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一轮复习15导数的综合应用


编写人:邵凤颖

时间:2012-9-18

一轮复习 15

第十五讲

导数的综合应用

一、复习目标:1.掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤,如用 料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等. 2.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法. 二、激活记忆: 1.对任意实数 x,若 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), x>0 时, ′(x)>0,g′(x)>0, x<0 且 f 则 时,有( ) B. D. f ′(x)>0,g′(x)<0 f ′(x)<0,g′(x)<0

A. f ′(x)>0,g′(x)>0 C. f ′(x)<0,g′(x)>0

2.已知函数 y=f ′(x)的图象如右图所示(其中 f ′(x)是函 数 f(x) 的导数).下面四个图象中,y=f(x)的大致图象是( )

3.内接于半径为 R 的半圆的周长最大的矩形的边长分别是 4.设点 P 是曲线 y=x3-3x+ 的取值范围是 三、知识要点: 1.利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题 其解题的程序:读题(文字语言)?建模(数学语言)?求解(数学应用)? 反馈(检验作答)
1

.

2 上任意一点,P 点处切线的倾斜角为α ,则角α 3

.

班级

___________



__________________

____

层学生

_____________

注意事项: (1)函数建模,要设出两个变量,根据题意分析它们的关系,把变量间的关系转 化成函数关系式,并确定自变量的取值范围; (2)问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义; (3)在函数定义域内只有一个极值,则该极值就是所求的最大(小)值. 2.近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类 (1)求参数的取值范围. 多数给出单调性,利用导数研究函数单调性的逆向思维问题,灵活运用等价转 化、分类讨论、数形结合等思想方法,建立关于字母参数的不等关系. (2)用导数方法证明不等式其步骤一般是: 构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论. (3)与几何图形相关的最值问题. 根据几何知识建立函数关系,然后用导数方法求最值. 四、例题 题型一:导数与三次函数的问题 已知函数 f(x)=x3-ax2-3x.

(1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,当 x∈[1,a]时,求 f(x)的最大值和最小值.

2

题型二、利用导数证明不等式 已知定义在正实数集上的函数 f(x)=
1 2 x +2ax, g(x)=3a2lnx+b,其中 a>0.设两曲 2

线 y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用 a 表示 b,并求 b 的最大值; (2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).

题型三、导数在实际问题中的应用 受金融危机的影响,三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡.现需要对 某一景点进行改造升级,提高旅游增加值.经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投 入 x 万元之间满足:y= 当 x=10 时,y=9.2. (1)求 y=f(x)的解析式和投入 x 的取值范围; (2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 的值.

x 51 x-ax2-ln 10 50

,

x 1 ∈[t,+∞), 其中 t 为大于 的常数. 2 x ? 12 2

3

思考题:某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需 建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距 离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x )x 万元.假设桥墩等距离分 布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

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