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【数学】第二章《圆锥曲线与方程》测试(1)(新人教A版选修1-1)


圆锥曲线与方程 单元测试
A 组题(共 100 分)
一.选择题(每题 7 分) 1.已知椭圆 (
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x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

) A 2 B 3 C 5 D 7 2 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,一个焦点的坐标是(3,0) ,则 椭圆的标准方程为( )
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A

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x2 y2 ? ?1 9 16

B

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x2 y2 ? ?1 25 16

C

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x2 y2 ? ?1 D 16 25

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x2 y2 ? ?1 16 9


3

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动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A
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双曲线

B

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双曲线的一支

C

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两条射线

D

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一条射线 )

4 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于
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3 ,则椭圆的方程是( 5
x2 y2 D. ? ?1 25 9

x2 y2 A. ? ?1 100 36

x2 y2 B. ? ?1 100 64

x2 y2 C. ? ?1 25 16


5

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抛物线 y ? 10 x 的焦点到准线的距离是(
2

A

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5 2
2

B

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5

C

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15 2

D

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10

二.填空(每题 6 分) 6. 抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____
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7.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________

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8. 若曲线

x2 y2 ? ? 1表示椭圆,则 k 的取值范围是 k 1? k
2 2

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9.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为 三.解答题(13+14+14)

3 ,则它的半长轴长为_______________ 2

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10. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?
2 2

没有公共点? 11. 已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y ? 2 x ? 1 交于 P、 Q 两点, |PQ|= 15 , 求抛物线的方程
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12.椭圆的焦点为 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,点 P(3, 4) 是椭圆上的一个点,求椭圆的方程

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B 组题(共 100 分)
一.选择题(每题 7 分) 1
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以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16
B



A

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x2 y2 ? ?1 16 48 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27

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x2 y2 ? ?1 9 27
以上都不对

C

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D

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2

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过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P、Q, F1 是另一焦点,若

∠ PF1Q ? A
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?
2

,则双曲线的离心率 e 等于( B
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) C

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2 ?1

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2

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2 ?1

D

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2?2

3

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F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 ? 45 0 ,则 9 7


Δ AF1 F2 的面积为(

A

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7

B

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7 4

C

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7 2
2 2

D

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7 5 2

4

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以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的 ) B
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方程是( A C 5
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y ? 3 x 2 或 y ? ?3x 2 y 2 ? ?9 x 或 y ? 3 x 2

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y ? 3x 2
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D

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y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x


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2 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, 则 AB 的最小值为 (

A

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p 2
2 2

B

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p

C

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2p

D

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无法确定

二.填空: (每题 6 分) 6.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点坐标是 (0,2) ,那么 k ? ________
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7.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率 为 . 8.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是_______
2
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9. 椭圆

x2 y2 则△ PF1 F2 的面 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、F2 的连线互相垂直, 49 24

积为________________________. 三.解答题(13+14+14)

x2 y 2 10.已知点 P( x, y ) 在曲线 ? 2 ? 1(b ? 0) 上,求 x 2 ? 2 y 的最大值. 4 b

11 双曲线与椭圆
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x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程 27 36

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12. k 代表实数,讨论方程 kx ? 2 y ? 8 ? 0 所表示的曲线.
2 2

第 3 页 共 8 页

C 组题(共 50 分)
y1 ),P2 (x2 , y2 ) , P3 ( x3,y3 ) 在抛 1.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P 1 (x1,
2

物线上,且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP2 ? FP 1 ? FP 3


2 2

B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2

? FP3

2

? FP · FP3 1

2 2. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的

部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △AKF 的面积是________________. 3. 已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12
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使 AM ? 2 MF 取得最小值时 M 点的坐标

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4 . 设动点 P 到点 A(?1 , 0) 和 B(1, 0) 的距离分别为 d1 和 d 2 , ?APB ? 2? ,且存在常数

? (0 ? ? ? 1) ,使得 d1d 2 sin 2 ? ? ?

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· 2007·

(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M,N 两点,试 确定 ? 的范围,使 OM ? ON ? 0 ,其中点 O 为坐标原点
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y
d1 2? d2 A

P

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· 2007·

o

B

x

第 4 页 共 8 页

圆锥曲线与方程
A 组题(共 100 分)
一.选择题: 1.D 2.B 二.填空: 6. x ? ? 3.D 4.C 5.B

3 2

7.

x2 y 2 ? ? ?1 20 5

8. k ? 0

9. 1, 或2

三.解答题:

10

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解:由 ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?2 x ? 3 y ? 6

,得 2 x ? 3(kx ? 2) ? 6 ,即 (2 ? 3k ) x ? 12kx ? 6 ? 0
2 2 2 2

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 , 或k ? ? 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 , 或k ? ? 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 ?
2

6 6 ?k? 时,直线和曲线没有公共点 3 3

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11

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? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 解:设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4
p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4 x,或y 2 ? 12 x
12 解:?焦点为 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,可设椭圆方程为

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y2 x2 ? ?1; a 2 a 2 ? 25

点 P(3, 4) 在椭圆上,

y 2 x2 16 9 2 ? ? 1. ,所以椭圆方程为 ? ? 1, a ? 40 40 15 a 2 a 2 ? 25

B 组题(共 100 分)

第 5 页 共 8 页

一.选择题: 1.B 2.C 二.填空: 6.1 7. 3 三.解答题: 10.

3.C

4 .D

5.C 9.24

8. (4, 2)

解:法一:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x ? 2 y ? 4cos ? ? 2b sin ? ? ?4sin ? ? 2b sin ? ? 4
2 2 2

令 T ? x ? 2 y,sin ? ? t , (?1 ? t ? 1) , T ? ?4t ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ?
2 2

b 4



b b ? 1,即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1,即0 ? b ? 4 时, 4 4
Tmax b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

? b2 ?b? 4 ? ?4, 0 ? ( x ? 2y m ) a x? ? 4 ?2b ,b ? 4 ?
2

法二:由

x2 y2 y2 4 y2 ? 2 ? 1 得 x 2 ? 4(1 ? 2 ) 令 T ? x 2 ? 2 y 代 入 得 T ? 4 ? 2 ? 2 y 即 b b 4 b
b2 x ? 4 y b2 ? 4 ?( 2 ) 4

4 b2 2 b2 b2 ( 1 ) 当 T ? ? 2 (y ? ) ? 4? ? b即0 ? b ?4 时 b 4 4 4 b2 当 ? b时即b ? 4时 x ? b 4 ymax ? 2b ? ( x ? 2 y ) max
2

m a x

? b2 ? ? 4, 0 ? b ? 4 ?? 4 ?2b, b ? 4 ?

11.解:由题意知双曲线焦点为F1 (0, ?3) F2 (0,3) ,可设双曲线方程为 点 ( 15, 4) 在曲线上,代入得 a ? 4或a ? 36(舍)
2 2

y2 x2 ? ? 1, a2 9 ? a2

? 双曲线的方程为

y 2 x2 ? ?1 4 5

12.解:当 k ? 0 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k
2

当 k ? 0 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行于 x 轴的直线 y ? 2或y ? ?2 ;

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 当 0 ? k ? 2 时,曲线 8 4 k

第 6 页 共 8 页

当 k ? 2 时,曲线 x ? y ? 4 为一个圆;
2 2

当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆 8 4 k

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C 组题(共 50 分)
1.C 2. 4 3

3.显然椭圆

x2 y2 1 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 16 12 2



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值,

x2 y2 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 16 12
而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3)
2 2 2 4.解: (1)在 △PAB 中, AB ? 2 ,即 2 ? d1 ? d 2 ? 2d1d 2 cos 2? ,

4 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4d1d 2 sin 2 ? ,即 d1 ? d 2 ? 4 ? 4d1d 2 sin 2 ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数) ,
点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,实轴长 2a ? 2 1 ? ? 的双曲线
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x2 y2 方程为: ? ?1 1? ? ?

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(2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) ①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x ? 1 , M (11) , , N (1, ? 1) 在双曲线上
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1 1 ?1 ? 5 5 ?1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? 1? ? ? 2 2
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②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1)

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? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 2 由 ?1 ? ? ? 得: ? ?? ? (1 ? ? )k ? ? x ? 2(1 ? ? )k x ? (1 ? ? )(k ? ? ) ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?

第 7 页 共 8 页

2 由题意知: ? ?? ? (1 ? ? ) k ? ? ?0,

所以 x1 ? x2 ?

?2k 2 (1 ? ? ) ?(1 ? ? )(k 2 ? ? ) , x x ? 1 2 ? ? (1 ? ? )k 2 ? ? (1 ? ? )k 2
2

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于是: y1 y2 ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?

k 2? 2 ? ? (1 ? ? )k 2

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因为 OM ? ON ? 0 ,且 M,N 在双曲线右支上,所以

(1 ? ? ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?k 2 ? ? ? ? ? (1 ? ? ) 2 ? ? 5 ?1 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ?1 1? ? ? ??? ? x1 ? x2 ? 0 2 3 ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? 1 2 ? 1? ? ?
由①②知,

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5 ?1 2 ≤? ? 2 3

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