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第五章 三角函数


5.1.1 任意角的概念 一、知识梳理 1.一条射线由原来的位置 OA,绕着它的端点 O,按逆时针(或顺时针)方向旋转 到另一位置 OB 就形成 . 2. 旋转开始位置的射线 OA 叫角 α 的 ,终止位置的射线 OB 叫做角 α 的 ,端点 O 叫做角α 的 。 3.按 方向旋转所形成的角叫做正角; 按 方向旋转所形成的角叫做 负角;当射线没有作任何旋转时,所形成的角叫做 . 4.将角的顶点与 重合,角的始边在 x 轴的 ,此时,角的终边在第 几象限,就把这个角叫做第几象限的角.终边在坐标轴上的角叫做 。 二、基础题目训练 1.说出以下角各属于第几象限,并判断他们是什么角? 45° ; 140° ; -230° ; ?160° ; 30° ; 390° ; -330° 2. 在直角坐标系中分别作出下列各角,并指出它们是第几象限的角: ⑴ 60° ; ⑵ ?210° ; ⑶ 225° ; ⑷ ?300° . 3.在直角坐标系中,判断下列各语句的真,假. (1)第一象限的角的一定是锐角; (2)锐角是第一象限角 (3)小于 90° 的角一定是锐角; (4)第一象限的角一定是正角 三、能力提高训练 1.680° 角是第 象限角,?1060° 是第 象限角。 2.已知角α 是第一象限的角,则-α 角为第 象限的角。 3.下列各角中,是界限角的为( ) A.1200° B. -1140° C. -1350° D. 1850° 4.- 640° 角为( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第三象限角 5.1.2 终边相同的角 一、知识梳理 一般地,与角 ? 终边相同的角(包括角 ? 在内) ,都可以表示为 的形式.与角 ? 终边相同的角有无限多个,它们所组成的集合为 S ? { } . 二、题型训练 1. 120° +k·360° (k∈Z)表示第 象限的角。 2.在 0° ~360° 范围内与-510° 终边相同的角是 。 3.与 330° 角终边相同的角为( ) A.-60° B. 390° C. -390° D. -45° 3.写出与下列各角终边相同的角的集合,并判断它们分别为第几象限的角 ⑴ 75° ; ⑵ 170° ; ⑶ -95° ; ⑷600° .

4.在 0° ~360° 范围内,找出分别与下列各角终边相同的角 (1)-54° (2)420° (3)-490°

(4)-330.,°

5.2.1 弧度制 一、知识梳理

1 圆弧所对的圆心角叫做 , 记作 1° 。 1 度等于 分 (1°=60′) , 360 1 分等于 秒(1′=60″) . 2.以度为单位来度量角的单位制叫做 . 3.将 叫做 1 弧度的角,记作 1 弧度或 1rad.以弧度为 单位来度量角的单位制叫做 。 4.规定:正角的弧度数为 ,负角的弧度数为 ,零角的弧度数为 。 5. 角 ? 的弧度数的绝对值等 即 。 2 πr 6. 半径为 r 的圆的周长为 ,故周角的弧度数为 (rad) ? 2 π(rad) r 7. 360° = rad,即 180° = rad.1° = rad 1rad= ° 二、基础题型训练 1. 把下列各角从角度化为弧度(口答) : 180° ; 90° ; 45° ; 15° ; ? ? ? ? 60° ; 30° ; 120° ; 270° . ? ? ? ? 2. 把下列各角从弧度化为角度(口答) : π π π ; ; ; ; ? ? ? π ? 2 4 8
1.将圆周的

2π π π π ; ; ; . ? ? ? ? 3 6 12 3 3. 把下列各角从角度化为弧度: ⑴25° ; ⑵?260° ; ⑶ 135° ; ⑷ 67°30′. 4. 把下列各角从弧度化为角度: π 2π 4π ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ? ; ⑷ ?6π . 15 5 3
5.写出与

11? 终边相同的角的集合,并指出其所在象限。 3

三、能力提高训练 1. 若扇形的半径为 20cm,圆心角为 60° ,则该扇形的弧长 l ? 积S ? . 2.把各角从弧度化成度,从度化成弧度 ? ______ 7 ? ? __ ? 135? ? _______ 1200? ? ______ ? 3 18 3.已知: 2? ? 360 , 那么 1 弧度=( )

,扇形面

A.

?
180

B. 1

C. 60

D.

180

?

4. ?100 是第(

)象限的角.

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.终边与 X 轴重合的角 ? 的集合是( )
? ? A. ? ?? |? =2k? ? , k ? Z ?
? 2 ?

? ? B. ? ?? |? =2k? ? , k ? Z ?
? 2 ?

C. ??|? =k? , k ? Z? 6. 315 角的弧度数( A.
?

? ? D. ? ?? |? =k? ? , k ? Z ?
? 2 ?

) C. ?

3 ? 4
?

B.

7 ? 4

?
4
?

D.

5 ? 4
)

7.圆半径 r ? 2cm ,弧长 l ? 4cm ,则该弧所对的圆心角是( A. 0.5 B.0.5 弧度 C. 2 D.2 弧度 )

8.将分针拨慢 10 分钟,则分钟转过的弧度数(

? ? ? B.- C. D.- 3 6 6 2 9 . 某 扇 形 的 面 积 为 1 cm , 它 的 周 长 为 4 cm , 那 么 该 扇 形 圆 心 角 的 度 数 为
( ) A.2° B.2 10.下列说法正确的是 A.1 弧度角的大小与圆的半径无关 C.圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等 C.4° D.4 ( ) B.大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大 D.用弧度表示的角都是正角

? A. 3

5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 一、知识梳理 1 Rt ABC 中, sin ? ? B c A a C 、 cos? ? y 、 tan? ? P(x,y) (B) r y x 、 tan? ? . .

?
b

?

x O (A) M(C) c 2. 三角函数的定义可以写作 sin ? ? 、 cos? ? o 3. 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示: s

?
=
横坐标 x ? P到原点的距离 r

三角函数

定义域

cos? tan ?
二、基础题型训练 1. 已知角 ? 的终边经过点 P(1, 3 ) ,则 sin ? ? , tan? ? 、 tan? ?

sin ?

2.设点(-

1 3 , )在角 ? 的终边上,则 cos? ? 2 2



3. 已知角 ? 的终边上的点 P 的坐标如下,分别求出角 ? 的正弦、余弦、正切值: ⑴ P(3,4) (2)P(-5,2) (3)P(

1 2 ,- ) 2 2

5.3.2 各象限角的三角函数值的正负号、界限角的三角函数值 一、知识梳理 1. 由于 r ? 0 ,所以任意角三角函数的正负号由终边上点 P 的 来确定. 2.当角 ? 的终边在第一象限时,点 P 在第一象限, x 所以,sin ? 0, cos ? 0,tan ? 0。 0,y 0 0,y 0

3.当角 ? 的终边在第二象限时,点 P 在第二象限, x 所以,sin ? 0, cos ? 0,tan ? 0。

4.当角 ? 的终边在第三象限时,点 P 在第三象限, x 所以,sin ? 0, cos ? 0,tan ? 0。

0,y

0

5 当角 ? 的终边在第四象限时,点 P 在第四象限, x 所以,sin ? 0, cos ? 0,tan ? 0。

0,y

0

6.判断任意角三角函数值的正负号时,首先要判断出角 7.sin30° = ,cos45° = 8.界限角的三角函数值 0
sin ?



,tan60° =



? 2

?

3? 2

2?

cos?

tan?

二、基础题型训练 1. 判定下列角的各三角函数正负号, sin306° 2.sin(-) 0,tan(-

0, cos306°

0,tan306°

0.

? ) 3

0,(填“<”或“>”). 0。

3.设角 ? 的终边经过点 P(-1,5) ,则 sin ? 0, cos ? 0,tan ? 4.若 cos ? >0,.则角 ? 的终边在第 象限。 5.sin90° = , cos0= , tan270° = Cos2 ? = , tan45° = , cos ? = 三、能力提高训练 (一)选择题 1.如果 sin ? ·tan ? >0,那么 ? 一定在( ) A.第二象限 B.第二、四象限 C. 第一、四象限 D.第一、二象限 2.若 ? ∈(0,2 ? ) ,且 sin ? >cos ? ,则必有( ) A. 0< ? < ? B.

? < ? <2 ? 2

C.

5? ? <? < 4 4

D. 以上都不对

3.设 ? 是第二象限角,则必有( ) A. tan ? ·cos ? <0 B. sin ? ·tan ? >0 4.已知 ? =

C. sin ? ·cos ? <0 )

D.以上都不对

5? ,则角 ? 所在象限是( 6
B.第二象限

A. 第一象限

C.第三象限

D.第四象限 ) D.第二或第四象限 ;当 cos A ? 3 时,则
2

5.如果 ? 是第二象限角,那么 A. 第一象限 (二)填空题 B.第二象限

? 所在的象限是( 2

C.第一、或第三象限
3 时,则 A ? 3

1.设 A 是三角形的一个内角,当 tan A ?
A?

;当 sin A ? 1 时,则 A ?
2



2.化简 tan 60 ? 2sin120 ? ________ 3.判断下列三角函数值的符号(用“>0” “<0”表示)

sin 192? 42' __________
(三)计算题

tan(?1050? ) ? ____________

1. 5 sin 900 ? 4 sin 0 0 ? 3 sin 2700 ? 10 cos1800

? ? 1 ? 3? 2. cos ? tan ? tan 2 ? sin ? cos ? . 2 4 3 3 2

3.sin

?
2

-cos0+2sin

3? 2

-tan

?

5.4 同角三角函数的基本关系 一、知识梳理 1.在直角坐标系中,以 为圆心, 2.同角三角函数的关系式为: 二、基础题型训练 1. 已知 sin ? ? 为半径的圆叫作做单位圆。 , . , tan ? ? 。 。

3 且 ? 是锐角,则 cos? ? 2 2.设角 ? =30° ,则其终边与单位圆交点的坐标为
3.设 sin

?= ?=

1 2

,且

? 是第二象限的角,则 tan ? = ? 是第一象限的角,则 cos ? =
5 ,则 sin ? ? ( 12 5 5 C. D. ? 13 13


4.设 sin 5.

3 2

,且

? 是第四象限角, tan ? ? ?
1 5
B. ?

A.

6.解答题:角

? 的终边经过点 P(5,-12) ,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值。

1 5

7.已知 sin

?=

4 5

, 且

? 为第二象限的角,求 cos ? ,tan ? 的值。

8..化简

sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos(5? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? )
( D. ?
6 12

三、能力提高训练
1 1.已知 cos? ? ,且 tan? ? 0 ,则 sin ? ? 5



A. ?

2 6 5

B.

6 12

C. ?

2 6 5

2.已知 sin ? ?

3 , ? ? [ ? , ? ] ,则 cos? 的值等( 5 2



A.

4 5

B。 ?

4 5

C.

5 4

D. ?

5 4
)

3.已知 P( tan? , sin ? )是第三象限的点,则 ? 所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )

4.若角 ? 的终边经过点 P(-3,-4),则 tan ? 的值等于(

3 A. 4

4 B. 5

4 C. 3

3 D. ? 5

5.已知点 P( 3,1 )在角 ? 的终边上,求角 ? 的三个三角函数

6.已知 tan ? =2,求

3sin ? ? 2 cos ? 的值. 2 sin ? ? cos ?

5.5 诱导公式 一、知识梳理 1.终边相同角的同名三角函数值 2. 特殊角的三角函数 角度 弧度 三 角 函 数 sin cos tan 30
0



45

0

60

0

90

0

0

0

180

0

270

0

2. 诱导公式:即当 k ? Z 时,有 sin( ? +2k ? )= sin(- ? )= sin( ? + ? )= cos( ? +2k ? )= cos(- ? )= cos( ? + ? )= tan( ? +2k ? )= tan(- ? )= tan( ? + ? )=

sin( ? -α )=_______ cos( ? -α )=_______ tan( ? -α )=_______ 二、基础题型训练 1.填空题 (1)sin210° = (2)sin135° = (3)sin , , cos30° = cos225° = , cos , tan210° = , tan(-315° )= , tan(, , , ,

11? = 3

(4)sin((5) cos

? )= 3

? = 4 7? , cos = 4
tan 8? = 3
,

5? )= 6 11? , tan( )= 6

9? = ; 4 (5)计算 sin45° +tan60° =

; cos870 =

7? 7? 3? 2.求 3 、 4 、 6 的正弦、余弦、正切。

3.求

? 23? 、 ? 34? 、 ? 56? 的正弦、余弦、正切。

5? 11? 23? 4.求 3 、 4 、 6 的正弦、余弦、正切。

三、能力提高训练 1.填空题 (1)sin240° = (2)sin495° = , , cos120° = cos135° = , tan300° = , tan(-405° )= , ,

13? = 6 4? (4)sin()= 3
(3)sin

, cos

22? = 3 23? , cos = 4

, tan(-

7? )= 3 49? , tan()= 4

, ,

2.求下列各个角的正弦、余弦、正切。 4? 25? 41? 15? 4 、 3 、 6 6 、

?

3.设 ? 为第一象限的角,且 sin ? = 5 , 求

3

sin(? ? ? ) ? cos(5? ? ? ) sin(? ? 6? ) ? 2 cos(2? ? ? )

4. 已知 sin( ? ? 2? ) = 5 , 求 cos(2 ? + ? )·tan( ? - ? )

3

5.6 三角函数的图像和性质 一、知识梳理 (一) 正弦函数的图解和性质 1. 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T ,当 x 取定义域 D 内的每一 个值时,都有 ,并且等式 成立,那么,函数 y ? f ( x) y ? f ( x) 叫做周期 . , 简称周期。 正弦函数的周期是 。

函数,常数 T 叫做这个函数的一个 2. 通常把周期中最小的正数叫做

3. 一般地,设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上有定义,如果存在一个正数 M,对任

意的 x ? (a, b) 都有|f(x)|<M,那么函数 y ? f ( x) 叫做区间 ( a, b) 内的 的M ,函数 y ? f ( x) 叫做区间 ( a, b) 上的无界函数 4. 正弦函数 y ? sin x 的定义域是实数集 R .具有下面的性质: (1)是 R 内的 函数,其值域为 .

.如果这样

? .当 x ? ? 2k? (k ? Z ) 时, ymax ? 2



? 当 x ? ? ? 2k ?(k ? Z) 时, ymin ? ?
(2)是周期为 (3)奇偶性:是 (4) 在每一个区间 间 的周期函数. 函数.

都是增函数,其函数值由?1 增大到 1;在每一个区

上都是减函数,其函数值由 1 减小到?1. 5. 正弦函数 y ? sin x 在 ?0,2?? 上的图像中有五个关键点: (二)余弦函数的图像和性质 1.余弦函数的定义域是 2.有界性:是 . .当 x= 时, y max ? 1 ;当 x= 时, 。

函数,其值域为

ymin ? ?1 .

3. 周期性:余弦函数是周期为 2 π 的函数. 4. 奇偶性:是 5.在区间 函数. 内是增函数,函数值从 ? 1 增加到 1 ;在区间 内是

减函数,函数值从 1 减少到 ? 1 二、基础题型训练 1.选择题 (1)函数 y ? 3 sin( 2 x ? A.3 B.1

?
3

) 的最小值是(
C.-3 ) D.

) D.-1

(2)y= ? 5 sin( 2 x ? A.

?
3

) 周期是 (
C.

?

B. 2?

3?

4?

(3)下列函数中,既是以π 为最小正周期,又在[0, A、y=sin2x B、y=cos2x C、y=|sinx|

? ]上单调递增的是 ( 2
D、y=-cosx

)

(4)图像经过点( ? ,1)的函数是(
A..y=sinx B.y=-sinx C.y=cosx


D.y=-cosx

(5)函数 y=2sinx 是(
A.奇函数 B.偶函数


C.既是奇函数 ,又是偶函数 D.非奇非偶函数

2.函数 y=sinx 的单调增区间是_____________________。

sin( ? + ? )= A. B. C. D. 306° 一、知识梳理 ? 二、基础题型训练 三、能力提高训练

?


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