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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修四课时作业:3.3]


§ 3. 3

三角函数的积化和差与和差化积

课时目标 1.能从两角和与差的正、余弦公式推导积化和差与和差化积公式.2.了解 积化和差与和差化积的简单运用.

积化和差公式与和差化积公式 积化和差公式 sin αcos β= cos αsin β= cos αcos β= sin αsin β= 和差化积公式 sin θ+sin φ= sin θ-sin φ= cos θ+cos φ= cos θ-cos φ=

一、选择题 1.cos215° +cos275° +cos 15° cos 75° 的值是( ) 3 6 3 5 A. B. C. D. 2 2 4 4 π π ? ? ? 2.函数 y=sin? ) ?x+3?+sin?x-3?的最大值是( 1 A.2 B.1 C. D. 3 2 3.cos 20° +cos 60° +cos 100° +cos 140° 的值为( ) 1 1 3 2 A.- B. C. D. 2 2 2 2 1+sin 4α-cos 4α 4.化简 的结果是( ) 1+sin 4α+cos 4α A.cot 2α B.tan 2α C.cot α D.tan α 5π? ? π? 5.函数 f(x)=sin? ) ?x+12?cos?x-12?是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的非奇非偶函数 D.最小正周期为 π 的非奇非偶函数 6.cos2α-cos αcos(60° +α)+sin2(30° -α)的值为( ) 1 3 3 1 A. B. C. D. 2 2 4 4 二、填空题 sin 35° -sin 25° 7. 的值是________. cos 35° -cos 25° 8.给出下列关系式: ①sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ;

②cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ; 1 ③sin 3θ-sin 5θ=- cos 4θcos θ; 2 ④sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ; 1 ⑤sin xsin y= [cos(x-y)-cos(x+y)]. 2 其中正确的序号是________. 9.sin 20° cos 70+sin 10° sin 50° 的值是________. 10.已知 cos2 α-cos2 β=m,那么 sin(α+β)· sin(α-β)=________. 三、解答题 x π? ?x π? x x + cos - . 11.求证:1+cos x+cos =4cos cos? 2 2 ?4 6? ?4 6?

12.求值:cos 40° cos 80° +cos 80° cos 160° +cos 160° cos 40° .

能力提升 13.求证:sin A+sin B-sin C A B C =4sin sin cos . 2 2 2

1 1 14.已知 sin α-sin β=- ,cos α-cos β= ,求 sin(α+β)的值. 3 2

1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会.只要对上述思 想方法有所感悟,公式不必记很多,记住 cos(α-β)即可. 2.和差化积、积化和差公式不要求记忆,但要注意公式推导中应用的数学思想方法,同 时注意这些公式与两角和与差公式的联系. 3.除了课本上所列的积化和差公式、和差化积公式外,公式 α α 1-cos α=2sin2 ,1+cos α=2cos2 ,asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)也应视作和差化积 2 2 1-cos 2α 1+cos 2α 公式;同样 sin2α= ,cos2α= 也应视作积化和差公式. 2 2

§ 3. 3

三角函数的积化和差与和差化积 答案

知识梳理 1 1 [sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)] 2 2 1 1 [cos(α+β)+cos(α-β)] - [cos(α+β)-cos(α-β)] 2 2 θ+φ θ-φ θ+φ θ-φ θ+φ θ-φ 2sin cos 2cos sin 2cos cos 2 2 2 2 2 2 θ+φ θ-φ -2sin sin 2 2 作业设计 1+cos 30° 1+cos 150° cos 90° +cos 60° 5 1.D [原式= + + = .] 2 2 2 4 π 2.B [y=2sin xcos =sin x.] 3 3.B [原式=(cos 20° +cos 140° )+cos 100° +cos 60° 1 =2cos 80° cos 60° +cos 100° +cos 60° =cos 80° -cos 80° +cos 60° = .] 2 2sin22α+2sin 2αcos 2α 4.B [原式= 2cos22α+2sin 2αcos 2α 2sin 2α?sin 2α+cos 2α? = =tan 2α.] 2cos 2α?cos 2α+sin 2α? π π 1 2x+ ?+sin ? 5.D [f(x)= ?sin? 3? 2? 2? ? π π? 1 1 ? 1 ? = ? sin?2x+3? ?+1?=2sin?2x+3?+2 2? ? 2π ∴T= =π,f(x)为非奇非偶函数.] 2 1+cos 2α 1 1-cos?60° -2α? 6.C [原式= - [cos(60° +2α)+cos 60° ]+ 2 2 2 1 1 1 1 =1+ cos 2α- cos(60° +2α)- - cos(60° -2α) 2 2 4 2

3 1 1 = - [cos(60° +2α)+cos(60° -2α)]+ cos 2α 4 2 2 3 1 1 3 = - ×2cos 60° cos 2α+ cos 2α= .] 4 2 2 4 7.- 3 2sin 5° cos 30° cos 30° 解析 原式= =- sin 30° -2sin 30° sin 5° 3 =-2cos 30° =-2× =- 3. 2 8.⑤ 解析 ①②③④都错,只有⑤是正确的. 1 9. 4 1 1 解析 原式= (sin 90° -sin 50° )+ (cos 40° -cos 60° ) 2 2 1 1 1 1 1 = - sin 50° + cos 40° - = . 2 2 2 4 4 10.-m 解析 cos2 α-cos2 β=(cos α+cos β)(cos α-cos β) α+β α-β? α+β α-β? =2cos cos - 2sin sin 2 2 ? 2 2 ? α+β α+β α-β α-β =-2sin cos · 2sin cos 2 2 2 2 =-sin(α+β)sin(α-β)=m ∴sin(α+β)· sin(α-β)=-m. x x 11.证明 左边=2cos2 +cos 2 2 x 1 x cos + ? =2cos ? 2 2? 2? x π x? =2cos ?cos 2+cos 3? ? 2 x π x π x + ?cos? - ? =2cos · 2cos? 4 6 4 ? ? ? 6? 2 x π? ?x π? x + cos - =右边. =4cos cos? 2 ?4 6? ?4 6? 1 1 1 12.解 原式= (cos 120° +cos 40° )+ (cos 240° +cos 80° )+ (cos 200° +cos 120° ) 2 2 2 1 3 = (cos 40° +cos 80° +cos 200° )- 2 4 1 3 = (2cos 60° cos 20° -cos 20° )- 2 4 1 3 3 = (cos 20° -cos 20° )- =- . 2 4 4 B-C B+C 13.证明 左边=sin(B+C)+2sin cos 2 2 B+C B+C B-C B+C =2sin cos +2sin cos 2 2 2 2 B+C? B+C B-C? =2cos sin +sin 2 ? 2 2 ? A B C =4sin sin cos =右边. 2 2 2 α-β α+β 1 14.解 sin α-sin β=2sin cos =- , ① 2 2 3

α-β α+β 1 cos α-cos β=-2sin sin = . 2 2 2 ② α+β 3 ∴由 得:tan = 2 2 ① α+β α+β ∴sin(α+β)=2sin cos 2 2 α+β α+β 2sin cos 2 2 = α + β α +β sin2 +cos2 2 2 α+β 3 2tan 2× 2 2 12 = = = . 9 13 2α+β 1 + 1+tan 4 2




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