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2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷)


浙江文科
1.(2012 浙江,文 1)设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则 P∩(?UQ)=( A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5} D.{1,2} D 由已知得,?UQ={1,2,6},所以 P∩(?UQ)={1,2}. 2.(2012 浙江,文 2)已知 i 是虚数单位,则 3 ? i =( A.1-2i B.2-i 2 D ∵ 3 ? i = (3 ? i)(1 ? i) = 3 ? 3i ? i ? i =1+2i, 2 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) ∴选 D. 3.(2012 浙江,文 3)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( ). ).

1? i C.2+i

). D.1+2i

A.1 cm3

B.2 cm3

C.3 cm3

D.6 cm3

A 由三视图得,该三棱锥底面面积 S= 1 ×2×1=1(cm2),高为 3 cm,由体积公式,得 V= 1 Sh= 1 ×1×3=1(cm3).

2
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3

4.(2012 浙江,文 4)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的(

3 ).

C l1 与 l2 平行的充要条件为 a× 2=2× 且 a× 1 4≠-1× 1,得 a=1,故选 C. 5.(2012 浙江,文 5)设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面,( ). A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β B A 选项中由 l∥α,l∥β 不能确定 α 与 β 的位置关系,C 选项中由 α⊥β,l⊥α 可推出 l∥β 或 l?β,D 选项由 α⊥β,l∥α 不能 确定 l 与 β 的位置关系. 6.(2012 浙江,文 6)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( ).

1

A

y=cos 2x+1 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得 y1=cos x+1,再向左平移 1 个单位长度得 ).

y2=cos(x+1)+1,再向下平移 1 个单位长度得 y3=cos(x+1),故相应图象为 A. 7.(2012 浙江,文 7)设 a,b 是两个非零向量.( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| C 由|a+b|=|a|-|b|两边平方可得,|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2,即 a·b=-|a||b|, ∴cos<a,b>=-1,即 a 与 b 反向,根据向量共线定理,则存在实数 λ,使得 b=λa.

8.(2012 浙江,文 8)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆 长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( A.3 B.2 C. 3 ). D. 2

B 由题意可知椭圆的长轴长 2a1 是双曲线实轴长 2a2 的 2 倍,即 a1=2a2,而椭圆与双曲线有相同的焦点. c a 2 = a1 =2. 故离心率之比为 c a2

a1
9.(2012 浙江,文 9)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A. 24 5 B. 28 5 1 + 3 =1. C ∵x+3y=5xy,∴ 5y 5x C.5 D.6 ).

12y ∴3x+4y=(3x+4y)× 1=(3x+4y) ? 1 ? 3 ? = 3x + 9 + 4 + 12y ? 13 +2 3x · =5, ? ? 5 5y 5x ? 5y 5x ? 5y 5 5 5x 3x = 12y ,即 x=1,y= 1 时等号成立. 当且仅当 2 5y 5x
10.(2012 浙江,文 10)设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数,( A.若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B.若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C.若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D.若 ea-2a=eb-3b,则 a<b A 考查函数 y=ex+2x 为单调增函数,若 ea+2a=eb+2b,则 a=b; 若 ea+2a=eb+3b,∴a>b.故选 A. 11.(2012 浙江,文 11)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量 为 280 的样本,则此样本中男生人数为 . 2 ).

560 ×280=160. 560 ? 420 12.(2012 浙江,文 12)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为
160 根据分层抽样的特点,此样本中男生人数为

2 的概率是 . 2 2 五点中任取两点的不同取法共有 2 =10 种,而两点之间距离为 2 的情况有 4 种,故概率为 4 = 2 . C5 2 5 10 5 13.(2012 浙江,文 13)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 .

1 1 1 =1,当 i=2 时,T= 1 ,当 i=3 时,T= 2 = 1 ,当 i=4 时,T= 6 = 1 ,当 i=5 时,T= 当 i=1 时,T= 2 1 3 6 4 24 1 . 结束循环,输出 T= 120 ? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.(2012 浙江,文 14)设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 z 的取值范围是 ? ? x ? 0, ? y ? 0, ?

1 120

1 24 = 1 ,当 i=6 时, 5 120

.

? 7? ?0, 2 ? ? ?

不等式组表示的可行域如图阴影部分,

结合图象知,O 点,C 点分别使目标函数取得最小值、最大值,代入得最小值为 0,最大值为 7 .

??? ??? ? ? 15.(2012 浙江,文 15)在△ABC 中,M 是线段 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB · = AC
-16

2
.

??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? 2 ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ? AB · AC =( AM + MB )·( AM + MC )= AM + AM · MC + AM · MB + MB · MC =| AM |2+( MB + MC )· AM +| MB || ???? MC |cos π=9-25=-16.

16.(2012 浙江,文 16)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f? 3 ?= . ? ? ?2? 3 f ? 3 ? =f ? 3 ? =f ? 1 ? =f ? 1 ? = 1 +1= 3 . ? ? ? ? 2? ?? ? ? ? 2 2 2 2? ?2 ? ? 2? ? 2? ? 17.(2012 浙江,文 17)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a= .

3

9 4

x2+(y+4)2=2 到直线 y=x 的距离为 4 - 2 = 2 , 2 所以 y=x2+a 到 y=x 的距离为 2 ,而与 y=x 平行且距离为 2 的直线有两条,分别是 y=x+2 与 y=x-2,而抛物

线 y=x2+a 开口向上,所以 y=x2+a 与 y=x+2 相切,可求得 a= 9 .

4
18.(2012 浙江,文 18)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3 acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. 解:(1)由 bsin A= 3 acos B 及正弦定理 a = b ,

sinA
得 sin B= 3 cos B, 所以 tan B= 3 ,所以 B= ? .

sinB

3 a = c ,得 c=2a. (2)由 sin C=2sin A 及 sinA sinC 2 由 b=3 及余弦定理 b =a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3 ,c=2 3 .
19.(2012 浙江,文 19)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·n}的前 n 项和 Tn. b 解:(1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1. 所以 an=4n-1,n∈N*. 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n-1,n∈N*. (2)由(1)知 anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*. 所以 Tn=3+7× 2+11× 2+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3× 2 2+7× 2+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n, 2 n 2 n-1 n 所以 2Tn-Tn=(4n-1)2 -[3+4(2+2 +…+2 )]=(4n-5)2 +5. 故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.

20.(2012 浙江,文 20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥ AB,AB= 2 ,AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明:①EF∥A1D1; ②BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值. (1)证明:①因为 C1B1∥A1D1,C1B1?平面 ADD1A1, 所以 C1B1∥平面 A1D1DA. 又因为平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF, 所以 C1B1∥EF,所以 A1D1∥EF. ②因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1,所以 BB1⊥B1C1. 又因为 B1C1⊥B1A1,所以 B1C1⊥平面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥BA1. 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 2 , 2 即∠A1B1F=∠AA1B,故 BA1⊥B1F. 4

所以 BA1⊥平面 B1C1EF. (2)解:设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H.

由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF, 所以∠BC1H 是 BC1 与面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 AA1B1B 中,AB= 2 ,AA1=2,得 BH= 4 . 6 4 , 在直角△BHC 中,BC =2 5 ,BH=
1 1

6
得 sin∠BC1H= BH = 30 . BC1 15 所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 30 . 15 21.(2012 浙江,文 21)已知 a∈R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0. (1)解:由题意得 f'(x)=12x2-2a. 当 a≤0 时,f'(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). ? ?? ? 当 a>0 时,f'(x)=12 ? x ? a ? ? x ? a ? , ? ?? 6 ?? 6? ? ? 此时函数 f(x)的单调递增区间为 ? ? a ?和? a ? ?? ,? ? , ?? ? . ? ? 6? ? 6 ? ?

? ? 单调递减区间为 ? ? a , a ? . ? 6 6?
(2)证明:由于 0≤x≤1,故当 a≤2 时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1, ? ?? ? 则 g'(x)=6x2-2=6 ? x ? 3 ? ? x ? 3 ? , ? ?? 3 ?? 3 ? ? ? 于是

x g'(x) g(x)

0 1 减

? 3? ? 0, ? 3 ? ? ? ?
0

3 3
+ 增 极小值

? 3 ? ? ? 3 ,1 ? ? ? ?

1

1

? ? 所以,g(x)min=g ? 3 ? =1- 4 3 >0. ? 3 ? 9 ? ?
所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0. 故 f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0.

5

22.(2012 浙江,文 22)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P ?1, 1 ? 到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离为 5 .点 M(t,1) ? ? 4 ? 2? 是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值. 1 ? 2pt ? 1, ? 解:(1)由题意知 ? 得 ?p ? , 2 ? ? p 5 ?1 ? 2 ? 4 , ? t ? 1. ? ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m). 由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0).

由 ? y1 ? x1 , 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, ? 2 ? y2 ? x 2 , 故 k·2m=1.
2

所以直线 AB 方程为 y-m= 1 (x-m),

2m
即 x-2my+2m2-m=0. 2 由 ? x ? 2my ? 2m ? m ? 0, ? 2 y ? x, ? 消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, 所以 Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m. 从而|AB|= 1 ? 1 ·|y1-y2|= 1 ? 4m 2 · 4m ? 4m 2 . k2 设点 P 到直线 AB 的距离为 d, 2 则 d= |1 ? 2m ? 2m | .

1 ? 4m 2 设△ABP 的面积为 S, 则 S= 1 |AB|·d=|1-2(m-m2)|· m ? m2 . 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 令 u= m ? m2 ,0<u≤ 1 ,则 S=u(1-2u2). 2 2 设 S(u)=u(1-2u ),0<u≤ 1 , 2 2 则 S'(u)=1-6u .
由 S'(u)=0,得 u= 6 ? ? 0, 1 ? , ? ? 6 ? 2? 6

? ? 所以 S(u)max=S ? 6 ? = 6 . ? 6 ? 9 ? ?
故△ABP 面积的最大值为 6 . 9

7


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