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极坐标与参数方程试题及答案


极坐标与参数方程综合复习
一 基础知识: 1 极坐标 ( ? , ? ) 。逆时针旋转而成的角为正角,顺时针旋转而成的角为负角。 点 P( ? , ? ) 与点 P (? ? , ? ) 关于极点中心对称。 1 点 P( ? , ? ) 与点 P2 (? ? , ?

? ? ) 是同一个点。

2 直角坐标化为极坐标的公式: x 极坐标化为直角坐标的公式: ? 注意:1
2

? ? cos? ; y ? ? sin ? .
? x 2 ? y 2 ; tan? ?
注意 ? 的象限。

y x

? ? 0,0 ? ? ? 2?

2

? 3 圆锥曲线的极坐标方程的统一形式: ?

ep 1 ? e cos?

e是离心率,p是对应的焦点与准线之间的距离。

0 ? e ? 1时表示椭圆;e ? 1时表示抛物线;e ? 1时表示双曲线。
4 平移变换公式: ( x ?

y) ? (h, k ) ? x`? y`

理解为:平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标

x? ? ? ? x(? ? 0) 定义:设点P( x, y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?: { y ? ? u ? y (u ? 0) 的作用下,点P( x, y )对到应点P( x?, y ?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

5 过点P0 ( x0 , y 0 )且倾斜角为?的直线的参数方程为{ y ? y ? t sin ? (t为参数) 0

x ? x0 ? t cos?

{

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

(?为参数)对应的普通方程为( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? r 2

椭圆

x ? a cos? x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的一个参数方程为 { (?为参数) 2 y ? b sin ? a b

这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。

双曲线

x ? a sec? x2 y2 ? ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0)的一个参数方程为 { (?为参数,? ? ? 2? , ? ? ) 0 2 y ? b tan ? a b 2

这是中心在原点O,焦点在x轴上的双曲线的参数方程。
抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)的一个参数方程为 { x ? 2 pt 2 y ? 2 pt (t为参数)

这是中心在原点O,焦点在x轴正半轴上的抛物线的参数方程。

一、选择题: 1.直角坐标为(-12,5)的 P 点的一个极坐标是 A.(13,arctan 5 ) 12 C.(13,π +arctan 5 ) 12 A. (-ρ ,θ ) B. (-ρ ,-θ ) B.(13,π -arctan 5 ) 12 D.(13,- arctan 5 ) 12 ( ( D.ρ = 1 cos ? ( D.ρ =2sin(θ -1) ( 两条直线 D.一个圆和一条直线 ( ) ) ) ) ) C. ,2π -θ ) (ρ C.ρ =- 1 cos ? D. ,2π +θ ) (ρ ( )

2.极坐标系中,下列各点与点 P(ρ ,θ ) ≠kπ ,k∈Z)关于极轴所在直线对称的是 (θ 3.已知点 P 的极坐标为(1,π ) ,那么过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 A.ρ =1 B.ρ =cosθ

4.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的方程是 A.ρ =2cos(θ 2

? ) 4

B.ρ =2sin(θ -

? ) 4

C.ρ =2cos(θ -1)

5.极坐标方程ρ cosθ +ρ -3ρ cosθ -3=0 表示的曲线是 A.一个圆 6.下列命题正确的是 A.过点(a,π )且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρ =- a cos ? B.已知曲线 C 的方程为ρ =4+ 2 θ 及 M 的坐标为(4,2π ) 不在曲线 C 上 ,M ? C.过点(a, B.两个圆 C.

? )且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρ 2
2

= a sin ?

D.两圆ρ =cosθ 与ρ =sinθ 的圆心距为 2

7.曲线 ?

? x ? ?2 ? 2t , ? (t 为参数)上的点与 A(-2,3)的距离为 2 ,则该点坐标是( y ? 3 ? 2t ? ?
B. (-3,4)或(-1,2) D. (-4,5)或(0,1)



A. (-4,5) C. (-3,4) 8.已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2t ? 2, ? ? y ? ? 2t ? 1 ?
B. 2
2

(t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极

坐标系中,点 P 的极坐标为(-2,π ) ,则点 P 到直线 l 的距离为 A. 1 2 9.已知曲线的参数方程是 ? ? C.1 D.





2
( )

? x ? 4 cos3 ? ,
3 ? y ? 4sin ? ?

(θ 为参数) ,则该曲线

A.关于原点、x 轴、y 轴都对称 C.仅关于 y 轴对称

B.仅关于 x 轴对称 D.仅关于原点对称

? x ? 4t 2 , 10.已知抛物线 ? (t 为参数)的焦点为 F,则点 M(3,m)到 F 的距离|MF|为 ? y ? 4t





A.1
2

B.2

C.3

D.4 ( )

11.若关于 x 的方程 x +px+q=0 的根是 sinα 和 cosα ,则点(p,q)的轨迹为

12.设 P(x,y)是曲线 C: ?x ? ?2 ? cos ?, (θ 为参数,0≤θ <2π )上任意一点,则

? ? y ? sin ?

y x

的取值

范围是 A.[-





3, 3]

B. (-∞, 3 )∪[

3 ,+∞]

C.[- 3 , 3 ] 3 3 二、填空题: .

D. (-∞,

3 3 )∪[ ,+∞] 3 3

? ? ? x ? ?1 ? t sin 6 , ? 13.已知直线的参数方程是 ? (t 为参数) ,则直线的倾斜角大小是 ? y ? 2 ? t cos ? ? 6 ?
14.设 A、B 两点的极坐标分别是( 2 , ? ) ( , 4 是 .
4



,则 AB 线段的两个三等分点的极坐标 2 ,- ? )

15.曲线的极坐标方程是ρ =4cos(θ -

? ),则它相应的直角坐标方程是 3



? 3t 2 ?x ? 1? t2 , ? 16.曲线 ? (t 为参数)的普通方程是 2 ?y ? 5?t ? 1? t2 ?
17.点 A 的直角坐标为(1,1,1) ,则它的球坐标为 18 设点 A 的极坐标为(ρ 1,θ 1) 1≠0,0<θ 1< (ρ (1) (2)



,柱坐标为

。 .

? ),直线 l 经过 A 点,且倾斜角为α 2

证明 l 的极坐标方程是ρ sin(θ -α )=ρ 1sin(θ 1-α ); 若 O 点到 l 的最短距离 d=ρ 1,求θ 1 与α 间的关系.

19 已知曲线 ?

? x ? 2 2 cos ? , ? (θ ? y ? 2sin ? ?

为参数)和定点 P(4,1) ,过 P 的直线与曲线交于 A、B 两点,若线

段 AB 上的点 Q 使得

PA AQ = 成立,求动点 Q 的轨迹方程. PB QB


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