2

5

? y ? 1 ? y ? 0 ? ,直线 l : y ? x
2

15、 P C ? P A ? P B ? P A ? 2 ? A B ? 6 , 连接 OC,直角三角形 OCP 中 C E ? 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由图可知, A ? 1 ,
OC ?CP OP ? 12 5

?????????????????????1 分


最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ? 又 f (1) ? s in ( 所以 ?
π 4 ? π 4 π 4 π 4 ?? ? 3π 4 ? ? ) ? 1 ,且 ?

?
π 2

? 8, ? ?
π 2 π 4

π 4

.

?3 分

?? ? π 2 ,? ?



π 4

?? ?

.

???????5 分 ????????6 分

所以 f ( x ) ? sin

( x ? 1) . π 4 ( ? 1 ? 1) ? 0 , f (1) ? s in π 4 (1 ? 1) ? 1,

(2) 解法一: 因为 f ( ? 1) ? s in
f (5 ) ? sin π 4 (5 ? 1) ? ? 1 ,

所以 M ( ? 1, 0 ), N (1,1), P (5, ? 1) ,?8 分 从而 c o s ? M N P ?
5 ? 20 ? 37 2 5? 20 ? ? 3 5
2

MN ?

5, MP ?

37 , PN ?

20 ,



?10 分
4 5 π 4 (1 ?1) ?1,

由 ? M N P ? ? 0, π ? ,得 sin ? MNP ? 1 ?cos 解法二: 因为 f ( ? 1) ? sin
π 4

? MNP ?

.

???????12 分

( ? 1 ? 1) ? 0, f (1) ? sin

第 7 页 共 12 页

f (5 ) ? sin

π 4

(5 ? 1) ? ? 1 ,

所以 M ( ? 1, 0 ), N (1,1), P (5, ? 1) , ?8 分
??? ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,

???? ??? ? ? ???? ? ???? ? ??? ? N M ? ( ? 2, ? 1), N P ? ( 4, ? 2 ) , N M ? N P ? ? 6 , N M ?
???? ??? ? ? NM ? NP 则 c o s ? M N P ? ????? ???? ? NM ? NP ?6 5?2 5 3 5
2

? ?

.
4 5

?????????10 分

由 ? M N P ? ? 0, π ? ,得 s in ? M N P ?

1 ? cos ? M N P ?
40 ? 32 ? 8 100

.
4 5

?????12 分 . ??????1

17.【答案】 (Ⅰ)解:元件 A 为正品的概率约为 分 元件 B 为正品的概率约为
40 ? 29 ? 6 100

?

?

3 4



???2 分 ???3 分
3 20 1 4 ? 1 20

(Ⅱ)解: (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45, 30, ?15 .
P ( X ? 90) ? P ( X ? 30) ? 4 5 4 5 ? ? 3 4 1 4 ? ? 3 5 1 5

; ;

P ( X ? 45) ?

1 5

? 1 5

3 4

?

; .???7 分

P ( X ? ?15) ?

?

所以,随机变量 X 的分布列为:
X
P

90
3 5

45
3 20

30
1 5

?15
1 20

???8 分
EX ? 90 ? 3 5 ? 45 ? 3 20 ? 30 ? 1 5 ? (?15) ? 1 20 ? 66 .

???9 分

(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 所以 n ? 4 ,或 n ? 5 . 解得 n ?
19 6



???11 分

设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A ,
1 3 5 81 4 3 4 P ( A) ? C5 ( ) ? ? ( ) ? 则 4 4 4 128 .

???13 分

18.解法一: (Ⅰ)MB//NC,MB ? 平面 DNC,NC ? 平面 DNC, ? MB//平面 DNC.??2 分 同理 MA//平面 DNC,又 MA ? MB=M, 且 MA,MB ? 平面 MAB.
?
平 面 M A B // 平 面 N C D ? ? ? A B // 平 面 D N C AB ? 平 面 M AB ?

. (6 分)

(Ⅱ)过 N 作 NH ?

BC

交 BC 延长线于 H,连 HN,
第 8 页 共 12 页

?

平面 AMND ? 平面 MNCB,DN ? MN, ? DN ? 平面 MBCN,从而 D H ? B C ,
? ?DHN

???????8 分

为二面角 D-BC-N 的平面角.
? 90
?

? ?DHN

= 30 o

???????10 分

由 MB=4,BC=2, ? M C B
?

知 ?M BC

?

60?, =
3 3 2

C N ? 4 ? 2 co s 6 0 ? 3 .

? N H ? 3 ? sin60?

???????11 分
3 3 3 2

由条件知: ta n ? N H D

?

DN NH

?

3 3

,? D N ? N H ?

3 3

?

3 3 2

?

?

.

???13 分

解法二:如图,以点 N 为坐标原点,以 NM,NC,ND 所在直线分别作为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 N 设 DN
? a

? xyz . 易得

NC=3,MN=

3

, .
z
D

,则 D (0, 0, a ), C (0, 3, 0 ), B (

3 , 4, 0 ), M ( 3 , 0, 0 ), A ( 3 , 0, a )

(I)?

???? ???? ??? ? N D ? (0, 0, a ), N C ? (0, 3, 0 ), A B ? (0, 4, ? a ) .

??? ? ???? 4 ???? 4 ? A B ? ? (0 , 0 , a ) ? (0 , 3, 0 ) ? ? N D ? N C 3 3


N
A

C

y

∵ N D , N C ? 平 面 D N C, 且 N D ? N C ? N , ∴ A B 与平面 D N C 共面,又 A B
? AB / /平 面 DNC

??? ?

? 平 面 DNC



M

B



(6 分)
? ( x, y, z)

x

(II)设平面 DBC 的法向量 n 1
???? ? D C ? n1 ? 3 y ? a z ? 0 ? 则 ? ??? ? ? C B ? n1 ? 3 x ? y ? 0 ?

, DC

????

??? ? ? (0, 3, ? a ), C B ? ( 3 ,1, 0 )

,令 x ? ? 1 ,则 y ?

3 ,z ?

3 3 a

∴ n1

? ( ? 1,

3,

3 3 a

)


? (0 , 0 ,1)

(8 分) .
3 3

又平面 NBC 的法向量 n 2

(9 分)

? co s

n1 , n 2

?

n 1 ?n 2 | n 1 || n 2 |

?

a 1? 3? 27 a
2

? ?1

3 2

.

???????11 分

即:

6 a

?

1? 3?

27 a
2

,

? a ?
2

9 4

,

又a

? 0 ,? a ?

3 2

.

即 DN

?

3 2

.

???????13

分 19.(本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)? S n + 1 = 3 S n + 2 ,∴ S n + 1 + 1 = 3 ( S n + 1) , ……………2 分

第 9 页 共 12 页

又? S 1 + 1 = 3 ,
n *

……………3 分

∴ {S n + 1} 是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列,且 S n ? 3 ? 1, n ? N .……………4 分

(Ⅱ)当 n = 1 时, a 1 = S 1 = 2 , 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( 3 ? 1) ? ( 3
n n ?1

……………5 分
? 1)

? 3

n ?1

( 3 ? 1)

? 2?3

n ?1



………………7 分 故 an ? 2 ? 3
? bn ?
n ?1

,n? N .
*

………………8 分
n ?1 n

2?3
n

n ?1 2

(3 ? 1)

? (3

2?3
n ?1

? 1)(3 ? 1)
?( 1 3 ?1
1

? 3
1

1
n ?1

?1

?

1 3 ?1
n

,?n ? 2?
1 3 ?1
3

………………11 分
1 3
n ?1

? b 1 ? b 2 ? ... ? b n ?

1 2

?

3 ?1
2

)?(

1 3 ?1
2

?

) ? ???? (

?1

?

1 3 ?1
n

)

………………12 分
? 1 2 ? 1 2 ? 1 3 ?1
n

? 1.

………………14 分

20.解: (1)设 P(x,y)由题意知
x ? ? y ? 1 ? ? y ? 1 ? x ? ? y ? 1 ? ? ( y ? 1)
2 2 2 2 2

y

?

y ?

1 4

x

2

( x ? 0) .

即圆心 P 的轨迹 C 的方程为 y ? (2)设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 由y'?
1 2

1 4

x ( x ? 0 ) -------------4 分
2

F N A
O

B x

M

x 得直线 AM 的斜率 k A M ? 1 2 x2 1 2 1 2

1 2

x1

直线 BM 的斜率 k B M ?

∴直线 AM 的方程为 y ? y 1 ? 直线 BM 的方程为 y ? y 2 ? 由①②消去 y 得 y 2 ? y 1 ?
1 2

x1 ( x ? x1 ) --------------① x 2 ( x ? x 2 ) -------------②-------------------6 分 1 2 x 1 2 x2 ( x ? x2 ) ? (
2

x1 ( x ? x1 ) ? 1 4

1 2

x1 ?

1 2

x2 ) x ?

1 2

x2 ?
2

1 2

x1

2

∵ A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 在抛物线 y ? ∴
1 4 x2 ?
2

( x ? 0) 上
2

1 4

x1 ? (
2

1 2

x1 ?

1 2

x2 ) x ?

1 2

x2 ?
2

x1

第 10 页 共 12 页

∴x ?

1 2

( x1 ? x 2 ) 1 2 ( x1 ? x 2 ) ,又∵点 N 的横坐标为也为 x1 ? x 2 2

即点 M 的横坐标 x ?
???? ?

∴MN//y 轴,即 M N 与 O F 共线 ∴存在 ? ? R 使得 M N ? ? O F .----------------------------------------------------------9 分
t
2

????

???? ?

????

(3)设点 B 的坐标为 ( t ,

)( t ? 0 ) ,则轨迹 C 的切线 BM 的方程为 y ?

t

2

?

t 2

(x ? t)

4
t
2

4

可得 R 的坐标为 ( 0 , ?

) ,----------------------------------------------------------------10 分

4

?4 y ? x t ?4 4 4 ? 2 x ?1, ? 直线 BA 的方程为 y ? 由 可得点 A 的坐标为 ( ? , 2 ) ---11 分 t ?4 4t t t x ?1 ?y ? 4t ?
2

2

∴ S ?ABR ? ∵
1 2 1 4
3

1 2

| FR | ? | xB ? xA | =

1 2

|1 ?

t

2

|?|t ?

4 t

| ?

1 2

|

1 4

t ? 2t ?
3

4 t

| -------------12 分

4

|

t ? 2t ?

4 t

| 是关于 t 的偶函数,∴只须考虑 t ? 0 的情况,

令 f (t ) ?

2 3 1 1 3 4 1 3 2 4 ( t ? 2 t ? ) ( t ? 0 )则 f '( t) ? ( t ? ? )2 ,令 f '( t) ?0 解得 t ? 2 3 2 4 t 2 4 t 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 16 3 9

∵当 t ? (0 ,

) 时, f '( t ) ? 0 ,当 t ? (

, ? ? ) 时, f '( t ) ? 0

∴当且仅当 t ?

时, f ( t ) 取得最小值 f ( t ) m in ? f (

)?

.-------14 分

21.解:(1) a ? 1, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x

当x

? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x , f

'

?x ? ? 1 ?

1 x

?

x ?1 x

? 0.

? f ? x ? 在区间 ?1, ??

? 上是递增的.
'

????2 分

当0

? x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x , f

?x ? ?

?1 ?

1 x

? 0.

? f ? x ? 在区间 ? 0 ,1 ? 上是递减的.

故a

? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ?1, ??

? ,减区间为 ?0 ,1 ? , f ? x ? min

? f ?1 ? ? 0 .????4 分

第 11 页 共 12 页

(2)若 a ? 1 ,当 x ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? ln x , f ' ? x ? ? 1 ? 则 f ? x ? 在区间 ?a , ?? ? 上是递增的; 当 0 ? x ? a 时, f ? x ? ? a ? x ? ln x , f ' ? x ? ? ? 1 ?
? f ? x ? 在区间 ? 0 , a ? 上是递减的.

1 x

?

x ?1 x

? 0.

1 x

? 0.

????6 分

若0
f
'

? a ? 1 ,当 x ? a

时, f ? x ? ?
'

x ? a ? ln x ,
0 , a ? x ? 1, f
'

?x ? ? 1 ?

1 x

?

x ?1 x

, x ? 1, f

?x ? ?

?x ? ?

0

则 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是递增的, f ? x ? 在区间 ?a ,1 ? 上是递减的; 当 0 ? x ? a 时, f ? x ? ? a ? x ? ln x , f ' ? x ? ? ? 1 ?
1 x
? f ? x ? 在区间 ? 0 , a ? 上是递减的,而 f ? x ? 在 x ? a

? 0.

处有意义;
????8 分

则 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是递增的,在区间 ?0 ,1 ? 上是递减的.
综上: 当 a ? 1 时, f ? x ? 的递增区间是 ?a , ?? ? ,递减区间是 ? 0 , a ? ; 当 0 ? a ? 1 , f ? x ? 的递增区间是 ?1, ?? ? ,递减区间是 ? 0 ,1 ? .

????9 分
1 x

(3)由(1)可知,当 a
? ln 2 2
2 2

? 1, x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0 , 即

ln x x

?1?

?

ln 3 3
2

2

?? ?

ln n n
2

2

?1?

1 2
2

?1?

1 3
2

?? ?1?

1 n
2

1 1 ? ? 1 ? n ?1? ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 3 n ? ?2

? 1 ? 1 1 1 1 ? ?1 1 1 1 ? ? n ?1? ? ? ? ? ?? ? ? n ?1? ? ? ?? ? ? ? ? ? n ?n ? 1? ? n n ?1? ?2 3 3 4 ? 2?3 3? 4

=n

? n ? 1 ?? 2 n ? 1 ? 1 ? ?1 ?1? ? ? ? ? n ?1? 2 ?n ? 1? ?2

.

????14 分

第 12 页 共 12 页


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