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湖北省黄冈中学2012年秋季高二数学期末考试试题(文科)


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湖北省黄冈中学 2012 年秋季高二数学期末考试试题(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知直线 a // 平面 ? , a // 平面 ? , ? A.相交

/>2

? ? b ,则 a 与 b (
C.平行 )

) D.共面或异面

B.异面

2. 抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值是( A.

1 1 B. ? C.8 8 8 3.对两条不相交的空间直线 a 和 b ,必定存在平面 ? ,使得 (
A. a ? ? , b ? ? B. a ? ? , b ? ? C. a ? ? , b // ?

D. ?8 ) D. a ? ? , b ? ?

4.设椭圆

x2 y2 ? ? 1?m ? 1? 上一点 P 到其左焦点的距离为 3,P 点到右准线的距离为 2,则 P 点到 m2 m2 ?1
) B.1 C.2 D.3

右焦点的距离为( A.

1 2

5、如图,双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1 作倾斜角为 30?的直线 l, a2 b2
) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

l 与双曲线的右支交于点 P, 若线段 PF1 的中点 M 落在 y 轴上, 则双曲线的渐近线方程为 ( y A. y ? ? x B. y ? ? 3x C. y ? ? 2 x D. y ? ?2 x F1 M 30? ) O P F2

x

AB 与平面 ? 6.设平面 ? 外两点 A, B 在 ? 上的射影是 A1 , B1 ,已知 AA 1 ? 1, BB 1 ? 2, A 1B 1 ? 3 ,则直线
所成的角为 A. ( B. )

? 6

? 3

C.

? ? 或 6 3

D.

2? 3

7. 设椭圆 则(

x2 y 2 x2 y 2 , 双曲线 e2, e3, 其中 m>n>0, ? ? 1 ? ? 1 和抛物线 y 2 ? 2(m ? n) x 的离心率分别为 e1, m2 n 2 m2 n 2
) B.e1e2<e3 D.e1e2 与 e3 的大小不能确定

A.e1e2>e3 C.e1e2=e3

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8.有一个正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如 图 1 所示.如果记 3 的对面的数字为 m,4 的对面的数字为 n,那么 m+n 的值为( )

A.3

B.7

C.8

D.11

9.已知平面 ? // 平面 ? , MN 和 GH 是夹在 ? 、 ? 间的两条线段, MN ? GH , MN ? 10 直线 MN 与

? 成 60? 角,则线段 GH 的最小值是
A.

( D. 8 5



10 3 3

B. 5 3

C. 10 3

10.已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,I 为△ a2 b2


PF1F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? ?S ?IF1F2 成立,则 ? 的值为 (

A.

a2 ? b2 2a a a2 ? b2
F1

y p

B.

I O F2 F
2

x

b a a D. b
C.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.已知 E 为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,则 BD1 与过 A、C、E 的平面的位置关系是_______. 12.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3

BC 边上,则△ABC 的周长是________.

13 . 已 知 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , P

为 面

ABCD

外 一 点 , 且

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PA ? PB ? PC ? PD ? 2, AB ? 2 ,M 是侧棱 PC 的中
点,则异面直线 PA 与 BM 所成角的大小为_________.

x2 2 14.已知抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线 2 ? y ? 1 交于 A 、 B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若 ?FAB a
2

为直角三角形,则双曲线的离心率是

. 则在

15.如图是一个正方体的平面展开图,若将此平面展开图还原成正方体, N 这个正方体中: ① BM 与 ED 平行; C M D ② CN 与 BE 是异面直线; ? 角; ③ CN 与 BM 成 60 E A B ④ DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,真命题的序号是 . (写出所有真命题的编号) F 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题满分 12 分)如图所示 , 在正方体 ABCD? A 1 B 1C 1 D 1 中 , E , F 分别为 AB, BC 中点 , H , G 分别为

D1C1, C1C的中点.
(1) 求证: E , F , G, H 四点共面. (2) 求证: DB1 ? BC1 . A1

D1

H

C1

B1 D F

G C

A

E

B

17. (本题满分 12 分)如图, AB ? 平面 BCD , AB ? BC ? CD ? 1 , AD 与平面 BCD 成 45 的角.求直线

AD 与平面 ABC 所成的角的大小(用反三角表示);

A

B
C

D

18. (本小题 12 分) 一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸, 在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒,

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已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米, P 为爆炸地点(该信号的传播速度为每秒 1 千米) ,求 A、P 两地的 距离.

19.已知 PC⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,边长为 a,∠ABC=120°,且 PC=a, E 为 PA 的中点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 ABCD; (2)求点 E 到平面 PBC 的距离; (3)求二面角 A-BE-D 的大小. D E C P

A

B

x2 y2 20 .已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点,且线段 AB 的中点在直线 a b
l : x ? 2 y ? 0 上.
(1)求此椭圆的离心率; (2)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x ? y
2 2

? 4 上,求此椭圆的方程.

21.已知抛物线 C : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 A 、 B
2

两点( A 在 M 、 B 之间). (1) F 为抛物线 C 的焦点,若 | AM |?

5 | AF | ,求 k 的值; 4

(2)如果抛物线 C 上总存在点 Q ,使得 QA ? QB ,试求 k 的取值范围.

湖北省黄冈中学 2009 年秋季高二期末考试试题

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数学(文科)参考答案
1-5 CBCBC 6-10 CBCCB 12. 4 3 13.

11. 平行

? 4

14.

6

15. ③④

16.(1)证明:设 EF 与 DC 的延长线交于 P ,则可证 PC ?

1 DC ;同理可设 HG 与 DC 的延长线交于 P ' ,则 2

1 P'C ? DC ,所以 PC ? P 'C ,故 P 与 P ' 重合,即直线 EF 和 HG 相交于 P 点. 2
(2) 连结 B1C , 由正方形的性质知 BC1 ? B1C. 由 ABCD—A1B1C1D1 正方体可知 DC ? 平面 BC1 , 即直线 B1C 是直线 DB1 在平面 BC1 内的射影,所以 DB1 与 BC1 垂直. 17 解答: (1)由 AB ? 平面 BCD ,

? AD 与平面 BCD 成的角为 ?ADB ? 45 , ? BD ? 1, AD ? 2 .
DE . 取 BC 的中点 E ,连结 AE、
由 DE ? AB, DE ? BC ,知 DE ? 平面 ABC .

? AD 与平面 ABC 所成的角为 ?DAE .
3 6 6 , AD ? 2, ? sin ?DAE ? ,??DAE ? arcsin 2 4 4 6 . ? AD 与平面 ABC 所成的角的大小为 arcsin 4 18.解:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,

?DAE 中, DE ?

则 A(3,0) 、B(-3,0)
? P是双曲线

? | PB | ? | PA |? 4 ? 1 ? 6

?a ? 2, b ? 5, c ? 3

x2 y2 ? ? ? 1 右支上的一点 ∵P 在 A 的东偏北 60°方向,∴ k AP ? tan60 ? 3 . 4 5

∴线段 AP 所在的直线方程为 y ? 3( x ? 3)
? x2 y 2 ?1 ? ? 4 5 解方程组 ? ? ? y ? 3 ( x ? 3) ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
?x ? 8 , 得? ?y ? 5 3

y

P

B

O

A x

即 P 点的坐标为(8, 5 3 )

∴A、P 两地的距离为 AP ? (3 ? 8) 2 ? (0 ? 5 3 ) 2 =10(千米) .

19. (1)如图,连结 AC 交 BD 于 O,再连结 OE,由于 ABCD 为菱形,故 O 为 AC 的中点. ∴OE 为△PAC 的中位线,OE∥PC. 又 PC⊥平面 ABCD,故 OE⊥平面 ABCD. ∴平面 EBD⊥平面 ABCD.

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(2)∵OE∥PC, PC ? 平面 PBC, ∴OE∥平面 PBC. 故点 E 到平面 PBC 的距离就等于点 O 到平面 PBC 的距离. 又 PC⊥平面 ABCD,所以平面 PBC⊥平面 ABCD,其交线为 BC. 过点 O 作 OF⊥BC 于 F,则 OF⊥平面 PBC,OF 即为所求,易求得 OF ? (3)在平面 EBD 中,作 OM⊥BE 于 M,连结 AM, ∵平面 EBD⊥平面 ABCD,交线为 BD,又 AO⊥BD, ∴AO⊥平面 EBD,MO 是 AM 在平面 EBD 上的射影. ∴AM⊥BE. ∠AMO 就是二面角 A-BE-D 的平面角. 在 Rt△EBO 中, OE ?

3 a. 4

a a 2 , OB ? , (在等腰直角三角形中) OM ? a. 2 2 4

又 AO ?

AO 3 ? 6.?AMD ? arctan 6. a, 故 tan ?AMO ? OM 2

? y ? ? x ? 1, ? 20.解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则由? x 2 得 y2 ? ? 1 ? 2 b2 ?a (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ,
2a 2 2b 2 , y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? , ∴线段 AB 中点坐 1 2 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2 a2 b2 a2 2b2 , ) 标为 ( 2 , 由已知得 ? 2 2 ? 0, ? a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 ) ? a2 ? 2c2 ,故 2 2 2 2 2 a ?b a ?b a ?b a ?b
根据韦达定理,得: x1 ? x 2 ? 离心率为 e ?

(2)由(1)知 b ? c, 从而椭圆的右焦点坐标为 F (b,0), 设 F (b,0) 关于直线 l : x ? 2 y ? 0 的对称点为

2 . 2

( x0 , y0 ),则

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, x0 ? b 2 2 2 3 4 2 2 x0 ? y0 ? 4,? ( b) 2 ? ( b) 2 ? 4,? b 2 ? 4 5 5 2 x y2 ? ?1 . 故所求的椭圆方程为 8 4



3 4 x 0 ? b且 y 0 ? b 5 5

由 已 知 得

21.(1)法一:由已知 M (?1,0)
2

设 A( x1 , y1 ) ,则 | AM |? 1 ? k 2 | x1 ? 1 | ,

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y1 ? ( x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ?| x1 ? 1 | ,
由 4 | AM |? 5 | AF | 得, 4 1 ? k 2 ? 5 ,

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解得 k ? ?

法二:记 A 点到准线距离为 d ,直线 l 的倾斜角为 ? , 由抛物线的定义知 | AM |? ∴ k ? tan ? ? ?

3 4

5 d 4 d ,∴ cos? ? ? ?? , 4 | AM | 5

3 (2)设 Q( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 4

? y 2 ? 4x ?k ? 0 由? 得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 ,首先由 ? 得 ?1 ? k ? 1且 k ? 0 2 ? y ? k ( x ? 1) ?16 ? 16 k ? 0

k QA ?

y 0 ? y1 y 0 ? y1 4 4 ,同理 k QB ? ? 2 ? 2 x0 ? x1 y 0 ? y1 y0 ? y2 y0 y ? 1 4 4

由 QA ? QB 得
2

4 4 ? ? ?1 , y 0 ? y1 y0 ? y 2

即: y0 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? ?16 , ∴ y0 ?
2

4 4 5 5 y 0 ? 20 ? 0 , ? ? ( ) 2 ? 80 ? 0 ,得 ? 且k ? 0, ?k? k k 5 5

由 ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 得,

? 5 ? ? 5? k 的取值范围为 ?? ,0 ? ?? 0, ? ? ? ? 5 ? ? 5 ?


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