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高中数学《2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系》学案 新人教A版必修2


湖南省永州市道县第一中学高一数学《2.1 空间点、直线、平面之间 的位置关系》学案 新人教 A 版必修 2
学习目标 理解和掌握平面的性质定理,能合理运用; 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系; 会判断异面直线,掌握异面直线的求法; 会用图形语言、符号语言 表示点、线、面的位置关系.

1. 2. 3. 4.

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P40~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:概念与性质 ⑴平面的特征和平面的性质(三个公理); ⑵平行公理、等角定理; ?平行 ? ⑶直线与直线的位置关系 ?相交 ?异面 ?
?在平面内 ? ⑷直 线与平面的位置关系 ? 相交 ? 平行 ? ?平行 ⑸平面与平面的位置关系 ? ?相交

复习 2:异面直线夹角的求法:平移线段作角,解三角形求角. 复习 3:图形语言、符号语言表示点、线、面的位 置关系 ⑴点与线、点与 面的关系; ⑵线与线、线与面的关系; ⑶面与面的关系. 二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 如图 4-1, ?ABC 在平面 ? 外, AB ? ? ? P , BC ?? ? Q , AC ? ? ? R ,求证: P , Q , R 三点共线.

图 4-1

1

小结:证明点共线的基本方法有两种 ⑴找出两个面的交线, 证明若干点都是这两个平面的公共点, 由公理 3 可推知这些点都在交 线上,即证若干点共线. ⑵选择其中两点确定一条直线,证明另外一些点也都在这条直线上. 例 2 如图 4-2,空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB 和 CB 上的点, G , H 分别是 CD 和 AD 上的点,且 EH 与FG 相交于点 K .求证: EH , BD , FG 三条直线相交于同一点.

图 4-2

小结:证 明三线共点的基本方法为:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是 二直线所在平面的公共点,第三条直线是两个平面的交线,由 公理 3 得证这三线共点. 例 3 如图 4-3,如果两条异面直线称作“一对” ,那么在正方体的 12 条棱中,共有异面直线 多少对?

图 4-3 反思:分析清楚几何特点是避免重复计数的关键,计数问题必须避免盲目乱数,分类时要不 重不漏. ※ 动手试试 练 1. 如图 4-4,是正方体的平面 展开图,

图 4-4 则在这个正方体中: ① BM 与 ED 平行 ② CN 与 BE 是异面直线
2

③ CN 与 BM 成 60°角 ④ DM 与 BN 是异面直线 其中正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

练 2. 如图 4-5,在正方体中, E , F 分别为 AB 、 AA? 的中点,求证: CE , D?F , DA 三线 交于一 点.

图 4-5

练 3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?

小结:分类讨论的数学思想 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面及平面基本性质的 应用; 2. 点、线、面的位置关系; 3. 异面直线的判定及夹角问题. ※ 知识拓展 异面直线 的判定方法: ①定义法: 利用异面直线的定义, 说明两直线不平行, 也不相交, 即不可能在同一个平面内. ②定理法:利用异面直线的判定定理说明. ③反证法(常用):假设两条直线不异面,则它们一定共面,即这两条直线可能相交,也可能 平行,然后根据题设条件推出矛盾.

3

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 直线 l1 ∥ l2 ,在 l1 上取 3 个点,在 l2 上取 2 个点,由这 5 个点确定的平面个数为( A.1 个 B.3 个 C.6 个 D.9 个 2. 下列推理错误的是( ). A. A ? l , A ?? , B ? l , B ?? ? l ? ? B. A ?? , A ? ? , B ?? , B ? ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ?? D. A , B , C ?? , A , B , C ? ? ,且 A , B , C 不共线

).

? ? 与? 重合 3. a , b 是异 面直线, b , c 是异面直线,则 a , c 的位置关系是( ). A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则它与另一平面____________. 5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____ _____________;两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,则另一条和这条直线______.

课后作业 1. 如图 4-6,在正方体中 M , N 分别是 AB 和 DD? 的中点, 求异面直线 B?M 与 CN 所成的角.

图 4-6

2. 如图 4-7,已知不共面的直线 a , b , c 相交于 O 点, M , P 点是直线 ? 上两点, N , Q 分别是直线 b , c 上一点.求证: MN 和 PQ 是异面直线.

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