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4.3.1利用导数研究函数的单调性(2)


3.3.1利用导数研究函数的单调性
(第二课时)

★复习准备★
导数法求函数的单调区间的一般步骤:
(1)求出函数f(x)的定义域A; (2)求出函数 f(x)的导数

f ?(x) ;

?x? A (3)不等式组 ? 的解集为f(x)的单调增区间; ? f ?( x ) ? 0 ?x? A (4)不等式组 ? 的解集为f(x)的单调减区间; ? f ?( x ) ? 0

f ??x ? ? 0

注意:单调区间不 以“并集”出现。 边界应代入检验!!

f ? x ? 增函数

f ?? x ? ? 0

f ? x ? 减函数
f ?? x ? ? 0

f ? x ? 增函数

f ?? x ? ? 0

f ? x ? 减函数

★课程讲授★
导数的正负对应着函数的增减,(1)导数的 绝对值大小和函数的形状有什么关系?(2) 导数的增减和函数的形状又有什么关系? 结论二:如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数图象就比较“陡峭”(向 上或向下);反之,函数图象就“平缓”一些。 f ? x ? 是凸函数 结论三: f ? x ? 是凹函数

y
f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0

y

f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 0

a

b

x

f ?( x)是增函数

f ?( x)是减函数

a

b x

例1. f ?? x ? 是f(x)的导函数, f/(x)的图象如右图,则f(x) 的图象只可能是( D )

A

B

C

D

设f ?? x ?是函数f(x)的导函数,y=?/(x)的图象如 左图所示,则y=?(x)的图象最有可能的是( ) C

练习:

y
y O

y

1

2
x O

1
y
O

2 x (B)

1
O

(A)
2
x

y 2
O 1

1 2 (D)
x

x

(C)

例2、如右图,圆C和直角AOB的两边 相切,直线OP从OA处开始,绕点O匀 速旋转(到OB处为止)时,所扫过的 阴影部分的面积S是时间t的函数,它的 图象大致如下图中的( D )
S S S

B

C

P

S O S A

O (A)

t

O (B)

t

O (C)

t

O

(D)

t

【变式训练】 1. 函数y=f(x)的图象如图所示,

试画出导函数 f ?( x)图象的大致形状.
2.如上图,水以

常速(即单位时间
内注入水的体积相

同)注入下面四种
底面积相同的容器

中,请分别找出与
各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

例3:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范 围,并求其单调区间. 2 解: f ?( x ) ? 3ax ? 1. 若a>0, f ?( x ) ? 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, f ?( x ) ? 1 ? 0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若a<0,则 f ?( x ) ? 3a( x ? 恰有三个单调区间.
1 1 , ). 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间: (? ?3a ?3a
1 ? 3a )( x ? 1 ? 3a ) ,易知此时f(x)

1 1 ) , ??). 单调递减区间: (??, ? 和 ( ?3a ?3a

★课堂小结★ 1. 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那 么函数在这个范围内变化得快,这时,函数图象就比 较“陡峭”(向上或向下);反之,函数图象就“平 缓”一些。

2. f ? ? x ? 是增函数 ? f ? x ? 是凹函数; f ? ? x ? 是减函数 ? f ? x ? 是凸函数
3.讨论含有参数的函数的单调性,通常归结为求含参不 等式的解集的问题,而对含有参数的不等式要针对具 体情况进行讨论,但始终注意定义域对单调性的影响 以及分类讨论的标准.

★达标检测★ 1. 设函数f(x)在定义域内可导,

y=f(x)的图象如图所示,
则导函数y=f′(x)的图象

可能为(

)

2. 已知f(x)=x-2sin x在(0,π)上 的单调递增区间为________.

1 2 3. 已知函数f(x)= ax +ln x(a∈R), 2
求f(x)的单调区间.


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