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江西省2015年高三九校联合考试理数


2015 年江西省

南城一中 南康中学 高安中学 彭泽一中 泰和中学 樟树中学

高三联合考试

数学试卷(理科)
命题:高安中学、泰和中学、分宜中学 注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间为 120 分钟. 2、本试卷分试题卷和答题卷,第Ⅰ卷(选择题)

的答案应填在答题卷卷首相应的空格内,做 在第Ⅰ卷的无效.
一.选择题(12×5 分=60 分) 1. 已知集合 A={x||x|≤2,x∈Z},B=?x? >0,x∈R ?,则 A∩B=( ? ? ? ?x+1 ? C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2}
? ?

1

? ?

)

A.(-1,2]

B.[0,2]

2.若复数 z ? (cos ? ? ) ? (sin ? ? )i 是纯虚数,则 tan ? ? ?
A.-7 C.7 D. ?7 或 ?

3 5 1 B. ? 7

4 5

? ?

??

? 的值为( 4?



1 7

3.下列四个命题

?1? ?1? p1 : ?x ? (0, ??), ? ? ? ? ? ; p2 : ?x ? (0,1), log 1 x ? log 1 x ? 2? ?3? 2 3
1 ?1? ?1? p3 : ?x ? (0, ??), ? ? ? log 1 x ; p4 : ?x ? (0, ), ? ? ? log 1 x 3 ?2? ?2? 3 2
其中的真命题是( A. p1 , p3 ) C. p2 , p4 D. p2 , p3 B. p1 , p4
x

x

x

x

4.如右图,程序框图箭头 a 指向①时,输出 s= 箭头指向②时, 输出 s= A.7; 7! B.6; 6! C.7; 7 D.6; 6 5.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数
6 9 12

f ? x? ? x( x ? a1 )(x ? a2 ) (x ? a8 ) ,则 f ?(0) ? (


15

A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

)

16 3

B.

80 3

C.

64 3

D.

43 3

7.将 6 名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力,投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设 人数上限) ,每人只参加一项,则共有 x 种不同的方案,若每项比赛至少要安排一人时,则共 有 y 种不同的方案,其中 x ? y 的值为( ) 1269 1206 A. B. C. 1719 D. 756
2015 年江西省九所重点中学联合考试数学(理)试卷 第1页 共4页

?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? 8. 设 x 、 y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8, x ? 0 ? ? ?y ? 0 2 1 则 log 2 ( ? ) 的最小值为( ). a b 1 1 A. B. 2 C. 6 D. 2 6 9、 已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点,4PB ? 5PC ? 3PA ? 0 , 现将一粒红豆随机撒在 ?ABC 内, 则红豆落在 ?PBC 内的概率是( ) 1 1 5 1 A. B. C. D. 4 3 12 2
10.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 为球 O 的直径,且 SC ? OA , SC ? OB ,
?OAB 为等边三角形,三棱锥 S-ABC 的体积为

A.

?
2 2

B.

4?

3 ,则球 O 的表面积为( 6 C. 12? D. 18?



x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,若 2 a b ?? ? ? AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为( ) ?6 4? 2 2 2 3 3 6 A. [ B. [ C. [ D. [ , 3 ? 1] ,1) , ] , ] 2 2 2 2 3 3 12.已知 R 上的不间断函数 g ? x ? 满足:①当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 恒成立;②对任意的 x ? R 都有
11.已知椭圆

g ? x ? ? g ? ? x ? 。又函数 f ? x ? 满足:对任意的 x ? R ,都有 f

2 3 ? x?? ? f ? x ?? ? ? g ? a ? a ? 2 ? 对 x ?? ?3,3? ?0, 3 ? 时, f ? x ? =x ? 3x 。若关于 x 的不等式 g ? 恒成立,则 a 的取值范围为( ) 0 ? a ? 1 A. a ? 0或a ? 1 B. C. ?1 ? a ? 1 D. a ? R

?

3 ? x ? ? f ? x ? 成立,当

?

二.填空题(4×5 分=20 分) 2 13.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ),且 P(X<4)=0.8,则 P(0<X<2)=________. 14.

?

1

?1

( x 2 ? 4 ? x 2 )dx



15. 已 知 OA ? 1 , OB ? m , ?AOB ?

3 ? , 点 C 在 ?AOB 内 且 OA ? OC ? 0 若 4

OC ? 2?OA ? ?OB(? ? 0) 则 m= ? x, x ?[?1, 0) ? ? 16.已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f(x)-kx-3k=0 有两个实数根,则 k 的取 1 ? f ( x ? 1) ? 1, x ?[0,1) ?
值范围是 。

2015 年江西省九所重点中学联合考试数学(理)试卷

第2页

共4页

三、解答题(17、18、19、20、21 每题各 12 分,选作题 10 分,共 70 分) 17、 (本小题 12 分) 设数列 ?an ? 为递增的等比数列,且 ?a1 , a3 , a5 } ? ?? 8,?3,?2,0,1,4,9,16,27} .数列 ?bn ? 满足

b1 ? 2, bn?1 ? 2bn ? 8an .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II) 设数列 ?cn ? 满足 cn ? 都成立的正整数 m 的最小值

1 * 4n , 且数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn, 并求使得 Tn ? 对任意 n∈N am bn bn?1

18. (本小题 12 分) 某旅游景点推出了自动购票机,为了解游客买票情况及所需时间等情况,随机收集了该景点 100 位游客的相关数据,如图所示: (将频率视为概率)

已知这 100 位游客中一次购票超过 2 张的游客占 55%. (1)求 x,y 的值; (2)求游客一次购票所需时间 X 的分布列和数学期望; (3)某游客去购票时,前面恰有 2 人在买票,求该游客购票前等候时间超过 1.5 分钟的概率。

19. (本小题 12 分) 如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O , PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时, 求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

第 19 题图

20、 (本小题 12 分) 已知椭圆 C1,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,从两条曲线上各取两个点,将其坐标混合记录于
2015 年江西省九所重点中学联合考试数学(理)试卷 第3页 共4页

下表中:

x y

- 2
3

2 ﹣ 2

6

-1

9 3

(1)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的标准方程. (2)过椭圆 C1 右焦点 F 的直线 l 与此椭圆相交于 A,B 两点,若点 P 为直线 x=4 上任意一点, (I)试证:直线 PA,PF,PB 的斜率成等差数列。 (II)若点 P 在 X 轴上,设 FA ? ? FB, ? ? ? ?2, ?1? ,求 PA ? PB 取最大值时的直线 l 的方程。

21、 (本小题 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2 x , g ( x) ? x ? (2 ? a) x ? (2 ? a)ln x ,其中 a∈R(1)判断 f(x)

的单调性; (2) 若 g(x)在其定义域内为增函数, 求正实数 a 的取值范围; (3) 若函数 F(x)=f(x)-g(x) 存在两个零点 m,n(0<m<n),且 2x0=m+n.问:函数 F(x)在点(x0,F(x0))处的切线能否平行于 x 轴?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 (满分 10 分) 22.本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 为直角三角形, ?ABC ? 90 ,以 AB 为直 径的圆交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连 OD 交圆 O 于 点M . (1)求证: O, B, D, E 四点共圆; (2)求证: 2DE ? DM AC +DM AB .
2 ?

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

3 ? x ? ?1 ? t ? ? 5 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).若以坐标原点 O 为极 ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ? ?? ? 点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? ? ? . 4? ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.
24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a 。 (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (? n) 成立,求实数 m 的取值范围。
2015 年江西省九所重点中学联合考试数学(理)试卷 第4页 共4页

九校联考理科数学答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求) 1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 9.A 10.B 11.A 12.A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 0.3 14.

2? ? 2 ? 3 3

15. 2 2

16.(0,

1 ] 2

三、解答题(本大题共六个大题,满分 70 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17 解: (Ⅰ )数列

?an ? 为递增的等比数列,则其公比为正数,又 ?a1, a3 , a5? ? ??8, ?3, ?2,0,1,4,9,16,27? ,当且仅当 a1 ? 1, a3 ? 4, a5 ? 16 时成立。此时公比
q2 ? a3 ? 4,? q ? 2 a1
所以 an

? 2n?1 (n ? N*) .

3分



因为

bn?1 ? 2bn ? 8an ,所以 bn?1 ? 2bn ? 2n?2 ,即

bn ?1 bn ? ? 2. 2n ?1 2n

所以 ? 所以

b ? bn ? ? 1 ,公差为 2 的等差数列. 是首项为 1 n ? 21 ?2 ?

bn n 6分 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,所以 bn ? (2n ?1) 2 . n 2 n 1 1 1 1 , (II) cn ? 4 ? ? ( ? ) bn bn?1 2(2n ? 1)(2n ? 1) 4 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8分 Tn ? ( 1 ? ? ? ? ? ? ) (?1 ? ) 4 3 3 5 n ?2 1 n? 2 1 4 n? 2 1

1 当 n=1 时,Tn 取得最小值 ,…10 分 Tn ? Tn?1 ,n∈N*,即数列{Tn}是递增数列.∴ 6 1 1 1 要使得 Tn ? 对任意 n∈N*都成立,结合(Ⅰ)的结果,只需 ? m ?1 , 6 2 am m ? Z ,? m ? 4 ,故正整数 m 的最小值为 4。 12 分 18.解析:由题得 30+y+10=55 即 y=15,所以 x=20……………3 分
(1) X 的可能取值为 30,35,40,45,50 则

p( x ? 30) ?

20 1 25 1 ? , p( x ? 35) ? ? 100 5 100 4

30 3 15 3 p( x? 4 0 )? ? ,p x ( ? 4 5? ) ? 100 10 100 20

p ( x ? 50) ?

10 1 ? ……………………………………………6 分 100 10
X P 30
1 5

则 X 的分布列 35
1 4

40
3 10

45
3 20

50
1 10

1 1 3 3 1 ? 35 ? ? 40 ? ? 45 ? ? 50 ? ? 38.5 ……8 分 5 4 10 20 10 (2) 记 A 为事件“该游客购票前等候时间超过 1.5 分钟”则:
即 X 的数学期望为 E ( X ) ? 30 ?

P( A) ? p( x1 ? 45) ? p( x2 ? 50) ? p( x1 ? 50) ? p( x2 ? 45) ? p( x1 ? 50) ? p( x2 ? 50) ? 3 1 1 3 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?????12分 20 10 10 20 10 10 25

19.解:法 1: (Ⅰ)连结 BD ,∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴PA ? BD , BD ? AC 又∵ , AC PA ? A ,∴BD ? 平面 PAC , 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴EF // BD , ∴EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF ,∴ 平面 PAC ? 平面 NEF ;…………4 分 OM PC // MEF (Ⅱ )连结 ,∵ 平面 ,平面 PAC 平面 MEF ? OM ,

PM OC 1 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 …………………8 分 PA AC 4 (Ⅲ )∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴NO ? EF , ∴?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ∵点 M 是 PA 的中点,∴AM ? NC ? 2 , 所以在矩形 MNCA 中,可求得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 ……10 分
∴PC // OM ,∴ 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ? ∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

MO 2 ? ON 2 ? MN 2 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33
…………………12 分

33 . 33

法 2: (Ⅰ)同法 1; (Ⅱ )建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) , C (4, 4,0) , E (4, 2,0) , F (2, 4,0) , ∴PC ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2, 2,0) , 设点 M 的坐标为 (0, 0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) , 所以 ?

?n ? ME ? 0 ? ? ?n ? EF ? 0

,即 ?

?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 6 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? ,故 n ? (1,1, ) , m m ??2 x ? 2 y ? 0

24 ? 0 ,解得 m ? 3 , m 故 AM ? 3 ,即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点;故 PM : MA ? 1: 3 ………8 分 (Ⅲ ) N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,
∵PC // 平面 MEF ,∴PC ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ? 则?

? ?m ? EN ? 0

? ?m ? EF ? 0 则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) , 当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) ,
∴cos ? m, n ??

,即 ?

?2 y ? 2 z ? 0 ,令 x ? 1 , ? 2 x ? 2 y ? 0 ?

1?1? 3 33 , ?? 33 3 ? 11 33 ∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ? .------------12 分 33
20、解: (1)设抛物线方程为 y2=mx,分别将四个点代入解得 m= ?

3 6 ,m=1,m= ,m=1, 2 6

故抛物线方程为 y2=x;即点(2,- 2 )和(9,3)在抛物线上。因此(-2,- 3 ) ( 6 ,-1)两个点为椭圆 C1 上两点,设椭圆方程为:
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,将上述两个点坐标代入解 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1. 得: a =8,b =4, 故椭圆方程为: 4分 8 4 (2) (I)设 AB : x ? ty ? 2 ,代入 x2 ? 2 y 2 ? 8 ? 0, 消去 x,可得 (t 2 ? 2) y 2 ? 4ty ? 4 ? 0, ?4t ?4 ? y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 , 不妨令 P(4,y0 ), 则有: t ?2 t ?2 y ? y y ? y2 4 y0 ? (2 ? ty0 )( y1 ? y2 ) ? 2ty1 y2 kPA ? kPB ? 0 1 ? 0 ? ? y0 ? 2kPF 2 ? ty1 2 ? ty2 4 ? 2t ( y1 ? y2 ) ? t 2 y1 y2 7分 ? 直线 PA,PF,PB 的斜率成等差数列
(II)因为 FA ? ? FB, ,所以 ,且 λ<0.又

? y1 ? y2 ?

?4t ?4 y ? y2 1 , y1 y2 ? 2 ,? 1 ??? ?t, t ?2 t ?2 y1 y2 ? 1 5 5 由 λ∈[﹣2,﹣1] ,得 ? ? ? [? , ?2] ,? t ? [ ? , ?2] ? 2 2 因为 PA ? ( x1 ? 4, y1 ), PB ? ( x2 ? 4, y2 ) ,所以 PA ? PB ? ( x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ) ? (ty1 ? ty2 ? 4, y1 ? y2 )
2

?4t 2 ?4t 2 (8t 2 ? 8)2 ? 16t 2 2 ? 4) ? ( ) ? t2 ? 2 t2 ? 2 (t 2 ? 2)2 5 33 1 ? 4 1 ? 2 令 m ? t ? 2 ,因为 t ? [ ? , ?2] ,所以 m ? [6, ], ? ? , ? 2 4 m ? 33 6 ? 2 2 (8m ? 8) ? 16(m ? 2) 112 32 4 ? 64 ? ? 2 ? 2( ? 7) 2 ? 34 所以 PA ? PB ? 2 m m m m 2 33 5 当 m= 即 t= ? 时, PA ? PB 的值最大。 2 4 5 2x+5y-4=0 此时方程为 x ? ? y ? 2, 即: 12 分 2
故 PA ? PB ? (ty1 ? ty2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? (
2 2 2

21、解: (1)

a ?2 x ? a ?2 ? x x a ? 0时,-2x+a ? ??即f '(x)<0 ∵ x>0,∴ ∴ f(x)在(0,+ ? )上单调递减. f ( x) ? a ln x ? 2 x   ? f '( x) ?
当 a ? 0 时,f(x)在(0, 3分

a a )上单调递增,在( ,+ ? )上单调递减 2 2 2 (2)∵ g ( x) ? x ? (2 ? a) x ? (2 ? a)ln x ,x>0
∴ g '( x) ? 2x ? (2 ? a) ?

2 ? a 2 x 2 ? (2 ? a) x ? (2 ? a) ,若 g '( x) >0,在 x>0 上恒成立,则 ? x x 1 ? ? 恒成立。 2 x2 ? (2 ? a) x ? (2 ? a) >0 恒成立,∴ a ? 6 ? 2 ?(x ? 1)?   x ? 1? ? ?

而当 x>0 时

1 ? ? .? a ? ? (x ? 1)? ? 2  ? x ? 1? ? ?

6分

(3)设 F(x)在(x0,F(x0) )的切线平行于 x 轴,其中 F(x)=2lnx﹣x2﹣ax 2 ?2 ln m ? m ? am ? 0    ( 1) ? 2 2 ln n ? n ? an ? 0    (2) 结合题意,有 ? ? ? ?m ? n ? 2 x0       (3) ? ? 2 ? 2 x0 ? a ? 0    (4) ? ? x0 (1)﹣(2)得 2 ln

m ? (m ? n)(m ? n) ? a(m ? n) n

m n ? 2 x , 由(4)得 a ? 2 ? 2 x 所以 a ? 0 0 x0 m?n m 2( ? 1) m 2(m ? n) 所以 ln = ? n   (5) 9 分 m n m?n ?1 n m 2(t ? 1) ? 0(t ? (0,1)) 设 t ? ? (0,1) , (5)式变为 ln t ? n t ?1 2ln
2(t ? 1) 1 2(t ? 1) ? 2(t ? 1) ? t ? 1? ? 4t ? t ? 1? (t ? (0,1)) , h '(t ) ? ? ? ? ?0 设 h(t ) ? ln t ? 2 2 2 t ?1 t t ? t ? 1? t ? t ? 1? ? t ? 1?
2 2

所以函数 h(t ) ? ln t ?

2(t ? 1) 在(0,1)上单调递增,因此, h(t ) ? h(1) ? 0 , t ?1

m ? 1) m n ln 也就是 < 此式与(5)矛盾。   m n ?1 n 2(
所以 F(x)在(x0,F(x0) )的切线不能平行于 x 轴 12 分 22、解: (1)连接 BE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB, OD ? OD ,所以 ?ODE ? ?ODB , 所以 ?OBD ? ?OED ? 90 (2) 延长 DO 交圆于点 H , 故 D, E, O, B 四点共圆. ……………… ……5 分

DE2 ? DM DH ? DM ? DO+OH ? ? DM DO+DM OH

?1 ? ?1 ? DE 2 ? DM ? AC ? +DM ? AB ? 即 2DE 2 ? DM AC +DM AB ……… ……10 分 ?2 ? ?2 ? ?? ? 23、解:(1) 由 ? ? 2 sin ? ? ? ? 得: ? ? cos ? ? sin ? 4? ? 2 2 2 两边同乘以 ? 得: ? ? ? cos? ? ? sin ? ∴ x +y ? x ? y ? 0
即? x ?

? ?

1? ? 1? 1 ? +? y ? ? ? 2? ? 2? 2

2

2

……………… ……5 分

(2)将直线参数方程代入圆 C 的方程得: 5t ? 21t ? 20 ? 0 ,
2

t1 ? t2 ?

21 , t1t2 ? 4 5

MN ? t1 ? t2 ?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ?

41 5

…………… ……10 分


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