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椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案


椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题(1) 考点一:圆锥曲线标准方程 1.以

x2 4

?

y2 12

=-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为__________________

2.与双曲线 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1 有公共焦点,离心率互为倒数的椭圆方程为_

_________________

3.方程

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是________________ k ?3 5?k x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是________________ m ? 2 3? m
.

方程

4.经过点 M( 3 ,-2),N(-2 3 ,1)的椭圆的标准方程是

5.与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有公共渐近线且焦距为 8 的双曲线方程为__________________ 5 3

6.过点 P(?2, 4) 的抛物线的标准方程为

7 过点 P(2,-2)且与

x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是 2

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点相同,则椭圆的标准方程为__________ 8 过点 A(?1, ?2) 且与椭圆 6 9

考点二:圆锥曲线定义在解题中的运用 1.椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的焦点为 F1,F2 ,直线 AB 过 F1, 则 ?ABF2 的周长为
2 2

过双曲线

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 ( F2 为右焦点)的周长为 16 9

2.动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8 x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动圆必过定点

3.椭圆

x2 25

?

y2 9

? 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,则 ON 等于

1

x2 y2 x2 ? ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1 的公共焦点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个公共点, 6 2 3 则 cos ?F1 PF2 的值等于
4.设椭圆 5.P 为双曲线 系为
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 上一点, F1 为一个焦点,以 PF1 为直径的圆与圆 x

2

? y 2 ? a 2 的位置关

考点三:椭圆双曲线三量之关系 1.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?

2.若抛物线 y ? mx2 的焦点与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的上焦点重合,则 m ? 2 6

3.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则 m 等于____________ 4 m m 2

4.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 2c 为焦距, a ? b ? 10, c ? 2 5 ,则椭圆方程为 a 2 b2
x2 y2 ? ? 1 的焦距是 m 2 ? 12 4 ? m 2

5.双曲线

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题(2)
2

考点四:椭圆双曲线的离心率 1.椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为_________

2 若椭圆

x 2 y2 10 ? =1 的离心率 e= ,则 m 的值为 5 m 5 x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的离心率为 2,则 m 的值为 9 m


3.已知双曲线

4.若椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e= ,则 k 的值等于 2 k ?8 9

.

5.双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1. F2 , ?F 1MF2 ? 120? ,则双曲线的离心率为

6.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e ? ?1, 2? ,则 k 的取值范围为 4 k

7.椭圆的焦点分长轴为 3 : 2 的两段,则离心率为_________

8. 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦 点 为 F1. F2 , PQ 是 经 过 F1. 且 垂 直 于 x 轴 的 弦 . 若 a 2 b2

?PF2Q ? 90? ,则双曲线的离心率为_________

x2 y 2 9.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,若直线 y ? 2 x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c , a b
则椭圆的离心率为 8.已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的 a 2 b2

右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是

考点五:焦点三角形
3

1 设 P 是椭圆

x 2 y2 0 ? =1 上一点,F1, F2 是其焦点,∠F1 P F2 = 90 9 4

则△F1 P F2 的面积

2.设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? , 则 4
点 P 的坐标是

?PF1 F2 的面积为

3.

x2 y 2 ? 1(a ? 5) ,它的两个焦点分别为 F1,F2 ,且 F1F2 ? 8 ,弦 AB 过 已知椭圆的方程是 2 ? a 25

F1 ,则 △ABF2 的周长为
4.



[来源:学科网]

4、在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P, F1,F2 是椭圆的左、右焦点, △F1PF2 为直角三角形,则 45 20

这样的点 P 有_________个

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取 5.椭圆 9 4
值范围是

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题(3) 考点六:动点轨迹问题
4

1.已知圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 , A(1,0) 是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,AQ 的垂直平分线 与 CQ 的交点为 M,求点 M 的轨迹方程

2.已知圆 A : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 100 ,圆内一定点 B(4, 0) ,动圆圆 P 过点 B 且与圆 A 相内切,求 动圆圆心 P 的轨迹方程

3.已知动圆 C 和定圆 C1 : x2 ? ? y ? 4? ? 1 外切而和定圆 C2 : x2 ? ? y ? 4? ? 9 外切, 求动圆圆心 C
2 2

的轨迹方程

4.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1, 则动点 M 的轨迹方程为

6. P 在以 F1 , F2 为焦点的椭圆

x2 y2 ? ? 1 上运动, 则 ?PF1 F2 重心 G 的轨迹方程是 3 4

7. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右顶点 为 D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;

? 1? ? 2?

考点七:圆锥曲线中的最值问题 1.抛物线 x ? 2 y 上与 M (0, 2) 距离最近的点的坐标为
2

5

2. 已 知 P 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 任 一 点 , F 为 椭 圆 的 左 焦 点 , A(2,1) 为 椭 圆 内 一 点 , 则 25 9

| PA | ? | PF | 的最大值为
3.已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点,焦点为 F ,点 A 的坐标是 A(6,3) ,则 | PA | ?| PF | 的 最小值是

考点八:直线与圆锥曲线位置关系 1. 过点(0, 2)与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线有 条直线与双曲线 x ?
2



2.过点 A(0, 2) 可作 过点 B(1, 0) 可作 条

y2 ? 1 有且只有一个公共点, 4

3.直线 m : y ? kx ? 1 和双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支交于不同两点,则 k 的取值范围是

4.若直线 y ? kx ? 1 ( k ? R )与焦点在 x 轴上的椭圆 值范围是

x2 y 2 ? ? 1 总有公共点,则实数 a 的取 7 a

2 5.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x 2 ? y ? 1 的交点为 A, B , 点 P 为椭圆上的动点, 则使 ?PAB 的

4

面积为

1 的点 P 的个数为 2

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题(4) 考点九:直线与圆锥曲线相交弦长
6

1.已知斜率为 1 的直线过椭圆的

x2 ? y 2 ? 1右焦点交椭圆于 A, B ,则 AB = 4

2.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的过焦点的弦为 AB , AB ? 5 , xA ? xB ? 3 ,则 p ?

3.若倾角为

? 的直线过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点且与抛物线相交于 M 、 N 两点,则 MN 长为 4

考点十:点差法 1.点 P(8,1) 平分双曲线 x2 ? 4 y 2 ? 4 的一条弦,则这条弦所在的直线方程是______ 2.在抛物线 y 2 ? 16 x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________ 3.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,0) 引椭圆的动弦 AB , 则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是 9 4
x2 ? y 2 ? 1 交于 P 1, P 2 ,线段 P 1P 2 的中点为 P ,设直线 l 的斜率为 2

4.过点 M (?2,0) 的直线 l 与椭圆

k1 ( k1 ? 0 ) ,直线 OP 的斜率为 k 2 ,则 k1 ? k2 的值为
5.椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点,弦 AB 的中点 C 与椭圆中心的连线

OC 的斜率为

n 2 (1)求 的值; (2)若 AB ? 2 2 ,求椭圆方程 m 2

6、已知椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 y=4x+m,椭圆上 4 3

有不同的两点关于该直线对称。

7

7 如图在平面直角坐标系 xoy 中,F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, 顶点 B a 2 b2

的坐标是 (0, b) ,连接 BF2 并延长交椭圆于点 A ,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ,连 接 FC . 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; (2)若 FC ? AB ,求椭圆离心率 e 的值. 1

4 1 3 3

8


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