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高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数

一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义. 了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵.

二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数

三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述: 数列极限 设 {xn } 为实数数列,a 为常数.若对任意给定的正数 ε ,总存在正整数 N ,使得当 n > N 时,有 |x n ? a| < ε ,则称 数列 {x n }收敛于 a ,常数 a 称为数列 {x n } 的极限.并记作
n→+∞

lim xn = a或xn → a(n → ∞),

读作 “ 当 n 趋于无穷大时,{xn }的极限等于 a ”.

若数列 {xn } 没有极限,则称 {x n } 不收敛,或称 {x n } 为发散数列. 对于收敛数列有以下两个基本性质,即收敛数列的唯一性和有界性: 定理1:如果数列 {xn } 收敛,则其极限是唯一的; 定理2:如果数列 {xn } 收敛,则其一定是有界的,即对于一切 n(n = 1, 2, ?),总可以找到一个正数 M ,使得

|xn | ? M .

函数极限 函数极限可以分成 x → x0 , x → +∞, x → ?∞ 三种.

x → x0 : 设函数 f (x) 在点 x 0 的某一去心邻域,即 (x 0 ? δ, x 0 ) ∪ (x 0 , x 0 + δ)(δ > 0) 内有定义,如果存在常数 A ,对于任意给 定的正数 ε (无论它多么小),总存在正数 δ ,使得当 x 满足不等式 0 < |x ? x 0 | < δ 时,对应的函数值 f (x) 都满足 不等式 |f (x) ? A| < ε,那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 x → x0 时的极限,记作
x→x0

lim f (x) = A.

x → +∞ : 设 f (x) 为定义在 [a, +∞) 上的函数,A 为常数.若对于任意给定的正数 ε ,存在正数 M ,使得当 x > M 时,有 |f (x) ? A| < ε,则称函数 f (x) 当 x 趋于正无穷时以 A 为极限,记作
x→+∞

lim f (x) = A或f (x) → A(x → +∞),

x → ?∞ 与此类似.
例题:

解:0

n→+∞

lim

n+2 = ______. 1+2+?+n

4 2+ n+2 2n + 4 n = 0. = lim = lim lim n→+∞ 1 + 2 + ? + n n→+∞ n(n + 1) n→+∞ n + 1

x2 + x ? 2 = ______. x→1 x 2 + 4x ? 5 1 A. 2 lim
解:A
x→1

B. 1

C.

2 5

D.

1 4

lim

(x + 2) (x ? 1) x+2 1+2 1 x2 + x ? 2 = lim = lim = = . 2 x →1 x →1 x+5 1+5 2 (x + 5) (x ? 1) x + 4x ? 5
x→+∞



lim

A. 2 解:B

kx 2 + 1 1 ,则常数 k 的值为( = 4 2x2 ? x ? 1 1 B. 2 k+ 1 x2 =

) C. ?2 D. ?

1 2

kx 2 + 1 = lim lim x→+∞ 2x 2 ? x ? 1 x→+∞

1 1 2? ? x x2

k 1 1 = ,所以 k = . 2 4 2

设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 = 1 , S n = nan ? 2n (n ? 1) (n = 1, 2, 3, ?) . (1)求证:数列 {an } 为等差数列,并分别写出 an 和 S n 关于 n 的表达式;(2)求
n→+∞

1 1 1 + +?+ ) ; a1 a2 a2 a3 an?1 an S S S (3)是否存在自然数 n ,使得 S 1 + 2 + 3 + ? + n = 400 ? 若存在,求 n 的值;若不存在,说明理由. 2 3 n 解:(1)当 n ? 2 时, lim ( an = S n ? S n?1 = nan ? (n ? 1) an?1 ? 4 (n ? 1) ,


an ? an?1 = 4 (n = 2, 3, 4, ?) .
所以数列

{an } 是以 a1 = 1 为首项, 4

为公差的等差数列.所以 an = 4n ? 3 . 所以

Sn =
(2)

1 (a1 + an ) n = 2n2 ? n. 2

n→+∞

lim (

1 1 1 1 1 1 1 + +?+ ) = lim ( + + +?+ ) n→+∞ 1×5 5×9 9 × 13 a1 a2 a2 a3 an?1 an (4n ? 7) (4n ? 3) = lim
n→+∞

1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) + ( ? ) + ( ? )+?+ ( ? )] 4 1 5 5 9 9 13 4n ? 7 4n ? 3 1 1 = lim (1 ? ) n→+∞ 4 4n ? 3 1 = . 4

(3)由

S n = 2n2 ? n ,得 S1 +

Sn = 2n ? 1 .所以 n S2 S S + 3 + ? + n = 1 + 3 + 5 + 7 + ? + (2n ? 1) = n2 . 2 3 n



n2 = 400 ,得 n = 20 ,所以,存在满足条件的自然数 n ,且 n = 20 .

2.变化率与导数 描述: 平均变化率 一般地,对于函数 y = f (x) ,给定自变量的两个值 x1 , x 2 ,称 Δx = x2 ? x 1 为函数自变量的改变量,称 Δy = f (x2 ) ? f (x1 ) 为函数值的改变量,称

Δy f (x 2 ) ? f (x 1 ) f (x1 + Δx) ? f (x1 ) = = x2 ? x1 Δx Δx

为函数从 x1 到 x 2 的平均变化率(average rate of change). 导数的概念 一般地,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
Δx→0

lim

Δy f (x0 + Δx) ? f (x0 ) = lim , Δ x →0 Δx Δx
0

我们称它为函数 y = f (x) 在 x = x 0 处的导数(derivative),记作 f ′ (x 0 ) 或 y ′ | x=x ,即

f ′ (x0 ) = lim
导数的几何意义

Δx→0

Δy f (x0 + Δx) ? f (x0 ) = lim . Δ x →0 Δx Δx

当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时,割线 P Pn 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线(tangent line). 割线 P Pn 的斜率是

kn =

f (x n ) ? f (x 0 ) . xn ? x0

当点 Pn 无限趋近于点 P 时, kn 无限趋近于切线 P T 的斜率. 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义,就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ,即

k = f ′ (x0 ) = lim

Δx→0

f (x0 + Δx) ? f (x0 ) . Δx

导函数 如果 f (x) 在开区间 (a, b) 内每一点 x 处都是可导的,则称 f (x) 在区间 (a, b) 可导,在区间 (a, b) 内, f ′ (x) 构成一个新 函数,我们把这个函数称为函数 f (x) 的导函数(derivative function)(简称为导数). y = f (x) 的导函数有时也记作

y ′ ,即 f ′ (x) = y ′ = lim

Δx→0

f (x + Δx) ? f (x) . Δx

例题: 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率,并计算当 Δx = 1 时,平均变化率的值. x 解:因为

2

Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 ? (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
所以平均变化率为

Δy = 8 + 2Δx. Δx
当 Δx =

1 时,平均变化率的值为 2 8+2× 1 = 9. 2

一质点的运动方程为 s = 8 ? 3t 2 ,其中 s 表示位移,t 表示时间. (1)求质点在 [1, 1 + Δt] 这段时间内的平均速度; (2)求质点在 t = 1 时的瞬时速度. 解:(1)质点在 [1, Δt] 这段时间内的平均速度为

8 ? 3(1 + Δt)2 ? 8 + 3 × 1 2 Δs = = ?6 ? 3Δt. Δt Δt
(2)由(1)知

Δs = ?6 ? 3Δt, Δt
当 Δt 无限趋近于 0 时,
Δt→0

lim

Δs = ?6, Δt

所以质点在 t = 1 时的瞬时速度为 ?6. 已知 f (x) = x 2 ,利用导数定义求: (1)f (x) 在 x = 1 处的导数; (2)f (x) 的导函数. 解:(1)

f ′ (1) = lim

f (1 + Δx) ? f (1) Δx (1 + Δx)2 ? 1 = lim Δx→0 Δx = lim (2 + Δx) = 2.
Δx→0 Δx→0

(2)

f ′ (x) = lim

f (x + Δx) ? f (x) Δx (x + Δx)2 ? x2 = lim Δx→0 Δx = lim (2x + Δx) = 2x.
Δx→0 Δx→0

设函数 f (x) 在 x = x0 处可导,且 f ′ (x 0 ) = 2,求下列各极限的值.

f (x0 ? Δx) ? f (x0 ) ; Δx f ( x 0 + 2k ) ? f ( x 0 ) (2) lim . k→0 k
(1) lim
Δx→0

解:(1)

原式 = lim

f (x0 ? Δx) ? f (x0 ) ?(?Δx) f (x0 ? Δx) ? f (x0 ) = ? lim Δx→0 ?Δx = ?f ′ (x0 ) = ?2.
Δx→0

(2) 原式 = lim 2 ?
k→0

f (x0 + 2k) ? f (x0 ) 2k f (x0 + 2k) ? f (x0 ) = 2 lim k→0 2k = 2f ′ (x0 ) = 4.

求抛物线 f (x) = x 2 + x ? 2 在点 (1, 0) 处的切线方程. 解:在点 (1, 0) 的切线的斜率是

f ′ (1) = lim = lim = lim

f (1 + Δx) ? f (1)

Δx→0 Δx→0

Δx (1 + Δx) 2 + 1 + Δx ? 2 ? 1 2 ? 1 + 2 Δx

Δx 2 + 3Δx Δx→0 Δx = lim (Δx + 3) = 3.
Δx→0

因此,抛物线在点 (1, 0) 的切线方程为 y ? 0 = 3(x ? 1),即 y = 3x ? 3.

四、课后作业

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1. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是

(

)

A.

B.

C.

D.
答案: A 解析: 图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度.

2. 已知函数 f (x) 在 x = x0 处可导,则 A.f ′ (x 0 )
答案: D
2

Δx→0

lim

C.[f ′ (x 0 )]

[f (x0 + Δx)]2 ? [f (x0 )]2 = ( Δx B.f (x 0 )

)

D.2f ′ (x0 ) f (x 0 )

3. 若函数 y = f (x) 的导函数在区间 [a, b] 上是增函数,则函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 (

)

A.

B.

C.

D.
答案: A 解析: 函数

y = f (x) 的导函数 y = f ′ (x) 在区间 [a, b] 上是增函数,即在区间 [a, b] 上各点处的斜率 k 是递增的.
,所对应的函数值的增量 Δy = .

4. 若函数 f (x) = lg x 的自变量 x 由 1 变到 100 ,则 x 的增量 Δx =
答案:

99; 2

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