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导数及导数的运算(答案)


第 10 讲
【2013 年高考会这样考】

导数及导数的运算

1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 【复习指导】 本节复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活 运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.

基础梳理 1.

平均变化率 (1)函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率可以表示为 f?x2?-f?x1? . x2-x1 Δy (2)函数 f(x)在 x0 附近的平均变化率Δx= f?x0+Δx?-f?x0? . Δx 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 liΔx→0 m f?x0+Δx?-f?x0? Δy =liΔx→0 Δx为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, m 记作 f′(x0) Δx

f?x0+Δ x?-f?x0? Δy 或 y′|x=x0,即 f′(x0)=liΔx→0 Δx=Δx→0 m lim . Δx (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)上在点(x0, 0))处的切 f(x 线的斜率.相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 3.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)=Δx→0 lim f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. Δx

4.基本初等函数的导数公式

若 f(x)=c,则 f′(x)=0; 若 f(x)=xn(n∈Q),则 f′(x)=nxn-1; 若 f(x)=sin x,则 f′(x)=cos_x; 若 f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin_x; 若 f(x)=ax,则 f′(x)=axln_a(a>0 且 a≠1); 若 f(x)=ex,则 f′(x)=ex; 1 若 f(x)=logax,则 f′(x)=xln a(a>0 且 a≠1); 1 若 f(x)=ln x,则 f′(x)= . x 5.导数的运算法则 若 f′(x)、g′(x)存在,则有 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? ?′= (3)? (g(x)≠0). [g?x?]2 ?g?x??

一个区别 曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别:曲 线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,切线唯一,当 f′(x0)存在时, 切线的斜率 k=f′(x0).曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点, 点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条. 两个防范 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. (2)不能正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,则 a 的值为 ( A.1 B. 2 C.-1 D.0 ).

解析 ∵f′(x)=2ax,∴f′(1)=2a=2,∴a=1. 答案 A

2.(2011· 江西)曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C.e

). 1 D.e

解析 ∵y′=ex,∴y′|x=0=1. 答案 A 3.(2012· 杭州调研)曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x-1, 则 P0 点的坐标为( A.(1,0)或(-1,-4) C.(1,0) ). B.(0,1) D.(-1,-4)

解析 f′(x)=3x2+1,∴3x2+1=4,∴x=± 1,当 x=1 时,y=0,当 x=-1 时, y=-4,∴点 P0 的坐标为(1,0)或(-1,-4). 答案 A 4.已知函数 f(x)的导函数 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=( A.-e B.-1 C.1 D.e ).

1 解析 f′(x)=2f′(1)+x , ∴f′(1)=2f′(1)+1,∴f′(1)=-1. 答案 B 5.(2011· 厦门质检)已知函数 f(x)=xex,则 f′(x)=______;函数 f(x)的图象在点 (0,f(0))处的切线方程为________. 解析 f′(x)=ex+xex=(x+1)ex, ∴f′(0)=1, f(0)=0, 故函数 f(x)的图象在点(0, f(0))处的切线方程为 y=x. 答案 (x+1)ex y=x

考向一

利用导数的定义求函数的导数

【例 1】?用导数的定义,求函数 y= x在 x=x0 处的导数. [审题视点] 利用导数的定义求解.

求函数 f(x)平均变化率的步骤 (1)求函数值的增量 Δf=f(x2)-f(x1); Δf f?x2?-f?x1? (2)计算平均变化率Δx= . x2-x1 1 【训练 1】 利用导数的定义,求出函数 y=x+ x的导数,并据此求函数在 x=1 处的导数. 解 Δy=(x+Δx)+ ∴y′= 1 ∴y′|x=1=1-12=0. 考向二 导数的运算 1 Δx Δy 1 ? 1? -?x+ x?=Δx- ,Δx=1- , ? ? x+Δx x?x+Δx? x?x+Δx? 1 1 ? ? ?1-x?x+Δx??=1- 2, x ? ?

【例 2】?(2011· 泉州月考)求下列函数的导数: 1 1? ? (1)y=x?x2+x +x3?; ? ? x x (2)y=x-sin2cos2; ?1 ? (3)y=( x+1)? -1?. ? x ? [审题视点] 若式子能化简,可先化简,再利用公式和运算法则求导. 1 2 解 (1)∵y=x3+1+x2,∴y′=3x2-x3. (2)先使用三角公式进行化简,得 x x 1 y=x-sin2cos2=x-2sin x, 1 1 ? 1 ? ∴y′=?x-2sin x?′=x′-2(sin x)′=1-2cos x. ? ?

1 1 1 1 (3)先化简,y= x· - x+ -1=-x2+x-2, x x

(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后 求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面 形式为函数的商的形式, 但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然 后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量. 【训练 2】 求下列函数的导数: (1)y=( x-2)2; x x? x? ? (2)y=cos2?sin 2-cos 2?; ? (3)y=log2(ax3). 解 (1)∵y=( x-2)2=x-4 x+4, ∴y′=(x-4 x+4)′=1- 2 . x

x x? x? x x x ? (2)∵y=cos 2?sin 2-cos 2?=cos 2sin 2-cos2 2 ? 1 1 1 1 =2sin x-2(1+cos x)=2(sin x-cos x)-2, 1? 1 ?1 ∴y′=?2?sin x-cos x?-2?′=2(sin x-cos x)′ ? ? 1 2 ? π? =2(cos x+sin x)= 2 sin?x+4?. ? ? (3)∵y=log2(ax3)=log2a+3log2x, 3 ∴y′=(log2a)′+(3log2x)′=xln 2. 考向三 导数的几何意义

【例 3】?已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y =x-3 相切,求实数 a,b,c 的值. [审题视点] 函数 y=ax2+bx+c 在点 Q(2,-1)处的导数值等于切线斜率为 1, 且点 Q(2,-1)、点 P(1,1)都在抛物线上. 解 ∵y′=2ax+b,

∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2=4a+b. ∴4a+b=1. 又∵P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上,∴a+b+c=1, 4a+2b+c=-1. ① ② ③

?a=3, 联立①②③解方程组,得?b=-11, ?c=9.
∴实数 a,b,c 的值分别为 3,-11,9. (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”, 还是“过某点的切 线”的问法. (2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标为 P(x0,y0),然后求其切 线斜率 k=f′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为 切点. 【训练 3】 已知曲线方程为 y=x2. (1)求过 A(2,4)点且与曲线相切的直线方程; (2)求过 B(3,5)点且与曲线相切的直线方程. 解 (1)∵A 在曲线 y=x2 上, ∴过 A 与曲线 y=x2 相切的直线只有一条, 且 A 为切点. 由 y=x2,得 y′=2x,∴y′|x=2=4, 因此所求直线的方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. (2)法一 -3k, ?y=kx+5-3k, 由? 得 x2-kx+3k-5=0, y=x2, ? Δ=k2-4(3k-5)=0,整理得:(k-2)(k-10)=0, ∴k=2 或 k=10. 所求的直线方程为 2x-y-1=0,10x-y-25=0. 法二 设切点 P 的坐标为(x0,y0), 设过 B(3,5)与曲线 y=x2 相切的直线方程为 y-5=k(x-3), y=kx+5 即

由 y=x2 得 y′=2x,∴y′|x=x0=2x0, 由已知 kPA=2x0,即 5-y0 =2x0. 3-x0

又 y0=x2代入上式整理得:x0=1 或 x0=5, 0 ∴切点坐标为(1,1),(5,25), ∴所求直线方程为 2x-y-1=0,10x-y-25=0.

规范解答 5——如何求曲线上某一点的切线方程 【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方 程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所 过的点是不是切点而导致错误. 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某 点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”,然后求某点处的斜率,用点斜式 写出切线方程. 1-a 【示例】?(本题满分 12 分)(2010· 山东)已知函数 f(x)=ln x-ax+ x -1(a∈R). (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤2时,讨论 f(x)的单调性. (1)求出在点(2,f(2))处的斜率及 f(2),由点斜式写出切线方程; (2)求 f′(x),再对 a 分类讨论. 2 [解答示范] (1)当 a=-1 时,f(x)=ln x+x+ x-1, x2+x-2 x∈(0,+∞).所以 f′(x)= x2 ,x∈(0,+∞),(1 分) 因此 f′(2)=1,即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln 2+2, 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2+2)=x-2,即 x-y+ln 2=0.(3 分) 1-a a-1 ax2-x+1-a 1 (2)因为 f(x)=ln x-ax+ x -1,所以 f′(x)= x-a+ x2 =- ,x x2

∈(0,+∞).(4 分) 令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0, 此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 分) ②当 a≠0 时,由 f′(x)=0, 1 即 ax2-x+1-a=0,解得 x1=1,x2=a-1. 1 a.当 a=2时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立,此时 f′(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上 单调递减; 1 1 b.当 0<a<2时,a-1>1>0. x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 ? ? ?1 ? x∈?1,a-1?时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;x∈?a-1,+∞? ? ? ? ? 时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; (9 分) (7 分) (6

1 c.当 a<0 时,由于a-1<0,x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单 调递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增; 1 当 a=2时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 当 0<a<2时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 1 ? ? 函数 f(x)在?1,a-1?上单调递增, ? ? ?1 ? 函数 f(x)在?a-1,+∞?上单调递减. ? ? (12 分) (11 分)

求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线斜率还是切线经 过某一点,切点坐标都是化解难点的关键所在. 1 4 【试一试】 已知曲线 y=3x3+3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. [尝试解答] (1)所求切线的斜率为 y′|x=2=22=4,

故所求曲线的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 4 1 4 (2)设曲线 y=3x3+3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0,3x3+3),则切线的斜率 0 ?1 3 4? 2 为 k=y′|x=x0=x0切线方程为 y-?3x0+3?=x2(x-x0),因为点 P(2,4)在切线上, ? ? 0 ?1 3 4? 所以 4-?3x0+3?=x2(2-x0),解得 x0=2 或 x0=-1,故所求切线的方程为:4x ? ? 0 -y-4=0 或 x-y+2=0.


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