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广东省肇庆市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


广东省肇庆市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 是() B.第二象限角 , B.(﹣2,1) C.第三象限角 ,则 =() D.(4,3) D.第四象限角

A.第一象限角 2.已知向量 A.(2,﹣1)

C.(2,0) ,则这个数列是() C.常数列

3.已知数列{an}的通项公式是 an= A.递增数列
2

B.递减数列

D.摆动数列

4.不等式 x ﹣x﹣2<0 的解集是() A.{x|x>2} B.{x|x<﹣1} 5.若 tanα>0,则() A.sinα>0 B.cosα>0

C.{x|x<﹣1 或 x>2}D.{x|﹣1<x<2}

C.sin2α>0

D.cos2α>0

6.在矩形 ABCD 中,| A.12

|=4,|

|=2,则| C. 4

|=() D.2

B. 6

7.已知等差数列{an}中,a1+a5=6,则 a1+a2+a3+a4+a5=() A.10 B. 5 C.30 8.已知 c>b>a,c+b+a=0,则下列不等式一定成立的是() 2 2 2 A.c >b >a B.c|b|>a|b| C.bc>ac

D.15

D.ac>ab

9.若向量 A.2

满足: B.



, C. 1

,则 D.

=()

10.已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+?) (0≤?<π) ,它们的图象有一个横坐标为 则 ?=() A. B. C. D.

的交点,

11.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为()

A.10

B. 8

C. 3

D.2

12.对任意两个非零的平面向量



,定义

°

=

.若两个非零的平面向量 ,

满足 与 的夹角 A. B.

,且 ? 和 ? 都在集合 C. 1 D.

中,则 ? =()

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 的值等于.

14.已知平面向量



,且 ∥ ,则 m=.

15.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于. 16.设正实数 x,y,z 满足 x ﹣3xy+4y ﹣z=0,则当 为.
2 2

取得最小值时,x+2y﹣z 的最大值

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤.) 17.已知 及奇偶性. ,请写出函数 f(x)的值域、最小正周期、单调区间

18.数列{an}满足 a1= ,an+1=

(n∈N ) .

*

(1)写出 a2,a3,a4,a5; (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式; (3)判断实数 是否为数列{an}中的一项?并说明理由.

19.已知函数 (1)求 A 的值; (2) 设 的值. ,

,x∈R,且



, 求 cos (α+β)

20. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2cos (A+C)=﹣ . (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.

2

cosB﹣sin (A﹣B) sinB+cos

21.设数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 Tn= (n∈N ) ,证明:T1+T2+…+Tn< .
*

(n∈N ) .

*

22.数列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n=1,2,3…) . (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)设 bn=log2Sn,存在数列{cn}使得 cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2)Sn,试求数列{cn} 的前 n 项和.

广东省肇庆市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 是() B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角

考点: 象限角、轴线角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据终边相同的角的关系进行判断即可.

解答: 解: ∵ ∴

=6π+



是第二象限角, 是第二象限角,

故选:B 点评: 本题主要考查角的象限的确定,利用终边相同的角的关系是解决本题的关键.

2.已知向量 A.(2,﹣1)

, B.(﹣2,1)

,则

=() D.(4,3)

C.(2,0)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的坐标运算求解即可. 解答: 解:向量 , ,则 =(3,1)﹣(1,2)=(2,﹣1) .

故选:A. 点评: 本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.

3.已知数列{an}的通项公式是 an= A.递增数列 B.递减数列

,则这个数列是() C.常数列 D.摆动数列

考点: 数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的通项公式结合分式函数的性质进行判断即可. 解答: 解:数列{an}的通项公式是 an=
?

=

=1+



则当 n∈N 时为递减数列, 故选:B. 点评: 本题主要考查数列单调性的判断,根据分式函数的性质是解决本题的关键. 4.不等式 x ﹣x﹣2<0 的解集是() A.{x|x>2} B.{x|x<﹣1}
2

C.{x|x<﹣1 或 x>2}D.{x|﹣1<x<2}

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 先求相应二次方程 x ﹣x﹣2=0 的两根, 根据二次函数 y=x ﹣x﹣2 的图象即可写出 不等式的解集 2 解答: 解:方程 x ﹣x﹣2=0 的两根为 2,﹣1, 2 且函数 y=x +x﹣2 的图象开口向上, 2 所以不等式 x +x﹣2<0 的解集为(﹣1,2) .

故选:D. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,属基础题,深刻理解“三个二次”间的关系是解决 该类题目的关键,解二次不等式的基本步骤是:求二次方程的根;作出草图;据图象写出解 集 5.若 tanα>0,则() A.sinα>0 B.cosα>0 考点: 专题: 分析: 解答: ∴

C.sin2α>0

D.cos2α>0

三角函数值的符号. 三角函数的求值. 化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案. 解:∵tanα>0, ,

则 sin2α=2sinαcosα>0. 故选:C. 点评: 本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题.

6.在矩形 ABCD 中,| A.12

|=4,|

|=2,则| C. 4

|=() D.2

B. 6

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知得到所求是对角线 BD 长度的 2 倍,只要求出矩形的对角线即可. 解答: 解:由已知矩形 ABCD 中,| | |=| |=2| |=2 |=4,| =2 |=2,则 =4 ;

故选 C. 点评: 本题考查了向量的平行四边形法则的运用以及向量模的求法; 解答本题的关键是明 确所求为矩形的对角线长度的计算. 7.已知等差数列{an}中,a1+a5=6,则 a1+a2+a3+a4+a5=() A.10 B. 5 C.30

D.15

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据题意和等差数列的性质求出 a3 的值,代入所求的式子化简求值即可. 解答: 解:由等差数列的性质得,a1+a5=a2+a4=2a3=6,则 a3=3, ∴a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15, 故选:D. 点评: 本题考查等差数列的性质的灵活应用,属于中档题.

8.已知 c>b>a,c+b+a=0,则下列不等式一定成立的是() A.c >b >a
2 2 2

B.c|b|>a|b|

C.bc>ac

D.ac>ab

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意得到 c>0,a<0,根据不等式的基本性质,对各个选项依次加以推理论证, 可得 A、B、D 项均不能成立,只有 C 项是正确的,得到本题答案. 解答: 解:∵c>b>a,c+b+a=0, ∴c>0,a<0, 对于 A,若 a=3,b=1,c=﹣4,则不成立, 对于 B,若 b=0 时,不成立, 对于 C,根据不等式的性质,成立, 对于 D,a 为负数,则由 c>b 可得 ac<bc,不不成立. 故选:C. 点评: 本题在已知 c>b>a,c+b+a=0 情况下,要我们判断几个不等式的正确与否,着重 考查了不等式的基本性质和不等式等价变形的注意点等知识,属于基础题.

9.若向量 A.2

满足: B.



, C. 1

,则 D.

=()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知两个垂直,得到数量积为 0,整理得到所求. 解答: 解:因为 所以 所以 所以 ; =0, ,所以 , =0, =2, ,

故选:B. 点评: 本题考查了向量垂直,数量积为 0,属于基础题. 10.已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+?) (0≤?<π) ,它们的图象有一个横坐标为 则 ?=() A. B. C. D. 的交点,

考点: 三角方程. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

分析: 由题意可得 sin( π+?)=cos

= .根据 φ 的范围和正弦函数的单调性即可得出. 的交点,

解答: 解:∵函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) ,它们的图象有一个横坐标为 ∴sin( π+?)=cos ∵0≤φ<π, ∴ ≤ π+?≤ , . , = .

∴ π+?= 解得 φ=

故选:A. 点评: 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础题

11.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为()

A.10

B. 8

C. 3

D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z, 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 C 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 C(5,2)

代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=2×5﹣2=8. 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 结合目标函数的几何意义, 利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.

12.对任意两个非零的平面向量



,定义

°

=

.若两个非零的平面向量 ,

满足 与 的夹角 A. B.

,且 ? 和 ? 都在集合 C. 1 D.

中,则 ? =()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先求出 从而求得 ? = ? = ,n∈N, ? = ,m∈N,再由 cos θ= 的值. = ,n∈N.
2

∈( 0,

) ,故 m=n=1,

解答: 解:∵ °? =

=

=

=

同理可得

°? =

=

=

= ,m∈N.

再由 与 的夹角 ∴cos θ=
2

,可得 cosθ∈(0, ) ,故 m=n=1,

) ,

∈( 0,

∴ ? = = , 故选:D. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求得 m=n=1,是解题的关键,属于中档 题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 的值等于﹣ .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果. 解答: 解: 故答案为: . =sin(π+ )=﹣sin =﹣ ,

点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式, 要特别注意符号的选取, 这是解题的 易错点,属于基础题.

14.已知平面向量



,且 ∥ ,则 m=﹣4.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,有 ∥ ,进而根据向量平行的充要条件,构造方程 m+4=0,解可得答 案. 解答: 解:∵ ∥ , ∴m+4=0 ∴m=﹣4 故答案为:﹣4 点评: 本题考查的知识点是向量平行的坐标运算,当 时,则 ?x1?y2﹣x2y1=0

15.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于 4. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可得 a1?a8=a2?a7=…a4?a5=10,由对数的运算性质,整体代入计 算可得. 解答: 解:∵等比数列{an}中 a4=2,a5=5, ∴a4?a5=2×5=10, ∴数列{lgan}的前 8 项和 S=lga1+lga2+…+lga8 4 =lg(a1?a2…a8)=lg(a4?a5) =4lg(a4?a5)=4lg10=4 故答案为:4. 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及对数的运算,基本知识的考查.

16.设正实数 x,y,z 满足 x ﹣3xy+4y ﹣z=0,则当 为 2. 考点: 基本不等式. 专题: 综合题. 分析: 将 z=x ﹣3xy+4y 代入
2 2

2

2

取得最小值时,x+2y﹣z 的最大值

,利用基本不等式化简即可得到当

取得最小值时的条

件,用 x,z 表示 y 后利用配方法求得 x+2y﹣z 的最大值. 2 2 解答: 解:∵x ﹣3xy+4y ﹣z=0, 2 2 ∴z=x ﹣3xy+4y ,又 x,y,z 为正实数, ∴ = + ﹣3≥2 ﹣3=1(当且仅当 x=2y 时取“=”) ,

即 x=2y(y>0) , 2 2 ∴x+2y﹣z=2y+2y﹣(x ﹣3xy+4y ) 2 =4y﹣2y 2 =﹣2(y﹣1) +2≤2. ∴x+2y﹣z 的最大值为 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查基本不等式,将 z=x ﹣3xy+4y 代入 键,考查配方法求最值,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤.) 17.已知 及奇偶性. 考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据正弦函数的值域、周期性、单调性、奇偶性,得出结论. 解答: 解:函数 f(x)=2sin(2x﹣ 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ )的值域为[﹣2,2],最小正周期为 ≤x≤kπ+ ,可得函数的增区间为 . ,请写出函数 f(x)的值域、最小正周期、单调区间
2 2

,求得

取得最小值时 x=2y 是关

,k∈z,求得 kπ﹣ ;

令 2kπ+ 为

≤2x﹣

≤2kπ+

,k∈z,求得 kπ+ .

≤x≤kπ+

,可得函数的单调递减区间

由于 f(﹣x)=2sin(﹣2x﹣

)=﹣2sin(2x+

) ,故 f(﹣x)≠f(x) ,且 f(﹣x)≠﹣f

(x) ,故函数 f(x)是非奇非偶函数. 点评: 本题主要考查正弦函数的值域、周期性、单调性、奇偶性,属于基础题.

18.数列{an}满足 a1= ,an+1=

(n∈N ) .

*

(1)写出 a2,a3,a4,a5; (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式; (3)判断实数 是否为数列{an}中的一项?并说明理由.

考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推关系式直接 a2,a3,a4,a5; (2)利用所求各项,直接写出数列{an}的一个通项公式; (3)利用通项公式判断实数 则不是数列的项. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知可得 (2)由(1)可得数列{an}的一个通项公式为 (3)令
*

是否为数列{an}中的一项,n 是正整数则是数列的项,否

; ;

,解得 n=1007.5, 不是数列{an}中的一项.

因为 n∈N ,所以 n=1007.5 不合题意,故

点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,数列的函数的特征,考查计算能力. ,x∈R,且

19.已知函数 (1)求 A 的值; (2) 设 的值. ,



, 求 cos (α+β)

考点: 两角和与差的余弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)将 代入函数解析式,利用特殊角三角函数值即可解得 A 的值;

(2)先将



代入函数解析式,利用诱导公式即

可得 sinα、cosβ 的值,再利用同角三角函数基本关系式,即可求得 cosα、sinβ 的值,最后 利用两角和的余弦公式计算所求值即可 解答: 解: (1) (2) ,解得 A=2 ,即

,即 因为 所以 所以 , , , .

点评: 本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用, 诱导公式、 同角三角函数基本 关系式的应用,特殊角三角函数值的运用,属基础题 20. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2cos (A+C)=﹣ . (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.
2

cosB﹣sin (A﹣B) sinB+cos

考点: 两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的 余弦;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出 A 的余弦值, 然后求 sinA 的值; (Ⅱ)利用 ,b=5,结合正弦定理,求出 B 的正弦函数,求出 B 的值,利用余弦定 理求出 c 的大小. 解答: 解: (Ⅰ)由 可得 可得 即 , , ,



, ,所以 , . = ,

(Ⅱ)由正弦定理,

由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B= 由余弦定理可知 解得 c=1,c=﹣7(舍去) . 向量 在 方向上的投影:

=ccosB=



点评: 本题考查两角和的余弦函数, 正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等 基本知识,考查计算能力转化思想. (n∈N ) .
*

21.设数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 Tn= (n∈N ) ,证明:T1+T2+…+Tn< .
*

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 压轴题;等差数列与等比数列.

分析: (1)根据数列的和的定义得出方程组

,求解即可.

(2)将 化简裂项得出

代入

,得 ,



展开 T1+T2+…+Tn 利用放缩法求解证明即可.

解答: 解: (1)由

,得



解得 a1=2,a2=12. (2)当 n≥2 时, 即 所以 , , ,

所以数列

是以 a1+2=4 为首项,4 为公比的等比数列,故 (n∈N ) . ,得 ,
*



又 a1=2 满足上式,所以数列{an}的通项公式 (3)将 所以 代入



所以

=



点评: 本题考查数列的通项公式、前 n 项和的运用,解题时要认真审题,注意裂项思想的 合理运用证明不等式. 22.数列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n=1,2,3…) . (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)设 bn=log2Sn,存在数列{cn}使得 cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2)Sn,试求数列{cn} 的前 n 项和. 考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ) 由题意可得, a1=a2, a1+a2=a(Ⅱ) 由 Sn=an+1=Sn+1﹣Sn, 可得 2Sn=Sn+1, 3 从而可得{Sn}为等比数列,进而可求 (Ⅲ)由(II)可得,Sn= (2
﹣2

=2,

n﹣1

)=2

n﹣2

,bn=n﹣2,从而可求 cn= ,利用分组求和,令 B=1?2


+n2

n

,令 A=
0 1

+
2

+…+
n﹣2

1

+2?2 +3?2 +4?2 +…+n2

,利用错位相减可求,从而可求

解答: 解: (Ⅰ)∵a1=a2,a1+a2=a3,∴2a1=a3=1,∴a1= ,a2= .…

(Ⅱ)∵Sn=an+1=Sn+1﹣Sn,∴2Sn=Sn+1, ∴{Sn}是首项为

=2,…

,公比为 2 的等比数列.

∴Sn=

2

n﹣1

=2

n﹣2

.…
n﹣2

(Ⅲ)Sn= (2

n﹣1

)=2

,bn=n﹣2,bn+3=n+1,bn+4=n+2,
n﹣2

∵cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2)Sn,∴cn?(n+1) (n+2)=1+n(n+1) (n+2)2 即 cn= 令 A= = ﹣
﹣1



+n2 + +…+ .…
0 1 2

n﹣2

.… = ﹣ + +…+

令 B=1?2 +2?2 +3?2 +4?2 +…+n2 ,① 0 1 2 n﹣2 n﹣1 2B=1?2 +2?2 +3?2 +…+(n﹣1)2 +n2 ,② ②﹣①得 B=n2
n﹣1

n﹣2

﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2

﹣1

0

1

n﹣2

=n2

n﹣1


n﹣1

=(n﹣1)2 + =(n﹣1)2
n﹣1

n﹣1

+ ,

∴c1+c2+…+cn= ﹣

+(n﹣1)2

+

.…

点评: 本题主要考查了利用递推公式求解数列的通项公式, 还考查了裂项求和及错位相减 求解数列的和,这也是数列求和的重要的两个方法.


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