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同济大学结构力学第四章-1


第四章 静定结构的影响线
http://tm.zzu.edu.cn/fan/index/

§4- 1 基本概念
?

?

?

移动荷载 荷载大小、方向不变,荷载作用点随时 间改变,结构所产生加速度的反应与静 荷载的反应相比可以忽略,这种特殊的 作用荷载称移动荷载。(吊车、车辆) 特点 结构的反应(反力、内力和变形)随荷 载作用位置改变。 主要需要解决的问题 移动荷载下的最大响应问题,线弹性条 件下解决方案是利用影响线。

影响线定义 单位移动荷载下某物理量随荷载位置变 化规律的图形。 ? 应注意的问题 由上述定义可知,物理量是固定的,单 位移动荷载位置是变动的,影响线图形 的纵标是荷载作用于此处时物理量的值。 物理量影响线要注意:外形、数值(单 位)和符号。 ? 影响线作法 1、静力法 2、机动法(虚功法) 3、联合法
?

§4- 2 静力法作影响线
?

静力法作梁影响线(一)
按定义用静力平衡方程建立影响量方程,由函 数作图的方法称作静力法。 FAy 反力影响线 简支单跨梁:

A
+

l

B

FAy

x ? 1? l

简支单跨梁:

FBy 反力影响线

A

l
+

B

FBy

x ? l

FQk 影响线
A B

l

+

? FQk ? ? FBy ? ? FQk ? FAy

x?a x?a

简支单跨梁:
A B

M k 影响线

l

? M k ? RB b ? ? M k ? RAa

x?a x?a

+

反力影响线是基本的。
弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出。

静力法作影响线(二)
?

静力法作梁影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程,由函 数作图的方法称作静力法。

悬臂单跨梁:
A

k l

试列方程验证
B 1
A

多跨静定梁:
B

b

C
b b

D

l

FAy I . L.
M A I . L. M k I . L.

l

FAy I1. L. M A I . L. FAy I . L. Ay
M A I ..L.. MA I L
l

FQk I . L.

b 1

静力法作影响线(三)
静力法作梁影响线 经结点传荷的主梁:由静力法可证明荷载在次 梁上移,主梁内力线性变化。因此,将结点投 影到主梁直接受荷影响线(或基线),连投影 点可得主梁影响线。
?

x
F1

F2

a
FQ I . L.

l+

b
1 I . L. b

x F1 ? 1 ? x l F2 ? l

a

+

M

FQ ? ? FBy FQ ? FAy FQ ? FAy ? F1
x
F1

x1 ? c x1 ? a ? b1

x1

为1的坐标

FQ ? ?( FBy ? F2 )

a ? x1 ? c
d ? b ? b1

a ? b1 ? x1 ? a
A

c ? a ? a1 F2

C

a
FQ I . L.

k a1 b1

D

B

l+

b
1 I . L. b

x F1 ? 1 ? x l F2 ? l

a

+

M

静力法作影响线(四)
?

静力法作桁架影响线
按定义实质为求移动荷载下某杆轴力。因此 关键是熟练掌握桁架在单位力位于任何X位置 时指定杆内力如何求。 内力可用结点投影方程、截面力矩方程或联合 用投影和力矩方程求,与其对应可投影、力矩 和联合法列影响量方程并作图。 思路就是如此简单,关键在多练和总结规律、 经验!!

虚功法作影响线(一)
虚功法(机动法)作影响线的原理

单自由度体系

次数减一的结构

因为Mk是单位荷载下实际受力,所以k处变形光滑。

单自由度刚体位移

不变体系变形位移

? ?k ? FP ? 1

? M k ? ??Pk

由此得结论:影响线等于单位虚位移 图(注意形状、控制值和符号)。

虚功法作影响线(二)
机动法作影响线的实质是什么?
将平衡问题化为几何问题来解决。

结论“虚位移图即影响线”是否恒正确?
只适用于垂直杆轴单位移动荷载情况

试作图示外伸梁的 FBy、M 2、FQ2、FQ3、M B L R FQB、FQB 影响线。

虚功法作影响线(二)

虚功法作影响线(三)
L R 试作图示多跨梁的M A、FGy、FDy、M D、M D R L FQB、FQB 影响线。

虚功法作影响线(四)
L 试作图示结点传荷主梁的 M1、M B、FDy、FQB 影响线。

作超静定结构影响线
?

?

超静定结构影响线也可按静力法来作, 因为应用中一般并不需要具体纵标值, 所以多用虚功(机动)法。这部分大家 可自学李廉坤教材中有关内容。 虚功(机动)法作影响线 关键在记住:变形图即为影响线形状, 一些支座左右侧内力影响线,先按跨中 内力影响线作,然后考虑往支座移。

虚功法作影响线(五)
试作图示连续梁的 M 1、FQ1 影响线。
M A、FBy、MC、F
L QC

* 作静定结构变形影响线(一)
作简支梁相对转角θAB影响线的例子
移动荷载弯矩图

单位弯矩图 图乘可得

? AB

1 l x ? (1 ? ) x EI 2 l

*作静定结构变形影响线(二)
作简支梁挠度vC影响线的例子
A

a

1 C EI , l

b

B

单位弯矩图
x 1a ? x
b

移动荷载弯矩图
x?a
1

单位弯矩图
l?x

a

移动荷载弯矩图

图乘法计算,可得移动荷载在C左、右的影响系数

影响线的应用
(只讲基本概念,请大家自学)
?

确定最不利荷载位置和最大影响量
假定移动荷载下结构处线弹性状态,迭加原 注意: 理适用。 最大影响量 给定移动荷载处于某位置时,需求量的值 可通过该量影响线由迭加原理得到。 绝对最大弯矩 给定移动荷载使某量达最大的位置称最不 利荷载位置。确定它的步骤是: 是要考的! 作所求量的影响线; 根据影响线确定临界荷载判别式,用它排 除非临界荷载; 对临界荷载试算,找最大。

影响线的应用
(只讲基本概念,请大家自学)
?

临界荷载判别式
多边形影响线情况

R1

R

' 2

Pk

Ri'

Rn

左、右移? x影响量 的改变量? Z为:

?Z ? ?x ? Ri tg? i

?1

?2

?i

?n

为使向左移动时? Z 为负,必须左移时(右移? Z 为正) ? Ri tg? i ? 0 为使向右移动时? Z 为负,必须右移时(左移? Z 为正) ? Ri tg? i ? 0

这就是临界荷载判别式

影响线的应用
(只讲基本概念,请大家自学)
?

临界荷载判别式
三角形影响线情况(作为多边形的特例)
' R左

Pk

' R右

为使向左移动时? Z 为负,必须左移时 ' ' ( R左 ? Pk ) / a ? R右 / b 为使向右移动时? Z 为负,必须右移时 ' ' R左 / a ? ( Pk ? R右 ) / b

a

b

这就是临界荷载判别式

影响线的应用举例(一)
求图示简支梁K截面弯矩的最不利荷载位置。
作出Mk影响线如图 利用判别式确定临界荷载

教材上还有 M 一个例子 I.L. 请大家自学! 一种临界荷载 另两种情况不是临界荷载
K
k

4.5 ? 2 2 4.5 ? 0; ? 6 6 10 7 ? 3 2 ? 4.5 3 7 ? 2 ? 4.5 ? ; ? 6 10 6 10

经试算可得
1 M K ? 19.375 kN ? m 3 M K ? 35.47 kN ? m

另一种临界荷载

所以最不利荷载位置是

影响线的应用
(只讲基本概念,请大家自学)
?

活荷载的最不利布置
对一些可任意分段布置的活荷载,利用某 量的影响线可确定活载如何布置使其达最大 或最小。

?

包络图的概念
给定移动荷载下各截面某量最大(或最 小)值的连线称该量的包络图。 可分段布置的活荷载和恒载共同作用下, 使各截面某量最大(或最小)值的连线也称 该量的包络图。SMCAI 有计算和绘制弯矩包 络图程序,可通过使用来加深概念理解。

影响线的应用
(只讲基本概念,请大家自学)
中最大的,因此称作绝对最大弯矩。 图 简支梁绝对最大弯矩可按如下思路来求: 首先,移动荷载在某位置弯矩图是凸多边 形,因此绝对最大弯矩必在某力下。 设某力在x位置其下弯矩达极值,则M(x)对 x的导数应等于零,由此可求得x=(l-a) /2 。 在这些极值中寻找最大的(以跨中弯矩影 响线为据判断临界荷载,只对临界荷载试 算),自然是绝对最大的。
FP FP FR 位 ? 绝对最大弯矩的概念 示 置 弯矩包络图中最大的弯矩值即为整个结构 意

影响线的应用举例(二)
求图示简支梁绝对最大弯矩。
FP1 ? FP1 ? FP1 ? FP1 ? 324.5 kN ? m

2 M max

649kN ? [(6 ? 0.725)m]2 ? 4 ? 6m ? 0 ? 752.5kN ? m

跨中截面弯矩影响线 a= 中间两荷载是临界荷载

a为 负值
3 经计算 M max ? 752.5kN ? m

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