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高中数学竞赛专题讲座(解析几何)


高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的 距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1)的点 的轨迹(其中定点不在定直线上) ,即

| PF | ? e (0<e<1). d
第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原点出 发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两条线 的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义 可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0), a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a cos? ( ? 为参数) 。 ? y ? b sin ?

若焦点在 y 轴上,列标准方程为

y2 y2 ? ? 1 (a>b>0)。 a2 b2
3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 x ? ?

a2 , c

与右焦点对应的准线为 x ?

c a2 ; 定义中的比 e 称为离心率, 且e ? , 由 c2+b2=a2 知 0<e<1. a c

椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, a2 b2

y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为

x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b

2)斜率为 k 的切线方程为 y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2 ; 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为

l?

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a sec? ( ? 为参数) 。 ? y ? b tan?

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

y2 x2 ? ? 1。 a2 b2
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2
a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为 x ? ?

c a2 a2 ,x ? . 离心率 e ? ,由 a2+b2=c2 a c c

k x2 y2 x2 y2 知 e>1。两条渐近线方程为 y ? ? x ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? ?1 有相同的渐近 a a b a b
线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,F1(-c,0), F2(c, 0)是它 a2 b2

的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若 P (x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为

p p ( ,0) ,准线方程为 x ? ? ,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1. 2 2
11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= x ?

p ; 2 2p 。 1 ? cos 2 ?

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴,这 样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯一 确定点 P 的位置, (ρ ,θ )称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P,若 0<e<1, 则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛 物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 ? ? 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例 1 已知定点 A(2,1) ,F 是椭圆

ep 。 1 ? e cos ?

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当 25 16
c 3 ? . 椭圆左准线的方程为 a 5

3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。 [解] 见图 11-1 ,由题设 a=5, b=4, c= 52 ? 42 =3, e ?

x??

25 4 1 ? ? 1 ,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0) ,又因为 ,过 P 作 3 25 16
5 | PF | 3 ? e ? ,则 |PF|=|PQ|。 3 | PQ | 5

PQ 垂直于左准线,垂足为 Q。由定义知

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

5 |PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM ? 左准线于 M)。 3

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把 y=1 代入椭圆方程得

x??

5 15 5 15 ,又 x<0,所以点 P 坐标为 (? ,1) 4 4
x2 y2 ? ? 1 右支上两点, PP ' 延长线交右准线于 K,PF1 延 a2 b2

例 2 已知 P, P ' 为双曲线 C:

长线交双曲线于 Q, (F1 为右焦点) 。求证:∠ P ' F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为 l,作 PD ? l 于 D, P ' E ? l 于 E,因为 P ' E //PD,则

| PK | | P' K | ? , | PD | | P' E |

又由定义

| PF1 | | P' F1 | | PF1 | | PD | | PK | ,所以 ,由三角形外角平分线 ?e? ? ? | PD | | P' E | | P' F1 | | P' E | | P' K |

定理知,F1K 为∠PF1P 的外角平分线,所以∠ P' F1 K =∠KF1Q。 2.求轨迹问题。

1 例 3 (1984 年高考理科)求经过定点 M(1,2),以 y 轴为准线,离心率为 2 的椭圆的左
顶点的轨迹方程 解:因为椭圆经过点 M(1,2),且以 y 轴为准线,所以椭圆在 y 轴右侧,长轴平行于 x 轴
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

1 设椭圆左顶点为 A(x,y),因为椭圆的离心率为 2 ,

1 3x ( , y) 所以左顶点 A 到左焦点 F 的距离为 A 到 y 轴的距离的 2 ,从而左焦点 F 的坐标为 2
设 d 为点 M 到 y 轴的距离,则 d=1
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

| MF | 1 ? 2 及两点间距离公式,可得 根据 d

3x 1 ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( ) 2 , 即 2 2 2 2 9( x ? ) ? 4( y ? 2) 2 ? 1 3 (
这就是所求的轨迹方程
王新敞
奎屯 新疆

例 4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆,求此动 圆圆心 P 的轨迹。 [解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D 的坐标分别为 A(xD(0, y+

a a b ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), 2 2 2

b ), 记 O 为 原 点 , 由 圆 幂 定 理 知 |OA|?|OB|=|OC|?|OD| , 用 坐 标 表 示 为 2

x2 ?

a2 b2 a2 ? b2 2 2 . ? y2 ? ,即 x ? y ? 4 4 4

当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。 例 5 在坐标平面内,∠AOB= 方程。 [解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方, 则点 A, B 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ 设外心为 P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M ?

? ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心的轨迹 3 ? )), 3

?3 3 ? , tan? ? 。 ?2 2 ?

由外心性质知 y ?

3? ? ?? ? ? tan? ? tan?? ? ? ? . 再由 PM ? OB 得 ? 2? 3 ?? ? ?

3 y ? tan? 2 ×tanθ =-1。结合上式有 3 x? 2
tan(? ?


?

2?3 ? ) ?tanθ = ? ? x ?. 3 3?2 ?



tanθ + tan(? ?

?
3

)=

2 y. 3





3 ? tan

?

? ? ? ?? ? tan?? ? ?? ? ??. 3 3 ?? ? ?

所 以 tan θ - tan(? ?

?

? ? ?? ? ) = 3 ?1 ? tan? ? tan?? ? ?? 两 边 平 方 , 再 将 ① , ② 代 入 得 3 3 ?? ? ?

( x ? 4) 2 y 2 ? ? 1 。即为所求。 4 12
3.定值问题。 例 6 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 ? x 轴,交双曲线于 B1,B2 两点, a2 b2

B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐标分别 为(-c, 0), (c, ?

b2 b2 ), (c, ),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所以 a a


c?

ab ab ? ac sin ? , x0 ? . 2a sin ? ? b cos ? a sin ? ? b cos ?

所以

cx0 ?

a 2 b(b ? c sin ? ) 2a 2 sin 2 ? ? absin ? cos? ? b 2 cos2 ? a 2 b(b ? c sin ? ) a 2 sin 2 ? ? ab sin ? cos? ? b 2 ? c 2 sin 2 ?

?

?

a 2 b(b ? c sin ? ) 。 a sin ? (a sin ? ? b cos? ) ? (c sin ? ? b)(c sin ? ? b)
a(b ? c sin ? ) , x0

由①得 a sin ? ? b cos? ?

代入上式得 cx0 ?

a 2b a 2 sin ? (c sin ? ? b) x0

,



x??

a2 (定值) 。 c

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 2 例 7 设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在准 线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。 [证明] 设 A? ?
2 ? y12 ? ? y2 ? ? p ? ?p ? ? , 则 C ? ? , y 2 ? , 焦 点 为 F ? ,0 ? , 所 以 , y1 ? , B , y2 ? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? 2p ? ? 2p ?

2 ? y2 ? p y12 y12 p ? p ? ? , y2 ? OA ? ( , y1 ) , OC ? ? ? , y 2 ? , FA ? ( ? , y1 ) , FB ? ? ? ? 。由于 2p 2p 2 ? 2 ? ? 2p 2 ?

2 ? y1 y 2 p ? y12 y2 p p ?y2- y 2 ? y1 ? y1=0 , 即 ( y1 ? y 2 )? FA // FB , 所 以 ? 2p ? 2 ? ? =0 。 因 为 2 2p 2 2p ? ?

y1 ? y2 ,所以

? y1 y 2 p ? y1 y 2 p y12 ? p? ? ,即 ? ? 0 。所以 ? y ? ? y ? 0 ? ? ? y1 ? 0 。所 2 1 ? 2p 2p 2 2p 2? ? 2? ? ?

以 OA // OC ,即直线 AC 经过原点。

x2 y2 1 1 例 8 椭圆 2 ? 2 ? 1 上有两点 A,B,满足 OA ? OB,O 为原点,求证: ? 2 a b | OA | | OB | 2
为定值。 [证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

?
2

? ? ,则点 A,B 的坐标分别为 A(r1cos

θ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有

r12 cos2 ? r12 sin 2 ? r22 sin 2 ? r22 cos2 ? ? ? 1 , ? ? 1. a2 b2 a2 b2


1 cos2 ? sin 2 ? ? ? r12 a2 b2 1 sin 2 ? cos2 ? ? ? . r22 a2 b2




①+②得

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 (定值) 。 2 2 | OA | | OB | a b

4.最值问题。

例 9 设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA ? OB(O 为原点) ,求|AB|的最大值与最 小值。
2 2

[解]

由题设 a=1 , b=

r 1 1 3 , 记 |OA|=r1,|OB|=r2, 1 ? t ,参考例 8 可得 2 ? 2 =4 。设 3 r1 r2 r2

m=|AB| = r1 ? r2 ?
2

2

2

1 2 1 1 1 1 (r1 ? r22 )( 2 ? 2 ) ? (2 ? t 2 ? 2 ) , 4 4 r1 r2 t

因为

1 1 1 1 cos2 ? sin 2 ? 1 a2 ? b2 ? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ,且 a2>b2,所以 2 ? 2 ? 2 ,所以 b 2 2 2 2 a r1 b r1 a b a a b
b a 1 ?b2 ? t ? 。又函数 f(x)=x+ 在 ? 2 a b x ?a

? r1 ? a ,同理 b ? r2 ? a. 所以

? ,1? 上单调递减,在 ?

? a2 ? b a ?1, 2 ? 上单调递增,所以当 t=1 即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值 1;当 t ? 或 时,|AB| a b ? b ?
取最大值

2 3 。 3
3 2 3 2 ,若圆 C: x ? ( y ? ) ? 1 2 2

例 10 设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为

上点与这椭圆上点的最大距离为 1 ? 7 ,试求这个椭圆的方程。 [解] 设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为 ? 0, ? ,半径|CA|=1,因为 |AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值

? ?

3? 2?

1 ? 7 ,所以|BC|最大值为 7 .
因为 e ?

3 ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t, 3t ,t,椭圆方程为 2

x2 y2 ? ? 1 , 并 设 点 B 坐 标 为 B(2tcos θ ,tsin θ ) , 则 |BC|2=(2tcos 4t 2 t 2
9 1 2 3? ? 2 2 2 2 θ ) + ? t sin ? ? ? =3t sin θ -3tsinθ + +4t =-3(tsinθ + ) +3+4t . 4 2 2? ?
2

2

1 9 2 2 ,则当 sinθ =-1 时,|BC| 取最大值 t +3t+ ? 7 ,与题设不符。 4 2 1 1 2 2 2 若 t> ,则当 sinθ = ? 时,|BC| 取最大值 3+4t ,由 3+4t =7 得 t=1. 2 2t
若t ?

所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1。 4
1 2 x ,实数 p 、 q 满足 p 2 ? 4q ? 0 , 4

例 11 在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L : y ?

x1 , x2 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ? ? p, q ? ? max? | x1 |, | x2 |?。
⑴ 过点 A? p0 ,

? ?

1 2? p0 ?? p0 ? 0? 作 L 的切线交 y 轴于点 B 。证明:对线段 AB 上的任一点 4 ?
| p0 | ; 2

Q? p, q ? ,有 ? ? p, q ? ?

2 ⑵ 设 M ?a, b? 是定点, 其中 a 、b 满足 a ? 4b ? 0 ,a ? 0 , 过 M ?a, b? 作 L 的两条切线 l1 ,

1 2? ? 1 ? ? ' l 2 ,切点分别为 E ? p1 , p12 ? , E ' ? p2 , p2 ? , l1 、 l 2 与 y 轴分别交于 F 、 F ,线段 EF 4 ? ? 4 ? ?
上异于两端点的点集记为 X 。证明: M ?a, b ? ? X ?| p1 |?| p2 |? ? ?a, b ? ? ⑶ 设 D ? ??x, y ? | y ? x ? 1, y ?

| p1 | ; 2

? ?

1 ?x ? 1?2 ? 5 ? ? ,当点 ? p, q ? 取遍 D 时,求 ? ? p, q ? 的最小 4 4?

值(记为 ?min )和最大值(记为 ?max ) 。 解:⑴ 证明:由已知知点 A 在 L 上,过点 A 的 L 的切线的斜率为 y ? ∴直线 AB 的方程为: y ? 设点 B?0, y1 ? ∴ y1 ? ?

p0 2

p0 ?x ? p0 ? ? 1 p02 ? p0 x ? 1 p02 2 4 2 4

1 2 p0 4

∵ Q? p, q ? 为线段 AB 上的任一点 ∴q ?

p0 p 1 2 ? p0 2 4
2
2

∴方程 x ? px ? q ? 0 ,即方程 x ? px ? ?

? p0 p 1 2 ? ? p0 ? ? 0 的两根 4 ? ? 2

p? x1, 2 ?

p p 1 2? ?? p ?2 ? 4? ? 0 ? p0 ? ? 2 2 4 ? ?

p ? ? p ? p0 ? 2

∴ ? ? p, q ? ? max?|

? 2 p ? p0 p0 ? |, | |? 2 2 ? ?

∵ Q? p, q ? 为线段 AB 上的任一点

1? 当 p0 ? 0 时, 0 ? p ? p0
Ⅰ 当0 ? p ?

p0 时 2

? ? p, q ? ? max?|
此时

? 2 p ? p0 p0 |, | 2 2 ?

? ? p ? 2 p p0 ? |? ? max? 0 , ? 2? ? ? 2

p0 p0 ? 2 p ? ? p?0 2 2 p |p | ∴ ? ? p, q ? ? 0 ? 0 2 2 p Ⅱ当 0 ? p ? p0 时 2

? ? p, q ? ? max?|
此时

? 2 p ? p0 p0 |, | 2 2 ?

? ? 2 p ? p0 p0 ? |? ? max? , ? 2? ? ? 2

p0 2 p ? p0 ? ? p0 ? p ? 0 2 2 p |p | ∴ ? ? p, q ? ? 0 ? 0 2 2
2 ? 当 p0 ? 0 时, p0 ? p ? 0
Ⅰ 当 p0 ? p ?

p0 时 2

? ? p, q ? ? max?|
此时 ? ?

? 2 p ? p0 p0 |, | 2 2 ?

? ? p ? 2 p p0 ? |? ? max? 0 ,? ? 2? ? ? 2

? ?

p0 ? p0 ? 2 p ? p ? p0 ? 0 ?? 2 ? 2
p0 | p0 | ? 2 2

∴ ? ? p, q ? ? ? Ⅱ当

p0 ? p ? 0时 2

? ? p, q ? ? max?|
此时 ? ?

? 2 p ? p0 p0 |, | 2 2 ?

? ? 2 p ? p0 p0 ? |? ? max? ,? ? 2? ? ? 2

? ?

p0 ? 2 p ? p0 ? ?p ? 0 ?? 2 ? 2

∴ ? ? p, q ? ? ?

p0 | p0 | ? 2 2 | p0 | 。 2

综上所述,对线段 AB 上的任一点 Q? p, q ? ,有 ? ? p, q ? ? ⑵ 证明:

p1 1 x ? p12 2 4 p 1 2 由已知有直线 l 2 的方程为: y ? 2 x ? p2 2 4 p1 1 2 a ? p1 ∴b ? 2 4 p1 1 2 b ? a ? p1 2 4 p ? p2 解得 a ? 1 2
由已知有直线 l1 的方程为: y ?

1? 当 p1 ? 0 时,

p1 ? p2 ? p1 ? ? p1 ? p2 ? p1 ?| p1 |?| p2 | 2 |p | 由“⑴”有: M ?a, b ? ? X ? 0 ? a ? p1 ? ? ?a, b ? ? 1 2 M ?a, b ? ? X ? 0 ? a ? p1 ? 0 ?
2? 当 p1 ? 0 时,

p1 ? p2 ? 0 ? p1 ? p2 ? ? p1 ?| p1 |?| p2 | 2 |p | 由“⑴”有: M ?a, b ? ? X ? p1 ? a ? 0 ? ? ?a, b ? ? 1 2 |p | 综上所述, M ?a, b ? ? X ?| p1 |?| p2 |? ? ?a, b ? ? 1 2 p ⑶ 当 ? p, q ? ? D 时,设过点 ? p, q ? 的 L 的切线的斜率为 y ? 3 ,其中 p3 为切点处的横坐 2 M ?a, b ? ? X ? p1 ? a ? 0 ? p1 ?
标 ∴该切线方程为: y ?

p3 1 2 x ? p3 2 4

∵ ? p, q ? 为该切线上的点 ∴q ?

p3 1 2 2 p ? p3 ? p3 ? 2 pp3 ? 4q ? 0 ? p3 ? p ? p 2 ? 4q 2 4

∵ D ? ??x, y ? | y ? x ? 1, y ?

? ?

1 ?x ? 1?2 ? 5 ? ? 4 4?

∴?

q ? p ?1 ? ? ? ? ? ?0 ? p ? 2 1 5? ? ? 2 2 2 q ? ? p ? 1? ? ? ?? p ? 2? ? p ? 4q ? 2?2 ? p ?? ? ? 4 4? ?

?0 ? p ? 2 ?? 2 ?2 ? p ? p ? 4q ? 2?2 ? p ?
1? 当 p3 ? p ?
p 2 ? 4q 时,
2

? 2? 5 5 ? ? ? 2 ? p3 ? p ? 2?2 ? p ? ? ?? 2 ? p ? ? ? 2 2 2 ? ? 5 即 2 ? p3 ? 2
2? 当 p3 ? p ? p 2 ? 4q 时,

p ? 2?2 ? p? ? p3 ? 2 p ? 2 ? 2
? 2? 5 ? ? 又 p ? 2?2 ? p ? ? ?? 2 ? p ? ? ? 2 2 ? ?
∴ p ? 2?2 ? p? ? ?2 ∴ ? 2 ? p3 ? 2 综上所述, ? 2 ? p3 ?
2

5 2
| p3 | 2

又由“⑴”有: ? ? p, q ? ? ∴ ?min ? 0

? max ?

5 4

5.直线与二次曲线。 2 例 12 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。 2 [解] 抛物线 y=ax -1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点的条
2 2 件 是 存 在 一 对 点 P(x1,y1) , P ' (-y1,-x1) , 满 足 y1=a x1 ? 1 且 -x1=a(-y1) -1 , 相 减 得

x1+y1=a( x1 ? y1 ),因为 P 不在直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+
2 2

1 . a

所以 ay1 ? y1 ?
2

1 1 3 ? 1 ? 0. 此方程有不等实根,所以 ? ? 1 ? 4a( ? 1) ? 0 ,求得 a ? , a a 4
2

即为所求。 例 13,已知抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点作直线与抛物线交于 A, B

两点,若 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 E ( x0 ,0) ,问 ?ABE 能否是直角三角形?若能, 求 x0 的值,若不能,请说明理由. 解:1)由题知,M(-1,0) ,因为直线 AB 的斜率存在,故可设 AB 方程为:

? y ? k ( x ? 1) y ? k ( x ? 1), k ? 0 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB 的中点 N ( x ?, y ?) ,由 ? 2 ? ? y ? 4x
k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0, 所以 ? ? (2k 2 ? 4)2 ? 4k 4 ? 0 ? ?1 ? k ? 1, x1 ? x2 ? ?
2k 2 ? 4 k2

? x? ? ?

k2 ?2 2 2 1 k2 ? 2 ? y ? ? ? ( x ? ) 令 y ? 0得 , y ? ,所以 AB 的垂直平分线方程为: k k k2 k k2

如果三角形 ABE 为直角三角形,因 EA=EB,所以角 AEB 为直角,且 | AB |? 2 | EN |

| AB |? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 )[

(2k 2 ? 4)2 4 1? k4 2 ? 4] ? , k4 k2

| EM |?

| kx0 ? k | 1? k2

?

2 1? k2 4 1? k4 4 1? k2 1 ,? ? ? k 2 ? ,? x0 ? 5 ? 3 2 |k| k |k| 2

所以当 x0 ? 5 时,三角形 ABE 为直角三角形.

例 14.设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 取值范围. 解 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP x2 y2 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点,试求 的 PB 9 4

AP 1 ?? ; PB 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭 圆方程,消去 y 得

?9k
解之得

2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

x1, 2 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形. 当 k ? 0 时, x1 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 , , x ? 2 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4

所以

x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 18k 18 AP =1 ? =1 ? ?? 1 = PB x 2 9k ? 2 9k 2 ? 5 9 k ? 2 9k 2 ? 5 9?2 9? 5

.

k2

由 所以

? ? (?54k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?
?1 ? 1? 18 9?2 9? 5 k2 1 ?? , 5

?

?

5 , 9

综上

?1 ?

AP 1 ?? . PB 5

解 2:设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9k


2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

(*)

? 54k ? x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 9k ? 4 ? ? x x ? 45 . 1 2 ? 9k 2 ? 4 ?



x1 1 324k 2 . ? ? ,则, ? ? ? 2 ? ? 45k 2 ? 20 x2
2

在(*)中,由判别式 ? ? 0, 可得 k ?

5 , 9

从而有

4?

324k 2 36 ? , 2 45k ? 20 5
1

所以

4???

?

?2?

36 , 5

1 ? ? ? 5. 解得 5 1 结合 0 ? ? ? 1 得 ? ? ? 1 . 5 AP 1 ?? . 综上, ? 1 ? PB 5
例 15 已知双曲线 C :

y2 x2 ? ? 1, 直线 l 过点 A 2 ,0 , 斜率为 k , 当 0 ? k ? 1 时, 2 2

?

?

双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。 解:设点 M ( x, 2 ? x 2 ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:

kx ? 2 ? x 2 ? 2k k 2 ?1
2

? 2

?0 ? k ? 1?

???

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程. 由于 0 ? k ? 1 ,所以 2 ? x ? x ? kx ,从而有

kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x 2 ? 2k.
于是关于 x 的方程 ???

? ? kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? 2(k 2 ? 1)
? 2 ? x 2 2 ? ( 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx) 2 , ? ?? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0
? k 2 ? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ? ? ?? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0.
由 0 ? k ? 1 可知: 方程 k ? 1 x ? 2k
2 2

?

?

?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0,

?

2

?

?

? 2(k ?

2

? 1) ? 2k x ?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 的二根同正,

?

2

2 故 2( k ? 1) ? 2k ? kx ? 0 恒成立,于是 ??? 等价于

?k

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 .

?

2

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

k?

2 5 . 5

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的 优越性. 已知椭圆 C: x ? 2 y ? 8 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,
2 2

例 16

在线段 AB 上取点 Q,使

AP AQ ?? ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程. PB QB

解:设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y 2 ), Q( x, y) ,则由

4 ? x1 x ? x1 AP AQ ?? 可得: , ? PB QB x2 ? 4 x2 ? x
(1)

解之得: x ?

4( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 8 ? ( x1 ? x2 )

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一 元二次方程:

?2k


2

? 1 x 2 ? 4k (1 ? 4k ) x ? 2(1 ? 4k ) 2 ? 8 ? 0

?

(2)

4k (4k ? 1) ? x1 ? x 2 ? , ? ? 2k 2 ? 1 ? 2 ? x x ? 2(1 ? 4k ) ? 8 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
4k ? 3 . k?2
(3)

代入(1) ,化简得: x ?

与 y ? k ( x ? 4) ? 1 联立,消去 k 得: ?2 x ? y ? 4?( x ? 4) ? 0. 在(2)中,由 ? ? ?64k ? 64k ? 24 ? 0 ,解得
2

2 ? 10 2 ? 10 ,结合(3) ?k? 4 4

可求得

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? . 9 9


故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ). ?x? 9 9

例 17.(1991 年高考)双曲线的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,过双曲线右焦点且 斜率为

3 的直线交双曲线于 P、Q 两点.若 OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程. 5

本小题考查双曲线性质, 两点距离公式, 两直线垂直条件, 代数二次方程等基本知识, 以及综合分析能力.满分12分. 解法一:设双曲线的方程为

x2 y2 ? =1. a2 b2

依题意知,点P,Q的坐标满足方程组

? x2 y2 ① ? 2 ? 2 ?1 b ?a ? ? y ? 3 ?x ? c ? 其中c ? a 2 ? b 2 ② ? 5 ?

?

?

将②式代入①式,整理得 (5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③ ——3分

设方程③的两个根为x1,x2,若5b2-3a2=0,则

b 3 = ,即直线②与双曲线①的两条 a 5

渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b2-3a2≠0. 根据根与系数的关系,有

x1 ? x2 ?

6a 2 c 5b 2 ? 3a 2



3a 2 c 2 ? 5a 2 b 2 x1 x2 ? ? 5b 2 ? 3a 2
由于P、Q在直线y=



——6分

3 (x-c)上,可记为 5

P (x1,

3 3 (x1-c)),Q (x2, (x2-c)). 5 5

3 3 ( x1 ? c) ( x 2 ? c) 5 5 由OP⊥OQ得 · =-1, x1 x2
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥ 将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, (a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因为 所以 a2+3b2≠0,解得b2=3a2, c= a 2 ? b 2 =2a. ——8分

由|PQ|=4,得(x2-x1)2=[

3 3 (x2-c)- (x1-c)]2=42. 5 5

整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦ 将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1. 将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3. ——10分

y2 故所求双曲线方程为x - =1. 3
2

——12分 ——4分

解法二:④式以上同解法一.

? 3a 2 c ? 40ab2 ? 3a 2 c ? 40ab2 解方程③得x1= ,x2= 5b 2 ? 3a 2 5b 2 ? 3a 2
由于P、Q在直线y=



——6分

3 3 3 (x-c)上,可记为P (x1, (x1-c)),Q (x2, (x2-c)). 5 5 5 3 3 (x1-c)· (x2-c)=0. 5 5


由OP⊥OQ,得x1 x2+

将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.

3a4+8a2b2-3b4=0,

因a2+3b2≠0,解得b2=3a2. 由|PQ|=4,得(x2-x1)2+[ 即 (x2-x1)2=10. ⑥

——8分

3 3 (x2-c)- (x1-c)]2=42. 5 5

将④式代入⑥式并整理得 (5b2-3a2)2-16a2b4=0. 将b2=3a2代入上式,得a2=1, 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为 x2- ——10分

y2 =1. 3

——12 分

例 18.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的离心率为 2,过点 P(0 , m) a 2 b2

(m ? 0) 斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、B 两点, 且 AP ? 3PB ,OA ? OB ? 3 . (1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴 上是否存在定点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由.
c ? 2a , (1) 由双曲线离心率为 2 知, 双曲线方程化为 b ? 3a ,

x2 y 2 ? ? 1. a 2 3a 2

? x2 y 2 ? ?1 ? 又直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? a 2 3a 2 ,得 ? y ? x?m ?
2 x 2 ? 2mx ? m2 ? 3a 2 ? 0 .


?m2 ? 3a 2 . 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ?

因为 AP ? 3PB ,所以 (? x1 , m ? y1 ) ? 3( x2 , y2 ? m) , x1 ? ?3x2 . 结 合 x1 ? x2 ? m , 解 得 x1 ?
3 1 ?m2 ? 3a 2 m , x2 ? ? m . 代 入 x1 x2 ? ,得 2 2 2

3 ?m2 ? 3a 2 ? m2 ? ,化简得 m2 ? 6a 2 .又 4 2
OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,

且 OA ? OB ? 3 . 所以 a 2 ? 1 .此时, m ? 6 ,代入①,整理得 2x2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方 程有两个不同的实根. a 2 ? 1 符合要求. 故双曲线 C 的方程为 x 2 ?
y2 ? 1. 3

0) .由(1)知,双曲线右焦点为 F (2 , 0) .设 (2)假设点 M 存在,设 M (t ,

Q( x0 , y0 ) ( x0 ? 1 )为双曲线 C 右支上一点.
当 x0 ? 2 时, tan ?QFM ? ?k Q F ? ?
2?

y0 y , tan ?QMF ? k Q M ? 0 ,因为 x0 ? 2 x0 ? t

y0 y x0 ? t ?QFM ? 2?QMF ,所以 ? 0 ? . x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t
2 2 2 2 将 y0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2x0 ? 2tx0 ? t 2 ? 3 . ? 3x0 ? 3 代入,并整理得, ?2x0

? 4 ? 2t ? ?2t 于是 ? ,解得 t ? ?1 . 2 ? ? 4t ? t ? 3
当 x0 ? 2 时 , ?QFM ? 900 , 而 t ? ?1 时 , ?QMF ? 450 , 符 合
?Q F M? 2 ? Q. M F 0) . 所以 t ? ?1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 (?1 ,

例 19. 如图,直角梯形 ABCD 中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD=2,BC=2.椭圆 C 以
A、B 为焦点且经过点 D.⑴ 建立适当坐标系,求椭圆 C 的方程; → 1→ ⑵ 若点 E 满足EC=2AB,问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且 | ME |?| NE | ,若存在, 求出直线 l 与 AB 夹角的范围,若不存在,说明理由. 解: (1)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中垂线为 y 轴建立 x2 y2 直角坐标系, ? A(?1,0) ,B(1,0)设椭圆方程为:a2+b2=1 令 x ? C ? y0 ?

3

1

b2 c

?C ? 1 ?a ? 2 ∴? ?b2 3 ? ? ?b ? 3 ? ? 2 ?a

∴ 椭圆 C 的方程是:

x2 y2 ? ?1 4 3

1 → 1→ (2)EC=2AB?E(0, 2),l⊥AB 时不符,设 l:y=kx+m(k≠0)

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8km x? 4m 2 ? 12 ? 0 , M、N 存在 ?1 ? ? 3 ?4 ? ? ? 0 ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ? (4m2 ?12) ? 0 ? 4k 2 ? 3 ? m2 设 M( x1 , y1 ),N( x2 , y2 ),MN 的中点 F( x0 , y0 ) x ? x2 3m 4km ?? ∴ x0 ? 1 , y0 ? kx 0 ? m ? 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k 3m 1 1 ? y0 ? 2 2 1 2 ? ? 1 ? m ? ? 3 ? 4k 2 ? ? ? 3 ? 4k | ME |?| NE |? MN ? EF ? 4km x0 k k 2 ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 2 2 ) ∴ 4k ? 3 ? ( ? ∴ 4k ? 3 ? 4 ∴ 0 ? k ?1 2
π ∴ ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 , ∴ l 与 AB 的夹角的范围是 (0 ,4].

三、基础训练题 1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点,则点 P 的轨迹是________. 2 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m (>0),则动点的轨迹是________. 3. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有一点 P,它到左准线的距离是 10, 它到右焦点的距离是________. 100 36

4.双曲线方程

x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是________. | k | ?2 5 ? k

5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,焦点为 F1,F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=600,则Δ F1PF2 的面积是 100 64

________. 6. 直线 l 被双曲线

x2 ? y 2 ? 1 所截的线段 MN 恰被点 ( A 3, -1) 平分, 则 l 的方程为________. 4
2

7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =32x 上,点 A(2,8) ,且Δ ABC 的重心与这条抛物线的 焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0,一条准线方程为 5y+4=0,则 双曲线方程为________. 2 9.已知曲线 y =ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点 0 的直线的倾斜角为 45 ,那么 a=________. 10.P 为等轴双曲线 x -y =a 上一点,
2 2 2

| PF1 | ? | PF2 | 的取值范围是________. | PO |

11.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 与双曲线 ? ? 1 ? 2 ? 1 有公共的焦点 F1,F2,设 P 是它们的一个 2 a12 b12 a2 b2

焦点,求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r; (ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为 T, 设|AT|=2a(2a<

r ); (iii)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,|NQ|满足 2

| MP | | NQ | ? ? 1. 求证:|AM|+|AN|=|AB|。 AM AN
四、高考水平测试题 1.双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y =0,则此双曲线的标准
2 2

方程是_________. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛物线准线上的射影分别 是 A1,B1,则∠A1FB1=_________.

3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任一点,以|PF1|为 a2 b2
1 ,一条准线方程为 x=11,椭圆上有一点 M 横坐标为-1, 3

直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 e ?

M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________. 5.4a +b =1 是直线 y=2x+1 与椭圆
2 2

x2 y2 ? ? 1 恰有一个公共点的_________条件. a2 b2

2 ? ? x ? m ? 2t 6.若参数方程 ? (t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直 ? y ? 2 m ? 2 2 t ?

线的方程是_________. 7 .如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 _________.

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的范围是 5 m

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条. 8.过双曲线 9 6
9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆恰 6 2

好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为_________. 2 2 2 2 10.以椭圆 x +a y =a (a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角 形 ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 的左焦点和中心,对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB,点 a2 b2

12.设 F,O 分别为椭圆

O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。 13.已知双曲线 C1:

x2 y2 ? ? 1 (a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 的焦点是 C1 的左焦 a 2 2a 2

点 F1。 (1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2)问:是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB,使Δ AOB 的面积有最大值或最小值?若存在,求 直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 2 2 2 1.在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值 范围是_________.

2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,Δ OPQ 面积 为_________. 3.给定椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 OP ? OQ, a2 b2

则离心率 e 的取值范围是_________. 4.设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的动点,过 F1 a2 b2
,另两边斜率的乘积为 ? 2)

作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为_________. 5.Δ ABC 一边的两顶点坐标为 B(0, 2 )和 C(0, ?
+

1 , 2

若点 T 坐标为(t,0)(t∈R ),则|AT|的最小值为_________. 2 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短 距离等于_________. 2 2 7.已知抛物线 y =2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b ≠2pa,M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点,此定点 坐标为_________.
2 x2 y2 ? 2b 2 2 2 a 8.已知点 P (1, 2)既在椭圆 2 ? 2 ? 1 内部 (含边界) ,又在圆 x +y = 外部(含 3 a b

边界) ,若 a,b∈R ,则 a+b 的最小值为_________. 9.已知椭圆

+

x2 y2 ? ? 1 的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 F1,F2,椭圆的左、 4 3

右顶点分别为 D, E, 直线 DB 与直线 CE 交于点 P, 当点 A 在椭圆上变动时, 试求点 P 的轨迹。 10.设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点 P。 2 a
1 时,试求Δ OAP 面积的最大值(用 2

(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<

a 表示) 。 11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1,0) 和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每个顶 点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0, 以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 P0 Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作圆 弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0

为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 P0' ,交 AB0 的延长线于 P' 0 。求证: (1)点 P' 0 与点 P0 重合, 且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0; (2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发射方向与 x 轴正向之间 的夹角)α (α ∈[0,π ],α ≠

? )射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这 2

些抛物线组成一个抛物线族, 若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直, 则称这个交点 为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程(确 定变量取值范围) 。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。 若 CP ? BP,求证:PD=AE+AP。 6.已知 BC ? CD,点 A 为 BD 中点,点 Q 在 BC 上,AC=CQ,又在 BQ 上找一点 R,使 BR=2RQ, CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。 答案: 基础训练题 1.圆。设 AO 交圆于另一点 A' , A' ' 是 A 关于 A' 的对称点。则因为 AB ? BA' , AP ? A' ' P , 所以 P 在以 AA ' ' 为直径的圆上。 2 . 圆 或 椭 圆 。 设 给 定 直 线 为 y= ± kx(k>0),P(x,y) 为 轨 迹 上 任 一 点 , 则

? | kx ? y | ? ? | ?kx ? y | ? ? ? ?? ? ? m 2 。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2). ? ? ? 2 2 ? ? k ?1 ? ? 1? k ?
当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。 3.12.由题设 a=10,b=6,c=8,从而 P 到左焦点距离为 10e=10× 离为 20-8=12。 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2. 5.

2

2

8 =8,所以 P 到右焦点的距 10

64 3 . 设 两 条 焦 半 径 分 别 为 m,n , 则 因 为 |F1F2|=12,m+n=20. 由 余 弦 定 理 得 3
2 2 0 2

12 =m +n -2mncos60 ,即(m+n) -3mn=144.所以 mn ?
2

256 1 3 64 3 ? . , S ?PF F ? m n? 1 2 3 2 2 3

6 . 3x+4y-5=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2) , 则

x12 x2 2 ? y12 ? 1, 2 ? y 2 ? 1. 两 式 相 减 得 4 4

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) x ? x2 y ? y2 y ? y1 3 ? 3, 1 ? ?1 ,得 2 -(y1+y2)(y1-y2)=0.由 1 ?? 。 4 2 2 4 x2 ? x1
故方程 y+1= ?

3 (x-3). 4

7.-4. 设 B(x1,y1),C(x2,y2) , 则

y1 ? y 2 ? 8 =0 , 所 以 y1+y2=-8 , 故 直 线 BC 的 斜 率 为 3

y 2 ? y1 y 2 ? y1 32 ? 2 ? ? ?4. 2 x 2 ? x1 y 2 y1 y1 ? y 2 ? 32 32

?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 ? 8. =1。由渐近线交点为双曲线中心,解方程组 ? 得中 9 16 ?3x ? 4 y ? 10 ? 0
心为(2,1),又准线为 y ? ?

4 ( y ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ? ,知其实轴平行于 y 轴,设其方程为 =1。 5 a2 b2

其渐近线方程为

y ?1 x ?1 a a 3 ? =0 。所以 y-1= ? (x-1). 由题设 ? ,将双曲线沿向量 a b b 4 b

? x' ? x ? 2, y2 x2 m=(-2,-1)平移后中心在原点,其标准方程为 2 ? 2 =1。由平移公式 ? 平移后准 a b ? y' ? y ? 1
线为 y ? ?

a 3 9 a2 ( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 2 2 ? ? ,再结合 ? ,解得 a =9,b =16,故双曲线为 =1。 b 4 5 c 9 16
2 2

9.2.曲线 y =ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y) =a(2-x), 由?
2 ? y ? y2 ? y ? ax, 2 得 y -2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而 k ? 1 = 2 ? x ? x ( 2 ? y ) ? a ( 2 ? x ) 1 2 ?

a( y1 ? y 2 ) a a ? ? =1,所以 a=2. 2 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 2
10. (2, 2 2 ]。设 P(x1,y1)及

| PF1 | ? | PF2 | ? t ,由|PF1|=ex1+a | PO |
2 2 x1 2 x12 ? a 2 ? t ,即 x12 ?

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以

a 2t 2 2 2 。因 x1 ? a ,所以 2t 2 ? 8

a 2t 2 t2 2 ? 1 即 2<t?2 2 . ? a ( a ? 0 ) ,所以 2t 2 ? 8 2t 2 ? 8
11.解:由对称性,不妨设点 P 在第一象限,由题设|F1F2| =4 (a1 ? b1 ) ? 4(a2 ? b2 ) =4c ,
2

2

2

2

2

2

又根据椭圆与双曲线定义

? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a1 , 解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. ? ? | PF | ? | PF | ? 2 a , 1 2 2 ?
在Δ F1PF2 中,由余弦定理

cos?F1 PF2 ?

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2 | PF1 | ? | PF2 |

?

(a1 ? a2 ) 2 ? (a1 ? a2 ) 2 ? (2c) 2 2(a1 ? a2 )(a1 ? a2 )
2 2 (a12 ? c 2 ) ? (c 2 ? a2 ) b12 ? b2 ? . 2 2 a12 ? a2 b12 ? b2

?

2 b12 ? b2 从而 ?F1 PF2 ? arccos 2 . 2 b1 ? b2

又 sin∠F1PF2= 1 ? cos2 ?F1 PF2 ? 所以 S ?F

2b1 b2 , 2 b12 ? b2

1

PF2

?

1 | PF1 | ? | PF2 | sin ?F1 PF2 ? b1 b2 . 2

12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则由定义知 M,N 两点既 2 2 2 2 2 2 在抛物线 y =4ax 上,又在圆[x-(a+r)] +y =r 上,两方程联立得 x +(2a-2r)x+2ra+a =0,设 点 M,N 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 高考水平测试题 1.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1. 由椭圆方程得焦点为 (?4 3,0) ,设双曲线方程 2 ? 2 ? 1 ,渐近线为 36 12 a b
b b 1 2 2 x. 由题设 ? ,所以 a =3b ,又 c ? 4 3 ,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36. a a 3

y??

2. 900。见图 1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1=∠3, 0 ∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=90 。 3 . 相 切 , 若 P(x,y) 在 左 支 上 , 设 F1 为 左 焦 点 , F2 为 右 焦 点 , M 为 PF1 中 点 , 则 |MO|=

1 1 1 1 |PF2|= (a-ex), 又|PF1|=-a-ex, 所以两圆半径之和 (-a-ex)+a= (a-ex)=|MO|, 2 2 2 2

所以两圆外切。当 P(x,y)在右支上时,同理得两圆内切。 4.

10 . 与 F1 对应的另一条准线为 x=-11,因|MF1|与 M 到直线 x=-11 距离 d1 之比为 e,且 3

d1=|xm+11|=10.所以

| MF1 | 1 10 ? ,所以|MF1|= . 3 10 3
2 2 2 2 2 2

5.充要。将 y=2x+1 代入椭圆方程得(b +4a )x +4a x+a (1-b )=0. ① 2 2 2 2 2 2 2 2 若Δ =(4a ) -4(b +4a )a (1-b )=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即 b +4a =1;反之, 2 2 4a +b =1,直线与椭圆有一个公共点。 6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) =4(x-m),焦点为 ?
2

? x ? m ? 1, 它在直线 y=2(x-1)上。 ? y ? 2m,

7. 1?m<5。 直线过定点(0,1), 所以 0 ?

1 ?1.又因为焦点在 x 轴上, 所以 5>m,所以 1?m<5。 m

8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一共有 三条。 9.

? 5 或 ? 。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx 代入椭圆方程得 6 6
2 2

(1+3k )x -6x+3=0,由韦达定理得

6 , ① 1 ? 3k 2 3 x1 x 2 ? . ② 1 ? 3k 2 因 F(1,0) ,AF ? BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即 x1 ? x 2 ?
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. 把①,②代入③得 k ?
2



? 5 1 3 ,所以倾斜角为 或 ? . ,k ? ? 6 6 3 3

10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴左、右两侧,设 CA 斜率为 2 2 2 2 k(k>0) , CA 的 直 线 方 程 为 y=kx+1 , 代 入 椭 圆 方 程 为 (a k +1)x +2a kx=0 , 得 x=0 或

x?

2a 2 k 2a 2 k 2a 2 k 1 ? k 2 A ( ? , 0 ) ,于是 , |CA|= . a2k 2 ? 1 a2k 2 ? 1 a2k 2 ? 1

2a 2 k 1 ? k 2 由题设,同理可得|CB|= ,利用|CA|=|CB|可得 a2k 2 ?1
(k-1)[k -(a -1)k+1]=0, 2 2 解得 k=1 或 k -(a -1)k+1]=0。① 对于①,当 1<a< 3 时,①无解;当 a ?
2 2

3 时,k=1;当 a> 3 时,①有两个不等实根,故

最多有 3 个。 11.解 设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ ,根据余弦定理得 2 2 2 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|cosθ , 2 2 又|PF1|+|PF2|=2a,则 4c =(2a) -2|PF1|?|PF2|(1+cosθ ),再将|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 及
2 a =b +c 代入得 4b =2(a -e x0 )(1+cosθ ).
2 2 2 2 2 2

2b 2 于是有 cos? ? 2 ? 1. 2 a ? e 2 x0
2 2 由 0 ? x0 ? a 2 ,所以 ? a 2 ,得 b 2 ? a 2 ? e 2 x0

2b 2 ? a 2 ? cos? ? 1 。因θ ∈[0,π ],所 a2

? 以 cosθ 为减函数,故 0 ? ? ? arccos ?

? 2b 2 ? a 2 ? ? 2 ?. ? a ?

当 2b >a 即 a ?
2 2

2b 时,
? ?

2b 2 ? a 2 2b 2 ? a 2 ? ? ? 0 ? ,? ? [0, ] ,sinθ 为增函 , arccos 2 2 2 2 a a
? 2b 2 ? a 2 2 ? a ?? 2bc 2b 2 ? a 2 ? 2 2 ? ? ? , ;当 2b ? a 时, arccos ? 2 ? 2 a2 ?? a

? 数,sinθ 取最大值 sin ?arccos ?

θ ∈[0,π ],则 sinθ 最大值为 1。 12.解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB 方程为 y=k(x+c),代入 椭圆方程并化简得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (b +a k )x +2a k cx+a (k c -b )=0. ① 则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得

x1 ? x 2 ? ?

2a 2 k 2 c , b2 ? a2k 2



x1 x 2 ?

a 2 (k 2 c 2 ? b 2 ) . b2 ? a2k 2
2



因为 y1y2=k (x1+c)(x2+c),再由②,③得 y1 y 2 ?

? b2k 2 . a2k 2 ? b2

所 以 OA ? OB =x1x2+y1y2=

k 2 (a 2 c 2 ? b 4 ) ? a 2 b 2 ,O 点 在 以 AB 为 直 径 的 圆 内 , 等 价 a2k 2 ? b2

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 即 k (a c -b )-a b <0 对任意 k∈R 成立, 等价于 a c -b ?0,即 ac-b ?0,即 e +e-1 OA ? OB <0,

?0.所以 0<e?

5 ?1 . 2
b2 ? c. 即 e ? a

若斜率不存在,问题等价于

5 ?1 5 ?1 ,综上 0 ? e ? . 2 2

13.解 (1)由双曲线方程得 b ? 的距离 p ? 2 3a ,抛物线

2a, c ? 3a ,所以 F1( ? 3a ,0),抛物线焦点到准线

y 2 ? ?4 3ax.
把①代入 C1 方程得



2x 2 ? 4 3ax ? 2a 2 ? 0.
2


2

Δ =64a >0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a <0,所以②必
2 有一个负根设为 x1,把 x1 代入①得 y = ? 4 3ax1 ,所以 y ? ?2 ? 3ax1 (因为 x1≠0) ,所

以 C1,C2 总有两个不同交点。

( 2 ) 设 过 F1( ? 3a ,0) 的 直 线 AB 为 my=(x+

2 ? ? y ? ?4 3ax, 得 3 a), 由 ? ? m y ? x ? 3 a ?

y +4

2

3 may-12a2=0 , 因 为 Δ =48m2a2+48a2>0 , 设 y1,y2 分 别 为 A , B 的 纵 坐 标 , 则
2 2 2 2

y1+y2= 4 3ma ,y1y2=-12a . 所 以 (y1-y2) =48a (m +1). 所 以 S Δ

AOB

=

1 3 |y1-y2|?|OF1|= a? 2 2

4 3 a? m2 ? 1 ? 6a 2 m2 ? 1 ? 6a 2 ,当且仅当 m=0 时,SΔ AOB 的面积取最小值;当 m→+
∞时,SΔ AOB→+∞,无最大值。所以存在过 F 的直线 x= ? 3a 使Δ AOB 面积有最小值 6a .
2

联赛一试水平训练题 1.m>5.由已知得

x 2 ? ( y ? 1) 2 x ? 2y ? 3 12 ? (?2) 2

?

5 ,说明(x,y)到定点(0,-1)与到定直线 x-2y+3=0 m

的距离比为常数

5 5 ,由椭圆定义 <1,所以 m>5. m m
b=|PQ|=|PF|+|QF|=

2. a ab. 因 为

2a 2a 4a ? ? 1 ? cos? 1 ? cos(? ? ? ) sin 2 ?

, 所 以

s i? n ?2

1 a 。所以 SΔ OPQ= absinθ = a ab . 2 b

3. ?

? 5 ?1 ? ,1? ? 。设点 P 坐标为(r1cosθ ,r1sinθ ),点 Q 坐标为(-r2sinθ ,r2cosθ ),因为 P, 2 ? ? r r 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ,RtΔ OPQ 斜边上的高为 1 2 2 r1 r2 a b r12 ? r22
2 2 2

Q 在椭圆上,可得

ab a ? b2
2

?

|OF|=c. 所以 a b ?c (a +b ),解得

2 2

5 ?1 ?e<1. 2
?

4. 以 O 为 圆 心 , a 为 半 径 的 圆 。 延 长 F1M 交 PF2 延 长 线 于 N , 则 OM // |F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a. 5.t ∈ (0,1] 时 |AT|min= 2 ? t 2 ,t>1 时 |AT|min=|t-2|. 由题设 kAB ? kAC=-

1 F2N , 而 2

1 , 设 A(x,y) ,则 2

y? 2 y? 2 1 ? ? (x ≠ 0) , 整 理 得 x x 2

x2 y2 ? 4 2

=1(x ≠ 0) , 所 以

|AT| =(x-t) +y =(x-t) + ? ?2 ?
2 2 2 2

? ?

x2 2

? 1 2 2 ? ? ? 2 (x-2t) +2-t . 因 为 |x| ? 2, 所 以 当 t ∈ (0,1] 时 取 ?

x=2t,|AT|取最小值 2 ? t 2 。当 t>1 时,取 x=2,|AT|取最小值|t-2|. 6.

1 1 l2 . 设 点 M(x0,y0) , 直线 AB 倾斜 角为 θ ,并设 A(x0- x0 ? cos ? , y 0 ? sin ? ), 2 2 4

B(x0+

1 1 cos ? , y 0 ? sin ? ),因为 A,B 在抛物线上,所以 2 2 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos ? ) 2 , ① 2 2 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos ? ) 2 , ② 2 2
2x0cosθ =sinθ . ③

由①,②得 所以 y0 ? ( x0 ?

1 1 1 1 1 cos? ) 2 ? sin ? ? ( 2 ? l 2 cos2 ? ) ? . 2 2 4 cos ? 4
1 2 ? l x .在(0,1]在递减, x

因为 l <1,所以函数 f(x)= 所以 y 0 ?

2

1 1 l2 l2 (1 ? l 2 ) ? ? 。当 cosθ =1 即 l 平行于 x 轴时,距离取最小值 . 4 4 4 4
2 ? ? y2 ? ? ? , M ? 2 ? 2 p , y2 ? ? , 由 A , M , M1 共 线 得 ? ? ?

2 ? y0 ? ? y12 ? 2 pa ? ? 7 . ? a, , y , M ?. 设 M ? ? 2 p , y1 ? 2p 0 ? 1 ? b ? ? ? ? ?

y1=

by0 ? 2 pa 2 pa ,同理 B , M , M2 共线得 y 2 ? ,设 (x,y) 是直线 M1M2 上的点,则 y0 ? b y0 ? b

y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去 y1,y2 得 2 y0 (2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当 x=a,y=

2 pa ? 2 pa ? 时上式恒成立,即定点为 ? a, ?. b b ? ? 1 4 ? 2 ? 1 且 a2+2b2?15,解得 5?b2?6. 2 a b

8. 3 ? 6 。由题设

所以 a+b?

t?4 b2 t?4 ? t?4 ?b ? ? t ? 4 (t=b2-4∈[1,2]),而 2 t t b ?4

? 6 ? 3 ? t?4 ? 6 ? 3?
上式成立。

t?4 t ?2 2(t ? 2) , 又 t?2 可得 ? ? t t?4 ? 6 3t ? t (t ? 4)

9.解 设 A(2cosθ , 3 sin ? ), B(2cosα , 3 sinα ),C(2cosβ , 3 sinβ ),这里α ≠β ,则

过 A,B 的直线为 lAB:

3 (sin? ? sin ? ) ( x ? 2 cos? ) ? 3 sin ? ? y ,由于直线 AB 过点 2(cos? ? cos? )

F1(-1,0), 代入有 3 (sinθ -sinα )?(1+2cosθ )=2 3 sinθ (cosθ -cosα ), 即 2sin(α -θ )=sin θ -sin α =2 sin

? ??
2

? cos

? ??
2

, 故 2 cos

? ??
2

? cos

? ??
2

? 3 cos

?
2

cos

?
2

?

sin

?
2

sin

?
2

? 0 , 即 t an

?
2

? tan

?
2

? ?3 。 又 lBD: y ?

3 sin ? 3 ? ( x ? 2) ? tan 2(1 ? cos? ) 2 2

?(x+2)= ?

3 3 2 tan

?
2

( x ? 2) ,同理得 tan

?
2

? tan

?

1 3 sin ? ? ? 。lCE: y ? (x-2)= 2 3 2(cos? ? 1)

3 ( x ? 2) 3 3 ? 2 ? ? tan ?(x-2). ? 2 2 tan 2

?? ? 2 ? ? 2 tan 2 ? 2 ? 6 3 tan 2 ? ? 两直线方程联立,得 P 点坐标为 ? ,消去 tan 得点 P(x,y)在 , ? 2 ? tan2 ? ? 1 tan2 ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ?
椭圆

x2 y2 ? ? 1 上(除去点(-2,0),(2,0)). 4 27

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 2 2 2 2 2 2 10.解 (1)由 ? a 2 消去 y 得 x +2a x+2a m-a =0,①设 f(x)=x +2a x+2a m-a ,问 ? y 2 ? 2( x ? m) ?
题(1)转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况: 1. Δ =0, 得m ?
0

a2 ?1 2

, 此时 xp=-a , 当且仅当-a<-a <a 即 0<a<1 时适合; 2。 f(a)?f(-a)<0,
0 2 2

2

2

0

当且仅当-a<m<a 时适合;3 。f(-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a ,当且仅当-a<a-2a <a 即 0<a<1 2 2 时适合。令 f(a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a .由于-a-2a <-a,从而 m≠-a.综上当 0<a<1 时,

m?

a2 ?1 或-a<m?a;当 a?1 时,-a<m<a. 2
1 1 2 ay p . 因为 0<a< ,故当-a<m?a 时, 0<-a + a a 2 ? 1 ? 2m ? a ,由唯 2 2
x2 p a2
时取值最大,此时

(2)Δ OAP 的面积 S ?

一性得 xp=-a +.当 m=a 时,xp 取最小值。由于 xp>0,从而 x p ? 1 ?
2

xp ? 2 a ? a2 , 故 S ? a a ? a2 ; 当 m ?
S?

a2 ?1 2 时 , xp=-a , yp= 1 ? a 2 , 此 时 2

1 1 1 a 1 ? a 2 . 以下比较 a a ? a 2 与 a 1 ? a 2 的大小。令 a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 , 2 2 2 1 1 1 1 2 2 得 a ? ,故当 0<a ? 时, a a (1 ? a ) ? a 1 ? a ,此时 S m a x ? a 1 ? a ;当 3 3 2 2 1 1 1 ? a ? 时,有 a a(1 ? a) ? a 1 ? a 2 ,此时 S max ? a a ? a 2 . 3 2 2
11.解:设 A,B 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1),则 AA1 中点 A2 ? ? l 上, 所以 y2=k(x2-1) ① 又 l ? AA1,所以

? x2 ? 1 y 2 ? , ? 在 2 ? ? 2 ?

y2 1 ?? . k x2 ? 1
由①,②得



? k 2 ?1 x ? , ? ? 2 k 2 ?1 ? ? y ? ? 2k . 2 ? k 2 ?1 ?
? x1 8 ? y1 同理,由 BB1 中点 B2 ? ?? 2 , 2 ?
2

16k ? x1 ? , 2 ? ? ? 1 ? k ? ? 在 l 上,且 l ? BB1,解得 ? 2 ? ? y ? 8(k ? 1) . ? 1 1? k 2 ?
2

设抛物线方程为 y =2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k -k-1=0. 所以 k ?

2 1? 5 1? 5 5. ,由题设 k>0,所以 k ? ,从而 p ? 5 2 2 4 1? 5 5 x. x ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 5 2

所以直线 l 的方程为 y ?

联赛二试水平训练题 1. 以 A 为原点, 直线 AC 为 x 轴, 建立直角坐标系, 设 C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB), 则直线 DF 的方程为

x? f ?

f ? xD y ? 0. kxD



直线 BC 的方程为

x?c?

c ? xB y ? 0. ? kxB



c×①-f×②得 (c-f)x+

1 ? 1 1 [cf ? ? ? k ? xD xB

? ? ? ? (c ? f )]y ? 0. ?



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就是直线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为 (c-f)x+

1 ? 1 1 ? ? [cf ? ? ? ? (c ? f )]y ? 0. k ? x x B ? ? D



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。 2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,记它为 A0,其他顶点 坐标为: A1 ? ?

? a1 c1 , ? b1 d1

? ? an cn ? a i ci ? ? ,?, An ? ? ?b ,d ? ? ,其中 b , d 都是既约分数,并记 An+1=A0. ? i i ? n n?

若 p 与 q 奇偶性相同,则记 p≡q,否则记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,?,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,?,n,n+1)。

? a1 当 k=1 时,由 ? ?b ? 1

? ? c1 ? a12 ? d12 2 2 ? ? ? ? ? ? d ? ? 1 ,得 b 2 ? d1 ? c1 ,因为 a1,b1 互质,所以 d1 被 b1 ? ? 1 ? 1

2

2

整除,反之亦然(即 b1 被 d1 整除) 。
2 因此 b1=±d1,从而 b12 ? d12 ? a1 ? c12 .a1 , c1 不可能都是偶数(否则 b1 也是偶数,与互质矛

盾) ;不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数,也不可能是完全平 方数,因此,a1≠c1,b1≡d1≡1,并且 a1+c1≠0=a0+c0. 设结论对 k=1,2,?,m-1?n 都成立,令

am am?1 a cm cm?1 c ? ? , ? ? . bm bm?1 b d m d m?1 d
2 2

a c ?a? ? c ? 这里 , 是既约分数,因为每一段的长为 1,所以 ? ? ? ? ? =1,与 k=1 情况类似:a b d ?b? ?d ?
≡c,d≡b≡1,又因为

am a am?1 abm?1 ? bam?1 a ,分数 m 既约,所以 bm 是 bbm-1 的一 ? ? ? bm b bm?1 bbm?1 bm

个因子,bm≡1. 同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因此 (am+cm-am-1-cm-1) ≡ (abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1) ≡ am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1 ≡ a+c ≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时,an+1+cn+1≠a0+c0,故折线不可 能是闭的。 3.证明 (1)由已知 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0,Q0P1 和 P1Q1,P1Q1 和 Q1P1 分别相内切 于点 Q0,P1,Q1,得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以及 C0Q1=C0B0+ B0 P'0 ,四式相加,利 用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 P ' 。在 B0P0 或其延长线上,有 B0P0=B0 P' 0 ,从而可知点 P' 0 与点

P0 重合。 由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0, 圆弧 P0Q0 的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上, 所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2)现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引相 应相切圆弧的公切线 R1S1, 分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1, 连接 P0Q1 和 P1Q1, 得等腰Δ P0Q1R1 和Δ P1Q1S1,由此得∠P0Q1P1=π -∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0), 而π -∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1=π 同理得∠P0Q0P1=π -

1 (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0). 2

1 (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以 P0,Q0,Q1,P1 共圆。 2
2

4.证明 引理:抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是 2ax0+b. 引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物线方程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ① 又
2 y0 ? ax0 ? bx0 ? c

故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ② 因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。 设 P(x0,y0) 为 任 一 正 交 点 , 则 它 是 由 线 y=x ? tan ? 1 ?

g 2 ?x 与 y=x ? 2 2v cos ? 1
2 0

tan ? 2 ?

g 2 ?x 的交点,则两条切线的斜率分别为(由引理) 2v cos2 ? 2
2 0

k ??

gx0 gx0 ? tan?1 , k 2 ? ? 2 ? tan? 2 . 2 v0 cos ?1 v0 cos2 ? 2

又由题设 k1k2=-1,所以

? gx0 ? ? tan?1 ? v cos2 ? 0 1 ?
又 因 为

?? gx0 ? ?? ? tan? 2 ? v 2 cos2 ? 0 2 ??

? ? ? ? ?1. ?



P(x0,y0) 在 两 条 抛 物 线 上 , 所 以

y0 gx , ? tan?1 ? 2 0 2 2v0 cos ?1 x0

y0 gx , 代入③式得 ? tan? 2 ? 2 0 2 2v0 cos ? 2 x0

? 2 y0 ? ? x ? tan? 1 ? 0

?? 2 y 0 ? ? ? ? ? tan ? 2 ?? x ? ? ?1. ?? 0 ?

(※)

又因为 tanα 1,tanα 2 是方程

gx0 2 y gx ?t -t+ 0 ? 0 =0 的两根,所以 2 2v0 x0 2v0

tanα 1+tanα 2=

2v 0 , gx0



tanα 1?tanα 2=

2v 0 gx 0

? y 0 gx 0 ? ? x ? 2v 2 0 ? 0

? ? ?。 ⑤ ?
2

把④,⑤代入(※)式得

? v ? ?y? 0 ? ? 2 4g ? v ? v ? ? x0 ? 1? 2 2 ? 0 ? y ? 0 ?. 2 y0 ? 0 y 0 ? x0 ? 0 ,即 ? 2 2 ? 2g ? v0 v0 g ? ? 2 2 16g 8g
5.证明 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设∠ADC=θ ,|PD|=r.各点 坐标分别为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ ),B(x0,0),P(x1-rcosθ ,rsinθ ). 则 lAB 方程为

x y ? ? 1 ,即 x1x+x0?cotθ ?y-x1x0=0,因为 lAB 与圆相切,可得 x1? x0 x1 t an?

2 x12 ? x0 ? cot 2 ? = | x12 ? x0x1?cotθ -x1x0|,约去 x1,再两边平方得

2 2 x12 ? x0 cot2 ? ? x12 ? 2x1 x0 (cot? ? 1) ? x0 (cot? ? 1) 2 ,所以 x0 ?
2 2

2(cot ? ? 1) ?x1. ① 2 cot ? ? 1


2 又因为点 P 在圆上,所以(rcos ? ) +(x1-rsin ? ) = x1 ,化简得 r=2x1sin ? .

要证 DP=AP+AE ? 2DP=AD+AE ? 2r= ③ 又因为 CP ? PB ,所以 CP ? BP ? 0.

x1 t an? +x1tan ? -x1 ? 1+sin ? -cos ? =4sin ? cos ? . sin ?

因为 BP =(x1-x0-rcosθ ,rsinθ ), CP =(x1-rcosθ ,rsinθ ), 所以 (x1-rcosθ )(x1-rcosθ -x0)+r2sin2θ =0. 把②代入④化简得 ④

x12 [(1 ? sin 2? ) 2 ? (1 ? cos2? ) 2 ] ? x1 x0 (1 ? sin 2? ).
由①得 x0=x1?



2 ? 2(cos 2? ? sin 2? ) . 2 ? 2 cos 2? ? sin 2?
2

代入⑤并约去 x1,化简得 4sin 2 ? -3sin2 ? =0,因为 sin2 ? ≠0,所以 sin2 ? = sin ? =

3 ,又因为 4

AC CD ? =cos ? ,所以 sin ? -cos ? >0. AD AD 1 3 所以 sin ? -cos ? = 1 ? sin 2? ? ,所以 1+sin ? -cos ? = =4sin ? cos ? ,即③成立。所以 2 2
DP=AP+AE。 6.证明 设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ=

c ,取 BC 中点 M,则 AM ? BC,以 M 为原点, 2

直线 BC 为 x 轴建立直角坐标系, 则各点坐标分别为 B(?

d d d b ,0) , C ( ,0) , D ( , b) , A(0, ) , 2 2 2 2 5 2 1 d c S ( d ? c,0) , 因 为 CR ? (d ? c) , 所 以 点 R ( ? ,0) , 所 以 6 3 3 6 3

b 3b 3b t a?D n R ?C ? , t a?A n S ?Q . 1 (d ? c) 5d ? 4 c (d ? c) 3
因 为 0< ∠ DRC<

? , 0< ∠ ASQ< π , 所 以 只 需 证 tan ∠ ASQ=tan2 ∠ DRC, 即 2

3b ? 5d ? 4c

6b 2 2 2 2 2 2 d ?c ,化简得 9d -9c -9b =0 即 d =b +c ,显然成立。所以命题得证。 2 ? 3b ? 1? ? ? ?d ?c?

历年竞赛试题集萃 一、选择题部分

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为 1、(集训试题)过椭圆 C: 3 2
垂足) ,延长 PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ?1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的 离心率的取值范围为( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2

解:设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? ? λ PH,所以 ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方 ? PQ 1 ? ? ? ? y1 ? y
程 , 得 Q 点 轨 迹 为

[ x ? 3(1 ? ? )]2 y 2 ? ?1 , 所 以 离 心 率 2 3?2

e=

3?2 ? 2 2 3?

? 1?

2 3 ? [ ,1) 。故选 C。 2 3 3?

2 (2006 年南昌市)抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛 物线方程为(D)

A . y 2 ? ?12 x

B . y 2 ? 12 x
2

C . y 2 ? ?16 x

D

.

y ? 16 x
2

3. (2006 年江苏)已知抛物线 y ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上 的点,使得△ POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有



B )

? A? 0 个

? B? 2 个

?C ? 4 个

? D? 6 个

4. (200 6 天津)已知一条直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( b ? a ? 0 )的两支分别相交 a2 b2

于 P 、 Q 两点, O 为原点,当 OP ? OQ 时,双曲线的中心到直线 l 的距离 d 等于( A )

(A)

ab b2 ? a2

(B)

ab 2 b ? a2

(C)

b2 ? a2 ab

(D)

b2 ? a2 ab


5. (2005 全国)方程

x2 sin 2 ? sin 3

?

y2 cos 2 ? cos 3

? 1 表示的曲线是(

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解 : ? 2 ? 3 ? ? ,? 0 ?

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

?
2

? 2 ? 3?

?
2

?

?

,? cos( ? 2 ) ? cos( 3 ? ), 即 2 2 2

?

?

sin 2 ? sin 3. 又 0 ? 2 ?
方程表示的曲线是椭圆。

? ?

, ? 3 ? ? ,? cos 2 ? 0, cos 3 ? 0,? cos 2 ? cos 3 ? 0, 2 2

2? 3 2? 3 ? sin( ? ) ?? (?) 2 2 4 ? 2? 3 2? 3 ? 2 ? 3 3? 3? 2? 3 ? 2? 3 ? ? ? ? 0,? sin ? 0, ? ? ,? ? ? ? ? .? sin( ? ) ? 0, 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4 ? (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) ? 2 2 sin

? (?)式 ? 0. 即 sin 2 ? sin 3 ? cos 2 ? cos 3. ?曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。
6. ( 2006 年浙江省预赛)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是

2, 5 ? 2 , 则 满 足 条 件 的 直 线 L 共 有
( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

条 。

解: 由 AB ?

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三条

共切线。正确答案为 C。
2 7. (2006 年浙江省预赛)设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积



1 ,则集合 M ? {( x, y) y ? x ? 1 }, N ? {( x, y) y ? x2 ? 1} 的交集 M ? N 所表示的 3
(A)

图形面积为

1 3

(B)

2 3

(C)

1

(B)

4 . 3

( B ) 解: M ? N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M ? N 的图形面积只

要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了。由 题意可得, M ? N 的图形在第一象限的面积为 A=

1 1 1 ? ? 。因此 M ? N 的图形面积为 2 3 6

2 。 所以选(B) 。 3
二、填空题部分 1. (200 6 天津)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,长轴的两个端点为 A 、 B , a2 b2

若 椭 圆 上 存 在 点 Q , 使 ?AQB ? 120? , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是

6 ? e ?1 3



?y ? 0 ? 2 2 2. (2006 年江苏)已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
2 2 2 2

9



3. (2006 吉林预赛)椭圆 x /a +y /b =1(a>b>0)的右顶点为 A,上顶点为 B,左焦点为 F,若∠ABF 是直角,则这个椭圆的离心率为_________。 4、 (2006 陕西赛区预赛) 若 a, b, c 成等差数列, 则直线 ax+by+c = 0 被椭圆

x2 y 2 ? ?1 2 8

截得线段的中点的轨迹方程为

1 ( y ? 1) 2 2( x ? ) 2 ? ?1 2 2
y P(x,y) A x

5. (2005 年浙江)根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)方向行走一段时间后,再向正北方向行走一段时间,

但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟 时的可能落点区域的面积是 。 【解】 :如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x, y) 。设机器人改变方向 的点为 A, OA ? a , AP ? b 。则由已知条件有 a ? b ? 2 ? 10 ? 20 ,以及

?
O

? x 2 ? y 2 ? a 2 ? 2ab sin? ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 400 ? x ? a cos ? . 所以有 ? ? ? y ? a sin? ? b ? x ? y ? a(sin? ? cos ? ) ? b ? a ? b ? 20
形为弓形,其面积为 100? ? 200 平方米。 6 ( 2006 年 浙 江 省 预 赛 )

即所求平面图

A ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 2 x cos ? ? 2(1 ? sin ? )(1 ? y ) ? 0, ? ? R ,

?

?





B ?? ( x, y) y ? kx ? 3, k ? R?。若 A ? B 为单元素集,则 k ? ? 3 。

解 由

x 2 ? y 2 ? 2 x cos ? ? 2(1 ? sin? )(1 ? y) ? 0 ? ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? 1 ? sin? ) 2 ? 0 ? x ? cos ? , y ? 1 ? sin? ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

A ? B 为单元素集,即直线 y ? kx ? 3 与 x 2 ? ( y ?1)2 ? 1相切,则 k ? ? 3 .
7. (2005 全国)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线

y ? x 2 上.则该正方形面积的最小值为

80

.

解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C ( x1 , y1 ) 、 D( x 2 , y 2 ) ,则 CD 所在直线 l 的方程 y ? 2 x ? b, 将直线 l 的方程与抛物线方程联
立 , 得

x 2 ? 2x ? b ? x1,2 ? 1 ? b ? 1.















a,



a 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 5( x1 ? x2 ) 2 ? 20(b ? 1). ①
在 y ? 2 x ? 17 上任取一点 (6, ,5) , 它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a,? a ?

| 17 ? b | 5

②.

2 ①、②联立解得 b1 ? 3, b2 ? 63. ?a 2 ? 80, 或 a 2 ? 1280 . ? amin ? 80.

8、 (2004 全国)在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为_______________。 解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a,3 -a) ,则圆 S 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? 3 ? a) ? 2(1 ? a ) .对于定长的弦在优弧上所对的
2 2 2

圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 ?MPN 取最大值时,经过 M,N,P 三点 的圆 S 必与 X 轴相切于点 P, 即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 2(1 ? a ) ? (a ? 3) , 解得 a=1
2 2

或 a=-7。即对应的切点分别为 P(1,0)和P (?7,0) ,而过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点
'

M,N,P 的圆的半径,所以 ?MPN ? ?MP ' N ,故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐 标为 1。 三、解答题部分 1.(集训试题)已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动 点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使 得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。 解:以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标 为 (x, 0) , 点 A(k, λ ) , ⊙ Q 的 半 径 为 r , 则 : M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=

x 2 ? 22

=1+r







x=

±

r 2 ? 2r ? 3

,



tan



o?r o?h ? k AN ? k AM ? x?r?h x?r?h MAN= o?h o?h 1 ? k AN ? k AM 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh ,令 ? ? 2 2 (x ? k) ? r ? h (? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2
2 2

2m=h +k -3,tan∠MAN=
2

1 ,所以 m+r ? k r 2 ? 2r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r 2 ? 2r ? 3 , n
2 2 2 2 2 2

两边平方,得:m +2m(1-nh)r-(1-nh) r =k r +2k r-3k ,因为对于任意实数 r?1,上式恒成

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 ? 立,所以 ?2m(1 ? nh) ? 2k 2 (2) ,由(1) (2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 h ? 2 2 ( 1 ? nh ) ? k ( 3 ) ? ?
2m=h +k -3 得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN=
2 2

1 =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 n

Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°) ,故∠MAN=60°。 2、 (2006 年南昌市)(高二)给定圆 P: x 2 ? y 2 ? 2 x 及抛物线 S: y 2 ? 4 x ,过圆心 P 作 直 线 l , 此 直 线 与 上 述 两 曲 线 的 四 个 交 点 , 自 上 而 下 顺 次 记 为 A, B, C , D , 如 果 线 段

AB, BC , CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.
2 解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为 P ?1,0 ? ,设 l 的方程 2

为 ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,代入抛物线方程得: y 2 ? 4ky ? 4 ,设 A? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? 有?

? y1 ? y 2 ? 4k 2 2 ,则 ( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? y1 y 2 ? ?4
2 2 2 2

y
A
2 2

故 | AD | ? ( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? (
2

y ?y ) 4
2 1

y ? y2 2 ? ( y1 ? y 2 ) [1 ? ( 1 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 ,因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) 4 据 等 差 , 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC 所 以 AD ? 3 BC ? 6 即
,

B
P

o
D

C

x

4(k 2 ? 1) ? 6 , k ? ?

2 2 2 则 l 方程为 x ? y ? 1或 x ? ? y ?1 . 2 , 2 2
---------------------------- 20 分
2 2 2 2 2

x ? 1 ( 0 ? y ? 1) 。

3. (06 浙江)在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a x ? 4a y ? 4abx ? 2ay ? b ? 0 外 切( a, b ? N , a ? 0 ) ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求(1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L;(2) 若直线 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958 a ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求

a , b 之值.







1





4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b 2 ? 0





(x ?

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? ( )2 , 2a 4a 4a

由 a, b ?N, 以及两圆在 x 轴同侧, 可知动圆圆心在 x 轴上方, 设动圆圆心坐标为 ( x, y ) ,

则 有

(x ?

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? y ? , 整 理 得 到 动 圆 圆 心 轨 迹 方 程 2a 4a 4a
(x ? b ) .???(5 分) 2a

b2 y ? ax ? bx ? 4a
2

b 1 1 , ) 为焦点, y ? ? 为准线,且顶点 2a 4a 4a b b 1 ,0 ) 点 ( 不 包 含 该 点 ) 的 抛 物 线 , 得 轨 迹 方 程 ( x ? ) 2 ? y , 即 在 ( 2a 2a a
另解: 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 (

y ? ax2 ? bx ?

b2 b (x ? ) 5 分 4a 2a
2

b2 b (x ? ) (2)联立方程组 y ? ax ? bx ? 4a 2a
2 2 和 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b ? a ? 6958 a ? 0





消去 y 得

4a 2 x 2 ? 4 7abx ? (a 2 ? 6 9 5a8 ) ? 0,
③.

2 2 2 2 a 由 ? ? 16 ? 7a b ? 16a (a ? 6958 a) ? 0, 整理得 7b 2 ? a 2 ? 6958
2 从③可知 7 a ? 7 a 。 故令 a ? 7a1 ,

代入③可得 b 2 ? 7a1 ? 6958 a1 ? 7 b 2 ? 7 b . 再令 b ? 7b1 , 代入上式得
2 2 7b1 ? a1 ? 9 9 a 41 ?(10 分)

2

同理可得,7 a1 ,7 b1 。可令 a ? 49n, b ? 49m, 代入③可得 对④进行配方,得
2 2

7m 2 ? n 2 ? 142n



(n ? 71) 2 ? 7m 2 ? 712 , 对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为偶
2

数,所以 7m ? 71 ? (n ? 71 ) 为 8 的倍数,所以

4 m 。令 m ? 4r ,则112r 2 ? 712

? r 2 ? 45。
所以

r ? 0,1 , 2, 3, 4, 5, 6

?????????????(15 分)

仅当 r ? 0,4 时, 71 ? 112r 为完全平方数。于是解得
2 2

a ? 6958 , b ? 0(不合,舍去)
4. (06 江苏)椭圆

a ? 6272 b ? 784

a?686 。 ???????(20 分) b?784

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在 9 4 椭圆上的点,其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S2 的值. 180
解:椭圆中, a ? 3 , b ? 2 ,故 c ? 5 .所以 F

?

5, 0 , e ?

?

5 . 3
a2 ?c. c

设 FPi 与 x 轴正向的夹角为 ?i , 则 di ? e cos ?i ? 1? ? d i 为点 Pi 到右准线的距离.



1 c ? 2 ? e cos ?i ? 1? . di b

同理

1 di ?12
所以

?

c c e cos ?i ?12 ? 1? ? 2 ? ? cos ?i ? 1? . 2 ? b b

1 1 2c 5 . ? ? 2 ? di di ?12 b 2

从而

?d
i ?1

24

1
i

? 6 5 ,于是 S 2 ? 180 .

5(07 浙江)已知抛物线 物线于 B,C 两点。

和点

。过点

任作直线,交抛

(1) 求△ABC的重心轨迹方程,并表示成

形式;

(2) 若数列



,满足

。试证:



解: (1)设过 联立方程组,

的直线方程为

。又设





消去

,得

。从而有,

, 设△ABC的重心坐标为 ,则

。 ………… 5 分

消去k,即得



…………10 分

(2)因为



,所以



上式右边等号成立当且仅当

。假设

,则

, …………15 分

上式右边等号成立当且仅当

。由此得到



) 。从而有



…………20 分

6(08 河北)设向量 i, j 为直角坐标平面内 x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量

a ? ( x ? 2) i ? y j , b ? ( x ? 2) i ? y j ,且 ? a ? ? ? b ?? ? .

(1)求满足上述条件的点 P( x, y) 的轨迹方程; (2)设 A(?1, 0), F (2, 0) ,问是否存在常数 ? (? ? 0) ,使得 ?PFA ? ??PAF 恒 成立?证明你的结论.
2 2 2 2 解: (1)由条件 ? a ? ? ? b ?? ? 可知: ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? 2 .

由双曲线定义,得点 P 的轨迹方程: x ?
2

y2 ? 1( x ? 0) .???????4 分 3

( 2 ) 在 第 一 象 限 内 作 PF ? x轴,P点坐标为(2,3) , 此 时 ?PFA ? 9 0 ,

?PAF ? 45 . ? ? 2 .??????????????.???????.??6 分
以下证明当 PF 与 x 轴不垂直且 P 在第一象限时, ?PFA ? 2?PAF 恒成立.

kPA ?

y1 y 2kPA 2( x1 ? 1) y1 , k ? 1 ,则 tan 2?PAF ? ? . x1 ? 1 PF x1 ? 2 1 ? (kPA )2 ( x1 ? 1)2 ? y12

y2 ? 1 ,得 y12 ? 3( x12 ? 1) ? 3( x1 ? 1)(x1 ? 1) . 由x ? 3
2

代入上式并化简得 tan 2?PAF ? ?

y1 y , tan ?PFA ? ?k PF ? ? 1 . ??10 分 x1 ? 2 x1 ? 2

即 tan 2?PAF ? tan ?PFA,所以?PFA ? 2?PAF.
由对称性知,当 P 在第四象限时,同样成立. 故存在常数 ? ? 2 ,使得 ?PFA ? 2?PAF 恒成立.???????.???12 分 7. ( 0 八 年湖 南) (本小 题满 分 18 分) 过直线 l : 5x ? 7 y ? 70 ? 0 上 的 点 P 作 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的切线 PM 、 PN ,切点分别为 M 、 N ,联结 MN . 25 9
(1)当点 P 在直线 l 上运动时,证明:直线 MN 恒过定点 Q ; (2)当 MN ∥ l 时,定点 Q 平分线段 MN . 证明: (1)设 P?x0 , y0 ? 、 M ?x1 , y1 ? 、 N ?x2 , y 2 ? . 则椭圆过点 M 、 N 的切线方程分 别为

x1 x y1 y x x y y ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 .????????????????(3 分) 25 9 25 9
因为两切线都过点 P ,则有

x1 x0 y1 y 0 x x y y ? ? 1, 2 0 ? 2 0 ? 1 . 25 9 25 9
这表明 M 、 N 均在直线

x0 x y 0 y ? ?1 25 9

①上.由两点决定一条直线知,式①就是

直线 MN 的方程,其中 ?x0 , y0 ? 满足直线 l 的方程.???????(6 分) (1)当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x0 取遍一切实数,相应的 y0 为

y0 ?
代入①消去 y0 得

5 x0 ? 10. 7


x0 5 x ? 70 x? 0 y ?1 ? 0 25 63

对一切 x0 ? R 恒成立. ??????????????????????(9 分) 变形可得

? x 5 y ? ? 10y ? x0 ? ? ? ? ? ? 1? ? 0 ? 25 63 ? ? 9 ?

? x 5y ? 0, ? ? 对一切 x0 ? R 恒成立.故有 ? 25 63 10 y ? ? 1 ? 0. ? 9
由此解得直线 MN 恒过定点 Q?

? 25 9 ? ,? ? .???????????(12 分) ? 14 10 ?

x0 5x0 ? 70 63 ? ? 1 . 解得 x ? 4375 . (2)当 MN ∥ l 时,由式②知 25 ? 0 533 5 ?7 ? 70 533 ?0 代入②,得此时 MN 的方程为 5 x ? 7 y ? ③ 35
将此方程与椭圆方程联立,消去 y 得

533 2 533 128068 x ? x? ? 0. ????????????????(15 分) 25 7 1225
由此可得,此时 MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点 Q?

? 25 9 ? ,? ? 的横坐标,即 ? 14 10 ?

x ? x2 x? 1 ?? 2

? 533 25 7 ? . 533 14 2? 25
? 25 9 ? ,? ? 的纵坐标,即 ? 14 10 ?

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q?

y?

5 25 533 1 ? 125 533? 9 ? ? ? ? ? ??? . 7 14 7 ? 35 49 ? 2 2 ? 10

这就是说,点 Q?

? 25 9 ? ,? ? 平分线段 MN .???????????(18 分) ? 14 10 ?
x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 4 9

8.(08 江苏)A、B 为双曲线

(Ⅰ)求证:

1 OA
2

?

1 OB
2

为定值;

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin? ) , B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin? ?) ,则

r ? OA ,

r ? ? OB ,A 在双曲线上,则

? cos2 ? sin 2 ? ? r2? ? 4 ? 9 ? ? ? 1. ? ?
所以

1 cos2 ? sin 2 ? ? ? . 4 9 r2
??5 分 由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? .
2 2 2 2

同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2
所以

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 1 1 1 5 . ? 2 ? ? ? 2 4 9 36 r r'
??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ?

? ? 2 2 ? 1 1 ? ?1 1? ? 5 ? ? ? OP ? ? ? ? ? OP ? ? ? ? 1 . 即 OP ? ? 2 2 ? ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
2

于是, OP

2

?

36 . 5

即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

9(08 四川)设 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A、B 为抛物线上异于原点 O 的两点,且 满足 FA ? FB ? 0 .延长 AF、BF 分别交抛物线于点 C、D (如图) .求四边形 ABCD 面积的最小值.

解设 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A、B 为抛物线上异于原点 O 的两点,且满足 .求四边形 ABCD 面积的 FA ? FB ? 0 .延长 AF、BF 分别交抛物线于点 C、D (如图) 最小值. 解:设 A(x1 , y1 )、C ( x2 , y 2 ) ,由题设知,直线 AC 的斜率存在,设为 k . 因直线 AC 过焦点 F (1,0) ,所以,直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

联立方程组 ?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ,消 y 得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 2 ? y ? 4x
2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 k2
??5 分

由根与系数的关系知: x1 ? x 2 ?

2 (y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 (x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 于是 | AC |? (x1 ? x 2 ) ?

? 2k 2 ? 4 ? 4(1 ? k 2 ) ? ? ??10 分 ? 1? k ? ? 4 2 ? k2 ? k ? ? 1 又因为 AC ? BD ,所以直线 BD 的斜率为 ? , k 1 从而直线 BD 的方程为: y ? ? ( x ? 1) ,同理可得 | BD |? 4(1 ? k 2 ) .??15 分 k
2

2

故 S ABCD ?

1 8(1 ? k 2 ) 2 1 | AB | ? | CD |? ? 8(k 2 ? 2 ? 2) ? 8 ? (2 ? 2) ? 32 2 2 k k
??20 分

当 k ? ?1 时等号成立.所以,四边形 ABCD 的最小面积为 32.

10. (08 年浙江)已知椭圆 C: 之间的距离为

x2 y 2 4 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,其离心率为 ,两准线 2 5 a b

25 。点 A 坐标为(6, 0),B 为 2

椭圆 C 上的动点,以 A 为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母 A, B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方程。 解:设 c 为椭圆的焦半径,则

c 4 a 2 25 ? , ? 。 a 5 c 4
于是有 a=5,b=3。 解法一:设 B 点坐标为 ( s, t ) ,P 点坐标为 ( x, y ) 。于是有

AB ? (s ? 6,) t , AP ? ( x ? 6,y)。
因为 AB ? AP ,所以有

(s ? 6,t) ( x ? 6,y) ? (s ? 6)( x ? 6) ? ty ? 0 。
又因为 ABP 为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
2 2 (s ? 6) ? t 2 ? (x ? 6) ? y2 。

(A1 )

(A2 )

由(A1)推出 s ? 6 ? ?

ty t 2 y2 ,代入(A2) ,得 ? ( s ? 6)2 ? x?6 ( x ? 6)2
2 t2 ? (x ? 6)

2 2 从而有 y ? ,即 s ? 6 ? y (不合题意,舍去)或 s ? 6 ? y 。 (s ? 6)

代入椭圆方程,即得动点 P 的轨迹方程
2 2 (x ? 6) (y ? 6) ? ? 1。 9 25

解法二: 设 B( x1 , y1 ) , P( x, y), AB ? r ,则以 A 为圆心,r 为半径的圆的参数方程为

? x ? 6 ? r cos ? 。 ? ? y ? r sin ?

设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ? ,B 点的参数表示为

? x1 ? 6 ? r cos ? , ? ? y1 ? r sin ?
P 点的参数表示为
0 ? ? x ? 6 ? r cos(90 ? ? ) ? x ? 6 ? r sin ? ,即 ? . ? 0 ? ? y ? ?r cos ? ? y ? r sin(90 ? ? )

从上面两式,得到

? x1 ? 6 ? y 。 ? ? y1 ? x ? 6
又由于 B 点在椭圆上,可得

( x ? 6)2 ( y ? 6)2 ? ?1。 9 25
此即为 P 点的轨迹方程。 11.(08 广州)已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆 L : 段 AB 的中点为 M (2, 1) . (1)求直线 AB 的方程; (2)若线段 AB 的垂直平分线与椭圆 L 交于点 C 、 D ,试问四点 A 、 B 、 C 、 D 是否在 同一个圆上,若是,求出该圆的方程;若不是,请说明理由. 解一: (1)? 点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆 L 上不同的两点,

x2 y 2 ? ? 1 上不同的两点,线 18 9

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1, ? ?1. ∴ 18 9 18 9
以上两式相减得:
2 2 x12 ? x2 y 2 ? y2 ? 1 ?0, 18 9

2 2 即 x12 ? x2 ? 2( y12 ? y2 ) ? 0 , ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,

∵线段 AB 的中点为 M (2, 1) , ∴ x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 . ∴ 4( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 , 当 x1 ? x2 ,由上式知, y1 ? y2 则 A, B 重合,与已知矛盾,因此 x1 ? x2 ,



y1 ? y2 ? ?1 . x1 ? x2

∴直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 3 ? 0 .

? x ? y ? 3 ? 0, ? 2 由 ? x2 消去 y ,得 3x ? 12x ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 4 . y2 ? ? 1. ? ? 18 9
∴所求直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . 解二: 当直线 AB 的不存在时, AB 的中点在 x 轴上, 不符合题意. 故可设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ?x ? 2? , A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? .

, ? y ? 1 ? k ?x ? 2? ? 2 2 由?x 消去 y ,得 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 ? 4k x ? 8 k 2 ? k ? 2 ? 0 y ? ? 1. ? ? 18 9

?

?

?

?

?

?

(*)

8k 2 ? 4k ? x1 ? x 2 ? . 1 ? 2k 2

? AB 的中点为 M ?2,1? ,
? x1 ? x2 ? 4 .
? 8k 2 ? 4k ? 4. 1 ? 2k 2

解得 k ? ?1 .
2 此时方程(*)为 3x ? 12x ? 0 ,其判别式 ? ? 144 ? 0 .

∴所求直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . (2)由于直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 则线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 y ? 1 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

由 ? x2

? x ? y ? 3 ? 0, ? 得 A?0,3?, B?4,?1?. , y2 ? ? 1 , ? ? 18 9

? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 由 ? x2 消去 y 得 3x ? 4 x ? 16 ? 0 ,设 C ?x1 , y1 ?, D?x2 , y 2 ?. y2 ? ? 1 , ? ? 18 9

则 x1 ? x2 ?

4 16 , x1 x2 ? ? . 3 3

∴线段 CD 的中点 E 的横坐标为 xE ? ∴E ?

x1 ? x2 2 1 ? ,纵坐标 y E ? x E ? 1 ? ? . 2 3 3

? 2 1? ,? ?. ? 3 3?

∴ CD ?

? x1 ? x2 ? ?1 ? 1??
2

2

?? 4 ? 2 ? 16 ?? 4 26 . ? 4 x1 x2 ? 2?? ? ? 4 ? ? ? ?? ? 3 ? 3 ?? ?? 3 ? ? ?

?

2 26 1 ?2? ? 1 ? ? CD , ∵ EA ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 3 ?3? ? 3 ? 2 26 1 ?2 ? ? 1 ? ? CD , EB ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 3 ?3 ? ? 3 ?
∴四点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个圆上,此圆的圆心为点 E ,半径为
2 2

2

2 26 , 3

2? ? 1 ? 104 ? 其方程为 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . 3? ? 3? 9 ?
12. (2006 年上海)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,其焦点为 F,一条过焦点 F,倾斜角为

2

2

? (0 ? ? ? ? ) 的直线交抛物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标原点) ,交准线于点 B? ,连
接 BO,交准线于点 A? ,求四边形 ABB?A? 的面积. 解 当? ?

?
2

时, S ABB?A? ? 2 p2 .

???????(4 分)

当? ?

?
2

时,令 k ? tan ? .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由
y

p y ? k ( x ? ) ,① y 2 ? 2 px , 2 2p 2 y ? p 2 ? 0 ,所以 消去 x 得, y ? k 2p y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? p2 . ③ k
又直线 AO 的方程为: y ?



A/

A

O B/

F B

x

y1 2p x ,即为 y ? x ,所以,AO x1 y1

与准线的交点的坐标为 B?(?

p p2 p2 而由③知,y2 ? ? , 所以 B 和 B? 的纵坐标相等, , ? ), 2 y1 y1

从而 BB? x 轴.同理 AA? x 轴,故四边形 ABB?A? 是直角梯形.??????(9 分) 所以,它的面积为 S ABB?A? ?

1 1 ( AA? ? BB? ) ? A?B? ? AB ? A?B? 2 2

?

1 ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? y2 ? y1 2

?

1 ( y2 ? y1 ) 2 2

1?

1 k2

?

1 1 1? 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? ? 2 k
3 1 ?2 ? ? 2 p 2 ?1 ? 2 ? ? 2 p 2 (1 ? cot 2 ? ) 2 .??????(14 分) ? k ? 3

13. (2005 年浙江)(20 分)设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若 ?PF 1F2 的顶点 P 在第一象限的双曲线上移动, 求 ?PF 1F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边

PF2 上的切点轨迹。
【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 ?PF 1F2 的内切圆 在边 F1 F2 上的切点,H 为 ?PF 1F2 的内切圆在边 PF 2 上的切点,K 为 ?PF 1F2 的内切圆在边

PF 1 上的切点。则有

GF1 ? GF2 ? KF1 ? HF2

? ( KF1 ? KP ) ? ( HF2 ? HP )

? PF1 ? PF2

------------- 5 分 由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。 而 F2 G ? F2 A ?

2 ? 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以 ?PF 1F2 的内切

圆在边 PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧。------ 10 分
2 2 因为 P( x, y) 是在 x ? y ? 1第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时,

与 x 轴正向的交角 ? 的正切的极限是 lim tan? ? lim
x ???

x2 ?1 x? 2

x ???

?1

即 ? ?

?
4

。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式) ?

? x ? 2 ? ( 2 ? 1) cos? ? y ? ( 2 ? 1) sin ?





?
4

? ? ? ? )-- 15 分

也可以用直角坐标形式。由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线段,

方程为

x ? 1 ( 0 ? y ? 1) 。
14. ( 2006

---------------------------- 20 分

浙 江 省 ) 在 x 轴 同 侧 的 两 个 圆 : 动 圆 C1 和 圆

,且动圆 C1 与 x 轴相切,求 4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b 2 ? 0 外切( a, b ? N , a ? 0 ) (1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L; (2)若直线 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958 a ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求

a , b 之值。
解: (1)由 4a x ? 4a y ? 4abx ? 2ay ? b ? 0 可得 ( x ?
2 2 2 2 2

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? ( )2 , 2a 4a 4a

由 a, b ?N,以及两圆在 x 轴同侧,可知动圆圆心在 x 轴上方,设动圆圆心坐标为 ( x, y ) , 则 有

(x ?
整理得到动圆圆心轨迹方程

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? y ? , 2a 4a 4a

y ? ax2 ? bx ?
另解

b2 4a

(x ?

b ) 。 ????????(5 分) 2a

由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 (

b 1 1 , ) 为焦点, y ? ? 为准线,且顶点在 2a 4a 4a

(

b ,0) 点(不包含该点)的抛物线,得轨迹方程 2a
b 2 1 b2 b 2 ( x ? ) ? y ,即 y ? ax ? bx ? ( x ? ) ???????(5 分) 2a a 4a 2a

(2)联立方程组

y ? ax2 ? bx ?

b2 b (x ? ) 4a 2a



4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958 a?0
消去 y 得



4a 2 x 2 ? 4 7abx ? (a 2 ? 6958 a) ? 0 ,

2 2 2 2 由 ? ? 16 ? 7a b ? 16a (a ? 6958 a) ? 0, 整理得

7b 2 ? a 2 ? 6958 a



2 从③可知 7 a ? 7 a 。 故令 a ? 7a1 ,代入③可得

b 2 ? 7a1 ? 6958 a1

2

? 7 b 2 ? 7 b . 再令 b ? 7b1 ,代入上式得
7b1 ? a1 ? 994a1
2 2

???????(10 分)

同理可得, 7 a1 ,7 b1 。可令 a ? 49n, b ? 49m, 代入③可得

7m 2 ? n 2 ? 142n
对④进行配方,得



(n ? 71) 2 ? 7m 2 ? 712 ,

对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为偶数,所以 7m 2 ? 712 ? (n ? 71 ) 2 为 8 的倍数,所以

4 m 。令 m ? 4r ,则 112r 2 ? 712 ? r 2 ? 45。
所以

r ? 0,1 , 2, 3, 4, 5, 6
2 2

?????????????(15 分)

仅当 r ? 0,4 时, 71 ? 112r 为完全平方数。于是解得

a ? 6958 , b ? 0(不合,舍去)

a ? 6272 b ? 784

a ? 686 。 ???????(20 分) b ? 784

15.已知抛物线 y2=4ax(0<a<1)的焦点为 F,以 A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径在 x 轴上 方作半圆交抛物线与不同的两点 M、N,设 P 为线段 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF 的值.(2)是否存在这样的 a 的值,使||MF|、|PF|、|NF|成等差数 列?如存在,求出 a 的值;如不存在,说明理由。 答案(1)8; (2)不存在。 (利用定义法)
2 2 16.已知曲线 M : x ? y ? m , x ? 0 , m 为正常数.直线 l 与曲线 M 的实轴不垂直,且

依次交直线 y ? x 、曲线 M 、直线 y ? ? x 于 A 、 B 、 C 、 D 4 个点, O 为坐标原点. (1)若 | AB |?| BC |?| CD | ,求证: ?AOD 的面积为定值; (2)若 ?BOC 的面积等于 ?AOD 面积的 求证: | AB |?| BC |?| CD | . 解: (1)设直线 l : y ? kx ? b 代入

1 , 3
A

y B
O

B P

x 2 ? y 2 ? m 得:

C D

x
A Q C

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2bkx ? b 2 ? m ? 0 ,
? ? 0 得: b 2 ? m(1 ? k 2 ) ? 0 ,
设 B( x1 , y1 ) ,C ( x2 , y 2 ) ,则有 x1 ? x 2 ? 易得:x3 ? D( x4 , y 4 ) , 故 | x1 ? x 2 |?

? (b 2 ? m) 2bk x x ? , ,设 A( x3 , y3 ) , 1 2 1? k 2 1? k 2

b ?b 1 ,x 4 ? , 由 | AB |?| BC |?| CD | 得 | BC |? | AD | , 1? k 1? k 3

1 2bk 2 4(b 2 ? m) 1 2b | x3 ? x 4 | ,代入得 ( ) ? ? | | ,整理得: 3 3 1? k 2 1? k 2 1? k 2

b2 ?

9 b b m(k 2 ? 1) ,又 | OA |? 2 | | , | OD |? 2 | | , ?AOD ? 90? , 8 1? k 1? k

b2 9 ? m 为定值. ? S ?AOD = 2 |1? k | 8
(2)设 BC 中点为 P , AD 中点为 Q 则 x p ?

x1 ? x2 bk ? , 2 1? k 2

xQ ?

x3 ? x 4 bk ? ,所以 xP ? xQ , P 、 Q 重合,从而 | AP |?| DP | ,从而 2 1? k 2

1 1 | AB |?| CD | ,又 ?BOC 的面积等于 ?AOD 面积的 ,所以 | BC |? | AD | ,从而 3 3
| AB |?| BC |?| CD | .
17.已知点 A

? 5,0?和曲线 x4 ? y ? 1?2 ? x ? 2
2 2

5 , y ? 0 上的点 P1、P 2、?、 Pn .若 P 1A 、

?

P2 A 、?、 Pn A 成等差数列且公差 d >0,(1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式.(2). 若
?1 1 ? d ?? , ? ,是否存在满足条件的 n(n ? N * ) .若存在,求出 n 可取的所有值,若不存在,说 5 5? ?
明理由. 解(1)∵d>0,故为递增数列∴ P 1 A 最小, P n A 最大. 由方程

x2 4 ? y 2 ? 1 2 ? x ? 2 5 , y ? 0 知 A( 5,0) 是它的右焦点,L: x ? 是它的右 4 5

?

?

准线, ∴ P 1A ? 5 ? 2

Pn A ? 3

于是 3 ? ( 5 ? 2) ? (n ?1)d



d?

5? 5 (n ? 1) ??????????-5 分 n ?1
设 n ? (5 5 ? 4,26 ? 5 5 )

(2)∵ d ? ( , 又∵ n ? N
*

1 1 ) 5 5



1 5? 5 1 ? ? 5 n ?1 5

∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.∴ n 可取 8、9、10、11、12、 、13、14 这

七个值.- - - - - - - - -- - - - -9 分

cos C 18. (04 湖南) 在周长为定值的 ?ABC 中, 已知 | AB |? 6 , 且当顶点 C 位于定点 P 时,
有最小值为

7 .(1)建立适当的坐标系, 求顶点 C 的轨迹方程.(2)过点 A 作直线与(1)中的 25

曲线交于 M 、 N 两点,求 | BM | ? | BN | 的最小值的集合. 解:(1) 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,所以焦距 2c=|AB|=6. 因为

cosC ?

| CA | 2 ? | CB | 2 ?6 2 (| CA | ? | CB |) 2 ? 2 | CA || CB | ?36 2a 2 ? 18 ? ? ?1 2 | CA || CB | 2 | CA || CB | | CA || CB |

又 | CA | ? | CB |? (

2a 2 18 ) ? a 2 ,所以 cos C ? 1 ? 2 ,由题意得 2 a

1?

18 7 2 ? , a ? 25 . 2 25 a
此时, |PA|=|PB|, P 点坐标为 P(0, ±4).所以 C 点的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) 25 16

(2)不妨设 A 点坐标为 A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 900 时, 设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得 (

1 k2 2 3 2 9k 2 ? )x ? k x ? ( ? 1) ? 0 25 16 8 16

显然有 △?0, 所以 x1 ? x 2 ? ? 而由椭圆第二定义可得

150k 2 225k 2 ? 400 , x x ? 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

3 3 9 | BM | ? | BN |? (5 ? x1 )(5 ? x 2 ) ? 25 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 5 5 25 450k 2 81k 2 ? 144 531k 2 ? 144 531 ? 25 ? ? ? 25 ? ? 25 ? ? 2 2 2 25 16 ? 25k 16 ? 25k 16 ? 25k k2 ? 144 531 16 k2 ? 25

144 16 144 ? 531 25 531 取最小值,显然. 只要考虑 的最小值,即考虑 1 ? 16 16 k2 ? k2 ? 25 25 k2 ?
当 k=0 时, | BM | ? | BN | 取最小值 16. 当直线 MN 的倾斜角为 900 时,x1=x2=-3,得 | BM | ? | BN |? (

34 2 ) ? 16 5

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) ,故 k ? 0 ,这样的 M、N 不存在,即 | BM | ? | BN | 的最小 但 25 16
值的集合为空集. 19. (04 四川)已知椭圆ε :
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a>b>0) ,动圆 ? : x 2 ? y 2 ? R 2 ,其中 b<R<a. 若

A 是椭圆ε 上的点,B 是动圆 ? 上的点,且使直线 AB 与椭圆ε 和动圆 ? 均相切,求 A、 B 两点的距离 AB 的最大值. 解:设 A ?x1 , y1 ? 、B ?x 2 , y 2 ? ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 因为 A 既在椭圆
? y1 ? kx1 ? m ? 线 AB 上,从而有 ? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a (1) (2)

? 上又在直

将(1)代入(2)得 a 2 k 2 ? b 2 x 2 ? 2kma2 x ? a 2 m 2 ? b 2 ? 0 由于直线 AB 与椭圆

?

?

?

?

? 相切,故 ? ? ?2kma2 ?2 ? 4a 2 ?m2 ? b 2 ??a 2 k 2 ? b 2 ? ? 0
ka 2 m

从而可得 m 2 ? b 2 ? a 2 k 2 , x1 ? ?

(3)????????5 分

同理,由 B 既在圆 ? 上又在直线 AB 上, 可得 m 2 ? R 2 1 ? k 2 , x 2 由(3) 、 (4)得 k 2 ?
2 2

?

?

??

k a2 ? R2 m

?

? (4)10 分
k a2 ? R2 m
2

R2 ? b2 a ?R
2 2

, x 2 ? x1 ?

?

?
? ?
2

所以 AB ? ?x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? 1 ? k 2 ?x 2 ? x1 ? ?
2

?

?

?

?a

2

? R2 R2 ? b2 a 2b 2 ab ? ? 2 2 ? a 2 ? b 2 ? R 2 ? 2 ? ?a ? b ? ? ? R ? ? ? ?a ? b ? ???????15分 2 R? R R ?

??

?

m2 k 2 a2 ? R2 ? R2 m2
2

?

?a

2

? R2 R2

?

2

?

R2 ? b2 a2 ? R2

即 AB ? a ? b ,当且仅当 R ? ab 时取等号所以 A 、 B 两点的距离 AB 的最大值为
a ? b . ?????20 分.

20. (05 湖南)过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作一条直线和 x轴、y轴 分别相交于 M、N 两点,试求

OM ? ON ? MN 的最大值。 (其中 O 为坐标原点)

解:过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作一圆与 x 轴、 y 轴分别相切于点 A、B,且使点 P(3 ? 2 2 ,4) 在优弧 AB 上,则圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ,于是过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作圆的 切 线 和 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 M 1 , N1 两 点 , 圆 为 Rt?OM1 N1 的 内 切 圆 , 故

OM1 ? ON1 ? M 1 N1 ? 6
若过点 P 的直线 MN 不和圆相切,则作圆的平行于 MN 的切线和 x 轴、 y 轴分别相交 于 M 0 , N 0 两点,则 OM 0 ? ON0 ? M 0 N 0 ? 6 。由折线 M 0 MNN 0 的长大于 M 0 N 0 的 长及切线长定理,得 OM ? ON ? MN ? (OM 0 ? MM 0 ) ? (ON0 ? NN 0 ) ? MN

? (OM 0 ? ON0 ? M 0 N 0 ) ? [M 0 N 0 ? (M 0 M ? MN ? NN 0 )] ? OM 0 ? ON0 ? M 0 N 0 ? 6
所以, OM ? ON ? MN 的最大值为 6。 21. (05 江苏) 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不 a 2 b2
y
R

与 x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使

?PQR 为正三角形 , 求椭圆的离心率 e 的取值范
围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M .过点

Q'
M‘ P’ P F M

Q

O

x

P 、 M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 P ' 、 M '、Q' , 则

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? . …………… 6 分 2 2 e e 2e
R ,则

假设存在点

| RM |?

3 | PQ | , 2



| MM ' | ? | RM | ,



| PQ | 3 3 ? | PQ | ,所以, e ? .……… 12 分. 2e 2 3
于 是 ,

cos?RMM ' ?
1

| MM ' | | PQ | 2 1 ? ? ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e





cot ?RMM ' ?

3e2 ? 1



若 | PF | ? | QF | (如图),则

k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e 2 ? 1

1 3e 2 ? 1

. … 18 分

当 e? 于

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线

R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2 1 3e2 ? 1


………… 21 分

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 kPQ ? ?

……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 . ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? 3 3e 2 ? 1

C , D 两点在直线 y ? x ? 4 22. (05 四川) 正方形 ABCD 的两顶点 A, B 在抛物线 y ? x 2 上,
上,求正方形的边长 d 。 解:设 A, B 两点坐标分别为 A(t1 , t1 ) 、 B(t 2 , t 2 ) ,显然 t1 ? t 2 ∵ AB ∥ DC ,
2 2

∴1 ?

2 t2 ? t12 ,即 t1 ? t 2 ? 1 t 2 ? t1

一方面,
2 2 d 2 ?| AB |2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? (t12 ? t 2 ) ? (t1 ? t 2 ) 2 [1 ? (t1 ? t 2 ) 2 ] ? 2[(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ]

∴ t1 t 2 ?

1 (2 ? d 2 ) 8

4

① 。 另 一 方 面 , d ?| AD |?

| t1 ? t12 ? 4 | 2

?

| t1t 2 ? 4 | 2

,∴

2d 2 ? (t1t 2 ? 4) 2

2 2 将①代入②,得 d ? 68d ? 900 ? 0 ,即 (d ? 18)(d ? 50) ? 0 。故 d ? 3 2 或
2

d ?5 2
23(09 年全国) (本小题满分 14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭 圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 交于不同两点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否 16 12 4 12

存在直线 l ,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请 说明理由. ? y ? kx ? m ? 【解析】 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 3 ? 4k 2 x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 48 ? 0 ?1 ? ? ?16 12 8km 设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 2 ① ………4 分 ?1 ? ?8km? ? 4 3 ? 4k 2 4m2 ? 48 ? 0

?

?

?

??

?

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 3 ? k 2 x2 ? 2kmx ? m2 ?12 ? 0 ? ? 1 ? ? 4 12 2km 设 C ? x3 ,y4 ? , D ? x4 ,y4 ? ,则 x3 ? x4 ? 3 ? k2 2 ② …………8 分 ?2 ? ? ?2km? ? 4 3 ? k 2 m2 ? 12 ? 0

?

?

?

??

?

因为 AC ? BD ? 0 ,所以 ? x4 ? x2 ? ? ? x3 ? x1 ? ? 0 ,此时 ? y4 ? y2 ? ? ? y3 ? y1 ? ? 0 .

8km 2km . ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 4 1 所以 2 km ? 0 或 ? .由上式解得 k ? 0 或 m ? 0 .当 k ? 0 时,由①和②得 ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 ?2 3 ? m ? 2 3 .因 m 是整数,所以 m 的值为 ?3 , ?2 , ?1 , 0 ,1 , 2 , 3 .当 m ? 0 ,由 ①和②得 ? 3 ? k ? 3 .因 k 是整数,所以 k ? ?1 , 0 , 1 .于是满足条件的直线共有 9 条.………14 分 24(08 年全国) P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内
由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 得 ? 切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值. [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C(0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b , x x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

…5 分

2 2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分

2 2 ? x0 ?2 y0 8x0 . , bc ? ,则 (b ? c)2 ? 4 x0 ? 4 y0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则

(b ? c)2 ?

2 2 x0 . …15 分 4 x0 ,b ?c ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)

x 所以 S?PBC ? 1 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? 4 ? 4 ? 2 4 ? 4 ? 8 . 2 x0 ? 2 x0 ? 2
当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S?PBC 的最小值为 8. …20 分

25(07 年全国)已知过点(0,1)的直线 l 与曲线 C: y ? x ?

1 (x ? 0) 交于两个不同点 x

M 和 N。求曲线 C 在点 M、N 处切线的交点轨迹。 解:设点 M、N 的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),曲线 C 在点 M、N 处的切线分别为 l1、 l2,其交点 P 的坐标为(xp,yp)。若直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1。 ?y ? x ? 1 1 ? x ,消去 y,得 x ? ? kx ? 1 ,即(k? 1)x2+x? 1=0。由题意知,该 由方程组 ? x ?y ? kx ? 1 ? 方 程 在 (0 , + ∞ ) 上 有 两个 相 异 的 实 根 x1 、 x2 ,故 k ≠ 1 , 且 Δ =1+4(k ? 1)>0 … (1) , 1 1 3 1 由此解得 ? k ? 1 。 对 y ? x ? 求导, x1 ? x 2 ? ? 0 …(2),x 1x 2 ? ? 0 …(3), x 1?k 1?k 4 1 1 1 得 y' ? 1 ? 2 , 则 y' |x ?x ? 1 ? 2 , y' |x ?x ? 1 ? 2 , 于 是 直 线 l1 的 方 程 为 x1 x2 x
1 2

y ? y 1 ? (1 ?

1 1 1 )( x ? x 1 ) ,即 y ? (x 1 ? ) ? (1 ? 2 )( x ? x 1 ) ,化简后得到直线 l1 的方程为 2 x1 x1 x1

y ? (1 ?
得(

1 2 1 2 )x ? …(4)。同理可求得直线 l2 的方程为 y ? (1 ? 2 )x ? …(5)。(4)? (5) 2 x1 x1 x2 x2

2x 1x 2 1 1 2 2 ? 2 )x p ? ? ? 0 ,因为 x1≠x2,故有 x p ? …(6)。 2 x 2 x1 x1 x 2 x1 ? x2
将(2)(3)两式代入(6)式得 xp=2。

(4)+(5) 得 2y p ? (2 ? (

x ? x2 1 1 1 1 1 1 ? 2 )) x p ? 2( ? ) … (7) , 其 中 ? ? 1 ?1 , 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x 1x 2

2 2 x1 ? x2 (x 1 ? x 2 )2 ? 2x 1x 2 x ? x2 2 1 1 2 代入(7) ? 2 ? 2 2 ? ?( 1 ) ? ? 1 ? 2(1 ? k ) ? 2k ? 1 , 2 2 2 x1 x 2 x1x 2 x1x 2 x 1x 2 x 1x 2

式得 2yp=(3? 2k)xp+2,而 xp=2,得 yp=4? 2k。又由 为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点) 26(2012

3 5 ? k ? 1得 2 ? y p ? ,即点 P 的轨迹 4 2
2

年湖北预赛) .已知点 E (m, n) 为抛物线 y

? 2 px( p ? 0) 内一定点,过

且 M , N 分别是线段 AB , CD 的中点. E 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条直线交抛物线于 A, B , C , D , (1)当 n ? 0 且 k1 ? k 2 ? ?1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0, ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点. 解 AB 所在直线的方程为 x ? t1 ( y ? n) ? m ,其中 t1 ?
1 ,代入 y 2 ? 2 px 中,得 k1

y2 ? 2 pt1 y ? 2 pt1n ? 2 pm ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y 2 ? 2 pt1 ,从而

x1 ? x2 ? t1 ( y1 ? y2 ? 2n) ? 2m ? t1 (2 pt1 ? 2n) ? 2m .
2 则 M ( pt1 ? nt1 ? m, pt1 ) .

其中 t 2 ? CD 所在直线的方程为 x ? t 2 ( y ? n) ? m ,

1 2 , 同理可得 N ( pt2 k2

? nt2 ? m, pt2 ) .

-----------------------------------------5 分
2 2 (1) 当 n ? 0 时,E (m,0) ,M ( pt1 ? m, pt1 ) ,N ( pt2 ? m, pt2 ) ,| EM |?| pt1 | 1 ? t1 2 ,
2 | EN |?| pt2 | 1 ? t 2 .

又 k1 ? k 2 ? ?1 ,故 t1 ? t 2 ? ?1 ,于是△ EMN 的面积

S?

1 1 p2 | EM | ? | EN |? | p 2t1t2 | (1 ? t12 )(1 ? t2 2 ) ? ? 2 ? t12 ? t2 2 2 2 2

?

p2 ? 4 ? p2 , 2

当且仅当 | t1 |?| t 2 |? 1 时等号成立. 所 以 , △
EMN

















p2

.

------------------------------------------10 分 (2) k MN ?
p(t1 ? t 2 ) p(t1 ? t 2 ) ? n(t1 ? t 2 )
2 2

?

1 (t1 ? t 2 ) ? 1 n p



MN 所在直线的方程为 y ? pt1 ?

n (t1 ? t 2 ) ? p

? [ x ? ( pt1 ? nt1 ? m] ,

2


y (t1 ? t 2 ? n ) ? pt1 t 2 ? x ? m . p

------------------------------------------15 分

又 k1 ? k 2 ?

t ?t 1 1 ? ??, 即 t1 t 2 ? 1 2 , 代入上式, 得 y (t1 ? t2 t1 t 2 ?
p ny

t ?t n ? )? p? 1 2 ? x ?m , p ?

即 (t1 ? t 2 )( y ? ) ? x ? ? m . ? p
p ? ?y ? ? ny 当 y ? ? 0 时,有 x ? ? m ? 0 ,即 ? 为方程的一组解, n p ? ?x ? m ? ? ?

p

所以直线 MN 恒过定点 (m ? 分 27(2012

? ?

n p , ).

------------------------------------------20

年河北预赛).

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线 52 42

交椭圆于 A,B 两点,D ( a, 0) 为 F1 右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?
25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ? 25 16
得 x1 ? x2 ? ?

? ( 1 6? 2 k2 5 x2) ?

2 1k5 0 x?

2 k2 2? 5

? 400

0

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 , x x ? ? ? y y ? k ( x ? 3)( x ? 3) ? ? 1 2 1 2 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
----------------------10 分

设 M (?

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 。 ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )



F1M ? (?

16 16 , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

, 得

256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , ? =? y3 y 4? ? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? 2 9 16 ? 25k 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9(a ? x1 )(a ? x2 )
整理得

(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。
--------------17 分

练习题及解答 <一>,选择题 1,在平面直角坐标系中,方程 A,三角形 B,正方形

x? y x? y ? ? 1( a, b 为相异正数),所表示的曲线是 2a 2b
C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形

5 4 2,平面上整点(坐标为整数的点)到直线 y ? x ? 的距离中的最小值是 3 5
A,

34 170

B,

34 85

C,

1 20

D,

1 30

3,过抛物线 y 2 ? 8( x ? 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线,若此直线与抛物线交于 A,B
0

两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 A,

16 3

B,

8 3

C,

16 3 3

D, 8 3

4,若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为 36 20
B, (?3, 15) C, (3, ? 15) D, (?3, ? 15)

A, (3, 15)

5,过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 中心的弦 AB, F (c, 0) 是右焦点,则 ?AFB 的最大面积为 a 2 b2
B, ab C, ac D, b
2

A, bc

6,已知 P 为双曲线 A, b cot
2

x2 y 2 ? ? 1 上的任意一点, F1 , F2 为焦点,若 ?F1PF2 ? ? ,则 S?F1PF2 ? a 2 b2
B,

?
2

1 ab sin ? 2

C, b ? a tan
2 2

?
2

D, (a ? b )sin ?
2 2

<二>,填空题 7,给定点 P(2, ?3), Q(3, 2) ,已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 PQ(包括 P,Q 在内)有公共点, 则 a 的取值范围是 .

8,过定点 F (a,0) (a ? 0) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 QT ? FQ 交 x 轴于 T 点, 延长 TQ 至 P 点,使 QP ? TQ ,则 P 点的轨迹方程是 .

x2 y 2 9,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 交于 M,N 两点,且 OM ? ON ,( O 为 a b
原点),当椭圆的离心率 e ? [

3 2 , ] 时,椭圆长轴长的取值范围是 3 2

.

10,已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到 y 轴的距离为 16 12
.

MN ,且 MN 是 MF1 和 MF2 的等比中项,则 MN 的值等于
2 2

11,已知点 A 为双曲线 x ? y ? 1的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上, ?ABC 是 等边三角形,则 ?ABC 的面积等于 12,若椭圆 .

x2 y 2 x2 y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F1 , ? ? 1 ( m ? n ? 0 )和双曲线 ? a b m n

F2 ,P 为两条曲线的一个交点,则 PF1 PF2 的值为
<三>,解答题 13,设椭圆

.

? x2 y 2 ? ? 1 有一个内接 ?PAB ,射线 OP 与 x 轴正向成 角,直线 AP,BP 的斜率 3 2 6

适合条件 k AP ? kBP ? 0 . (1),求证:过 A,B 的直线的斜率 k 是定值; (2),求 ?PAB 面积的最大值. 14,已知 ?AOB ? ? (? 为常数且 0 ? ? ?

?
2

),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得 ?POQ

的面积恒为 36.设 ?POQ 的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足 OM ? (1),求 OG 的最小值; (2),求动点 M 的轨迹方程.

3 OG . 2

15,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p 为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交 x 轴于 Q 点. (1),求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程; (2),证明:L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数. 16. 如图,椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) , A1 、 A2 、 B1 、 B2 为椭圆 C 的顶点. 2 2
a b
2 2

(Ⅰ)设点 M ( x0 ,0) ,若当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的顶点时, | PM | 取得最大值与最 小值,求 x0 的取值范围; (Ⅱ)若椭圆 C 上的点 P 到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 ,且与直线 l : y ? kx ? m 相 交于 A , B 两点( A,B 不是椭圆的左右顶点) ,并满足 AA2 ? BA2 .试研究:直线 l 是否过 定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由.

17. (本小题满分 15 分) 关于 x、 y 的方程 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(1)若方程 C 表示圆,求实数 m 的取值范围; ( 2 ) 在 方 程 C 表 示 圆 时 , 若 该 圆 与 直 线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相 交 于 M、 N 两 点 , 且

| MN |?

4 5 ,求实数 m 的值; 5

(3)在(2)的条件下,若定点 A 的坐标为(1,0) ,点 P 是线段 MN 上的动点,求直线 AP 的斜率的取值范围. 18.已知椭圆 C:

x2 y 2 4 25 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,其离心率为 ,两准线之间的距离为 。 2 5 2 a b

(1)求 a , b 之值; (2)设点 A 坐标为(6, 0),B 为椭圆 C 上的动点,以 A 为直角顶点,作等腰直角△ ABP(字母 A,B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方程。
x2 y2 ? = 1 ( a>b>0 )的两个焦点为 F1 ( – c , 0 ),M 是椭圆上一点,且满足 a2 b2

19.椭圆 C:

(Ⅰ)求离心率 e 的取值范围; (Ⅱ)设斜率为 k ( k ≠ 0 )的直线 l 与椭圆 C F1 M ? F2 M = 0。 相于不同的两点 A、B,Q 为 AB 的中点,问 A、B 两点能否关于过点 P ? 0, 对称?若能,求出 k 的范围,若不能,请说明理由。

? ? ?

3? ? 、Q 的直线 3 ? ?

四,答案 1,D 令 y ? x ,得 y ? x ? ? a ,令 y ? ? x 得 x ? ? y ? ?b ,由此可见,曲线必过四个点: ( a, a ) ,

(?a, ?a) , (b, b) , (?b, ?b) ,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知
它是非正方形的菱形. 2,B

d?

25x0 ? 15 y0 ? 12 850

?

5(5 x0 ? 3 y0 ) ? 12 5 34

,当 5x0 ? 3 y0 ? ?2 (可取 x0 ? y0 ? ?1 )时,

d min ?

34 (其中 ( x0 , y0 ) 为平面上任意整点). 85

3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线 AB 的方程为 y ? 3x ,因此 A,B 两点的横坐标
2 满足方程: 3x ? 8x ? 16 ? 0 .由此求得弦 AB 中点的横坐标 x0 ?

4 4 ,纵坐标 y0 ? ,进而 3 3

求得其中垂线方程为 y ?

4 16 4 1 4 ?? ( x ? ) ,令 y ? 0 ,得 P 点的横坐标 x ? 4 ? ? , 3 3 3 3 3

即 PF=

16 . 3

4,C 设 P( x0 , y0 ) ,又椭圆的右准线为 x ? 9 ,而 PF 1 ? 2 PF 2 ,且 PF 1 ? PF 2 ? 12 ,

得 PF2 ? 4 ,又

2 ? e ? ,得 x0 ? 3 ,代入椭圆方程得 y0 ? ? 15 . 9 ? x0 3
1 ? (2b) ? c ? bc ; 2

PF2

5,A (1)当 AB ? x 轴时, S ?AFB ?

? y ? kx k 2 a 2b 2 ? 2 2 2 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 的方程为 y ? kx ,由 ? x 消去 x 得 y ? 2 . y b ? k 2a2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ?

kab b2 ? k 2 a 2

, y2 ? ?

kab b2 ? k 2 a 2

,

1 1 1 2ab k2 ? abc 2 ? bc . S?AFB ? c( y1 ? y2 ) ? c k ? abc 2 2 2 b 2 2 b2 ? k 2 a 2 b ?k a 2 ?a k2
6,A 由 F1 F2
2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ? ? ( PF1 ? PF2 )2 ?2 PF 1 PF 2

2

2

1 sin ? ? 2b 2 2 ? b 2 cot . (1 ? cos ? ) ,得 PF1 PF2 ? , S ?F1PF2 ? PF1 PF2 sin ? ? b 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ?
7, [?

4 1 , ] 5 2

设线段 PQ 上任意一点 M ( x0 , y0 ) 且令

PM ? t (0 ? t ? 1) ,则 x0 ? (1 ? t )2 ? 3t PQ
1 ? 2a , a?5

= 2 ? t , y0 ? (1 ? t )(?3) ? t ? 2 ? ?3 ? 5t ,故 a(2 ? t ) ? (?3 ? 5t ) ? 2 ? 0 , t ? 由0 ? t ?1得0 ? 8, y ? 4ax
2

1 ? 2a 4 1 ? 1 ,解得 ? ? a ? . a?5 5 2

设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? a) ,则 Q 点坐标为 (0, ?ka) ,直线 QT 的方程为

y??

1 x ? ka ,所以 T 点坐标为 (?k 2 a, 0) ,从而 P 点坐标为 (k 2a, ?2ka) ,设 P 的坐标为 k

? x ? k 2a ( x, y ) ,则 ? ,消去 k 可得 P 点轨迹方程为 y 2 ? 4ax . y ? ? 2 ka ?

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 9, [ 5, 6] 由 ? a 2 b 2 ,可得 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ?x ? y ? 1 ?



2a 2 由 OM ? ON 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,将 x1 ? x2 ? ? 2 , a ? b2 x1 x2 ?
1 1 1 1 a 2 ? a 2b 2 3 c 2 ? ? 代入得 2 ? 2 ? 2 ,即 2 ? 2 ? 2 ,因为 ,得 2 2 a b b a a ?b 3 a 2

3 1 1 b2 1 1 b2 2 ? 1 ? 2 ? ,得 ? 2 ? ,有 ? a 2 ? (2 ? 2 ) ? 2 ,解得 5 ? 2a ? 6 . 2 a 3 a 2 2 a 3
10,

8 5 5

延长 NM 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右准线 l : x ? 8 相交于 D,设 M ( x, y) ,则 16 12

1 1 1 1 MD ? 8 ? x ,因 e ? , 2a ? 8 ,得 MF2 ? MD ? (8 ? x) , MF1 ? 8 ? MF2 ? (8 ? x) , 2 2 2 2
又 MN
2

? MF1 MF2 ,得 x 2 ?

64 8 5 ,故 MN ? . 5 5

11, 3 3

设点 C 在 x 轴上方,由 ?ABC 是等边三角形得直线 AB 的斜率 k ?

3 ,又直线 3

过 A(?1, 0) 点,故方程为 y ?

3 3 ,代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 1,得点 B 的坐标为 x? 3 3

(2, 3) ,同理可得 C 的坐标为 (2, ? 3) ,所以 ?ABC 的面积为 [2 ? (?1)] 3 ? 3 3 .
12, m ? a 不妨设 P 为第一象限的一点,则 PF1 ? PF2 ? 2 m , PF1 ? PF2 ? 2 a ,.得

PF1 ? a ? m , PF2 ? m ? a ,于是 PF1 PF2 ? m ? a .
13,:(1)证明:易知直线 OP 的方程为 y ? 3x ,将此方程代入 3x2 ? y 2 ? 6 ,可求得交点 P(1,

3) .由题意可设直线 PA,PB 的方程分别为 y ? 3 ? ?k ( x ?1) 和 y ? 3 ? k ( x ?1) ,
k 2 ? 2 3k ? 3 k 2 ? 2 3k ? 3 , . x ? B 3? k2 3? k2

分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为 xA ?

从而 y A ?

?k (2 3k ? 6) k (?2 3k ? 6) ? 3, yB ? ? 3, 2 3? k 3? k2

所以 k AB ?

yB ? y A 12k 3 ? k 2 ? ? ? 3 (定值). xB ? xA 3 ? k 2 4 3k
2

(2)不妨设直线 AB 的方程为 y ? 3x ? b ,与椭圆方程联立,并消去 y 得 6 x ? 2 3bx +

(b2 ? 6) ? 0 ,有 AB ? ( x A ? xB ) 2 ? ( y A ? yB ) 2 ? 4( x A ? xB ) 2 4[( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB ]
= 4[(?

2

3 2 2 2 4 b) ? (b ? 6)] ? ? b2 ? 16 3 3 3

点 P 到战线 AB 的距离 d ?

3 ? 3 ?b 2

?

b 2

,所以 S

2

?PAB

1 b2 4 ? ? ? (16 ? b2 ) = 4 4 3

b2 1 b 2 ? (12 ? b 2 ) 2 (12 ? b 2 ) ? [ ] ? 3 ,当且仅当 b2 ? 12 ? b2 ,即 b ? ? 6 时, 12 12 2

(S?PAB )max ? 3 .
14,解(1),以 O 为原点, ?AOB 的平分线为 x 轴建立直角坐标系,则可设 P(a cos

?

Q(b cos , ?b sin ) .于是 ?OPQ 的重心 G( xG , yG ) 的坐标为 2 2 1 ? ? 1 ? xG ? (a cos ? b cos ? 0) ? (a ? b) cos , 3 2 2 3 2 1 ? ? 1 ? yG ? (a sin ? b sin ? 0) ? (a ? b) sin 3 2 2 3 2 1 2 ? ? 1 2 2 OG ? xG 2 ? yG 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? ab(cos 2 ? sin 2 ) = (a 2 ? b 2 ) ? ab cos ? 9 9 2 2 9 9 1 2 4 ? ? ? 2ab ? ab cos ? ? ab cos 2 . 9 9 9 2
又已知 S?OPQ ?

?

?

, a sin ) 2 2

?

1 72 4 72 ? ab sin ? ? 36, 得 ab ? ,于是 OG ? ? ? cos 2 2 sin ? 9 sin ? 2

? 16cot

?
2

? 4 cot

?
2

,且当 a ? b ?

72 ? 时等号成立,故 OG min ? 4 cot . sin ? 2

(2),设 M ( x, y ) ,则由 OM ?

3 3 1 ? 3 1 OG 得, x ? xG ? (a ? b) cos ? 0 , y ? yG = (a ? b) 2 2 2 2 2 2 ? 72 x y x y sin ,得 a ? ,b ? ,代入 ab ? ,并整理得 ? ? ? ? ? ? sin ? 2 cos sin cos sin 2 2 2 2

x2 36 cot

?
2

?

y2 36 tan
2

?
2

? 1( x ? 0) ,这就是所求动点 M 的轨迹方程.

15,解:(1)抛物线 y ? 2 px 的焦点为 (

p p , 0) ,设 l 的直线方程为 y ? k ( x ? ) (k ? 0) . 2 2

? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? ( pk ? 2 p ) x ? p k ? 0 ,设 M,N 的横坐标分别为 x1 , x2 4 ? y ? k(x ? ) ? 2
则 x1 ? x2 ?

x1 ? x2 pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p p p x ? ? y ? k ( ? )? , , 得 , P P 2 2 2 k 2 2k 2k 2 k

而 PQ ? l ,故 PQ 的斜率为 ?

1 p 1 pk 2 ? 2 p ). ,PQ 的方程为 y ? ? ? ( x ? k k k 2k 2

代入 yQ ? 0 得 xQ ? p ?

pk 2 ? 2 p 3 pk 2 ? 2 p ? .设动点 R 的坐标 ( x, y ) ,则 2k 2 2k 2

1 p ? x ? ( xP ? xQ ) ? p ? 2 ? p2 ? 2 k p ( x ? p ) ? ? 4 y 2 ( y ? 0) , , 因此 ? 2 k ?y ? 1 (y ? y ) ? p P Q ? 2 2k ?
故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 4 y 2 ? p( x ? p)( y ? 0) . (2),显然对任意非零整数 t ,点 ( p(4t 2 ? 1), pt ) 都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点. 反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设 x ? 0, y ? 0, m ? 0 ,则
2 2 2 ? ? x ? y ? m (i ) ,因为 p 是奇素数,于是 p y ,从 (ii ) 可推出 p x ,再由 (i ) 可推出 ? 2 4 y ? p ( x ? p )( ii ) ? ?

? x12 ? y12 ? m12 (iii ) ? , p m ,令 x ? px1 , y ? py1 , m ? pm1 ,则有 ? 2 ? ?4 y1 ? x1 ? 1 (iv)
由 (iii) , (iv) 得 x1 ?
2

x1 ? 1 ? m12 ,于是 (8x1 ? 1)2 ? (8m1 )2 ? 17 ,即 4

(8x1 ? 1 ? 8m1 )(8x1 ? 1 ? 8m1 ) ? 17 ,于是 8x1 ? 1 ? 8m1 ? 17 , 8x1 ? 1 ? 8m1 ? 1 ,
得 x1 ? m1 ? 1 ,故 y1 ? 0 ,有 y ? py1 ? 0 ,但 L 上的点满足 y ? 0 ,矛盾! 因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.

16. (Ⅰ)设 f ( x) ?| PM | 2 ? ( x ? x0 ) 2 ? y 2 ?

c2 2 2 2 x ? 2 x0 x ? x0 ?b . 2 a

对称轴方程 x ?

a 2 x0 a 2 x0 a 2 x0 a 2 x0 ? a ? ? a ? 0. ,由题意 或 或 c2 c2 c2 c2

∴ x0 ?

c2 c2 c2 c2 或 x0 ? ? 或 x0 ? 0 ,∴ x0 ? (??,? ] ? {0} ? [ ,??) . a a a a
2 2 2

(Ⅱ)由已知与(Ⅰ)得: a ? c ? 3 , a ? c ? 1 ,? a ? 2 , c ? 1 ,? b ? a ? c ? 3 .

? 椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? 1. ? ? 3 ?4
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0,则 ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 2 3 ? 4 k ? ? 4(m 2 ? 3) x x ? . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) , 3 ? 4k 2

0) ,? k AD kBD ? ?1 ,即 因为椭圆的右顶点为 D(2,

y1 y2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,?

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 , 7

?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .解得: m1 ? ?2k , m2 ? ?

0) ,与已知矛盾; 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,
当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? , 0? . 7 7? ? ?7 ?
2 2

17.解(1)方程 C 可化为: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? m .??????1 分 要使该方程表示圆,只需 5 ? m ? 0 ,即 m ? 5 .??????3 分 所以,方程 C 表示圆时,实数 m 的取值范围是 (??,5) .??????4 分 (2)由(1)知,当方程 C 表示圆时,圆心为 C (1,2) ,半径为 5 ? m .??5 分 过圆心 C 作直线 l 的垂线 CD , D 为垂足.则

y

| CD |?

|1? 2? 2 ? 4 | 1 ?2
2 2

?

5 .??????6 分 5

M

C
D O

又由 | MN |?

4 5 2 5 知 | MD |? .??????7 分 5 5 5 2 2 5 2 ) ?( ) ,??8 分 5 5

N

x

| CM | 2 ?| CD | 2 ? | MD | 2 ,所以 ( 5 ? m ) 2 ? (

y

M

C N
A

O

x

解得 m ? 4 .??????10 分 (3)由(2)得圆 C 的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 .

8 ? x ? N x ? 0 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ? M 5 .???12 分 再由 ? 得? 和? 6 y ? 2 x ? 2 y ? 4 ? 0 ? M ? ?yN ? 5 ?
2 2

所以 k AM ? ?2 , k AN ? 2 ,??13 分由图象可知, k AP ? k AM 或 k AP ? k AN .??14 分 所以直线 AP 的斜率的取值范围是 (??,?2] ? [2,??) .??????15 分

c 4 a 2 25 ? 18 解: (1)设 c 为椭圆的焦半径,则 ? , 。于是有 a=5,b=3。 a 5 c 4
(2) 解法一:设 B 点坐标为 ( s, t ) ,P 点坐标为 ( x, y ) 。于是有 因为 AB ? AP ,所以有 AB ? (s ? 6,) t , AP ? ( x ? 6,y)。

(s ? 6,t) ( x ? 6,y) ? (s ? 6)( x ? 6) ? ty ? 0 。
又因为 ABP 为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
2 2 (s ? 6) ? t 2 ? (x ? 6) ? y2 。

(A1 )

(A2 )

由(A1)推出 s ? 6 ? ?

ty t 2 y2 ,代入(A2) ,得 ? ( s ? 6)2 ? x?6 ( x ? 6)2

2 2 2 t2 ? (x ? 6) 从而有 y ? ,即 s ? 6 ? y (不合题意,舍去)或 s ? 6 ? y 。 (s ? 6)

代入椭圆方程,即得动点 P 的轨迹方程

2 2 (x ? 6) (y ? 6) ? ? 1。 9 25

解法二: 设 B( x1 , y1 ) , P( x, y), AB ? r ,则以 A 为圆心,r 为半径的圆的参数方程为

? x ? 6 ? r cos ? 。 ? ? y ? r sin ?
设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ? ,B 点的参数表示为 ?

? x1 ? 6 ? r cos ? , ? y1 ? r sin ?

P 点的参数表示为 ?

0 ? ? x ? 6 ? r cos(90 ? ? ) ? x ? 6 ? r sin ? ,即 ? . 0 y ? ? r cos ? y ? r sin(90 ? ? ) ? ? ?

从上面两式,得到 ?

? x1 ? 6 ? y 。 ? y1 ? x ? 6

又由于 B 点在椭圆上,可得

( x ? 6)2 ( y ? 6)2 ? ? 1 。此即为 P 点的轨迹方程。 9 25

19.解: (Ⅰ)设点 M 的坐标为 ( x ,y ), 则 F`1 M = ( x + c , y ), F2 M = ( x – c ,y ), 由 F`1 M ·F2 M = 0, 得 x2 – c2 + y2 = 0 , 即 x2 – c2 = – y2 。①

b2 2 又由点 M 在椭圆上,得 y = b ? 2 x ,代入①得 a
2 2

x2 – c2 = ?

b2 2 a 2b 2 a 2b 2 x ? b 2 即 x2 = a2 – . ∵0?x2?a2 , ∴0 ?a2 – 2 ?a2 . 2 2 c c a
0? 2 ?

即 0?

2c 2 ? a 2 ?1 c2

1 ?1 e2

解得

2 ?e?1 2

又∵0<e<1 ∴

2 ?e<1(10分) 2
x2 y2 ? = 1 中, 32 16

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y = kx+ m ,代入

得 ( 1 + 2k2 )x2 + 4kmx + ( 2x2 –32 ) = 0 由直线 l 与椭圆 C 相交两点知:△= ( 4km )2 – 4 ( 1 + 2k2 ) ( 2m2 – 32 )>0, ∴m2<32k2 + 16 .② 要使 A、B 两点关于过点 P、Q 的直线对称,必须 kPQ = 设 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 xQ =
m 3 ? 2 3 ∴kPQ = 1 ? 2k 2km ? 1 ? 2k 2

1 k

x1 ? x 2 ? 2km m ? ,yQ = kxQ + m = , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

m 3 ? 2 3 ? ? 1 , m ? 1 ? 2k ∴ 1 ? 2k 2km k 3 ? 2 1 ? 2k
2 2



由②、③得

?1 ? 2k ?
3

<32k2 + 16 ∴ ?

1 47 <k2< . 又k ≠ 0 2 2

94 94 <k<0 或 0<k< (20分) 2 2 自测题目

∴?

1 x2 y2 1. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 A, B 两点(如 3 36 4

图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上;

y P O A x B

(2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

2.设异面直线 a、b 成 60°角,它们的公垂线段为 EF,且|EF|=2,线段 AB 的长 为 4,两端点 A、B 分别在 a、b 上移动.求线段 AB 中点 P 的轨迹方程.
3.、已知圆 k 过定点 A(a,0)(a>0),圆心 k 在抛物线 C y2=2ax 上运动,MN 为圆 k 在 y 轴上 截得的弦 (1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化? (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的位置关系?
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4.过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 作一条倾斜角为 ? 的直线与 抛物线相交于 A,B 两点。 (1)用 p 和 ? 表示 A,B 之间的距离; (2)证明: ?AOB 的大小是与 p 无关的定值,并求出当 ? ?

?
4

时 ?AOB 的大小。

(3)设 A(x,,y1),B(x2,y2),直线 AB 与 y 轴相交于点 M(0,y0),求证:

1 1 1 ? ? . y1 y 2 y 0

5、已知抛物线 y 2 ? 4ax(0 ? a ? 1) 的焦点为 F,以 A(a ? 4,0) 为圆心,|AF|为半径在 x 轴上方作 半圆叫抛物线于不同的两点 M、N,设 P 为线段 MN 的中点.(1)求|MF|+|NF|的值;(2)是否存在 这样的 a 的值,使得|MF|,|PF|,|NF|成等差数列?若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由 6、已知双曲线 C 的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,离心率 e ? 2 ,一条准线的方程 为 2x ? 1 ? 0 。 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 过点 A(0 ,1) 且斜率为 k ( k ? 0 ) , 问:在双曲线 C 的右支上是否存在唯一点 B ,它到直线 ? 的距离等于 1。若存在,则求出符 合条件的所有 k 的值及相应点 B 的坐标;若不存在,请说明理由。 7、已知常数 a>0,向量 m ? (0, a), n ? (1,0) ,经过定点 A(0,-a)且以 m ? ? n 为方向 向量的直线与经过定点 B(0,a)且以 n ? 2? m 为方向向量的直线相交于点 P,其中 ? ? R . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 a ? 两点,求 EM ? EN 的取值范围. 8、已知 F1、F2 为椭圆 C:

2 , 过 E(0,1)的直线 ? 交曲线 C 于 M、N 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 在左、右两个焦点,直线 l : y ? 2 x ? 5 与 a2 b2

椭圆 C 交于两点 P1、P2,已知椭圆中心 O 点关于 l 的对称点恰好落在 C 的左准线 l ? 上.(Ⅰ) 求左准线 l ? 的方程; (Ⅱ)已知 F1 P 1 ? OF 2 ,?

5 2 a , F2 P2 ? OF2 , 成等差数列,求椭圆 C 的方程. 9

9、 如图,过椭圆 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? b 2 a 2 (a ? b ? 0) 上的动点 P 引圆 x 2 ? y 2 ? b 2 的两条切线 PA,PB, 切点分别为 A,B,直线 AB 与 x 轴、 y 轴相交于 M、 N,(1)求△MON 面积的最小值.(2)椭圆上是否 存在 P 点,使得由 P 向圆所引的两条切线互相垂直?若存在,求出 a<b 应满足的条件,并求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由.
y A P M O B x N


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