当前位置:首页 >> 数学 >>

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.1-2 变化率问题 导数的概念教案 新人教A版选修1-1


3.1.1 3.1.2

变化率问题 导数的概念

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 通过大量的实例的分析, 让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程, 了解导数 概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数. 2.过程与方法 通过动手计算培养学生观察、 分析、 比较和归纳能力, 通过问题的探究体会逼近、 类比、 以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法. 3.情感、态度与价值观 学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中, 通过动手算、 动脑思和集体合作讨论, 发展思维能力,树立敢于战胜困难的信息,养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯,激发 求知欲,增强合作交流意识. ●重点、难点 重点:了解导数概念的形成,理解导数有内涵. 难点:在平均变化率的基础上探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵. 通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解,以化解重点;通过逼近的方法,引 导学生观察来突破难点.

(教师用书独具)

●教学建议
1

学生对平均变化率已有了很好的认识,同时在物理课程中已学习过瞬时速度,因此,学 生已经具备了一定的认知基础,于是,在教学设计中,宜采用相互讨论、探究规律和引导发 现的教学方法, 本着为学生发展的原则, 通过师生互动、 共同探索, 形成概念, 并学以致用. 在 学生的认知基础上,为了让学生明确导数就是瞬时变化率,函数 f(x)在 x=x0 处的导数反映 了函数 f(x)在 x=x0 处附近变化的快慢,从而更好地理解导数的概念.在学法指导上,应回 避了学生较难理解的极限思想,而是通过让学生体验逼近的思想,让他们通过自主探究,发 现导数的内涵.使学生在学习过程中探究能力,分析问题、解决问题的能力都得到了不同程 度的提升. ●教学流程 创设问题情境,引出问题:如何刻画物体运动的快慢? 引导学生结合物理知识,分析、比较,引出平均变化率与瞬时变化率的概念. 通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率,得出导数的概念. 通过例1及其变式训练,使学生掌握如何计算平均变化率. 通过例2及其变式训练,使学生掌握求瞬时速度的方法,为求导数打下基础. 通过例3及其变式训练,学会求函数在某点处的导数的步骤与方法. 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正. ? ? ? ? ? ? ?

(对应学生用书第 45 页)

1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点) 课标解读 2.会求函数在某点处的导数.(难点) 3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易混点)

函数的变化率 【问题导思】
2

实例:(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加的会越 来越慢. (2)从高空放下一件物体,随着时间的变化,物体下降的速度会越来越快. 1.如何用数学的观点刻画物体运动的快慢? 【提示】 可以运用平均变化率来刻画. 2.实例(2)中,当 t1≈t2 时刻时,平均变化率有什么样的特点? 【提示】 平均变化率接近 t1 或 t2 时刻的速度. 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 Δy f (1)定义式: = Δx

x2 -f x1 . x2-x1

(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (1)定义式:Δ lim x→0 Δy f =Δ lim x →0 Δx

x0+Δ x -f x0 . Δx

(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时,平均变化率趋近的值. (3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.

函数 f(x)在 x=x0 处的导数

函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0) →0 或 y′|x=x0,即 f′(x0)=liΔ x m Δy f →0 =liΔ x m Δx

x0+Δ x -f x0 . Δx

(对应学生用书第 45 页)

平均变化率的计算 1 2 求函数 f(x)=x 在 x=1,2,3 附近的平均变化率,取 Δ x 都为 ,在哪一点附近 3 平均变化率最大? 【思路探究】 (1)Δ x、Δ y 分别为多少?(2)平均变化率怎么求?(3)哪一点附近的平
3

均变化率大? 【自主解答】 在 x=1 附近的平均变化率为

f k1=

+Δ x -f Δx



+Δ x Δx

2

-1 =2+Δ x;

在 x=2 附近的平均变化率为

f k2=

+Δ x -f Δx



+Δ x -2 =4+Δ x; Δx

2

2

在 x=3 附近的平均变化率为

f k3=

+Δ x -f Δx



+Δ x -3 =6+Δ x. Δx

2

2

1 若 Δ x= , 3 1 7 1 13 1 19 则 k1=2+ = ,k2=4+ = ,k3=6+ = . 3 3 3 3 3 3 由于 k1<k2<k3, 故在 x=3 附近的平均变化率最大.

1.解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量 Δ x 与函数值的增量 Δ y. 2.求函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量:Δ x=x2-x1. (2)求函数值的增量:Δ y=f(x2)-f(x1). Δy f (3)作商求函数的平均变化率: = Δx

x2 -f x1 . x2-x1

π π π 求函数 y=sin x 在 0 到 之间和 到 之间的平均变化率,并比较它们的大小. 6 3 2 π 【解】 函数 y=sin x 在 0 到 之间的平均变化率为 6 π π sin -sin 2 3 π π 在 到 之间的平均变化率为 = 3 2 π π - 2 3 3 ∵2- 3<1,∴ > π - 3 π . π sin -sin 0 6 3 = , π π -0 6

- 3 . π

4

∴函数 y= sin x 在 0 到

π 3 π π 之间的平均变化率为 ,在 到 之间的平均变化率为 6 π 3 2

- 3 π ,且在 0 到 之间的平均变化率较大. π 6

求瞬时速度 若一物体运动方程如下:(位移 s:m,时间 t:s)
? ?3t +2 s=? ?29+ ?
2

t t-
2

t<

求(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度. (2)物体的初速度 v0. 【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式?(2)物体 的初速度 v0 的含义是什么?如何去求? 【自主解答】 (1)∵物体在 t∈[3,5]内时,s=3t +2,且时间增量 Δ t=5-3=2, 物体在 t∈[3,5]内的位移变化量为 Δ s=3×5 +2-(3×3 +2)=3×(5 -3 )=48, ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为 Δ s 48 = =24(m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0,即求物体在 t=0 时的瞬时速度. ∵物体在 t=0 附近的平均变化率为 Δs f = Δt = 29+ +Δ t -f Δt +Δ t -3] -29- Δt
2 2 2 2 2 2



2

=3Δ t-18,

∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为 →0 liΔ t m Δs →0 (3Δ t-18)=-18, =liΔ t m Δt

即物体的初速度为-18 m/s.

1. 解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率, 而第(2)问实际上是求 t=0 时的瞬时 速度(即瞬时变化率). 2.求瞬时速度应先求平均速度 v = Δs Δs →0 ,再用公式 v=liΔ t m ,求得瞬时速度. Δt Δt

3.如果物体的运动方程是 s=s(t),那么函数 s=s(t),在 t=t0 处的导数,就是物体
5

在 t=t0 时的瞬时速度.

一辆汽车按规律 s=2t +3 做直线运动,求这辆车在 t=2 时的瞬时速度(时间单位: s,位移单位:m). 【解】 设这辆车在 t=2 附近的时间变化量为 Δ t,则位移的增量 Δ s=[2(2+Δ t) +3]-(2×2 +3)=8Δ t+2(Δ t) , Δs Δs =8+2Δ t,当 Δ x 趋于 0 时,平均变化率 趋于 8. Δt Δt 所以,这辆车在 t=2 时的瞬时速度为 8 m/s.
2 2 2

2

求函数在某点处的导数 求函数 f(x)=3x +ax+b 在 x=1 处的导数. 【思路探究】 【自主解答】
2 2

求Δ y → 求

Δy → 取极限 → 得f Δx
2

Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=[3(1+Δ x) +a(1+Δ x)+b]-(3+a+b)=

3(Δ x) +(6+a)Δ x. Δy = Δx Δx
2

+ +a Δ x =3Δ x+6+a. Δx

→0 liΔ x m

Δy →0 (3Δ x+6+a)=6+a. =liΔ x m Δx

∴f′(1)=6+a.

1.求函数 f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同,简称:一差、二比、 三极限. 2.利用定义求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的两个注意点 Δy Δy →0 (1)在求平均变化率 时,要注意对 的变形与约分,变形不彻底可能导致 liΔ x m Δx Δx Δy 不存在. Δx Δy Δy (2)当对 取极限时,一定要把 变形到当 Δ x→0 时,分母是一个非零常数的形式. Δx Δx

已知函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=2,求 a 的值. 【解】 ∵Δ y=f(1+Δ x)-f(1) =a(1+Δ x) +c-(a+c)
6
2

2

=2a·Δ x+(Δ x) , ∴ Δ y 2a·Δ x+ Δ x = Δx Δx
2

2

=2a+Δ x.

因此 f′(1)=Δ lim x→0 ∴2a=2,a=1.

Δy =lim (2a+Δ x)=2a. Δ x Δ x→0

(对应学生用书第 48 页)

求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性 (12 分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体, 其位移 s 与时间 t 的关系 是 s(t)=3t-t . (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在 t=2 时的瞬时速度; (3)求 t=0 到 t=2 时的平均速度. 【思路点拨】 本题已知函数解析式,求初速度即 t=0 时的瞬时速度,t=2 时的瞬时 速度和 t∈[0,2]时的平均速度,可以用一差、二比、三极限的方法. 【规范解答】 (1)当 t=0 时的速度为初速度. 在 0 时刻取一时间段[0,0+Δ t],即[0,Δ t], ∴Δ s=s(Δ t)-s(0) =[3Δ t-(Δ t) ]-(3×0-0 ) =3Δ t-(Δ t) ,2 分 Δ s 3Δ t- Δ t = Δt Δt
Δ t→0 2 2 2 2 2

=3-Δ t,3 分

lim

Δs =lim (3-Δ t)=3.4 分 Δ t Δ t→0

∴物体的初速度为 3. (2)取一时间段[2,2+Δ t], ∴Δ s=s(2+Δ t)-s(2) =[3(2+Δ t)-(2+Δ t) ]-(3×2-2 ) =-Δ t-(Δ t) ,6 分
2 2 2

7

Δ s -Δ t- Δ t = Δt Δt
Δ t→0

2

=-1-Δ t,7 分

lim

Δs =lim (-1-Δ t)=-1,8 分 Δ t Δ t→0

∴当 t=2 时,物体的瞬时速度为-1. (3)当 t∈[0,2]时,Δ t=2-0=2. Δ s=s(2)-s(0) =(3×2-2 )-(3×0-0 )=210 分
2 2

v=

Δs 2 = =1. Δt 2

∴在 0 到 2 之间,物体的平均速度为 1.12 分

解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵,其次在解题过程中要严格按规定步骤解 答,切忌跨步,以免出错.

Δ y f x0+Δ x -f 1.平均变化率 = Δx Δx

x0

,当 Δ x 趋于 0 时,它所趋于的一个常数就

是函数在 x0 处的瞬时变化率,即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方 法求解.另外,它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函数变化得越快.
8

2.函数在一点处的导数,就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限,它 是一个定值,不是变数.

(对应学生用书第 48 页)

1. 已知物体位移公式 s=s(t), 从 t0 到 t0+Δ t 这段时间内, 下列说法错误的是( A.Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0)叫做位移增量 B. C. Δs s = Δt

)

t0+Δ t -s t0 叫做这段时间内物体的平均速度 Δt

Δs 不一定与 Δ t 有关 Δt Δs 叫做这段时间内物体的平均速度 Δt

D.lim Δ t→0

【解析】 D 错误,应为 t=t0 时的瞬时速度. 【答案】 D 2.已知函数 y=f(x)=x +1,则在 x=2,Δ x=0.1 时,Δ y 的值为( A.0.40 C.0.43 【解析】 ∵x=2,Δ x=0.1, ∴Δ y=f(2+0.1)-f(2)=2.1 -2 =0.41. 【答案】 B 3.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δ x)-f(x0)=aΔ x+b(Δ x) (a,b 为 常数),则( ) B.f′(x)=b D.f′(x0)=b
2 2 2 2

)

B.0.41 D.0.44

A.f′(x)=a C.f′(x0)=a 【解析】 Δy f = Δx

x0+Δ x -f x0 =a+b·Δ x, Δx

f′(x0)=Δ lim x→0
【答案】 C

Δy =lim (a+b·Δ x)=a. Δ x Δ x→0

4.一物体运动的方程是 s=3+t ,求物体在 t=2 时的瞬时速度.

2

9

【解】 Δ s=(2+Δ t) -4=4Δ t+(Δ t) . ∴ Δs =4+Δ t. Δt

2

2

∴当 Δ t→0 时,瞬时速度为 4.

(对应学生用书第 103 页)

一、选择题 1.已知函数 y=x +1 的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δ x,2+Δ y),则 ( ) A.2 C.2+Δ x 【解析】 Δ y=(1+Δ x) +1-(1 +1)=2Δ x+(Δ x) . ∴ Δ y 2Δ x+ Δ x = Δx Δx
2 2 2 2 2

Δy 等于 Δx

B.2

x

D.2+(Δ x)

2

=2+Δ x.

【答案】 C 1 2 s 2 2.自由落体运动的公式为 s=s(t)= gt (g=10 m/s ),若 v= 2 则下列说法正确的是( ) +Δ t -s Δt ,

A.v 是在 0~1 s 这段时间内的速度 B.v 是 1 s 到(1+Δ t)s 这段时间内的速度 C.5Δ t+10 是物体在 t=1 s 这一时刻的速度 D.5Δ t+10 是物体从 1 s 到(1+Δ t)s 这段时间内的平均速度 【解析】 由平均速度的概念知:v= 【答案】 D 3 2 3.(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动,其运动规律是 s=t + (t 的单位是秒,

s

+Δ t -s Δt

=5Δ t+10.故应选 D.

t

s 的单位是米),则它在 4 秒末的瞬时速度为(

)

10

A.

123 米/秒 16

125 B. 米/秒 16

67 C.8 米/秒 D. 米/秒 4 Δs 【解析】 ∵ = Δt Δt = =Δ t+8-
2

+Δ t

2



3 3 -16- 4+Δ t 4 Δt

+8Δ t+ Δt

-3Δ t +Δ t

3 Δs 3 125 ,∴Δ lim =8- = . t→0 Δ t 16+4Δ t 16 16

【答案】 B 4.函数 f(x)=x 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率为 k1,在 x0-Δ x 到 x0 之间的平均 变化率为 k2,则 k1,k2 的大小关系是( A.k1<k2 C.k1=k2 【解析】 k1= ) B.k1>k2 D.无法确定
2

f x0+Δ x -f x0 f x0 -f x0-Δ x =2x0+Δ x,k2= =2x0- Δx Δx

Δ x,而 Δ x 可正可负,故 k1、k2 大小关系不确定. 【答案】 D 5.已知点 P(x0,y0)是抛物线 y=3x +6x+1 上一点,且 f′(x0)=0,则点 P 的坐标为 ( ) A.(1,10) C.(1,-2)
2 2 2

B.(-1,-2) D.(-1,10)
2

【解析】 Δ y=3(x0+Δ x) +6(x0+Δ x)-3x0-6x0=6x0·Δ x+3(Δ x) +6Δ x, ∴Δ lim x→0 Δy = lim (6x0+3Δ x+6)=6x0+6=0. Δ x Δ x→0

∴x0=-1,y0=-2. 【答案】 B 二、填空题 6.(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下,其运动方程是 s(t)=t (s 的单位: 米,t 的单位:秒),则小球在 t=5 时的瞬时速度为________. 【解析】 v′(5)=Δ lim t→0 =Δ lim (10+Δ t)=10 t→0 【答案】 10 米/秒
11
2,

s

+Δ t -s Δt

7.已知函数 f(x)=ax+4,若 f′(1)=2,则 a=________. 【解析】 f′(1)=Δ lim x→0 【答案】 2 8. 若函数 f(x)在 x=a 处的导数为 m, 那么Δ lim x→0 【解析】 ∵Δ lim x→0 则Δ lim x→0 ∴Δ lim x→0 =Δ lim x→0 =Δ lim x→0

a

+Δ x +4-a-4 aΔ x =Δ lim =2,∴a=2. x →0 Δx Δx

f a+Δ x -f a-Δ x =________. Δx

f a+Δ x -f a =m, Δx

f a-Δ x -f a =m. -Δ x f a+Δ x -f a-Δ x Δx f a+Δ x -f a +f a -f a-Δ x Δx f a+Δ x -f a f a-Δ x -f a +Δ lim =m+m=2m. x→0 Δx -Δ x

【答案】 2m 三、解答题 9.已知 f(x)=(x-1) ,求 f′(x0),f′(0). 【解】 ∵Δ f=(x0+Δ x-1) -(x0-1) =2x0·Δ x-2Δ x+(Δ x) , ∴ Δ f 2x0Δ x-2Δ x+ Δ x = Δx Δx
2 2 2 2 2

=2x0-2+Δ x,

f′(x0)=Δ lim x→0

Δf =lim (2x0-2+Δ x)=2x0-2, Δ x Δ x→0

把 x0=0 代入上式,得 f′(0)=2×0-2==-2. 10.设质点做直线运动,已知路程 s 是时间 t 的函数:

s=3t2+2t+1.
(1)求从 t=2 到 t=2+Δ t 的平均速度,并求当 Δ t=1,Δ t=0.1 时的平均速度; (2)求当 t=2 时的瞬时速度. 【解】 (1)从 t=2 到 t=2+Δ t 内的平均速度为: Δs s = Δt = = +Δ t -s Δt +Δ t
2


2

+Δ t +1-3×4-2×2-1 Δt =14+3Δ t.

14Δ t+ Δ t Δt

12

当 Δ t=1 时,平均速度为 14+3×1=17; 当 Δ t=0.1 时,平均速度为 14+3×0.1=14.3. (2)t=2 时的瞬时速度为:

v=Δ lim t→0

Δs = lim (14+3Δ t)=14. Δ t Δ t→0

11. (2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动, 如果枪弹的加速度 是 a=5×10 m/s ,它从枪口射出所用的时间为 t1=1.6×10 时速度. 1 2 【解】 ∵s(t)= at , 2 ∴Δ s=s(t1+Δ t)-s(t1) 1 1 2 2 = a(t1+Δ t) - at1 2 2 1 2 =at1Δ t+ a(Δ t) , 2 Δs = Δt
5 2 -3

s,求枪弹射出枪口时的瞬

at1Δ t+ a Δ t

1 2 Δt

2

1 =at1+ aΔ t. 2

∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为

v=Δ lim t→0

Δs 1 =Δ lim (at1+ aΔ t)=at1. t →0 Δt 2
5 2

由题意 a=5×10 m/s ,

t1=1.6×10-3s,
∴v=at1=5×10 ×1.6×10 =800(m/s), 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.
5 -3

13

(教师用书独具)

求函数 y=

1

x

在 x=1 时的瞬时变化率.

【解】 ∵Δ y=f(1+Δ x)-f(1) = = = 1- 1+Δ x -1= 1+Δ x 1+Δ x 1 1-1-Δ x + 1+Δ x -Δ x + 1+Δ x Δy = Δx 1+Δ x , 1+Δ x -1 + 1+Δ x 1+Δ x .



Δy 1 ∴Δ x 趋于 0 时, 趋于- . Δx 2 1 ∴x=1 时的瞬时变化率为- . 2

求 y= x在 x=1 处的导数. 【解】 由题意知 Δ y= 1+Δ x-1, ∴ Δy 1+Δ x-1 = = Δx Δx , 1+Δ x+1 1 = . 1+Δ x+1 2 1 1 1+Δ x- Δx 1+Δ x+ 1+Δ x+



∴y′|x=1=Δ lim x→0

14


相关文章:
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.2...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.2 瞬时变化率 导数课后知能检测 苏教版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】 (教师用书)2013...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.1...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦课后知能检测 新人教B版选修4-5_数学_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】 (教师用书...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.2 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.2 导数的计算教案 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。3.2 3.2.1 几个常用函数的导数 导数的...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.2...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.2 系统抽样课后知能检测 苏教版必修3_数学_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2.3...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2.3 循环结构课后知能检测 苏教版必修3_数学_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.1...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.1 向量的概念课后知能检测 新人教B版必修4_数学_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】 (教师用书)2013-...
【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 3.1.1 3.1.2...
【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 3.1.1 3.1.2变化率问题 导数的概念基础过关训练 新人教A版选修1-1 隐藏>> 第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.1...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修1-2_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 数系的扩充和复数的...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.2...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.2 瞬时速度与导学课后知能检测 新人教B版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】 (教师用书)...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2.1...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2.1 顺序结构课后知能检测 苏教版必修3_数学_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学...
更多相关标签: